奥赛组合数学1

组合问题

组合问题主要分三个方面讲解：知识篇、方法篇和问题篇。

知识篇：计数原理和计数公式、抽屉原理和平均均值原理、母函数、递推数列。 方法篇：分类和分布、对应方法、算二次方法、递推方法、染色和赋值方法、反证法和利用极端原理、局部调整方法、构造法。

问题篇：组合计数问题、存在性问题及组合中的不等式证明、组合最值问题。

无重复的排列：从n 个不同元素中取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，因为这个排列中无重复元素，故又叫无重复排列。 记为：)!(!)1()2)(1(m n n m n n n n A m n -=

+---= ，其中m ≤n ，并约定0！=1，特别当m=n 时，

!n A n n =。 无重复的组合：从n 个不同元素中取m （m ≤n ）个不同的元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。因为这个组合中无重复元素，故又叫做无重复的组合。

记为：m m m n m n A A C ==)!

(!!m n m n - 例1：由1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字，并且大于21300的正整数？

一、 可重复的排列和组合

无重复的排列：从n 个不同元素中取m 个元素（同一个元素允许重复取），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的可重复排列，这种排列的个数为m n 。用乘法原理证明。

可重复组合：从n 个不同元素中取m 个元素（同一个元素允许重复取），并成一组，叫做从

n 个不同元素中取出m 个元素的可重复组合，这种组合的个数为m m n C 1-+。

不全相异元素的全排列：如果n 个元素中，分别有k n n n ,,21个元素相同，且n n n n k =++ 21，则这n 个元素的全排列称为不全相异元素的全排列，个数记为

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n n n n 21=!!!!21k

n n n n

例2、将3面红旗、4面蓝旗、2面黄旗依次悬挂在旗杆上，问可以组成多少种不同的标志？

多组组合：把n 个相异元素分成k （k ≤n ）个不同的组合，其中第i 组有i n 个元素（,,,2,1k i =n n n n k =++ 21），则不同的分组方法的种数为

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n n n n 21=!!!!21k

n n n n 。

公式相同，但意义不同。

例3从n （n>5）名乒乓球选手中选拔出3对选手准备参加双打比赛，问共有多少种不同的方法？

二、 相异元素的圆排列和项链数

圆排列：将n 个不同元素不分首尾排成一圈，称为n 个相异元素的圆排列，其中排列种数为)!1(-n 。

项链数：将n 个不同的珠子用线串成一副项链，则得到的不同项链数当n=1或2时为1，当3≥n 时，项链数应为对应的圆排列数的一半，即为)!1(2

1-n 。 例4、6位女同学和15位男同学围成一圈跳集体舞，要求每两名女同学之间至少有两名男同学，那么共有多少种不同的围圈跳舞的方法？

三、 一类不定方程的非负整数解的个数

不定方程),(21+∈=+++N n m n x x x n 的非负整数解),,,(21m x x x 的个数为11--+m m n C 。

例5、求各位数字之和等于11的3位数的个数。

四、 容斥原理

容斥原理：设n A A A ,,,21 为有限集合，用|i A |表示集合i A 中的元素个数，那么 +-⋂⋂+⋂-=⋃⋃⋃∑∑∑≤<<≤≤<≤= ||||||||11121k n k j i j i n j i j i

n i i m A A A A A A A A A

||)1(211n n A A A ⋂⋂⋂-- 。

逐步淘汰原理（筛法公式）设S 是有限集合，),,,2,1(n i S A i =⊂i A 在S 中的补集为),,2,1(n i A C i s = 则

=

⋂⋂⋂||21n s s s A C A C A C |

|)1(||||

||||21111n n k n k j i j i n j i j i n i i A A A A A A A A A S ⋂⋂⋂-++⋂⋂-⋂+-∑∑∑≤≤≤≤≤≤≤= 例6、在小于1000的正整数中，既不被5整除，又不被7整除的数有多少个？（第四届莫斯科奥林匹克试题）

例7（伯努利装错信笺问题）有n 封不同的信和n 个配套的写有收信人地址的信封，现将n 封信一对一地套入到n 个信封中去，结果发现没有一封信对，问有多少种不同的套法。 注：本例通常又称为乱序排列问题，所谓乱序排列问题指的是：将n 个不同的元素重新排列，使每个元素都不在原来的位置上。

置换及其不动点 给定集合X={1,2，···，n},ϕ是从X 到X 上的一一映射，通

常记为 ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=)()2()1(21n n ϕϕϕϕ ，则称ϕ是X 上的置换，其中ϕ（i ）是元

素i 在映射ϕ下的象。因为是一一映射，所以)(,),2(),1(n ϕϕϕ 实际上是1,2，···,n 。的一个排列。满足i i =)(ϕ的数i 称为ϕ的一个不动点，由上例立即可得下列结论：

推论：集合X={1,2，···，n }上没有任何不动点的置换ϕ的个数是

)!

)1(!31!21!111(!n n D n

n -++-+-=

例8、设ϕ是集合X={1,2，···，n }上的置换，将X 上没有不动点的置换个数记为

n f ，恰有一个不动点的置换个数记为n g ，证明：1||=-n n g f 。

（15届加拿大数学奥林匹克试题）

例9、从全体正整数1，2，3，···，中划去3和4的倍数，但其中凡是5的倍数都保留（例如15,20,60，···等都保留），划完后，将剩下的数从小到大排成一个数列：,,10,7,5,2,154321 =====a a a a a 求2005a 之值。

例10 、把n 个不同的球放入)(r n r ≥个盒子中去，每盒内的球数不限，求下列情况下无空盒的放法种数：

（1）r 个盒子互不相同（可辨）

（2）r 个盒子相同（不可辨）

平均值原理 （1）设n a a a ,,,21 是实数，)(121n a a a n A +++=

，则n a a a ,,,21 中必有一个数不小于A ，也有一个数不大于A ；

（2）设n a a a ,,,21 是正实数，n n a a a G 21=，则n a a a ,,,21 中必有一个数不小于G ，也有一个数不大于G 。

例11、将10个数1,2,3，···，10按任意顺序排列成一个圆圈，证明：其中必有连续相邻的3个数之和不小于18.