2.示范教案(3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式)

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

整体设计

教学分析

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较si n(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.

2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.

3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.

三维目标

1.在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力.

2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.

3.通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.

重点难点

教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.

教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式，并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用.

思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既可以复习回顾上节所

学公式，又为本节新课作准备.若sinα=55，α∈(0,2π)，cosβ=1010,β∈(0,2

π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C （α-β）很容易求得cos （α-β），但是如果求cos （α+β）的

值就得想法转化为公式C （α-β）的形式来求，此时思路受阻,从而引出新课题，并由此展开联

想探究其他公式.

推进新课

新知探究

提出问题

①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.

②在公式C (α-β)中，角β是任意角，请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β

与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C (α-β)来推导cos(α+β)=?

③分析观察C (α+β)的结构有何特征？

④在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?

⑤公式S (α-β)、S (α+β)的结构特征如何？

⑥对比分析公式C (α-β)、C (α+β)、S (α-β)、S (α+β)，能否推导出ta n(α-β)=?

tan （α+β）=？

⑦分析观察公式T (α-β)、T (α+β)的结构特征如何？

⑧思考如何灵活运用公式解题？

活动：对问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察两角差的余弦公式，

点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角，是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法

呢？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生有的会发

现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β

化成差角α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式C (α-β)上来,这样就很自然地得到

cos(α+β)=cos ［α-(-β)］

=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)

=cosαcosβ-sinαsinβ.

所以有如下公式： cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C (α+β).

对问题②，教师引导学生细心观察公式C (α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角

的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C (α-β)进行记忆，并填空：

cos75°=cos(_________)==__________=___________.

对问题③，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到

两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化，此法让学生课下进行),因此有

sin(α+β)=cos ［

2π-(α+β)］=cos ［(2

π-α)-β］ =cos(2π-α)cosβ+sin(2π-α)sinβ =sinαcosβ+cosαsinβ.

在上述公式中,β用-β代之，则

sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)