新版北师大版八年级下册初二数学全册导学案

1.1 不等关系

教学目的和要求：

理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点： 重点：

对不等式概念的理解 难点：

怎样建立量与量之间的不等关系。

从问题中来，到问题中去。

1. 如图1-1，用用根长度均为l ㎝的绳子，分别围成一个正方形和圆。

（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积大于100㎝2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？

（4）改变l 的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？

分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为2)4(l ，圆的面积可以表示为2

2⎪⎭

⎫

⎝⎛ππl 。

（1） 要使正方形的面积不大于25㎝2，就是

25)4

(2

≤l ，即25162≤l 。

（2） 要使圆的面积大于100㎝2，就是

2

2⎪⎭

⎫

⎝⎛ππl ＞100， 即 π

42

l ＞100

（3） 当l =8时，正方形的面积为)(41682

2cm =，圆的面积为)(1.54822cm ≈π

， 4＜5.1，此时圆的面积大。

当l =12时，正方形的面积为)(916122

2cm =，圆的面积为)(5.1141222cm ≈π

， 9＜11.5，此时还是圆的面积大。

（4） 不论怎样改变l 的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，用长度增色为l

㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l 取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即

π42l ＞16

2

l 2. （1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可能计算出它的树龄，通常规定以树干离地面1.5m 的地

方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ？（只列关系式） （2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ，人离开的速度为4m/s ，导火线的长度x （m ）应满足怎样的关系式？ 答案：（1）设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ，则5+3x ＞240。

（2）人离开10m 以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能保证人的安全：

410＜2

.0x 分析巩固练习： 用不等式表示：

（1） a 的相反数是正数；

（2） m 与2的差小于3

2； （3） x 的

3

1

与4的和不是正数； （4） y 的一半与x 的2倍的和不小于3。 解答：（1）a 的相反数是-a ，正数是比零大的数，所以“a 的相反数是正数”就是-a ＞0；

（2）“m 与2的差”就是m-2，“ 差小于32”即是m-2＜3

2

； （3）“x 的31”就是31x ，“x 的31与4的和不是正数”就是3

1

x+4≤0；

（4）“y 的一半”不是21

y,“x 的2倍”就是2x ，“不小于3”即指大于或等于3，故“y 的一半与x

的2倍的和不小于”就是2

1

y+2x ≥3。

3. 下列各数：2

1

，-4，π，0，5.2，3其中使不等式2-x ＞1，成立是 （ ）

A ．-4，π，5.2

B ．π，5.2，3

C ．2

1

，0，3 D ．π，5.2

答案：D

4. 有理数a ，b 在数轴上的位置如图1-2所示，所

b

a b

a +-的值 （ ）

A ．＞0

B ．＜0

C ．＝0

D ．≥0 答案：B

小结提问，快速回答：新-课 -标-第- 一-网 1. 表示不等式关系的符号有哪些?

2. 用适当的符号表示下列关系:

（1）x 的5倍与3的差比x 的4倍大； （2）a 的

4

1

的相反数是非负数； （3）x 的3倍不小于y 的8倍。

3. 下列不等式中，总能成立的是 （ ）

A ．2

a ＞0 B ．02≤-a C ．2a ＞a D ．2

a ＞a 作业要求：作业本

1.2不等式的基本性质

一、教学目标

1．经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。 2．掌握不等式的基本性质。 二、教学重难点

不等式的基本性质的掌握与应用。 三、教学过程设计 1.比较归纳，产生新知

我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变。

请问：如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，那么结果会怎样？请兴几例试一试，并与同伴交流。

类比等式的基本性质得出猜想：不等式的结果不变。试举几例验证猜想。如3＜7，3+1=4，7+1=8，4＜8，所以3+1＜7+1；3-5=-2，7-5=2，-2＜2，所以 3-5＜7-5；3+a ＜7+a ；3＜7,3-a ＜7-a 等。都能说明猜想的正确性。

2.探索交流，概括性质

完成下列填空。

2＜3，2×5 3×5；

2＜3，2×（-1） 3×（-1）；

2＜3，2×（-5）3×（-5）；

你发现了什么？请再举几例试试，与同伴交流。新|课|标| 第|一| 网

通过计算结果不难发现：前两个空填“＜”，后三个空填“＞”。

得出不等式的基本性质：

不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

（通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象）

3.练习巩固，促进迁移

1．（1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。

①6+2 -3+2；②6×（-2）-3×（-2）；

③6÷2 -3÷2；④6÷（-2）-3÷（-2）

（2）如果a＞b，则

2．利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”：

（1）若a＞b，则2a+1 2b+1;

（2）若＜10，则y -8；

（3）若a＜b，且c＞0，则ac+c bc+c；

（4）若a＞0，b＜0，c＜0，（a-b）c 0。

4.巩固应用，拓展研究.

1. 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。

（1）a＞b两边都加上-4；（2）-3a＜b两边都除以-3；

（3）a≥3b两边都乘以2；（4）a≤2b两边都加上c；

2. 根据不等式的性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式（a为常数）：

5.课内深化，提升能力

比较下列各题两式的大小：

6.回顾联系，形成结构

想一想：本节课学了哪些知识？有哪些性质？在运用性质时应注意什么？

（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知