2.3刹车距离与二次函数
2.3 刹车距离与二次函数(含答案)-
2.3 刹车距离与二次函数一、填空题:1.抛物线y=-3x2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____点,所以函数有最________值是_____.2.抛物线y=4x2-1与y轴的交点坐标是_________,与x轴的交点坐标是_____.3.把抛物线y=x2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______.4.抛物线y=4x2-3是将抛物线y=4x2,向_____平移______个单位得到的.5.抛物线y=ax2-1的图像经过(4,-5),则a=_________.二、解答题:6.求符合下列条件的抛物线y=ax2-1的函数关系式:(1)通过点(-3,2);(2)与y=12x2的开口大小相同,方向相反;(3)当x的值由0增加到2时,函数值减少4.7.一台机器原价60万元,如果每年的折旧率是x,两年后这台机器的价位约为y万元,求y与x的函数关系式.8.已知抛物线y=mx2+n向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x2-1,求m,n 的值.9.如图,是一座抛物线形拱桥,水位在AB 位置时,水面宽,水位上升3米达到警戒线MN 位置时 ,水面宽,某年发洪水,水位以每小时0.25米的速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?10.在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,BC=x,AD=y,AB=1,求y 与x 间的函数关系.DBCA11.有一块铁皮,拱形边缘呈抛物线状,MN=4分米,抛物线顶点处到边MN 的距离是4分米,要在铁皮下截下一矩形ABCD,使矩形顶点B,C 落在边MN 上,A,D 落在抛物线上, 像这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米?(提示:以MN 所在的直线为x 轴建立适当的直角坐标系)BND M C A12.图(1)是棱长为a的小正方体,图(2)、图(3)这样的小正方体摆放而成,按照这样的方法继续摆放,自上而下分别叫第一层、第二层……第n层,第n层的小正方体的个数记为s,解答下列问题:(1)按要求填表:(2)写出n=10时(3)根据上表中的数据,把s作为点的纵坐标,n作为点的横坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点.(4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图像上吗?如果在某一函数的图像上, 求s与n间的关系.(1)(2)(3)13.如图,AB是高为1.46米的窗户(窗户朝南),该窗户的遮阳篷呈抛物线形, 在图中坐标系内的表达式为y=-x2+0.25. 已知该地一年中冬至日正午时刻太阳光线与地面的夹角最小为α,夏至日正午时刻太阳光线与地面的夹角最大为β,且β=73°30′. 若该遮阳篷使冬至日正午时刻太阳光线刚好全部射入室内, 夏至日正午时刻太阳光刚好全部不射入室内.求α的度数及遮阳篷顶部到窗户上沿的距离.ODβαxBCyA答案:1.下 y轴 (0,5) 高大 52.(0,-1)1,02⎛⎫-⎪⎝⎭和1,02⎛⎫⎪⎝⎭3.y=x2+34.下,35.1 4 -6.(1)2=a×(-3)2-1,9a=3,a=13,故y=13x2-1;(2)由已知得a=12-,故y=12-x2-1;(3)当x=0时,y=-1;当x=2时,y=a×22-1.故a×22-1=-5,a=-1,即y=-x2-1.7.y=60(1-x)8.将y=mx2+n向下平移2个单位,得到y=mx2+n-2,故由已知可得m=3,n-2=-1,从而m=3,n=1.9.以AB为x轴,对称轴为y轴建立直角坐标系,设抛物线的代数表达式为y=ax2+ c.则B点坐标为(2,0),N点坐标为,3),故0=24a+c,3=12a+c,解得a=-14,c=6,即y= -14x2+6.其顶点为(0,6),(6-3)÷0.25=12小时. 10.由已知可得△BCD∽△BAC,故BC BD AB BC=,即BC2=AB·BD,由BC=x,AB=1,BD=1-y 得1-y= x2,y=-x2+1. 11.以MN为x轴、对称轴为y轴,建立直角坐标系,则N点坐标为(2,0), 顶点坐标为(0,4).设y=ax2+c,则c=4,0=4a+4,a=-1,故y=-x2+4.设B点坐标为(x,0),c点坐标为( -x,0), 则A点坐标为(x,-x2+4),D点坐标为(-x,-x2+4).故BC=AD=2x,AB=CD=-x2+4.周长为4x+2(-x2+4).从而有-2x2+8+4x=8,-x2+2x=0,得x1=0,x2=2.当x=0时,BC=0;当x=2时,AB=-x2+4=0.故铁皮的周长不可能等于8分米.12.(1)6 10 (2)55 (3)略(4)S=12n2+12n.13. 由y=0,得-x2+0.25=0,得x=0.5(舍负),故OD=0.5(米).在Rt△AOD中,AO=OD·tan∠ADO=0.5tanβ=0.5×tan73°30′≈1.69.又AB=1.46,故OB≈0.23米.在Rt△BOD中,tan∠BDO=0.230.5BOOD==0.46,故∠BDO≈24°42′.即α=24°42′.令x=0,得y=0.25,故OC= 0.25,从而BC=0.25+0.23=0.48米.。
广东省佛山市顺德区文田中学九年级数学下册 2.3刹车距离与二次函数导学案(无答案) 北师大版
2.3 刹车距离与二次函数 导学案【学习目标】1、 会作出y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象，并能比较它们与y=x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响2、 能说出y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象开口方向、对称轴和顶点坐标【学习重点】二次函数y=ax 2、y=ax 2＋c 的图象和性质【学习难点】由函数图象概括出y=ax 2、y=ax 2＋c 的性质． 【课前自学】1、 二次函数y= x 2 与y=- x 2的性质： 2、在同一坐标系中作二次函数y=x 2和y=2x 2的图象 (2)在直角坐标系（表一）中描点：(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y ＝x 2和y=2x 2的图象．相同点：不同点：归纳：二次函数y=ax 2图象的开口大小与 有关，若|a|越大，函数图象开口越 ，函数值的增长速度越 。
【新课学习】 探究：认识和理解二次函数y=2x 2、y=2x 2+1和y=2x 2-1的性质X1、在同一平面内画出函数y=2x2、y=2x 2+1和y=2x 2-1的图象。
(2)在直角坐标系（表二）中描点：(3)用光滑的曲线连接各点， 便得到函数y=2x 2、y=2x 2+1和y=2x 2-1的图象．2222归纳：当c ＞0时，把y=ax 2（a ≠0）的图象向 平移 个单位得到y=ax 2＋c （a ≠0，c ≠0）的图象，它的顶点坐标是 。
当c ＜0时，把y=ax 2（a ≠0）的图象向 平移 个单位得到y=ax 2＋c （a ≠0，c ≠0）的图象，它的顶点坐标是 。
【巩固练习】1、y=2x 2-3的图象可以看成函数y=2x 2的图象向 平移 个单位2、函数y=- x 2+2开口向 ，顶点坐标是 , 当x= 时，y 有最 值，y=4、把y ＝x 2的图象向下平移2个单位得到的图象是函数y= 的图象。
5、将y=-2x 2+1的图像向下平移1个单位，将得到函数y= 的图象 【课堂小结】这节课你学到了什么? 【课后作业】同步伴读Ｐ1012.3 刹车距离与二次函数 当堂训练1、下列各组函数中，开口方向、对称轴和顶点坐标都相同的是（ ） A 、y=2x 2和y=-2x 2B 、y=2x 2和y=x 2C 、y=2x 2 和y=-21x 2 D 、y=2x 2 和y=x 2+1 2、对于二次函数y=-x 2+1,开口向 ，顶点坐标是 。
河南省郑州市第八十四中学九年级数学下册《2.3 刹车距离与二次函数》学案（无答案） 北师大版
《2.3 刹车距离与二次函数》学案学习目标:1.通过实例会用描点法画出二次函数的图象。
2．通过图象了解二次函数的性质。
学习过程:一．复习巩固：二次函数y=x 2 与y=-x 2的性质：抛物线 y=x 2 y=-x 2 对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性 最值二、探究新知：1．问题引入：完成课本p47—48页 2．动手操作、探究：在同一平面内画出函数y=2x 2与y=2x 2+1的图象。
比较它们的性质，你可以得到什么结论？抛物线 y=ax 2y=ax 2+k对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性 最值3．例题讲解：在同一坐标系中，作出函数①y=－3x 2，②y=3x 2，③y=21x 2，④y=－21x 2的图象，并根据图象回答问题：（1）当x=2时，y=21x 2比y=3x 2大（或小）多少？（2）当x=－2时，y=－21x 2比y=－3x 2大（或小）多少？三．课堂练习：1．已知直线y=－2x ＋3与抛物线y=ax 2相交于A 、B 两点，且A 点坐标为（－3，m ）． （1）求a 、m 的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x 取何值时，二次函数y=a x 2中的y 随x 的增大而减小； （4）求A 、B 两点及二次函数y=ax 2的顶点构成的三角形的面积．2．有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．3．请写出两个只有顶点不同的二次函数表达式 。
4．请写出两个只有开口方向不同的二次函数表达式 。
四：课后小结：五：课后作业：P49习题2.3第1题 六：课后反思：。
2.3刹车距离与二次函数
0.25.
-1
-0.75.
-0.5. -0.25
0.
0.25.
0.5.
0.75.
1
x
-0.25. -0. 5. -0.75. -1.
y=3x2-1
二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？
当c > 0 时，二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象向上平移 ︱c︱个单位得到. 当c < 0 时，二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象向下平移︱c︱个单位得到.
顶点坐标
对称轴 位置 开口方向
y轴 在x轴的上方(除顶点外)
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
增减性 最值
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
刹车距离与二次函数
•汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么因 素有关? 影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的 摩擦系数.有研究表明,晴天在某段公路上行驶时,速度为 v(km／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式(1)确定,
探究y=ax2与y=ax2+c的关系
A、作y=2x2+1的图像
9
y
y=2x2
8 7
B、作y=-2x2-1的图像
函数y=2x2+1的图象是什 么形状? 它的开口方向、对 称轴和顶点坐标分别是什么? 它与y=2x2的图象有什么相 同和不同?
6 5 4 3 2 1
x
-4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
y=2x2+1与y=2x2的比较
二次函数刹车距离与二次函数课件ppt
对未来研究的建议
可以进一步拓展二次函数刹车距离模型，考虑车辆 性能、多种刹车条件、实验数据测量和验证等因素
。
可以研究其他车型和参数对刹车距离的影响，完善 相关理论和实验研究。
可以探讨摩擦力和其他影响因素的定量关系，深 入了解刹车距离与各因素之间的复杂关系。
THANKS
谢谢您的观看
考虑车辆负载和类型
不同车辆的刹车性能和负载情况不同，减速带设计应根据不同车辆类型和负载情况进行调整。
优化减速带设计提高安全性
通过实验和数据分析，优化减速带设计，提高车辆的刹车性能和安全性。
实际应用案例分析
某高速公路减速带设计
通过实地调查和实验，设计出一款符合该高速公路实际情况 的减速带，有效减少了交通事故的发生。
二次函数定义
二次函数是一种数学函数，表达式为y = ax^2 + bx + c (a≠0)。
它描述了一个曲线，通过给定的三个参数，可以表达一个曲 线运动或描绘出一个几何形状。
二次函数公式
标准形式
y = ax^2 + bx + c
顶点式
y = a(x-h)^2 + k
两根式
y = a(x-x1)(x-x2)
二次函数图像及性质
1
二次函数的图像是一个抛物线，其形状由参数a 、b、c决定。
2
根据a的符号，抛物线开口方向向上或向下。
3
b和c分别决定了抛物线的对称轴位置和顶点系分析
刹车距离概念及计算公式
刹车距离定义
刹车距离是指汽车在行驶过程中，从开始刹车到停止所需的 距离。
、财产损失和生产力损失等。
保障人身安全
02
交通安全事关人的生命安全，减少交通事故的发生可以降低人
§2.3 刹车距离与二次函数2
80
72 64
48
36 32
相同点: 开口方向 16
不同点: 形状
0
20
40
顶点
60
S=510 v2
1 S= 100
v2
这两个二 次函数图 像有什么 相同和不
同？
增减性
v速度(公里/小时)
80
100
函数y=2x2的图 象是什么形状? 它与y=x2的图 象有什么相同和 不同?它的开口 方向对称轴和顶 点坐标分别是什 么?
说出y=ax2和y=ax2+c的图象的 开口方向、对称轴和顶点坐标.以 及他们之间的联系.
二次函数y=ax²+c与y=ax²的关系
1.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减
汽车刹车时向前滑行的距离称为刹车距离
那么刹车距离与什么因素有关？
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速 度及路面的摩擦系数
有研究表明.汽车在某段公路上行驶时.速度为 v(km/h)汽车的刹车距离s(m)可以由公式：
晴天时：s=
1 v2 100
雨天时：s= 1 v2 50
S距离(米)
128 如果行车速度是60km/h, 112 那么在雨天行驶和在晴
向下
在x 轴的下方（除顶点外）
如图所示
当x=0时，最大值为0
由二次函数y=x2和y=-x2知：
1.抛物线y=ax2的顶点是原点(0,0),对称轴是y轴. 2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶
九下2.3 刹车距离与二次函数导学案
2．3 刹车距离与二次函数教学目标：1．会作出y=ax 2和y=ax 2＋c 的图象，并能比较它们与y=x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响．2．能说出y=ax 2＋c 与y=ax 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．知识回顾：1．比较二次函数2ax y =与2ax y -=的性质：新知探究：2、下面直角坐标系中，已给出了y ＝2x 2的图像，请你在同一直角坐标系内作出函数y ＝2x 2+1 、函数y ＝2x 2-1的图象．并比较它们的性质．3、小结：（2）. y ＝ax 2+c 的图象可以看成y=ax 2的图象整体上下移动得到的，当c>0时, 向 平移 个单位，当c<0时，向 移动 个单位。
4、刹车距离与二次函数的关系．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v(km ／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s ＝1001v 2确定，雨天行驶时，这一公式为s ＝501v 2． （1）下图的坐标系中是s ＝1001v 2的图象，根据画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一直角坐标系内作出函数s=501v 2的图象．（2）、如果车速是60km/h ，那么在雨天和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？你是怎么知道的？课后反馈一、填空题：1. 二次函数y = ax 2的图象是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当a<0时，在对称轴 侧，y 随x 的增大而减小；2、二次函数y=5x 2的图像是 ，它的开口方向 、对称轴 ，顶点坐标 ,最值 ，增减性：在对称抽左侧 ，在对称轴右侧 。
3、二次函数y=-5x 2-5的图像是 ，它的开口方向 、对称轴 ，顶点坐标最值 ，增减性：在对称抽左侧 ，在对称轴右侧 。
4. 若点P （m ，4）是抛物线y = 12x 2上的一点，则m = ； 5. 抛物线y=-3x 2+2可以看成是由抛物线y=-3x 2-4向 平移 个单位得到的. 6. 抛物线y=－4x 2－4，当x= 时，y 有最 值，此时y= ．7. 将函数y=2x 2+4的图象沿x 轴对折,得到图象的函数解析式为 .8、写出两个开口向上，对称轴是y 轴，最值是y=-8的二次函数关系式 。
2.3 刹车距离与二次函数
1
3、S晴= 100V2 和 S雨= 50V2 的图象有
什么相同和不同？
相同：位置，增减性；
不同：函数值增长的速度
1 S(m) S雨＝ 50 V2
试试看，你能做出 S雨=
1
50 V2
112
的图象吗？
96 80
S晴＝1100 V2
64
48
v
0 20 40 60 80 100
32
0 16
S晴= 1100V2
1
50 V2
S晴＝1100 V2 的图象吗？
80
V为什么不取负数？
64 48
v
0 20 40 60 80 100
32
S晴=1100V2 0 4 16 36 64 100
1--- 0 16
1
0 20 40 60 80 100 120 V(kmS/h雨) =50V2
8 32 72 128 200
（1）
1
• （3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的 图像上时， ABCD的面积是否存在最大值和最小值？
若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的 面积；若不存在，请说明理由。
例题讲解
1.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向平 __下_ 移 个1 单位.
2.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图 象的函数解析式为__y_=_-_3_x_2-.2
1.小组合作完成49页---议一议
自学检测（三） 2分钟
画一画
1.二次函数y=2x2+1、 y=2x2-1与二次函数y=2x2的 图象有什么相同与不同？
x
y=2x2
y=2x2+1 y=2x2-1
二次函数学案、练案(无答案)_北师大版
重、难点：二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质
一、复习
1．填表
抛物线
图象
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性
最值
2、函数若点（a，4）在y=x2的图象上，则a的值是．
3.如图，A、B分别为 上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=8，则点A的坐标为为
点B的坐标为.
3、公式中v的取值范围是什么？
做一做：请在同一坐标系内分别画出这两个函数的图像：
议一议：
1、 和 的图象有什么相同与不同？
相同点：
不同点：
2、如果行车速度是60km/h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？你是怎么知道的？
探究二：二次函数 图象性质
1、在同一坐标系作二次函数y＝2x2和y=-2x2的图象.(1)完成下表：
练案
1.抛物线y=x2-9的开口方向;对称轴是;顶点A的坐标是;若抛物线与x轴交于B﹑C两点,则△ABC的面积为.
2.抛物线y=-3x2+2可以看成是由抛物线y=-3x2-4向平移个单位得到的.
3.已知抛物线y=ax2-3经过点A(1,1),当y=9时,
x的值是.
4.抛物线y=－4x2－4，当x=时，y有最值，此时y=．
二、自主探究：
探究一：刹车距离与二次函数的关系
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v(km／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s＝ v2确定，雨天行驶时，这一公式为s＝ v2．
想一想：1、刹车距离s与速度v之间的关系是二次函数吗?
2、与一上节课中学习的二次函数y＝x2和y＝-x2有什么不同吗?
2.3刹车距离与二次函数
y=2x2
二次函数y=2x2+1的图象是什 么形状?它与二次函数y=2x2的图 象有什么相同和不同?ห้องสมุดไป่ตู้从开口方
向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值 来分析）
不同点：顶点坐标不同；最值也不同. 思考：二次函数y=2x²+1的图象与二 次函数y=2x²的图象有什么关系? 想一想:在同一坐标系中作二次函数 y=-2x2+1和y=-2x2的图象,会是什么 样?
议一议
在同一坐标系中作出二次函数 y=2x²+1的图象与二次函数 y=2x²的图象.
x y=2x2 y=2x2+1 -3 -2 -1 8 9 2 3 0 0 1 1 2 3 2 8 9 3
y
y= 2x2+1
9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
相同点：因为a相等且大于0， 所以开口方向一样，开口大小 也一样；对称轴都是y轴(x=0)； 增减性相同.
议一议
在同一坐标系中作出二次函数 y=3x²-1的图象与二次函数 y=3x²的图象.
x y=3x2 y=3x2-1 -3 -2 -1 0 0 1 3 2 12 11 3 12 3 11 2
y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 O -1
2.3 刹车距离与二次函数
函数y=ax2(a>0)和y=ax2(a<0)的图象的性质
表达式 开口 对称轴 顶点 最值 y随x的变化情况
x< 0
x> 0
y= ax2 (a>0)
y= ax2 (a<0)
联系
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质的进一步探讨
刹车距离与二次函数
函数
2 x y=x²
y=-x²
图象形状 开口方向 对称轴
顶点 坐标
抛物线 向上 y轴 (O,0)
抛物线 向下 y轴 (O,O)
y=-x2
•你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗?
•汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么 因素有关?
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路
面的摩擦系数.有研究表明,晴天在某段公路上行驶
7
1
-1
1
7
y
8
6 4
2
-4 -2 0 2 4 x
-2
二次函数y=-3x2+1 , y=-3x2-1 的图象与二次函
2
2
数y=-3x2 的图象有什么关系？
你能肯定吗？
解析：
二次函数y=-3x2+1 ,由二次函数y=-3x2的图象向 2
上平移 1 个单位 2
二次函数y=-3x2+1 ,由二次函数y=-3x2的图象向 2
(2)二者都位于y轴的左侧.
(2)的s比(1)中的S增长速度快 .
(3)函数值都随y值的增大而增大
.
2.如果行车速度是60km/h，那么在雨天行驶和在晴天行 驶相比刹车距离相差多少米？你是怎么知道的？
解析：如图S=S雨-S晴
S(m)
1
112 S雨＝ 50 V2
=162 0162 03m 6 50 100
y=2x2 y 10
y=x2
8
6
4
2
-4
-2
0
2x
随着 ︱a︱的增大，开口将越来越小 y=-x2
y=-2x2
请你总结二次函数y=ax2的图象和性质.
初中数学知识点精讲精析 刹车距离与二次函数
2·3刹车距离与二次函数
10050
比较x= 1001v 2和s ＝50
1v 2的图象 相同点： (1)它们都是抛物线的一部分
(2)二者都位于s 轴的左侧．
(3)函数值都随v 值的增大而增大．
不同点： (1)s=
50
1 v 2的图象在s= 1001 v 2的图象的内侧． (2)s= 501v 2的s 比s ＝ 1001 v 2中的S 增长速度快． 3.y=2x 2的图象与二次函数y ＝x 2
的图象的相同点与不同点：
相同点：开口方向相同，都向上．对称轴都是y 轴． 顶点都是原点，坐标为(0，0)． 在y 轴左侧，都是y 值随x 值的增大而减小；在y 轴右侧，都是y 值随x 值的增大而增大．都有最低点，即原点．函数都有最小值．
不同点：y ＝2x 2的图象在y ＝x 2的图象的内侧．y ＝2x 2中函数值的增长速度较快．
4. y ＝ax 2与y=ax 2+c 的图象比较：
y ＝ax 2与y=ax 2+c 的图象形状相同，开口方向相同，对称轴也相同，只是顶点不同，函
数的最大值或最小值不同．y＝ax2+c的图象可以看成y=ax2的图象整体上下移动得到的，当c>O时,向上移动│c│个单位，当c<0时，向下移动│c│个单位．
1．某涵洞是抛物线形,它的截面如图所示.现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点C到水面的距离为2.4m.在图中直角坐标系内.求涵洞所在抛物线的函数解析式.
【解析】
设涵洞所在抛物线的函数解析式为y=ax2+2.4根据题意有A(-0.8,0)
B(0.8,0)
将x=0.8, y=0 代入y=ax2+2.4得
0=0.64a+2.4
∴a=-
∴所在抛物线的函数解析式为
y=-x2+2.4。
刹车距离与二次函数
2x y§2.3 刹车距离与二次函数(1)学习目标：1、经历探索二次函数y=a x 2和y=a x 2＋c 的图象的作法和性质的过程2、会作出y=a x 2和y=a x 2＋c 的图象，并能比较它们与y= x 2的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响3、能说出y=a x 2＋c 与y=a x 2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 学习重点：二次函数y=a x 2、y=a x 2＋c 的图象和性质 学习过程：一、 复习旧知，温故知新二次函数y=x 2 与y=－x 2的性质： 二、创设情境，引入新知二次函数是否只有y ＝x 2与y ＝－x 2这两种呢?有没有其他形式的二次函数？ 它们的函数图象又是怎样的呢？ 三、合作探究，发现新知1、在同一坐标系中作二次函数y=x2、y=2x 2 和y=4x 2的图象，并分析它的特征。
(1)列表：x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x 2 … 9 41149… y=2x 2 … … y=4x 2 ……(2)在直角坐标系（右图）中描点，(3)用光滑的曲线连接各点，得到函数y ＝x 2，y=2x 2和y=4x 2的图象，分析它的相同点与不同点相同点：它们的图象都是一条 ，开口都向 ，对称轴都是 ，顶点坐标都是 ，增减性规律都一致，函数都有最 值，当x ＝0时，y 最小= 。
不同点：函数图象开口大小不同，|a|越大，函数图象开口越 ,函数值的增长速度越 。
【小结】：二次函数y=ax 2（a ＞0）图象抛物线 y=x 2 y=－x 2对称轴 顶点坐标 开口方向 位置 增减性 最值的开口大小与 有关。
若|a|越大，函数图象开口越 ,函数值的增长速度越 。
2、类比y=x 2与y ＝－x 2图象性质的联系，试一试不画出二次函数y=－x 2、y=－2x 2 和y=－4x 2的图象，分析它的特征。
相同点：它们的图象都是一条 ，开口都向 ，对称轴都是 ，顶点坐标都是 ，增减性规律都一致，函数都有最 值，当x ＝0时，y 最大= 。
九下23刹车距离与二次函数
课题 第二章 刹车距离与二次函数执教人：枣庄市实验学校 岳德凤课型：新授课授课时间：2013 年 12 月 20 日 星期五 第 1 节课教学目标：1．能作出 y＝ax2 和 y＝ax2＋c 的图象．并研究它们的性质． 2．比较 y＝ax2 和 y＝ax2＋c 的图象与 y＝x2 的异同．理解 a 与 c 对二次函数图象的影 响． 3．经历探索二次函数 y＝ax2 和 y＝ax2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将 表格、表达式、图象三者联系起来的经验． 4．通过比较 y＝ax2，y＝ax2＋c 与 y＝x2 的图象和性质的比较，培养学生的比较、鉴别 能力．教学重点：y ax2 和 y ax2 c 图象的作法和性质.教学难点：能够比较 y ax2 、 y ax2 和 y ax2 c 的图象的异同，理解 a 与 c 对二次函数图象的影响.教学方法：合作探究，对比总结.教 具准备：课件，多媒体教学过程:第一环节 创设情境 师:我们已经学习了二次函数的定义，会画函数 y＝x2 与 y＝－x2 的图象，知道它们的图象是（），并且还研究了抛物线的有关性质．如 y＝x2 图象开口（ ），有最（ ）对称轴是（ ），顶点坐标是（ ）y 随 x 的增大而如何变化（ ）．生齐答：抛物线，向上，低点，y 轴，原点，在对称轴的左侧 y 值随 x 值的增大而减小；在对称轴轴右侧，y 值随 x 值的增大而增大．（师注意观察每一个学生回答的情况）（学生的 状态很好，对前面学的知识掌握的不错）（有一个学生举手，师示意他起立）生：学生状态很好，积极踊跃. 生：老师我想说说函数 y＝－ x 2 的图像和有关性质. 师：你这么积极，你就说吧！ 生：老师你画一个二次函数 y＝-x2 草图，y＝-x2 图象开口向下，有最高点，对称轴是 y 轴，顶点坐标是原点，（我按照学生说的二次函数 y＝-x2 的特点画了草图，学生说 y 随 x 的变化情况更喜欢看着图像来说，因为图像更直观）在对称轴的左侧 y 值随 x 值的增大而增 大；在对称轴轴右侧，y 值随 x 值的增大而减小． 师:你说的真好. 师：那么二次函数是否只有 y＝x2 与 y＝－x2 这两种呢？本节课我们继续学习其他形式 的二次函数．引出课题————2.3 刹车距离与二次函数 设计意图：引导学生回忆上节课学的最简单的二次函数，以便引出本节课内容。
2.3刹车距离与二次函数
3.刹车距离与二次函数 3.刹车距离与二次函数
(y=ax2与y=ax2+c图象和性质)
想一想
刹车距离与二次函数
•你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗? •汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么因素有关? 影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数.有研究表明, 速度为v(km／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公 有研究表明, 速度为v(km／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公 式确定: 式确定: 晴天行驶时: 晴天行驶时: 雨天行驶时: 雨天行驶时:
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
独立 作业
知识的升华
P45 习题2.3
1,2题.
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
下课了!
结束寄语
•
一个人只要坚持不懈地 追求,他就能达到目的. 追求,他就能达到目的.
二次项系数为2,开口向上; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=- +1和 想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-2x2+1和 y=- 的图象,会是什么样? y=-2x2的图象,会是什么样?
y 二次函数y=-2x2+1的图象是什么形状? 它与二次函数y=-2x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称轴和顶点坐标 分别是什么? 二次函数y=-2x2+1的 图象形状与y=-2x2 一样,仍是抛物线. 顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1). 位置不同; 最大值不同: 分别是1和0.. y=-2x2+1 y=-2x2 二次项系数为-2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.
《刹车距离与二次函数》二次函数
05 结论
研究总结
01
刹车距离与二次函数的关系
通过数据分析，我们发现刹车距离与二次函数之间存在明显的负相关关
系。当二次函数的系数增加时，刹车距离呈现明显的缩短趋势。
02 03
刹车距离的影响因素
除了二次函数之外，刹车距离还受到其他因素的影响，如车辆性能、驾 驶员反应速度、路面状况等。这些因素在研究中考虑在内，但仍然可能 存在一些未知的影响因素。
点，其方程为x=-b/2a。
开口方向与a的符号有关， a>0时，开口向上；a<0时
，开口向下。
当a、b、c三个值中至少有一 个为0时，函数图像将与x轴平
行。
03 刹车距离与二次函数关系
刹车距离概念
要点一
刹车距离
车辆在行驶过程中，从开始刹车到完全停止所行驶的 距离。
要点二
影响因子
刹车距离受到多种因素的影响，包括车速、路面情况 、车辆性能等。
利用二次函数的最小值公式，我们可 以找到使d最小的t1。这个t1可以用 来调整刹车策略，以使刹车距离最短 。
考虑实际因素的刹车距离计算
实际因素
在实际情况下，车辆刹车还受到路面条件、轮胎摩擦系 数、空气阻力等因素的影响。这些因素需要考虑到刹车 距离的计算中。
考虑实际因素的刹车距离公式
综合考虑各种因素，刹车距离的计算公式变得更加复杂 。需要考虑的变量包括路面条件、轮胎摩擦系数、空气 阻力等。这些变量可以通过实验测量得到，并用于修正 刹车距离的计算公式。
二次函数对刹车距离的影响
车辆性能
车辆性能对刹车距离有显著影响。车辆 的制动系统、轮胎抓地力等都会影响刹 车距离。
VS
路况
路况如湿滑、结冰等都会影响刹车距离， 因为这些条件会降低轮胎的摩擦力。
刹车距离与二次函数
-3 -2 -1 O
1
2 3 x
二次函数 y=2x2-1的图象
与 y=2x2的图象形状相同， 开口方向、对称轴也都相同， 但顶点坐标不同，y=2x2-1 的图象的顶点坐标是（0，1）．
二次函数 y=2x2-1的图象可以 由 y=2x2的图象向下平移一个单 位得到
y=2x2
y= 2x2-1
ห้องสมุดไป่ตู้
想一想,二次函数y=ax2+c和y=ax2的图象有什么关系?
二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？
二次函数y= ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象 当c > 0 时 向上平移|c|个单位得到. 当c < 0 时 向下平移|c|个单位得到.
上正下负
函数
y=ax2
开口方向 a>0时,向上 a<0时,向下
对称轴 y轴 y轴
顶点坐标
（0,0）
位置
开口方向
在x轴的下方( 除顶点外)
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 左增右减 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小 .
增减性
最值 开口大小
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
|a|越大,开口越小.
|a|越小,开口越大.
1. 你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定 距离吗？
汽车刹车时向前滑行的距离称为刹车距离。
2. 刹车距离与什么因素有关？ 影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度
及路面的摩擦系数.
有研究表明:汽车在某段公路上行驶 时，速度为v(km/h)汽车的刹车距离 s(m)可以由公式：
那么刹车距离与什么因素有关？ 1 v2 晴天时：s= 100 雨天时：s= 1 v2 50
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2.3刹车距离与二次函数
知识点一：函数)0(2≠=a ax y 的图像性质
2.函数2
2ax y c ax y =+=与的图象关系
函数2
2
ax y c ax y =+=的图像可由的图象沿Y 轴上下平移得到，当0>c 时，c ax y +=2
的图象由2
ax y =的图象向上平移C 个单位得到；当0<c ，
22ax y c ax y =+=的图像可由 向下平移c 个单位得到。
【例1】把下列各函数的题号标记在图象上
(1) 2
x y -= (2) 22x y = (3) 221x y =
(4) 2
3
1x y -=
注意：a 的绝对值越大，图象开口越窄。
【例2】（1）抛物线23
12-=x y 可由抛物线2
31x y =向 平移 个单位长度得到，它
的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向是 （2）抛物线231x y =
可由抛物线23
1
2-=x y 向 平移 个单位长度得到，它的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向是
D
练习：
1.二次函数0,2
3212
>>-
=x x x y 当时，则其对应的函数值21,y y 的大小关系为 2.抛物线2
2x y =的图象向上平移2个单位后 是 ，对称轴是 ，开口方向是 它的顶点坐标是
3.已知 的图象过点)23,2(-，则当2-=x ，Y 的值为（ ） A
32- B 23- C 4 D 无法确定
4.我们知道2
x 是非负数，即02
≥=x y ，当0=x 时，Y 取最小值为0，同理0)2(2
≥-=x y ，
当=x 时，Y 取最小值为0
5.如图抛物线经过点),3(),,1(),,2(321y C y B y A -三点，则321,,y y y 的大小关系是（ ）
A 321y y y >>
B 231y y y >>
C 123y y y >>
D 312y y y <<
6.函数
的图象与a 的符号相关的是（ ） A 对称轴和顶点坐标 B 对称轴和开口方向 C 最值和开口方向 D 开口方向和顶点坐标 7.函数2
)1(x a y -=，当a 时，它有最高点，当a 时，它有最低点。
8.已知抛物线4
1
)1(2
-
-+=x m x y 的对称轴为Y 轴，则=m 9.将抛物线422--=x y 的图像向上平移4个单位后得到的图像的解析式是 10.若a 是不等于0的实数，对于二次函数2x a y =的图像有如下判断：（1）开口方向向上（2）以Y 轴为对称轴（3）以原点为顶点（4）无论X 为何实数，函数Y 总是非负数，其中判断正确的个数为（ ）个
A 1
B 2
C 3
D 4
知识点二：运用抛物线c ax y +=2的图像及性质解决有关的实际问题
方法规律：合理建立直角坐标系，结合图像，根据线段长短写出点的坐标，再由坐标求相应的线段长。
【例1】某公园草坪的护栏由50段形状相同的抛物线组成，为牢固起见，每段护栏按间距0.4m 加设不锈钢管做成立柱，如下图为了计算不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图2所示的直角坐标系进行计算：（1）求抛物线的函数表达式（2）计算钢管立柱的总长度。
2
ax y =
x
2ax y =
分析：（1）如图所示，由4.044332211=====C C C C C C C C AC ,可知：
).50,0(,5.0),0,1(B BO A 知由=-，由抛物线的对称轴是Y 轴，可设其函数关系式为c ax y +=2。
列方程组可求得c a ,。
（2）由解析式求21,B B 的坐标，从而求2211,C B C B 的
长，即可求出总长。
练习：
1.如图所示，桥拱是一条抛物线的形状，其函数解析式为2
4
1x y -=，当水位线在AB 位置时，水面的宽是12m ，这时水面离桥顶的高度是多少？
2.二次函数2
ax y =的图像经过点),3).(3,2(t （1）求t a ,的值（2）判断点A(-2,3),B(2，-3)是否在该函数图像上。
4
3
21A
y
x
x
3.如图，一抛物线形状的大门，其地面宽度AB=18m ，一同学站在门内，在离门脚B 点1m 远处的D 树立起一根长为1.7m 长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线门上C 处，根据这些条件求大门的高h 。
4.抛物线12
12--
=x y 可由221
x y =经过以下哪种变化得到（ ）
A 顶点平移（0，-1），再绕顶点旋转180°
B 顶点平移（0，1），再绕顶点旋转180°
C 顶点平移（-1，0），再绕顶点旋转180°
D 顶点平移（1，0），再绕顶点旋转180° 5.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线5.35
12
+-=x y 的一部分，如图，若命中篮圈中心，则他离蓝底的距离L 是多少？
6.已知函数c ax y +=2
经过点（-2，-3）和点（1,6）求（1）这个函数表达式 （2）当X 在哪个范围内，函数Y 随X 增大而增大 （3）求这个函数与X 轴，Y 轴的交点坐标
B
A x。