04刚体定轴转动习题点评

A
例7、 一长为 l ，质量为 M 的杆可绕支点O自由转动。 自由转动。一 质量为 m ，速度为 v 的子弹射入距支点为 a 的棒内， 的棒内，若 棒偏转角为 30°,问子弹的初速度为多少? 子弹入射过程中角动量守恒 J1ω1 = J 2ω2 解：
o
30°
1 2 2 v 2 ma = Ml + ma ω a 3
2 2 2
O′
ω
0
根据角动量守恒 1 2 l ml + m 2 3
2
1 2 2 ω0 = ml + mx ω 3
O
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l
1 l 2
m
m
三、计算题 1.如图示， 如图示，一质量为M的均匀细棒， 的均匀细棒，长为l，上端可绕水平轴O自 由转动， 由转动，现有一质量为m的子弹， 的子弹，水平摄入其下端A而不穿出， 而不穿出，此 后棒摆到水平位置后又下落。 后棒摆到水平位置后又下落。如不计空气阻力并设m<<M。求（1） 子弹射入棒前的速度为v0；（2）当转到与水平位置的夹角为30度 时，A点的速度及加速度。 点的速度及加速度。 O
二、填空题 1. 一长为l、质量可以忽略的直杆， 质量可以忽略的直杆，两端分别固定有 质量为2m和m的小球， 的小球，杆可绕通过其中心O且与杆垂 直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。 直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。开始杆与水 平方向成某一角度θ，处于静止状态， 处于静止状态，如图所示。 如图所示。释 放后， 放后，杆绕O轴转动， 轴转动，则当杆转到水平位置时， 则当杆转到水平位置时，该系 统所受的合外力矩的大小M = 1 2 mgl，此时该系统角 加速度的大小β= 2 g 3l。 l l 1 M = 2mg − mg = mgl 2m 2 2 2
M = Jβ ⇒ M β= = J 2g = 2 2 3l l l 2mg + mg 2 2
1 2
o
θ
mgl
mg
m
2mg
设沿转轴向内为正方向
2. 半径为R、具有光滑轴的定滑轮边缘绕一细绳， 具有光滑轴的定滑轮边缘绕一细绳，绳的 下端挂一质量为m的物体， 的物体，绳的质量可以忽略， 绳的质量可以忽略，绳与定 滑轮之间无相对滑动， 滑轮之间无相对滑动，若物体下落的加速度为a，则定 滑轮对轴的转动惯量J = m ( g − a ) R 2 a 。 设竖直向下为物体直线运动的正方向； 设竖直向下为物体直线运动的正方向；
R
沿转轴向内为刚体转动的正方向。 沿转轴向内为刚体转动的正方向。
T
mg − T = ma
M = TR = J β
T
⇒J
mg
a = βR
例4 转动定律应用： 转动定律应用：质量 M = 16 kg 、半径 R = 0.15 m 的实心滑轮,一根轻质细绳绕在其上， 一根轻质细绳绕在其上，绳端挂一质量为 m 的物体。 的物体。已知滑轮和绳之间没有相对滑动， 已知滑轮和绳之间没有相对滑动，且滑轮与轴 承之间的摩擦力忽略不计。 承之间的摩擦力忽略不计。求（1）由静止开始 1 秒钟 后，物体下降的距离。（ 物体下降的距离。（2）绳子的张力。 绳子的张力。 以竖直向下方向为物体运动的正方向； 解: 以竖直向下方向为物体运动的正方向； 以垂直于滑轮向外为滑轮转动的正方向 R
A
A
∵m
2
M
∴以上两式简化为 11 2 2 l M Ml ω + − Mg = 0 ⇒ v0 = 23 2 m gl 3
v0 1 2 ml = Ml ω l 3
根据机械能守恒 11 2 2 l 3 gl ′ ′ 0 = Ml ω + − Mg sin 30 ⇒ v A = ω l = 23 2 2
04 刚体定轴转动
——习题点评
一、选择题 1. 某人站在转轴摩擦可忽略不计的转动平台上， 某人站在转轴摩擦可忽略不计的转动平台上，双臂 水平的举着两个哑铃。 水平的举着两个哑铃。当该人把此哑铃水平地收缩到 胸前的过程中， 胸前的过程中，人、平台与哑铃组成的系统有【 平台与哑铃组成的系统有【 C 】
O
•
r⊥
A
E K + EP = 0 1 2 EK = J ω 2 M = Jβ
即角速度从小到大， 即角速度从小到大，角加速度从大到小
mg
3. 两个均质圆盘A和B密度分别为ρA和ρB，若ρA > ρB ，但两圆盘质量与厚度相同， 但两圆盘质量与厚度相同，如两盘对通过盘心 垂直于盘面轴的转动惯量各为JA 和JB ，则[ B ]
1 2 J = mr 2 ρ A > ρ B ⇒ rA < rB ⇒ J A < J B
4. 有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： 有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： (1) 这两个力都平行于轴作用时， 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力 矩一定是零； 矩一定是零； √ (2) 这两个力都垂直于轴作用时， 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力 矩可能是零； 矩可能是零； √ (3) 当这两个力的合力为零时， 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩 也一定是零； 也一定是零； × (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时， 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力 也一定是零。 也一定是零。 × 在上述说法中[ 在上述说法中[ B ] (A)只有 (A)只有(1) 只有(1)是正确的 (1)是正确的。 是正确的。 (B)(1) (B)(1)、 (2)正确， (3)、(4)错误 (4)错误 (1)、(2)正确 正确，(3)、 (C)(1) (C)(1)、 (1)、(2)、 (2)、(3)都正确 (3)都正确， 都正确，(4)错误 (4)错误。 错误。 (D)(1) (D)(1)、 (1)、(2)、 (2)、(3)、 (3)、(4)都正确 (4)都正确。 都正确。
5. 关于力矩有以下几种说法： 关于力矩有以下几种说法： √ (1) 对某个定轴而言， 对某个定轴而言，内力矩不会改变刚体的角动量。 内力矩不会改变刚体的角动量。 √ (2) 作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零。 作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零。 (3) 质量相等、 质量相等、形状和大小不同的两个物体， 形状和大小不同的两个物体，在相同力 矩的作用下， 矩的作用下，它们的角加速度一定相等。 它们的角加速度一定相等。× 在上述说法中[ 在上述说法中[ B ] (A) 只有(2) 只有(2)是正确的 (2)是正确的； 是正确的； (B) (1)、 (1)、(2)是正确的 (2)是正确的； 是正确的； (C) (2)、 (2)、(3)是正确的 (3)是正确的； 是正确的； (D) (1)、 (1)、(2)、 (2)、(3)都是正确的 (3)都是正确的。 都是正确的。 平行于转轴的力和作用线通过转轴的力， 平行于转轴的力和作用线通过转轴的力，相对于该转 轴的力矩必然为零！ 轴的力矩必然为零！
机械能： 机械能： 不守恒 角动量： 角动量： 守恒
2. 均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固 定光滑轴转动， 定光滑轴转动，如图所示。 如图所示。今使棒从水平位置由静止 开始自由下落， 开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中， 在棒摆动到竖直位置的过程中，下述 说法哪一种是正确的[ A ] 整个过程机械能守恒 取水平位置为势能零点
速度的方向垂直于OA。
l 1 2 3 3g ∵ M = J β ∴ Mg cos 30 = Ml β ⇒ β = 2 3 4l
v 2 3g an = = l 2
2 2
3 3g aτ = l β = 4
A O 30° A
3 a = an + aτ = 7g 4 aτ 3 arctan α = = a 7
子弹随杆上摆过程中： 子弹随杆上摆过程中：机械能守恒 O点所在位置为重力势能零点
l a v
11 l l 2 2 2 M l + ma ω − mga − Mg = − mga cos 30° − Mg cos 30° 23 2 2
⇒v
2.如图所示， 如图所示，一半径为R的匀质小木球固结在一长度为l 的匀质细棒下端， 的匀质细棒下端，且可绕水平光滑固定轴O转动， 转动，今有 一质量为m、速度为v0的子弹， 的子弹，沿着与水平面成α角的 方向射向球心， 方向射向球心，且嵌于球心。 且嵌于球心。已知小木球、 已知小木球、细棒对通 过O水平轴的转动惯量的总和为J。求子弹嵌入球心后 的系统的共同角速度。 的系统的共同角速度。
mg − T = ma
1 2 TR = J β = MR β 2
T T
'
M
m
a = Rβ
mg
3. 在一水平放置的质量为m、长度为l的均匀细杆 上，套着一个质量也为m的套管B(可看作质点)，套 管用细线拉住， 管用细线拉住，它到竖直的光滑固定轴OO′的距离 为l/2，杆和套管所组成的系统以角速度绕OO′轴转 动，如图所示。 如图所示。若在转动过程中细线被拉断， 若在转动过程中细线被拉断，套管 将沿着杆滑动。 将沿着杆滑动。在套管滑动过程中， 在套管滑动过程中，该系统转动的 7l 角速度与套管轴的距离x的函数关系为 。 2 12 x + 4l 1 (已知杆本身对OO′轴的转动惯量为 3 ml )
(1) 入射过程中子弹与细棒组成的系统角动量守恒
子弹相对转轴的转动惯量J = ml 2 v0 2 1 2 = ml + Ml ω l 3 细棒上升的过程机械能守恒，以水平位置为重力势能零点 ml 2
1 2 1 2 2 l ml Ml Mg mgl + ω + − − =0 2 3 2
O
根据角动量守恒
2 mv0 cos α ( l + R ) = m ( l + R ) + J ω mv0 cos α ( l + R ) ⇒ω = 2 m (l + R ) + J
l α
R