高等数学上册证明题

高等数学上册证明题

一、设函数)(x f 在]1,0[上连续，并且对于]1,0[上的任意x 所对应的函数值)(x f 均有1)(0≤≤x f ，证明]1,0[上至少有一点ξ，使得ξξ=)(f 。

二、证明方程0155=++x x 在)0,1(-内有唯一实根。

三、设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()()010f f ==，证明：存在()0,1ξ∈，使得()()0f f ξξ'+=。

四、设)(x f 在区间]1,0[上可微，且满足条件⎰=2

1

0)(2)1(dx x xf f ，

试证：存在)1,0(∈ξ，使得0)()(='+ξξξf f .

五、设)(x f 在[]1,0上连续，在)1,0(内可导且0)0()1(==f f ，121=⎪⎭⎫

⎝⎛f ，

证明在)1,0(存在一点ξ，使1)(='ξf 。

六、1、证明⎰⎰+=+2020sin cos cos

cos sin sin π

πdx x x x

dx x x x ，

2、由此计算⎰+20cos sin sin π

dx x x x

。

七、设)(x f 在[0,1]上连续且单调减少，证明：当10<<λ时，有

⎰⎰≥1

)()(o o dx x f dx x f λλ

成立。

七题参考答案：设)(x f 在[0,1]上连续且单调减少，证明：当10<<λ时，有

⎰⎰≥1

)()(o o dx x f dx x f λλ成立。

)6(0

)]()()[1(01,0).()(.

10)]

()()[1()4()()1()()1()()()1()

2()()()()()(1212121212101

1

001

即原不等式成立因此又有)单调减少,(因证≥-->->≥≤≤≤≤--=---=--=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ξξλλλλξξξλξξξλλξλλξλλλλλλλλλλλλλf f f f x f f f f f dx

x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx

x f dx x f o o ：

)6()1,0(0

)0()(,0)(,0

)1()(,0)(,10)4(.

10),()()()()(0

)1()0(,)()()(21

1原不等式成立

时,即当当当]上连续单调减少,

)在[(因设证∈=≥≥'≤=><'>≤≤-=-='==-=⎰⎰⎰λλλξλλλξλξξλλλλλλ

F F F F F F ,x f f f dx x f f F F F dx x f dx x f F o o o ：