7.复数的几何意义-【新】人教A版高中数学必修第二册PPT全文课件
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人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件6：7.1.2 复数的几何意义
7.1.2 复数的 几何意义
[学习目标] 1.能说出复数与复平面内的点、平面向量之间的一一对 应关系； 2.会分析复数的几何意义，记住复数的模的几何意义． [学习重点] 复数的几何意义与复数的模． [学习难点] 复数的几何意义．
要点整合夯基础
知识点一 复平面
[填一填] 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫 做 实轴 ，y 轴叫做 虚轴 ，虚轴上的点(0,0)不对应虚数．
解析：因为 a2＋a＋1＝a＋212＋43>0， －(a2－2a＋3)＝－(a－1)2－2<0， 故复数对应的点在第四象限．
[变式训练 1] (2)已知复数 x2－6x＋5＋(x－2)i 在复平面内 对应的点在第三象限，则实数 x 的取值范围为 (1,2) ．
解析：因为复数 x2－6x＋5＋(x－2)i 在复平面内对应的点在第
解：(1)∵向量O→A对应的复数是 4＋3i， ∴点 A 对应的复数也是 4＋3i， 因此点 A 坐标为(4,3)， ∴点 A 关于实轴的对称点 A1 为(4，－3)， 故向量O→A1对应的复数是 4－3i.
(2)依题意知O→A1＝A→A2，而O→A1＝(4，－3)， 设 A2(x，y)，则有(4，－3)＝(x－4，y－3)， ∴x＝8，y＝0，即 A2(8,0)， ∴点 A2 对应的复数是 8.
[填一填] 一一对应 复平面内的点 Z(a，b) ． 一一对应 平面向量O→Z ．
[答一答] 2．(1)在复平面中，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点是 Z(a，bi)吗？
提示：不是，在复平面中，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对 应的点应该是 Z(a，b)，而不是(a，bi)．
[答一答] 2．(2)复平面中，复数与向量一一对应的前提条件是什么？ 提示：前提条件是复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量O→Z 是以原点 O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为 在复平面内与O→Z相等的向量有无数个．
[学习目标] 1.能说出复数与复平面内的点、平面向量之间的一一对 应关系； 2.会分析复数的几何意义，记住复数的模的几何意义． [学习重点] 复数的几何意义与复数的模． [学习难点] 复数的几何意义．
要点整合夯基础
知识点一 复平面
[填一填] 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫 做 实轴 ，y 轴叫做 虚轴 ，虚轴上的点(0,0)不对应虚数．
解析：因为 a2＋a＋1＝a＋212＋43>0， －(a2－2a＋3)＝－(a－1)2－2<0， 故复数对应的点在第四象限．
[变式训练 1] (2)已知复数 x2－6x＋5＋(x－2)i 在复平面内 对应的点在第三象限，则实数 x 的取值范围为 (1,2) ．
解析：因为复数 x2－6x＋5＋(x－2)i 在复平面内对应的点在第
解：(1)∵向量O→A对应的复数是 4＋3i， ∴点 A 对应的复数也是 4＋3i， 因此点 A 坐标为(4,3)， ∴点 A 关于实轴的对称点 A1 为(4，－3)， 故向量O→A1对应的复数是 4－3i.
(2)依题意知O→A1＝A→A2，而O→A1＝(4，－3)， 设 A2(x，y)，则有(4，－3)＝(x－4，y－3)， ∴x＝8，y＝0，即 A2(8,0)， ∴点 A2 对应的复数是 8.
[填一填] 一一对应 复平面内的点 Z(a，b) ． 一一对应 平面向量O→Z ．
[答一答] 2．(1)在复平面中，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点是 Z(a，bi)吗？
提示：不是，在复平面中，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对 应的点应该是 Z(a，b)，而不是(a，bi)．
[答一答] 2．(2)复平面中，复数与向量一一对应的前提条件是什么？ 提示：前提条件是复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量O→Z 是以原点 O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为 在复平面内与O→Z相等的向量有无数个．
人教A版高中数学必修第二册课件：7.1.2 复数的几何意义
B．线段
C．2 个点
D．2 个圆
【解析】 (1)由题意得 a2＋22< （－2）2＋12，即 a2＋4< 5 (a∈R)，所以－1<a<1. (2)由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0， 即|z|＝3 或|z|＝－1， 因为|z|≥0，所以|z|＝3， 所以复数 z 在复平面内对应点的集合是 1 个圆． 【答案】 (1)A (2)A
1．已知平面直角坐标系中 O 是原点，向量O→A，O→B对应的复数
分别为 2－3i，－3＋2i，那么向量B→A对应的复数是( )
A．－5＋5i
B．5－5i
C．5＋5i
D．－5－5i
解析：选 B.向量O→A，O→B对应的复数分别记作 z1＝2－3i，z2＝ －3＋2i，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量O→A＝(2， －3)，O→B＝(－3，2)． 由向量减法的坐标运算可得向量B→A＝O→A－O→B＝(2＋3，－3－ 2)＝(5，－5)， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量B→A对应的复数是 5－5i.
【解】 (1)若 z 对应的点在实轴上，则有 2a－1＝0，解得 a＝12. (2)若 z 对应的点在第三象限，则有 a22a－－11<<00，，解得－1<a<12. 故 a 的取值范围是－1，12.
[变条件]本例中复数 z 不变，若点 Z 在抛物线 y2＝4x 上，求 a 的值． 解：若 z 对应的点(a2－1，2a－1)在抛物线 y2＝4x 上，则有(2a－1)2 ＝4(a2－1)，即 4a2－4a＋1＝4a2－4，解得 a＝54.
利用复数与点的对应解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数 z＝a＋bi(a，b∈R)可以 用复平面内的点 Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据． (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通 过解方程(组)或不等式(组)求解．
新人教A版高中数学第二册(必修2)课件：7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.两个虚数的和或差可能是实数.( √ )
2.在进行复数的加法运算时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部
相加得虚部.( √ ) 3.复数与复数相加、减后结果只能是实数.( × ) 4.复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.( × )
反思 感悟
复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终 点的向量一一对应的. (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与 终点所对应的复数发生改变.
跟踪训练 2 (1)已知复平面内的向量O→A，A→B对应的复数分别是－2＋i, 3＋2i，则|O→B|＝___1_0__.
B.第二象限 D.第四象限
解析 复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i， 其对应的点为(9,1)，在第一象限.
二、复数加、减法的几何意义
例2 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A， C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.求： (1)A→O对应的复数；
解析 z＝z1－z2＝(3x＋y－4y＋2x)＋(y－4x＋5x＋3y)i＝(5x－3y)＋(x ＋4y)i＝13－2i. ∴5x＋x－43y＝y＝－132， ， 解得xy＝ ＝－ 2，1. ∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解题.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
知识梳理
知识点一 复数加法与减法的运算法则
7-1-2复数的几何意义(课件)——高中数学人教A版(2019)必修第二册
b
OZ : a bi
a
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
我们知道在实数内：a 表示点 A 到原点的距离，同理，我们来思考一下：
z 表示什么？
y
Z : a bi
b
a
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
任务四：类比实数，猜想 z 表示的涵义
z 也表示的是点 Z 到原点的距离，也就是有向线段（向量） OZ 的长度（我们也称作向量的模）
复数集 C 中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系
复数 z a bi(a,b R)
一一对应
有序实数对 ( a, b) 一一对应点 Z (a, b)
复平面中的点 Z (a, b) 是复数 z 的
几何表示
除原点外，
虚轴上的点
都表示纯虚
数.
虚轴
y
b
O
复平面
Z : a bi
实轴
x
实轴上的点都表示实数.
复数 z a bi(a,b R)
一一对应
点 Z (a, b) 一一对应 向量 OZ
向量 OZ 是复数 z 的另一种
y
b
OZ : a bi
几何表示
a
之后我们也将利用复数与向量之间一一对应
的关系，从几何的角度阐述复数的加法与乘
法。至此，复数理论才比较完整和系统地建
立起来了。
x
环节二:一一对应，构建复数几何意义
z a bi(a,b R) 的模，记作 z 或者 a bi ，且 z
a2＋b2
4.共轭复数
两个复数的实部 相同
，虚部互为
互为相反数
叫做互为共轭复数.复数 z 的共轭复数记做
2022-2023学年人教A版必修第二册 7-1-2 复数的几何意义 课件(31张)
(2)位于虚轴上;
(3)位于直线x-y+3=0上.
解复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点的坐标为Z(m2-4m,m2-m6).
0 < < 4,
2 -4 < 0,
(1)点 Z 位于第三象限,则 2
解得
∴0<m<3.
-2 < < 3,
--6 < 0,
(2)点Z位于虚轴上,则m2-4m=0,解得m=0或m=4.
2 --2 < 0,
则 2
解得 m=1,所以 z=-2.
-3 + 2 = 0,
探究点三 复数的模及其应用
【例3】 若复数z=(a+2)-2ai的模等于 √5 ,求实数a的值.
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
(4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=
规律方法
2
5
.
利用复数与复平面内点的对应的解题步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
(3)点Z位于直线x-y+3=0上,则(m2-4m)-(m2-m-6)+3=0,即-3m+9=0,解得m=3.
的模等于(
(3)位于直线x-y+3=0上.
解复数z=(m2-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点的坐标为Z(m2-4m,m2-m6).
0 < < 4,
2 -4 < 0,
(1)点 Z 位于第三象限,则 2
解得
∴0<m<3.
-2 < < 3,
--6 < 0,
(2)点Z位于虚轴上,则m2-4m=0,解得m=0或m=4.
2 --2 < 0,
则 2
解得 m=1,所以 z=-2.
-3 + 2 = 0,
探究点三 复数的模及其应用
【例3】 若复数z=(a+2)-2ai的模等于 √5 ,求实数a的值.
2
2
解由已知得 ( + 2) + (-2) = √5,即 5a +4a-1=0,解得
a
2
1
a=5或
a=-1,故实数
∴2<m<4,即m的取值范围为(2,4).
(3)由题意,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2<m<4或-5<m<-2,
即m的取值范围为(2,4)∪(-5,-2).
(4)由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=
规律方法
2
5
.
利用复数与复平面内点的对应的解题步骤
(1)首先确定复数的实部与虚部,从而确定复数对应点的坐标.
(3)点Z位于直线x-y+3=0上,则(m2-4m)-(m2-m-6)+3=0,即-3m+9=0,解得m=3.
的模等于(
人教A版数学必修第二册7_3_2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课件
π
5π
π
5π
原式＝ 6cos12＋ 6 ＋isin12＋ 6
11π
11π
＝ 6cos 12 ＋isin 12
6
(2)3 cos + isin
6
⋅ 7 cos
3
4
+ isin
π 3π
π 3π
原式＝21cos6＋ 4 ＋isin6＋ 4
→
→
－4＋4i
向量OZ1，那么与OZ1对应的复数是________.
→
π
π
OZ＝4i＝4cos2＋isin2，
π π
π π
→
OZ1＝4 2cos2＋4＋isin2＋4
＝4 2－
2
2
＋
2
2 i
＝－4＋4i.
活学活用
2.计算(1＋ 3 i)6.
知识点一 复数三角情势的乘法
设z1，z2的三角情势分别是：
z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，
z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，
r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)
r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
则z1z2＝_____________________________＝___________________________，
11π
11π
＝2cos 4 ＋isin 4 ＝－ 2＋ 2i
数学人教A版必修第二册7.2.2复数的乘、除法运算及几何意义课件
=ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i 而z2·z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)I
所以 z1·z2=z2·z1 (z1·z2)·z3= z1·(z2·z3)
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(交换律) (结合律)
重点难点
ZHONGDIXXXNDIAN
1、复数代数情势的乘、除法的运算法则及其运算律。(重点).
2、复数除法的运算法则.(难点).
1
PART ONE
研学引导
知识点一 复数的乘法运算
一、复数代数情势的乘法运算法则
我们规定，复数乘法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为： (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd
通过以上探究，我们知道，两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定， 运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘
知识点一 复数的乘法运算
问题2 复数的加法满足实数运算中的运算律，那么，复数的乘法是 否满足实数乘法的交换律、结合律、分配律呢？
对任意复数z1=a+bi,z2=c+di 则z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2
（2） (1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.
例5： 计算(1＋2i)÷(3－4i).
=(ac-bd)+(ad+bc)I
所以 z1·z2=z2·z1 (z1·z2)·z3= z1·(z2·z3)
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(交换律) (结合律)
重点难点
ZHONGDIXXXNDIAN
1、复数代数情势的乘、除法的运算法则及其运算律。(重点).
2、复数除法的运算法则.(难点).
1
PART ONE
研学引导
知识点一 复数的乘法运算
一、复数代数情势的乘法运算法则
我们规定，复数乘法法则如下： 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为： (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd
通过以上探究，我们知道，两个复数的积仍然是一个复数，且唯一确定， 运算中与实数的乘法法则保持一致，类似于两个多项式相乘
知识点一 复数的乘法运算
问题2 复数的加法满足实数运算中的运算律，那么，复数的乘法是 否满足实数乘法的交换律、结合律、分配律呢？
对任意复数z1=a+bi,z2=c+di 则z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2
（2） (1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.
例5： 计算(1＋2i)÷(3－4i).
【课件】复数的几何意义+课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
此类问题可根据复数的实部与虚部 应满足的条件列出方程(组)，通过 解方程(组)或不等式(组)求解.
跟踪训练1 求实数m分别取何值时，复数z＝(m2－m－2)＋ (m2－3m＋2)i(m∈R)对应的点Z满足下列条件： (1)在复平面内的x轴上方；
解 ∵点Z在x轴上方， ∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2.
例2 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对
应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.
解 记O为复平面的原点， 由题意得O→A＝(2,3)，O→B＝(3,2)，O→C＝(－2，－3). 设O→D＝(x，y)，则A→D＝(x－2，y－3)，B→C＝(－5，－5). 由题意知，A→D＝B→C，所以xy－－23＝＝－－55，， 即xy＝＝－－32，， 故点D对应的复数为－3－2i.
D.4
解析 ∵z＝(x＋1)＋(x－3)i，x∈R， ∴|z|＝ x＋12＋x－32＝ 2x2－4x＋10 ＝ 2x－12＋8≥ 8＝2 2(当且仅当 x＝1 时取等号). ∴|z|的最小值为 2 2.
(2)已知复数 z1＝x2＋ x2＋1i，z2＝(x2＋a)i，对于任意 x∈R 均有|z1|>|z2| 成立，则实数 a 的取值范围是___－__1_，__12_ __.
知识梳理
1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴， y轴叫做 虚轴 ，实轴上的点都表示 实数 ；除了 原点 外，虚轴上的 点都表示 纯虚数 . 2.复数集C中的数和复平面内所有的点组成的集合是 一一对应 的， 即复数z＝a＋bi ←一――一――对――应→ 复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种 几何意义.
2.方法归纳：待定系数法、数形结合. 3.常见误区：虚数不能比较大小，虚 数的模可以比较大小.
7.2.1复数的加、减运算及其几何意义课件——高中数学人教A版必修第二册
复数的加、减法运算
(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)； (2)设 z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且 z1＋z2＝5－6i，求 z1 －z2.
【解】 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i＝－11i. (2)因为 z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i， 所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i， 所以32＋－xy＝＝－5，6，所以xy＝＝82，，所以 z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝ (2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数的积与商一定是虚数．(× ) (2)两个共轭复数的和与积是实数．(√ ) (3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( √ )
(1＋i)(2－i)＝( A．－3－i C．3－i 答案：D
) B．－3＋i D．3＋i
(2019·高考全国卷Ⅲ)若 z(1＋i)＝2i，则 z＝( )
【解】 (1)因为A→O＝－O→A， 所以A→O表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)因为C→A＝O→A－O→C， 所以C→A表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
1．[变问法]若本例条件不变，试求点 B 所对应的复数． 解：因为O→B＝O→A＋O→C，所以O→B表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋ 4i)＝1＋6i.所以点 B 所对应的复数为 1＋6i.
复数的乘法运算
(1)(1－i)－12＋ 23i(1＋i)＝(
)
A．1＋ 3i
B．－1＋ 3i
C． 3＋i
D．－ 3＋i
(2)已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数，
则(a＋bi)2＝( )
7.1.2 复数的几何意义(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
平面向量
一 一对应
复平面内的点Z(a,b)
2.复数的模
|| = | + i| =
2 + 2
3.共轭复数 如果 = + i，那么ҧ = − i．
一 一对应
作业
习题7.1 第8,10题
(1)
(4)
2 + 5i, (2)
−3 − i, (5)
−3 + 2i,
5,
(3)
(6)
y
2 − 4i,
−3i.
2 5i
3 2i
5
O
x
3 i
3i
2 4i
复数的几何意义
问题2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数
对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．你能用平面向量来表示复
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用
数轴上的点来表示．复数有什么几何意义呢？
一 一对应
（数） 实数
（形） 数轴上的点
o
1
x
复数的几何意义
问题1：根据复数相等的定义，任何一个复数 = + i都可以由一
个有序实数对 (, )唯一确定；反之也对．由此你能想到复数的几何
表示方法吗？
不等式|| > 1的解集是圆 = 1外部所有的点组成的集合，
这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，
也就是满足条件1 < || < 2的点的集合．
容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以１及２为半径的两个圆所夹的圆环，但
不包括圆环的边界．
课堂小结
复数 = +
一 一对应
1.复数几何意义
7.2.2复数的乘、除运算及其几何意义(课件)-【新教材】人教A版高中数学必修第二册
1 3i i2
(1 3i)(i 2) (i 2)(i 2)
i 2 3i2 6i
5
5 5i 5
1 i
数学应用
例 3 在复数范围内解下列方程：
（1） x2 2 0 ； （2） ax2 bx c 0，其中 a,b,c R ，且 a 0, b2 4ac 0 ．
解析（1）因为 ( 2 i) 2 ( 2 i) 2 2 ，
2.复数代数情势的除法法则：
(a＋bi)÷(c＋di)＝
3.复数乘法、除法的几何意义及其应用.
重要数学思想： 数形结合
课后思考
结束寄语
她学世 的问界 数 乐题， 学 趣的希 世 和解望 界 魅决同 是 力中学 个 ！感们 有
受从趣 到数的
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac-bd)＋(ad＋bc)i. 2.乘法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律
z1z2＝_z_2z_1_
结合律
(z1z2)z3＝_z_1_(z_2_z_3)_
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_z_1_z2_＋__z_1_z3__
数学运用
例2.计算：
3 2i 3 2i 2 3i 2 3i
解: 3 2i 3 2i
2 3i 2 3i
i(2 3i) i(2 3i) 2 3i 2 3i
ii
数学运用
练习： (i 2)(i 1) (1 i)(i 1) i
解:原式
i2 i 2i i 1i2
2 ii
第7章 复数
7.2.2 复数的乘、除运算及其几何意义
创设情境
思考
复数代数情势的乘法运算法则是什么?
新人教版高中数学必修第二册复数全套PPT课件
C．－3i
D．3
解析：由复数的几何意义可知
―→ OZ
对应的复数为
－3i.故选C.
答案：C
3．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1
B．a≠2或a≠－1
C．a＝2或a＝0
D．a＝0
解析：由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或2.故选C.
答案：C
4．若复数a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，则
∴x22x－y＝y22＝，0， 解得xy＝＝11， 或xy＝＝－－11.， (2)设方程的实数根为x＝m， 则3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
解得a＝11或a＝－751.
复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等， 虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题， 为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思 想的体现． (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能 比较大小的．
①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.
A．1
B．2
C．3
D．0
解析：易知①正确，②③错误，故选A.
答案：A
()
2．在2＋
7
，
2 7
i,8＋5i，(1－
3 )i,0.68这几个数中，纯虚数的
个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：由纯虚数的定义可知27i, (1－ 3)i是纯虚数．故选C.
答案：C
[思考发现]
1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为
新教材人教A版必修第二册 复数的几何意义 课件(45张)
2i，那么向量B→A对应的复数为( )
A．－1＋i
B．1－i
C．－5－5i
D．5＋5i
D [由题意知，O→A＝(2,3)，O→B＝(－3，－2)，
∴B→A＝O→A－O→B＝(5,5)，
∴向量B→A对应的复数为 5＋5i，故选 D．]
3．已知复数 z＝(m－3)＋(m－1)i 的模等于 2，则实数 m 的值为( ) A．1 或 3 B．1 C．3 D．2
5或 m＞32，
即实数 m 的取值范围是 m＜－1－2 5或 m＞32.]
Thank you for watching !
问题：实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数该怎样来表 示呢？
1．复平面
思考：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
[提示] 不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上 的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数 是 z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
由平行四边形的性质得B→D＝B→A＋B→C＝(3,10)， 所以O→D＝O→B＋B→D＝(3,7)，于是 D(3,7)． 即顶点 D 对应的复数为 3＋7i.
复数与向量的对应和转化 对应：复数 z 与向量O→Z是一一对应关系． 转化：复数的有关问题转化为向量问题求解． 解决复数问题的主要思想方法有：(1)转化思想：复数问题实数 化；(2)数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；(3)整体 化思想：利用复数的特征整体处理．
则 AC 的中点为32，2，由平行四边形的性质知 BD 的中点也是32，2， 若设 D(x0，y0)，
则有－0＋232＋x0＝y032＝，2，
解得xy00＝ ＝37， ， 故 D(3,7)．
复数的几何意义【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件
A．4＋80i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋
i，－1＋2i.
①求向量―A→B ，―AC→，―BC→对应的复数；
②判定△ABC的形状．
7复．数1的 几7何．意1义.2【复新数教的材 几】何人意教 义A版-【 高新 中 教 数材 学必】 修人第教二A 版册（课2件0 19）高 中数学 必修第 二册课 件(共2 7张PPT )
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[解] (1)点Z在复平面的第二象限内，
则a2－a＋a－3 6＜0， a2－2a－15＞0，
解得a＜－3.
(2)点Z在x轴上方，
7复．数1的 几7何．意1义.2【复新数教的材 几】何人意教 义A版-【 高新 中 教 数材 学必】 修人第教二A 版册（课2件0 19）高 中数学 必修第 二册课 件(共2 7张PPT )
复数与复平面内向量的关系
[例3] (1)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分
别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R )， 则点Z的坐标为(x，y)． 由|z|＝|z1|＝2得 x2＋y2＝2，即x2＋y2＝4. 所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆． 法二：由|z|＝|z1|＝2知|―O→Z |＝2(O为坐标原点)， 所以Z到原点的距离为2. 所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．
3．对复数模的三点说明 (1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边 的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就 不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意 义，所以我们说两个复数不能比较大小．
人教A版高中数学必修第二册教学课件：第七章7.1复数的概念
【 解】
（1
）
要使
点位
于第
四象
限，
需
m 2
m
2
8m 3m
15 0, 28 0,
∴
m 3或m 5，
7
m
4，
解得 -7<m<3.
∴ 当m∈（-7，3）时，复数z在复平面内的对应点在第四象
限.
m2 8m 15 0,
（2 ）要 使点位 于x轴负 半轴上 ，需
m
2
3m
28
0,
∴ 3mm7或 5m，4，解得m＝4.
知识梳理
一、复数的相关概念
我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数（complex number），其中i叫做 虚数单位（英语单词：imaginary unit的首字母）.全体复数所构成的集合C＝ {a+bi|a，b∈R}叫做复数集. 复数通常用字母z表示，即z＝a+bi（a，b∈R）.以后不作特殊说明时，复数z ＝a+bi都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
3
则复数z＝（3m-2）+（m-1）i在复平面内对应的点位于第 象限.
答案：四 解析：∵ 2 <m<1，∴ 3m-2>0，m-1<0，∴ 复数z
3
在复平面内对应的点位于第四象限.
训练题6 ［2019·河南郑州高三质测］已知复数z＝（a2-2a） +（a2-a-2）i对应的点在虚轴上，则 （ ） A.a≠2或a≠1 B.a≠2且a≠1 C.a＝0 D.a＝2或a＝0
∴ 当m＝4时，复数z在复平面内的对应点在x轴负半轴上.
（3 ）要 使点位 于上半 平面（ 含实轴 ），需m2 +3m-28 ≥0，
最新人教A版高一数学必修二课件：7.2.1复数的加、减运算及其几何意义
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第六章 平面向第量七及章其应复用数
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第六章 平面向第量七及章其应复用数
题型1 复数加减法的运算
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第六章 平面向第量七及章其应复用数
题型2 复数加减运算的几何意义
(1)复数 z1，z2 满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝ 2，则|z1－z2|＝ ________.
(2)如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 对应的复数分别为 0,3＋2i，－2＋4i，试求：
解：因为|z|＝1 且 z∈C，作图，如图所示， 所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点 M 到复 平面上的点 P(2,2)的距离．所以|z－2－2i|的最小值为 |OP|－1＝2 2－1.
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第六章 平面向第量七及章其应复用数
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第六章 平面向第量七及章其应复用数
题型3 复数模的最值问题
(1)如果复数 z 满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是
()
A．1
复数的几何意义课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
高中数学 必修第二册 RJ·A
典例剖析
一、 复数与复平面内的点对应
例1 已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a的值(或取值范围). (1)Z在实轴上；
解 因为z＝(a2－4)＋(2a－3)i， 所以复数z在复平面内对应的点Z的坐标为(a2－4,2a－3). 若点Z在实轴上，则有2a－3＝0， 解得 a＝32.
∴复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限.
高中数学 必修第二册 RJ·A
→ 3.在复平面内，O 为原点，向量OA对应的复数为－1＋2i，若点 A 关于直线
→ y＝－x 的对称点为 B，则向量OB对应的复数为
A.－2－i C.1＋2i
B.－2＋i D.－1＋2i
B解析 ∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)， →
高中数学 必修第二册 RJ·A
(2)若复数z＝(m＋1)＋(m－2)i，其中m∈R，则复数z对应的点不可能位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B解析 复数z对应的点为(m＋1，m－2).因为m＋1>m－2， 所以点(m＋1，m－2)不可能位于第二象限.
高中数学 必修第二册 RJ·A
0＋2 x0＝32， 若设 D(x0，y0)，则有
－32＋y0＝2，
x0＝3，
解得
故 D(3,7).
y0＝7，
→
→
→
方法二 由已知得OA＝(1,4)，OB＝(0，－3)，OC＝(2,0)，
→
→
所以BA＝(1,7)，BC＝(2,3)，
→→→
→
由平行四边形的性质得BD＝BA＋BC＝(3,10)，而OB＝(0，－3)，于是 D(3,7).
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第七章 复数
题型二 复数与复平面内向量的关系
数学（必修·第二册RJA）
典例 2 (1)在复平面内，复数10＋7i，－6＋i对应的点分别为A，
B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是
A．4＋8i
B．16＋6i
(C )
C．2＋4i
D．8＋3i
(2)在复平面内，A，B，C 三点对应的复数分别为 1,2＋i，－1＋2i.
第七章
复数
7.1 复数的概念
7.1.2 复数的几何意义
素养目标·定方向 必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
第七章 复数
数学（必修·第二册RJA）
素养目标·定方向
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7.复数的几何意义-【新】人教A版高 中数学 必修第 二册PPT 全文课 件【完 美课件 】
实轴
虚轴
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第七章 复数
知识点2 复数的几何意义
Z(a,b)
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第七章
复数
数学（必修·第二册RJA）
知识点3 复数的模
向量O→Z的模称为复数 z＝a＋bi 的模或绝对值，记作_|_z_|_或__|a__＋__b_i|. 即|z|＝|a＋bi|＝___a_2＋__b_2__，其中 a，b∈R.如果 b＝0，那么 z＝a＋bi 是一 个实数 a，它的模就等于___|a__|_(a 的绝对值).
(1)Z在实轴上；
(2)Z在第二象限；
(3)Z在抛物线y2＝4x上.
[分析] 根据复数与点的对应关系，得到复数的实部与虚部之间应
满足的条件，建立关于a的方程或不等式，即可求得实数a的值(或取值范
围)
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第七章
复数
数学（必修·第二册RJA）
2．复数几何意义的两个注意点 (1)复数与复平面上的点：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为 (a，b)而不是(a，bi). (2)复数与向量的对应：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点 O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与O→Z相等的向量有 无数个.
z2 对应的点之间的距离.
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第七章
复数
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关键能力·攻重难
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第七章 复数
数学（必修·第二册RJA）
第七章
复数
数学（必修·第二册RJA）
[归纳提升] 1．复数与复平面内点的对应关系的实质：复数的实部 就是其对应点的横坐标，复数的虚部就是其对应点的纵坐标.
2．已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(或取值范围) 时，可根据复数与点的对应关系，找到复数实部与虚部应满足的条件， 通过解方程(组)或不等式(组)求得参数值(或取值范围).
பைடு நூலகம்
的点位于
( C)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)复数z＝(3m－2)＋(m－1)i(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的
点不可能位于
( B)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
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①求向量A→B，A→C，B→C对应的复数；
②判定△ABC 的形状. [分析] 根据复数与点、复数与向量的关系求解.
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第七章 复数
数学（必修·第二册RJA）
[解析] (1)两个复数对应的点分别为 A(10,7)，B(－6，1)，则 C(2,4). 故其对应的复数为 2＋4i.
(2)①由复数的几何意义知： O→A＝(1,0)，O→B＝(2,1)，O→C＝(－1,2)， 所以A→B＝O→B－O→A＝(1,1)，A→C＝O→C－O→A＝(－2,2)，B→C＝O→C－O→B＝ (－3,1)，所以A→B，A→C，B→C对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i.
第七章
复数
数学（必修·第二册RJA）
[解析] 因为 z＝(a2－4)＋(2a－3)i，所以复数 z 在复平面内对应的点
Z 的坐标为(a2－4,2a－3).
(1)若点 Z 在实轴上，则有 2a－3＝0，解得 a＝23.
(2)若点 Z 在第二象限，则有a22a－－43<>00，，
－2<a<2， 即a>32，
(2)表示方法：复数 z 的共轭复数用－z 表示，即如果 z＝a＋bi，那么－z ＝__a_－__b_i __.
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第七章
复数
数学（必修·第二册RJA）
[要点解读] 1．复平面、实轴、虚轴与复数的对应 (1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵 坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示. (2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数. (3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原 点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是 实数.
所以|z1|>|z2|.
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第七章 复数
(2)解法一：设 z＝a＋bi(a、b∈R)， 则|z|＝ a2＋b2， 代入方程得 a＋bi＋ a2＋b2＝2＋8i， ∴ab＋ ＝8 a2＋b2＝2 ， 解得ab＝＝－8 15 .∴z＝－15＋8i.
数学（必修·第二册RJA）
复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小
的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不
能比较大小. (2)数的角度理解：复数 a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝ a2＋b2，两个
虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小. (3)几何角度理解：表示复数的点 Z 到原点的距离.|z1－z2|表示复数 z1，
第七章
复数
数学（必修·第二册RJA）
知识点1 复平面
建 立 直 角 坐 标 系 来 表 示 复 数 的 平 面 叫 做 __复__平__面___ ， x 轴 叫 做 __实__轴___，y轴叫做__虚__轴___.实轴上的点都表示_实__数____；除了原点外，虚 轴上的点都表示纯虚数.
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(2)已知复数 z 满足 z＋|z|＝2＋8i，求复数 z.
[分析] (1)根据求模公式进行计算； (2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件 求出a，b.
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第七章 复数
[解析] (1)|z1|＝| 3＋i|＝ 32＋12＝2，
|z2|＝
－122＋ 232＝1，
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第七章 复数
数学（必修·第二册RJA）
②因为|A→B|＝ 2，|A→C|＝2 2，|B→C|＝ 10， 所以|A→B|2＋|A→C|2＝|B→C|2， 所以△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形.
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第七章 复数
数学（必修·第二册RJA）
[归纳提升] 1．若复数 z＝a＋bi(a，b∈R)则复数 z 在复平面内对应 的向量O→Z＝(a，b).
(2)因为复数 4＋3i 与－2－5i 分别表示向量O→A与O→B，所以O→A＝(4,3)， O→B＝(－2，－5)，又A→B＝O→B－O→A＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所 以向量A→B表示的复数是－6－8i.
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第七章 复数
数学（必修·第二册RJA）
题型三 复数的模
典例 3 (1)已知复数 z1＝ 3＋i，z2＝－12＋ 23i，求|z1|及|z2|并比较 大小；
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第七章
复数
数学（必修·第二册RJA）
题型探究 题型一 复数与复平面内点的关系
典例 1 已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i，其中a∈R.当复数z在复平
面内对应的点Z满足以下条件时，求a的值(或取值范围).
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第七章 复数
数学（必修·第二册RJA）
知识点4 共轭复数
(1)定义：当两个复数的实部__相__等___，虚部___互__为__相__反__数__时，这两 个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
方法并能够解决与模有关的问题.(直观
想象)
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