勾股定理及两点间的距离公式
两点之间距离公式初中
两点之间距离公式初中
在初中数学中，我们学习了两点之间距离的计算方法，它是根据勾股定理来推导的。
这个公式可以用于计算平面上任意两点之间的距离。
设平面上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们需要计算这两点之间的距离d。
首先，我们可以根据勾股定理，得出两点之间的距离d的平方等于两点在水平和垂直方向上的距离差的平方之和。
d^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2
然后，我们可以将这个式子开方，得出两点之间的距离d的公式。
d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
这个公式就是我们计算两点之间距离的基本公式。
通过这个公式，我们可以解决平面几何中的一些实际问题。
例如，求两点之间的最短距离，可以利用这个公式进行计算。
举个例子，假设有一个平面上的点A(3,4)和点B(7,2)，我们可以利用上述公式计算出AB两点之间的距离。
根据公式，我们可以得出：
d=√((7-3)^2+(2-4)^2)
=√(4^2+(-2)^2)
=√(16+4)
=√20
≈4.472
所以，点A和点B之间的距离约为4.472个单位。
正如以上例子所示，利用两点之间距离的公式，我们可以计算平面上
任意两点之间的距离。
此外，这个公式也可以推广到三维空间，用于计算
三维空间中两点之间的距离。
总结起来，两点之间距离的公式是通过勾股定理推导而来的，可以用
于计算平面上任意两点之间的距离。
在初中数学中，学习并应用这个公式，能够解决一些与平面几何相关的实际问题。
已知两个坐标点求距离
已知两个坐标点求距离两个坐标点之间的距离是计算两点直线距离的长度。
在二维平面上，我们可以通过使用勾股定理来计算这个距离。
该定理表明，对于平面上的任意两点，我们可以通过计算它们的坐标差值，并应用勾股定理公式来求解它们之间的距离。
假设有两个坐标点A和B，它们的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)。
我们可以使用以下公式来计算这两个点之间的距离：距离= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)这个公式涉及到两个步骤。
首先，我们计算x坐标的差值，并将其平方；接下来，我们计算y坐标的差值，并将其平方。
然后将这两个平方值相加，并将其平方根。
最后的结果就是我们所求的两个坐标点之间的距离。
举个例子，假设我们有两个坐标点A(3, 4)和B(7, 9)。
我们可以使用上述公式计算这两点之间的距离：距离= √((7 - 3)² + (9 - 4)²) = √(4² + 5²) = √(16 + 25) = √41 ≈ 6.403所以点A和点B之间的距离约为6.403个单位。
在实际应用中，这个距离公式常常用于计算两个物体之间的距离、两个地点之间的距离等。
它是计算几何中的基础概念之一。
需要注意的是，这个距离公式适用于二维平面上的点，如果是在三维空间或更高维空间上的坐标点，则需要使用相应的距离公式来计算。
值得一提的是，在计算机编程领域，我们可以借助编程语言提供的函数或库来计算两个坐标点之间的距离。
不同的编程语言可能提供不同的函数接口，但基本原理是相同的，即计算两点之间的距离。
总结：已知两个坐标点，我们可以通过应用勾股定理来计算它们之间的距离。
这个距离公式适用于二维平面上的点，计算两点之间的x和y坐标差值的平方和，然后将其平方根得到最终的距离。
这个公式在计算几何和计算机编程中被广泛应用。
无论是测量物体之间的距离还是计算两个地点之间的距离，这个距离公式都能提供准确的结果。
两点间距离公式的推导过程
两点间距离公式的推导过程distance = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，(x1,y1)和(x2,y2)是两个点的坐标。
下面将详细讲解两点间距离公式的推导过程。
1. Euclidean Distance（欧几里得距离）首先，我们考虑在坐标平面上两个点的直线距离。
设点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2)。
我们可以使用勾股定理来计算点A和点B之间的距离。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
即，AB²=(x2-x1)²+(y2-y1)²要得到AB的长度，我们需要求出这个平方根。
即，AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这就是欧几里得距离公式的起点。
2.推广到n维空间现在我们考虑推广到更高维度的空间，即n维空间。
假设我们有两个点A和B，其坐标分别是(p1, p2, ..., pn) 和 (q1, q2, ..., qn)。
我们仍旧可以使用相同的方法，通过计算每个坐标分量的差的平方的和，并求出平方根来计算这两个点之间的距离。
即，AB = √((q1 - p1)² + (q2 - p2)² + ... + (qn - pn)²)可以看出，这是一个n维空间中两点距离的推广。
3.应用举例以上述推导的距离公式为基础，我们可以计算不仅仅是在2D平面上的距离，还可以应用在3D空间、4D空间甚至更高维度的空间中。
举例来说，我们有两个点A和B，其在3D空间中的坐标分别为(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)。
通过应用两点间距离公式，我们可以计算这两个点之间的直线距离：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)同样地，在4D空间中，我们可以计算两个点A和B之间的距离：AB=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²+(w2-w1)²)这可以进一步推广到更高维度的空间。
两点距离公式
两点距离公式在几何学和数学中，计算两点之间的距离是一个相当基本的问题。
无论是平面几何还是空间几何，我们都可以利用两点距离公式来计算任意两个点之间的距离。
本文将介绍两点距离公式的原理和应用。
1. 二维平面上的两点距离公式在二维平面上，可以使用勾股定理来计算两点之间的距离。
设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则它们之间的距离可以通过以下公式计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，d表示两点之间的距离。
这个公式可以通过我们对平面上的点进行绘图来理解。
简单来说，这个公式就是计算两点之间的直线距离。
我们通过这个公式可以计算出平面上任意两点之间的距离。
2. 三维空间中的两点距离公式在三维空间中，我们可以使用类似的方法来计算两点之间的距离。
设有两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则它们之间的距离可以通过以下公式计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)这个公式也是基于勾股定理的扩展。
我们可以将三维空间中的两个点看作是位于不同坐标轴上的两个平面点，然后应用二维平面上的两点距离公式来计算它们之间的距离。
3. 两点距离公式的应用两点距离公式在很多领域都有广泛的应用，特别是在几何学、物理学和工程学中。
以下是一些常见的应用场景：- 地理测量：在地理测量中，我们常常需要计算两个地理位置之间的距离。
通过将地球看作一个近似的球体，我们可以使用三维空间中的两点距离公式来计算地理位置之间的直线距离。
- 机器人路径规划：在机器人路径规划中，我们需要确定机器人从一个位置移动到另一个位置的最短路径。
通过计算两点之间的距离，我们可以评估不同路径的长度，并选择最短路径作为机器人的运动方向。
- 无线通信：在无线通信领域，我们经常需要评估接收信号的强度。
通过计算发送信号源和接收器之间的距离，我们可以预测信号的衰减程度，并相应地调整通信参数。
平面上两点间的距离和点到直线的距离公式
平面上两点间的距离和点到直线的距离公式平面几何是几何学中的一个重要分支，它研究了平面上点、直线、圆等的性质和相互关系。
在平面上，我们经常需要计算两点之间的距离以及点到直线的距离，这些计算方法在实际生活中有着很广泛的应用。
下面我们将分别介绍两点间的距离和点到直线的距离的计算公式。
首先，考虑两点间的距离。
假设平面上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们想要计算这两个点之间的距离d。
根据勾股定理，我们知道两点之间的距离可以通过点与坐标轴的距离的平方和来计算，即：d=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]。
这个公式的理解非常直观，我们可以将两点之间的直线看作是直角三角形的斜边，而点与坐标轴的距离就是直角三角形的两个直角边的长度。
因此，我们可以通过计算两个直角边的长度，然后应用勾股定理来求解斜边的长度，即两点之间的距离。
接下来，我们来讨论点到直线的距离的计算方法。
给定平面上一条直线L和一点C(x0,y0)，我们想要计算点C到直线L的距离d。
为了方便计算，我们需要确定直线L的方程。
在平面几何中，常见的直线方程形式有一般式、斜截式和点斜式。
这里我们以一般式方程为例，一般式方程的形式为Ax+By+C=0，其中A、B和C是常数。
点到直线的距离的计算方法有多种，下面我们介绍其中的一种方法，即点到直线的投影方法。
我们可以将问题转化为求点C到直线L的垂直投影点D，然后计算点C到点D的距离d。
首先，我们可以利用点斜式确定直线L的斜率k。
假设直线L经过点P(x1, y1)，斜率为k，则直线L的点斜式方程为y - y1 = k(x - x1)。
进一步化简，我们得到直线L的一般式方程Ax + By + C = 0，其中A =-k，B = 1，C = kx1 - y1接下来，我们需要求点C到直线L的垂直投影点D(xd, yd)的坐标。
根据垂直投影的性质，我们知道点D在直线L上，且点CD垂直于直线L。
因此，点D与直线L的斜率之积为-1，即k * kd = -1、由此，我们可以得到点D的坐标：xd = (B^2 * x0 - A * B * y0 - A * C) / (A^2 + B^2)yd = (A * B * x0 - A * A * y0 - B * C) / (A^2 + B^2)最后，我们可以计算点C到点D的距离d，即：d = √[(x0 - xd)^2 + (y0 - yd)^2]这个公式可以通过将点C到点D的距离看作直角三角形的斜边来进行解释。
两点间的距离公式与线段中点的坐标
两点间的距离公式与线段中点的坐标
d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)
其中，√表示求平方根的操作。
这个公式可以通过勾股定理来进行推导。
根据勾股定理，两点之间的
距离等于直角三角形的斜边的长度，而斜边的长度可以通过两个直角边的
长度来计算。
在这个公式中，x2-x1表示两点在水平方向上的距离，y2-y1表示两
点在竖直方向上的距离。
这两个距离都是直角边的长度。
根据勾股定理，
斜边的长度即为两直角边的平方和的平方根，即√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。
线段中点的坐标是指线段的中心点的坐标。
线段中点的坐标计算公式
是将线段的两个端点的坐标进行平均。
假设线段的两个端点坐标分别为
A(x1,y1)和B(x2,y2)，则线段中点的坐标可以表示为：
M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
其中，(x1+x2)/2表示两个端点在水平方向上的坐标的平均值，
(y1+y2)/2表示两个端点在竖直方向上的坐标的平均值。
通过线段中点的坐标可以知道线段的中心位置，这在很多几何问题中
都是非常有用的。
总结：
线段中点的坐标可以通过线段的两个端点的坐标进行求解，用于表示
线段的中心位置。
沪教版八年级上册-勾股定理及两点间距离公式讲义
点 ， 之间所连线段的中点 坐标为（ ， ）
公式对于 和 两点在平面内任意位置都是成立的
热身练习
1、在 中， 那么AC长等于（B）
A. B. C. D.
2、三角形的三边长是9、15、12，它的最长边上的高是（A）
A。7.2 B.6.5 C.10 D无法求出
3、两船分别从港口向东北、西北方向行驶，速度分别为15海里/小时和10海里/小时，若两船同时开出，2小时后相距（A）
，解得 或 ，所以B的坐标是（0，0）或（6，0）；
（2）点B在 轴上，那么可设B的坐标为（0， ）
，解得 或 ，所以点B的坐标是（0，0）或（0，8）；
（3）点B在第一、三象限的角平分线上，那么可设B的坐标为（ ）
，解得 或 ，所以点B的坐标是（0，0）或（7，7）；
（4）点B与 轴的距离等于1，则点B在与 轴平行且分布在 轴两侧的直线上，那么可设B的坐标为（1， ）和（-1， ）
证明：利用面积相等有，
整理得c2＝a2＋b2.
例2、如果一个直角三角形的三边长为三个连续的偶数，求这三角形的三边长。
解：设直角三角形的三边长为 （ 为正整数），显然 最长，则有
，
，
所以直角三角形的三边为6、8、10
例3、如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE= BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
解： 联结AC
在Rt 中，因为 ，AB=12,BC=9
所以AC= （勾股定理）
在 中，AC=15，AD=8，CD=17
而 ，即
所以 为直角三角形，且 （勾股定理逆定理）
所以
例5、已知在直角坐标平面内，A、B两点的坐标为A（2，2）、B（-1，-2），点P在X轴上且
两点间距离公式是什么如何正确的使用两点间距离公式
两点间距离公式是什么如何正确的使用两点间距离公式两点间距离公式是什么?对于数学知识有些朋友也是觉得很头疼，今天给大家分享一下关于两点间距离公式的相关知识点，感兴趣的朋友们进来文章了解一下吧。
两点间距离公式常用于函数图形内求两点之间距离、求点的坐标的基本公式，是距离公式之一。
两点间距离公式叙述了点和点之间距离的关系。
两点间距离公式两点间距离公式是∣AB∣=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]。
两点间距离公式叙述了点和点之间距离的关系。
设两个点A、B以及坐标分别为：A(X1,Y1)、B(X2,Y2)则A和B两点之间的距离为：∣AB∣=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]。
两点距离公式是常用于函数图形内求两点之间距离、求点的坐标的基本公式，是距离公式之一。
两点间距离公式推论：已知AB两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)。
过A做一直线与X 轴平行,过B做一直线与Y轴平行，两直线交点为C。
则AC垂直于BC(因为X轴垂直于Y轴);则三角形ACB为直角三角形，由勾股定理得：AB^2=AC^2+BC^2;故AB=根号下AC^2+BC^2,即两点间距离公式。
点到直线的距离：直线Ax+By+C=0 坐标(x0，y0)那么这点到这直线的距离就为：d=│Ax0+By0+C│/根号(A^2+B^2)。
公式描述：公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
坐标中两点之间的距离公式
坐标中两点之间的距离公式两点之间的距离公式是基本的几何学概念，它可以在任何情况下确定两点之间的距离。
它也被称为勾股定理，它可以用来计算任何在直角坐标系内的两点间的距离。
1、什么是两点之间的距离公式？两点之间的距离公式是指任意在直角坐标系内两点之间距离的一个公式，其中俩点由他们的横坐标与纵坐标给出。
用来计算在对应的直角坐标中两点之间的距离。
2、两点之间的距离公式有多少？常见的有三种两点之间的距离公式：一般式、３Ｄ坐标式和球面坐标式，它们都满足相同的基本原理：计算直角坐标系内的两点间的距离。
（1）一般式的公式：距离=√【（x1 - x2）² + （y1 - y2）²】其中，x1和x2是俩点的横坐标，y1和y2是俩点的纵坐标。
（2）３Ｄ坐标式：距离=√【（x1 - x2）² + （y1 - y2）²+ （z1 - z2）²】其中，x1和x2是俩点的横坐标，y1和y2是俩点的纵坐标，z1和z2是俩点的高度。
（3）球面坐标式：距离=R×Δθ其中，R是球的半径，Δθ是两点在球面上的夹角（以度为单位）。
3、两点之间距离公式常用于什么场合？（1）地理学中用于测算地点间的海拔高度差。
（2）在星系图象分析中，用于测算星系之间的距离以及星系内质点之间的距离。
（3）在游戏开发中，用于求解地图坐标对象之间的距离，以验证人物移动的距离，例如游戏中的距离碰撞检测。
（4）在电子学中，用于测算两个电磁波源之间的距离，包括无线电电磁辐射源对消费者使用的产品的距离。
（5）在空间分析中，用于计算空间对象的中心距离和多边形的边长，也用于测量其他物体的尺寸，例如城市设计、道路网络等空间数据分析。
（6）在机器人技术中，用于测量机器人间，或者机器人与其他物体间的距离。
（7）在工业检测、精密测量等领域中，用于测算产品上各个部件之间的尺寸以及距离差。
初中数学两点间的距离公式是什么
初中数学两点间的距离公式是什么1. 引言在初中数学中，学习两点间的距离公式是非常重要的。
这个公式可以帮助我们计算平面上任意两个点之间的距离。
掌握这个公式，不仅能够帮助我们解决实际生活中的问题，还能够提高我们对数学空间概念的理解。
本文将介绍初中数学中两点间的距离公式以及它的推导过程。
2. 两点间的距离公式对于平面上的两个点，假设它们的坐标分别为 \(A(x_1, y_1)\) 和 \(B(x_2,y_2)\)。
要计算这两个点之间的距离，我们可以利用勾股定理来推导出距离公式。
根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两直角边平方的和。
而两点间的距离就是该直角三角形的斜边的长度。
根据勾股定理，我们可以得到以下公式：\[c^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\]其中，\(c\)表示两点间的距离。
为了求解两点间的距离，我们需要知道两个点的坐标。
如果我们已经知道了两个点的坐标，那么只需要将坐标值带入公式进行计算，就可以得到它们之间的距离。
3. 一个例子为了更好地理解两点间的距离公式，我们可以通过一个例子来演示。
假设有平面上的两个点 A(1, 2) 和 B(4, 6)。
我们可以将这两个点的坐标代入距离公式，得到：\[c^2 = (4 - 1)^2 + (6 - 2)^2\]简化计算后，我们可以得到：\[c^2 = 3^2 + 4^2\]进一步计算，我们可以得到：\[c^2 = 9 + 16\]最终计算得到：\[c^2 = 25\]由于两点间的距离不能为负数，因此可以得到：\[c = \sqrt{c^2} = \sqrt{25} = 5\]因此，点 A(1, 2) 和点 B(4, 6) 之间的距离为 5。
4. 总结通过本文的介绍，我们了解到了初中数学中两点间的距离公式，即：\[c^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\]。
这个公式可以帮助我们计算平面上任意两个点之间的距离。
点跟点的距离公式
点跟点的距离公式在数学中，点与点之间的距离可以通过距离公式来计算。
对于平面坐标系中的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以用以下公式来表示：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]其中，d表示点A和点B之间的距离。
这个公式的推导可以通过勾股定理来得到。
根据勾股定理，直角三角形的斜边长度等于两个直角边长度的平方和的平方根。
在平面坐标系中，我们可以将点A和点B连接起来，得到一个直角三角形。
点A和点B之间的距离就是这个直角三角形的斜边长度，也就是公式中的d。
在三维空间中，点与点之间的距离公式稍有不同。
设点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2)，它们之间的距离可以用以下公式来表示：d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²]同样地，这个公式也可以通过勾股定理来推导。
我们可以将点A和点B连接起来，得到一个空间直角三角形。
点A和点B之间的距离就是这个空间直角三角形的斜边长度。
除了平面坐标系和三维空间中的距离公式，我们还可以通过其他坐标系下的公式来计算点与点之间的距离。
例如，极坐标系中的点与点之间的距离可以用以下公式来表示：d = √[r1² + r2² - 2r1r2cos(θ2 - θ1)]其中，r1和r2分别表示两个点的极径，θ1和θ2分别表示两个点的极角。
这个公式同样可以通过勾股定理来推导。
除了上述提到的坐标系，我们还可以根据具体情况，选择合适的坐标系来计算点与点之间的距离。
不同的坐标系可能会有不同的距离公式，但它们的本质都是基于勾股定理的推导。
在实际应用中，点与点之间的距离公式被广泛应用于各个领域。
例如，在地理学中，可以通过经纬度坐标系来计算两个地点之间的距离；在计算机图形学中，可以通过屏幕坐标系来计算两个像素点之间的距离。
距离公式的应用范围非常广泛，为我们提供了便捷的计算方法。
两点间距离公式。
两点间距离公式。
两点间距离公式是在数学学科中，用来计算平面上两个点之间距离的公式。
它是非常重要的一种数学工具，更是各个学科以及实际生活中常用到的一种公式，具有重要的指导意义。
让我们先来了解一下两点间距离公式的具体内容。
在平面直角坐标系中，设点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是平面上的两个点，则它们之间的距离公式为：d（AB）=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]这个公式的推导通常采用勾股定理，将两点看作直角三角形的两个端点，通过利用勾股定理进行计算，从而得到两点间距离的公式。
在实际生活中，两点间距离公式被广泛应用于各个领域。
比如在地图制作中，我们需要知道两个城市之间的距离，就可以通过两点间距离公式来计算。
在建筑设计中，也需要了解两个地点之间的距离，这时候两点间距离公式便大有用途。
甚至在航空航天领域中，两点间距离公式也派上了用场，它可以计算出航班路线中各个机场之间的距离，更好地指导航空飞行。
此外，两点间距离公式还被广泛应用于科学研究。
比如物理学中研究物体的运动和位置关系时，需要计算两点之间的距离；在地理学中，研究不同区域之间的相对位置时，也需要用到这个公式。
通过对两点间距离公式的研究和应用，我们可以更好地理解数学的本质和应用意义。
在生活和工作中，我们还有很多类似的公式需要
学习和掌握，以便更好地处理各种问题。
因此，我们应该重视这些数学工具的学习和运用，切实提升自己的数学素养。
两点间距离公式推导十种方法
两点间距离公式推导十种方法在几何学和物理学中，计算两点之间的距离是一个常见的问题。
在本文中, 我们将介绍十种不同的方法来推导两点之间的距离公式。
方法一: 直角三角形定理根据直角三角形定理，两个点之间的距离可以通过勾股定理来计算。
假设有两个点 A 和 B，它们的横坐标分别为x₁ 和x₂，纵坐标分别为y₁ 和y₂。
那么两点之间的距离可以表示为：D = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)方法二: 曼哈顿距离曼哈顿距离是在城市街道上的距离计算方式。
对于两个点 A 和 B，它们的绝对值的差值之和就是曼哈顿距离：D = |x₂ - x₁| + |y₂ - y₁|方法三: 切比雪夫距离切比雪夫距离是以国际象棋的国王为参考，它的计算方式是两点横坐标和纵坐标的最大差值：D = max(|x₂ - x₁|, |y₂ - y₁|)方法四: 欧几里德范数欧几里德范数也被称为欧几里德距离，是最常见的计算两点间距离的方法。
它通过计算点 A 和点 B 之间的直线距离来定义：D = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)方法五: 球面三角学如果我们考虑地球表面上的两个点之间的距离，我们需要使用球面三角学。
通过使用经度和纬度，我们可以使用球面三角学中的公式来计算两点之间的距离。
方法六: 向量差我们可以将两个点表示为向量，并且两个点的差向量可以表示从一个点到另一个点的位移向量。
通过计算位移向量的长度，我们可以得到两点之间的距离。
方法七: 线段分割法将两个点之间的距离划分为多个小线段，然后使用勾股定理计算每个线段的长度，并将它们相加来得到最终的距离。
方法八: 极坐标转化我们可以将直角坐标系转换为极坐标系，并使用极坐标系中的公式来计算两点之间的距离。
方法九: 矩阵运算我们可以将两个点表示为矩阵，并使用矩阵运算的方法来计算它们之间的距离。
方法十: 微积分方法通过将两个点之间的路径表示为函数，并使用微积分的方法来计算函数的弧长，从而得到两点之间的距离。
勾股定理长度大全
勾股定理长度大全勾股定理是数学中的一条重要定理，也被称为毕达哥拉斯定理。
它描述了直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理可以用以下公式表示：c² = a² + b²其中，c代表斜边的长度，a和b分别代表直角三角形的两个直角边的长度。
在实际应用中，勾股定理具有广泛的用途。
下面是一些常见的应用场景：1. 测量距离：勾股定理可以用于测量两点之间的直线距离。
假设有两个坐标点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，可以使用勾股定理计算AB的长度。
2. 建筑设计：在建筑设计中，勾股定理可以帮助工程师计算斜面的长度。
例如，在设计楼梯时，可以使用勾股定理计算每一步的长度，以确保楼梯的安全性。
3. 导航和定位：勾股定理在导航和定位系统中也有重要应用。
通过测量两个已知点之间的距离和角度，可以使用勾股定理计算出当前位置与目标位置之间的直线距离。
4. 三角函数关系：勾股定理与三角函数之间存在密切的关系。
例如，正弦函数和余弦函数可以通过勾股定理来推导和证明。
勾股定理的长度大全包括无限多种组合，下面是一些常见的勾股定理长度的例子：1. 3-4-5三角形：这是最常见的勾股定理长度组合，其中直角边的长度分别为3和4，斜边的长度为5。
2. 5-12-13三角形：这是另一个常见的勾股定理长度组合，其中直角边的长度分别为5和12，斜边的长度为13。
3. 8-15-17三角形：这是又一个常见的勾股定理长度组合，其中直角边的长度分别为8和15，斜边的长度为17。
除了上述例子，勾股定理还有无数的长度组合，可以通过数学计算得出。
这些长度组合可以应用于各种实际问题中，帮助我们解决与直角三角形相关的计算和测量。
沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第19讲 勾股定理及两点间的距离公式(解析版)
本章节主要讲解两部分内容，一是直角三角形的三条边之间的数量关系即勾股定理，包括勾股定理的证明、应用及逆定理的证明和应用两方面；二是两点间的距离公式．难点是勾股定理的证明及应用，它是解决直角三角形三边之间关系的常用方法，是一个工具公式，在以后的学习中运用非常广泛．1、勾股定理：（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．勾股定理及两点间的距离公式知识结构模块一：勾股定理的证明及应用例题解析知识精讲内容分析【例1】 （1）在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =1，则AB =_________； （2）在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =45°，AB =3，则AC =_________．【答案】（1）2；（2）223．【解析】（1）由直角三角形性质推论即可得结论；（2）设x BC AC ==，则由勾股定理可得：2223=+x x ，解得：223=x ， ∴223=AC ． 【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的综合应用．【例2】 （1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．【答案】（1）349；（2）15．【解析】（1）作出等边三角形的高，则可得高为323，则三角形的面积为349； （2）作底边上的高，由三线合一性质和勾股定理可得底边上的高为15 【总结】考察等腰三角形的三线合一和勾股定理的综合运用．【例3】 （1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________； （3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．【答案】（1）5或7；（2）512；（3）215．【解析】（1）3和4可以是两直角边长，也可以是一个直角边和斜边； （2）由勾股定理可得：斜边长为5，则由等面积法可知：三角形斜边上的高为512543=⨯；（3）∵2、2、4不能构成三角形，所以三角形的三边长为4、4、2， 作等腰三角底边上的高，则由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可得：底边上的高为15，则由等面积法可知：此三角形腰上的高为2154152=⨯． 【总结】考察等腰三角形的性质和勾股定理的应用，注意分类讨论．【例4】 （1）若直角三角形的三边长分别为N +1，N +2，N +3则N 的值是____________；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．【答案】（1）2；（2）24．【解析】（1）由题意有：()()()222321+=+++N N N ，解：2=N （负值舍去）；（2）可设直角三角形的三边长分别为N -2，N ，N +2 ∴()()22222+=+-N N N ，∴8=N∴三角形的周长为243=N【总结】考察勾股定理的应用．【例5】 如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周长． 【答案】324+．【解析】∵∠ACB =90°，D 是斜边AB 的中点，∴AB AD CD BD 21===．∵∠B=60°，∴△BDC 是等边三角形，∴BC CD =．∵∠ACB =90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴4=AB ．∵AB AD CD BD 21===，∴2=CD ．∵∠ACB =90°，BC =2，4=AB ，∴322422=-=AC ，∴3243222+=++=++=AC CD AD C ADC △ 【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的运用．【例6】 如图，已知：R t △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．【答案】17120．【解析】设9AC x AB x ==+，， ∵222CB AC AB +=，∴()222159+=+x x ，解得：8=x∴817AC AB ==，由等面积法可知：1712017158=÷⨯=÷⋅=AB BC AC CD ． 【总结】考察勾股定理和等面积法的应用．【例7】 已知已直角三角形的周长为4+26，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．【答案】52．【解析】∵斜边上的中线为2，所以斜边长为4．A BCDBC D∵直角三角形的周长为4+26，∴两直角边之和为26． ∵斜边长为4，则两直角边的平方和为16，∴设两直角边分别为x y ，，则有⎩⎨⎧=+=+261622y x y x ，解得：()()52222=+-+=y x y x xy ，∴直角三角形的面积为25． 【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意方法的运用．【例8】 如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路， 请你求出这条小路的长（结果保留根号）． 【答案】3100100+．【解析】根据垂线段最短，过C 作垂线的垂线段是最短的． 过C 作CD ⊥MN ，垂足为D ，过B 作BE ⊥AC ，垂足为E ． 由题意可知：︒=∠30CAB ，︒=∠75CBM ，∴︒=∠45BCA ．在Rt △ABE 中，︒=∠30CAB ，400=AB ，∴20021==AB BE ．∴由勾股定理可得：3200=AE在Rt △CBE 中，︒=∠45BCA ，200=BE ，∴200=CE ∴2002200+=+=CE AE AC在Rt △ACD 中，︒=∠30CAB ，3200200+=AC ，∴3100100+=CD ．【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用．【例9】 如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒? 【答案】24秒．【解析】过A 做AB ⊥MN ，垂足为B ．A BCM M ND ME M APQ MNB在Rt △ABP 中，∠QPN =30°，160=AP ，∴8021==AP AB∵80<100，所以学校会受到噪音的影响．假设在C 处开始受到噪音影响，在D 处开始不受影响， ∴100100==AD CA ，由勾股定理可得：60==BD CB∴受影响的路程为120米=0.12千米∴学校受影响的时间为秒2436001812.0=⨯．【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意对题意的分析．【例10】 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，求出重叠部分△AFC 的面积． 【答案】10．【解析】∵AB DC ∥，ACF DCA ∠=∠，∴CAF ACF ∠=∠，∴FC AF = 设x FC AF ==，则x FB -=8∵222CF BF BC =+，∴()22284x x =-+，解得：5=x∴10452121=⨯⨯=⋅⋅=CB AF S AFC △ 【总结】考察翻折图形的性质和勾股定理的应用．【例11】 如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）． 【答案】10万元．【解析】延长AC 至点E ，使得CE =AC ，连接EB 交CD 于一点，，则此时铺设水管费用最低． 过E 作EF ∥CD ，交BD 延长线于F ∵四边形CEFD 是长方形，∴1==DF CEABCDEFABC D AB C D PEF∵34EF BF ==，，∴由勾股定理可得：5=BE 此时5==+=+BE BP EP PB AP ∴总费用为1025=⨯万元．【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．【例12】 如图，在直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，E 、F 是BC 上的两点，且∠EAF =45°，求证：222+=BE CF EF ． 【答案】见解析【解析】过C 作CG ⊥BC ，使CG CE =，连接AG 、FG ．∵∠BAC =90°，AB =AC ， ∴45B BCA ∠=∠=．∵CG ⊥BC ， ∴45ACG BCA ∠=∠=， ∴ACG B ∠=∠． ∵AB =AC ，BE =CG ， ∴AEB AGC △≌△∴AE AG BAE CAG =∠=∠，． ∵︒=∠45EAF ， ∴︒=∠+∠45CAF BAE ，∴45CAF CAG ∠+∠=︒，即45FAG ∠=︒， ∴GAF EAF ∠=∠∵AF AF =，AE AG =， ∴AFG AFE △≌△， ∴EF GF =．在Rt CFG 中，由勾股定理，可得：222GF CG CF =+， 又EF GF =，CG CE =，∴222+=BE CF EF ．【总结】本题综合性较强，本质上是对三角形的旋转，同时结合了勾股定理进行解题．ABC EFG2、 逆定理：（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．【例13】 下列命题中是假命题的是（）A ． 在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ． 在△ABC 中，若2()()a b c b c =+-，则△ABC 是直角三角形 C ． 在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形D ． △ABC 中，若::5:4:3a b c =，则△ABC 是直角三角形 【答案】C【解析】A 答案中：C A B ∠=∠+∠，且C A B ∠-︒=∠+∠180，∴︒=∠90C ，所以是直角三角形；B 答案中：222c b a -=，∴222b c a =+，所以是直角三角形；C 答案中：x A x C x B 5,4,3=∠=∠=∠，∴︒=++180543x x x ，∴︒=15x ，∴︒=∠75C ， ∴不是直角三角形；D 答案中：设543a m b m c m ===，，，∵222c b a +=，所以是直角三角形． 【总结】考察判断直角三角形的方法．模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用例题解析知识精讲【例14】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足222()()0a b a b c -+-=则△ABC 是________三角形． 【答案】（1）直角三角形；（2）等腰三角形或直角三角形．【解析】（1）直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，三边也满足勾股定理，所以得到的三角形是直角三角形；（2）由题意有：b a =或222c b a =+，∴三角形为等腰三角形或直角三角形． 【总结】考察勾股定理的应用．【例15】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．【答案】（1）24米；（2）15米．【解析】（1）由题意可知：折断的旗杆的部分长度为1512922=+，则旗杆长为9+15=24米；（2）由题意可得：可达到建筑物的高度为1581722=-． 【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．【例16】 ABC ∆的三边分别为A 、B 、C ，且满足222506810a b c a b c +++=++， 判断△ABC 的形状．【解析】∵222506810a b c a b c +++=++，∴()()()0543222=-+-+-c b a ，∴345a b c ===，，．∵222c b a =+，∴△ABC 是直角三角形．【总结】考察完全平方公式的应用和勾股定理逆定理的运用．【例17】 如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ． （1） 若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2） 若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?【答案】（1）10=AE ；（2）15AE =．ABCDE E’【解析】（1）设25AE x BE x ==-，则，∴()222222152510ED x EC x =+=-+，，∵EC ED =，∴()2222102515+-=+x x ，∴10=x ，即10=AE ．（2）找出C 点关于AB 的对称点F ，联结DF 交AB 于点E '， 则此时的E '满足C 、D 两村到E 站的距离和最小， 设x BE x AE -==25，，∴()222222152510ED x EF x =+=-+，， ∵225252522=+=DF ，∴()2251025152222=+-++x x ，解得：15x =，∴15AE =【总结】考察勾股定理的应用，注意最小值的求法．【例18】 如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB的度数． 【答案】135°． 【解析】连接AC∵AB =BC =2，∠B =90°，∴222222=+=AC ，︒=∠45BAC ． ∵2213AC AD CD ===，，，∴222CD AC AD =+， ∴︒=∠90DAC ，∴︒=∠+∠=∠135BAC DAC DAB ． 【总结】考察勾股定理及其逆定理的综合运用．【例19】 如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求AE ：BE 的值． 【答案】5：3． 【解析】连接ED ，∵EF 是AD 的垂直平分线，∴ED AE = 设2==BC AB ，x ED AE ==，则x BE -=2∵222ED BD BE =+，∴()22212x x =+-，解得：45=x ． 则434522=-=-=x BE ， ABCD AB CD EF∴3:543:45:==BE AE ． 【总结】考察勾股定理和线段垂直平分线性质的综合运用．【例20】 如图，∆ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，P A =3，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数．【答案】150°．【解析】在BC 的下方作︒=∠60PBD ，在BD 上截取一点D ，使得BD=BP ，连接CD 、PD∵︒=∠+∠60PBC ABP ，︒=∠+∠60PBC DBC ∴CBD ABP ∠=∠∵BC AB =，CBD ABP ∠=∠，BP BD = ∴CBD ABP ≌△△，∴3==AP CD∵︒=∠60PBD ，BP BD =，∴△BPD 为等边三角形，∴4==BP DP ． ∵435DP DC PC ===，，，∴222PC DC DP =+，∴︒=∠90PDC ∴︒=∠+∠=∠150PDC BDP BDC ∵CBD ABP ≌△△， ∴︒=∠=∠150BDC APB【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用．【例21】 如图，P 是凸四边形内一点，过点P 作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，已知AH =3，DH =4，DG =1，GC =5，CF =6，BF =4，且BE -AE =1， 求四边形ABCD 的周长． 【答案】34．【解析】由勾股定理可得：22222PE AE PH AH AP +=+=， 22222PF BF PE BE BP +=+=， 22222PG CG CF PF CP +=+=， 22222PH DH GP DG DP +=+=，等式相加后代入数据可得：2222222454163+++=+++AE BE ，ABCDEFGHPBAP CD整理得：2211BE AE -=，即()()11BE AE BE AE +-=，∵BE -AE =1， 解得：65BE AE ==，． 所以周长为：3415646534+++++++=． 【总结】考察勾股定理的应用，注意解题方法的合理选择．【例22】 已知，如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，设AC =b ，BC =a ，AB =c ，CD =h ． 求证：（1）c h a b +>+；（2）以a b +、c h +、h 为三边可构成一个直角三角形．【解析】（1）由等面积可知：ch ab =，∵222c b a =+，∴()ch c b ab a b a 222222+=++=+，()ch h c h c 2222++=+． ∵ch h c ch c 22222++<+，∴()()22h c b a +<+，∴c h a b +>+．（2）∵()ch h c h c 2222++=+；()ab b a h b a h 222222+++=++，222c b a =+，ch ab = ∴()()222b a h h c ++=+，∴以a b +、c h +、h 为三边可构成一个直角三角形．【总结】考察勾股定理及其逆定理的应用、等面积法的综合应用．3、 距离公式：如果平面内有两点11()A x y ，、22()B x y ，，则A 、B 两点间的距离为：221212()()x x y y -+-．（1） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在x 轴上或平行于x 轴的直线上，则有12y y =，AB =12||x x -；（2） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在y 轴上或平行于y 轴的直线上，则有12x x =，AB =12||y y -．例题解析模块三：两点间的距离公式知识精讲AB CD【例23】 已知点A （2，2）、B （5，1）．（1） 求A 、B 两点间的距离； （2） 在x 轴上找一点C ，使AC =BC ． 【答案】（1）10；（2）()30C ，． 【解析】（1）()()10125222=-+-=AB ；（2）设()0C x ，， ∵AC =BC ，∴()()22221522+-=+-x x ，3=x ，∴()30C ，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例24】 （1）已知A （x ，3）、B （3，x +1）之间的距离为5，则x 的值是_________；（2）已知点P 在第二、四象限的平分线上，且到Q （2，-3）的距离为5，则点P 的坐标为_________．【答案】（1）16-=或x ；（2）()66P -，或()11P -，． 【解析】（1）由题意有：()()513322=--+-x x ，∴16-=或x ；（2）设()a a P -，，∴()()53222=+-+-a a ，∴16-=或a ，∴()66P -，或()11P -，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例25】 （1）以点A （1，2）、B （-2，-1），C （4，-1）为顶点的三角形是________；（2）已知点A （0，3）、B （0，-1），△ABC 是等边三角形，则点C 的坐标是_______．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）()1C 或()1C -．【解析】（1）∵233322=+=AB ，60622=+=BC ，233322=+=AC ，∴222BC AC AB =+，AC AB =， ∴该三角形为等腰直角三角形； （2）()C a b ，，（3）∵4=AB ，∴()4322=-+=b a AC ，()4122=++=b a BC ，解得：a =±，1b =，∴()1C 或()1C -． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例26】 已知直角坐标平面内的点A （4，1）、B （6，3），在坐标轴上求点P ，使P A =PB ． 【答案】()70P ，或()07P ，． 【解析】①当点P 在x 轴上时，设()0P x ，，∵P A =PB ，∴()()22223614+-=+-x x ，7=x ，∴()70P ，②当点P 在y 轴上时， 设()0P y ，，∵P A =PB ，∴()()22226341+-=+-y y ，7=y ，∴()07P ，∴满足条件的P 点的坐标为()70P ，或()07P ，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用，由于点P 在坐标轴上，注意分类讨论．【例27】 已知直角坐标平面内的点P （4，m ），且点P 到点A （-2，3）、B （-1，-2）的距离相等，求点P 的坐标．【答案】845P ⎛⎫⎪⎝⎭，．【解析】由题意可知：()()22225263++=+-m m ，解得：58=m ，∴845P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例28】 已知点A （2，3）B （4，5），在x 轴上是否存在点P ，使得PA PB +的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由． 【答案】存在，最小值为172．【解析】找出A （2，3）关于x 轴对称的点为()23C -，，连接BC ，则PA PB +的值最小值为1728222=+=BC ． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例29】 已知直角坐标平面内的点A （4，32）、B （6，3），在x 轴上求一点C ，使得 △ABC 是等腰三角形．【答案】10704C ⎛⎫⎪⎝⎭，或()60C ，或()20C ，． 【解析】设()0C x ，， 当CA =CB 时，∴()()222236234+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ，16107=x ，∴10704C ⎛⎫⎪⎝⎭，； 当CA =AB 时，∴()2222223234+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x ，62或=x ，∴()60C ，或()20C ，； 当CB =AB 时，∴()222222336+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-x ，方程无解，所以不存在．综上，满足条件的点C 的坐标为：10704C ⎛⎫⎪⎝⎭，或()60C ，或()20C ，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用，注意分类讨论．【例30】 已知点A （4，0）、B （2，-1），点C 的坐标是（x ，2-x ），若△ABC 是等腰三角形，求C 的坐标．【答案】7322C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或662622C ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭，或666222C ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，或()11C -，或()42C -，． 【解析】由两点间距离公式，可得：22(42)15AB =-+=，22(4)(2)AC x x =-+-，22(12)(2)BC x x =---+-．当CA =CB 时，即()()()()222221224x x x x +--+-=-+-，解得：27=x ，∴7322C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，； 当CA =AB 时，即()()22221224+=-+-x x ，解得：266266-+=或x ，∴662622C ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭，或666222C ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，；当CB =AB 时，即()()222221212+=+--+-x x ，解得：14x x ==或，所以()11C -，或()42C -，． 综上，满足条件的C 点的坐标为：7322⎛⎫- ⎪⎝⎭，或662622⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭，或666222⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭， 或()11-，或()42-，． 【总结】本题主要考察两点之间距离公式及勾股定理的应用，由于题目中并没有说明斜边是哪条边，因此要分类讨论．随堂检测【习题1】 六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm ）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）．A ． 2、4、8B ．4、8、10C ．6、8、10D ．8、10、12【答案】C【解析】只有C 答案满足勾股定理逆定理． 【总结】考察勾股定理逆定理的应用．【习题2】 已知点A （2，4）B （-1，-3）C （-3，-2），那么△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不是【答案】D【解析】∵587322=+=AB ，51222=+=BC ，616522=+=AC ，∴222BC AC AB ≠+，∴该三角形不是直角三角形，也不是等腰三角形． 【总结】考察两点之间的距离公式的应用．【习题3】 （1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________． 【答案】（1）2，22或22，；（2）13或119．【解析】两题目中的边长可能为两直角边或一条直角边和一条斜边． 【总结】考察勾股定理的应用．【习题4】 如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 上的点F 处，AB =8，AD =10．求EC 的长． 【答案】3=CE ．【解析】由翻折性质，可知：10==AF AD ，∴622=-=AB AF BF ，∴4610=-=-=BF BC CF ． 设x DE EF x EC -===8，∵222EF CF CE =+，∴()22284x x -=+，解得：3=x ．∴3=CE ．A BCDEF【总结】考察勾股定理的应用．【习题5】 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =9，BC =12，CD =15，DA =152．求四边形ABCD 的面积．【答案】2333．【解析】联结AC ，过C 作CE ⊥AD∵AB ⊥BC ，AB = 9，BC =12，∴15=AC ．∵CD =15，15=AC ，152，∴222CD AC AD +=， ∴ACD 为直角三角形．∴1122ABC ADC ABCD S S S AB BC AD EC =+=⋅⋅+⋅⋅△△四边形111523339121522222=⨯⨯+⨯⨯=． 【总结】考察勾股定理及其逆定理的综合运用．【习题6】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB =5，AC =3，AD =2．求：△ABC的面积． 【答案】6．【解析】延长AD 至E ，使得DF=AD ，联结CE∵CD BD =，CDE ADB ∠=∠，DF=AD ， ∴CDE ABD ≌△△，∴5==CE AB∵345AC AE CE ===，，，∴222CE AE AC =+， ∴︒=∠90DAC ，∴321=⋅⋅=AC AD S ADC △． ∵CD BD =，∴62==ADC ABC S S △△．【总结】考察勾股定理逆定理的应用和等底同高的面积相等的应用．AB CDABDCE【习题7】 若A 、B 、C 是三角形的边长且关于x 的方程222()20x a b x c ab -+++=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【答案】直角三角形．【解析】由题意可知：()[]()024222=+-+-ab c b a ，∴222c b a =+，∴这个三角形为直角三角形． 【总结】考察勾股定理逆定理的应用．【习题8】 如图，在一条公路上有P 、Q 两个车站，相距27km ，A 、B 是两个村庄，AP ⊥PQ ，BQ ⊥PQ ，且AP =15km ，BQ =24km ，现在要在公路上建立一个商场M 使得A 、B 两个村庄到商场M 的距离相等，求PM 的长 ． 【答案】20=PM ．【解析】设x MQ x PM -==27，，∵MB MA =，∴()2222242715+-=+x x ，解得：20=x ， ∴20=PM ．【总结】考察勾股定理的应用及对最小值的应用．【习题9】 已知点()()2814A B -，，,点C 在y 轴上，使ABC ∆为直角直角三角形，求满足条件的点C 的坐标．【答案】()066C +，或()066C -，或1902C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1304C ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【解析】设()0C y ，，则24(8)AC y =+-，21(4)BC y =+-，22345AB =+=．当222AB BC AC =+时，则()()222222431428+=+-++-y y ， 解得：6666y y =+=-或，∴()066C +，或()066C -，； 当222BC AB AC =+时，则()()222222144328+-=+++-y y ，解得：219=y ， ∴1902C ⎛⎫⎪⎝⎭，；当222AC AB BC =+时，则()()222222284314+-=+++-y y ，解得：413=y ， ∴1304C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．∴综上所述，满足条件的C 点的坐标为：()066C +，或()066C -，或1902C ⎛⎫⎪⎝⎭，或 1304C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【总结】考察两点之间的距离公式的运用，注意分类讨论．ABQPM【习题10】 如图，在ABC ∆中，90ACB AC BC M ∠==，，是ABC ∆内一点，且312AM BM CM ===，，,求BMC ∠的度数．【答案】135°．【解析】在过点C 作CD ⊥CM 于点C ，在CD 上截取一点D ，使得CD=CM ，连接BD∵︒=∠+∠90DCA ACM ，︒=∠+∠90BCM ACM ∴BCM DCA ∠=∠∵BC AC =，BCM DCA ∠=∠，CM CD = ∴BCM ACD ≌△△， ∴1==AD BM∵︒=∠90MCD ，CM CD =， ∴22=DM ，︒=∠45CDM ∵1223DA DM AM ===，，， ∴222AM DM DA =+， ∴︒=∠90ADM∴︒=∠+∠=∠135CDM ADM ADC ∵BCM ACD ≌△△， ∴︒=∠=∠135ADC BMC【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用．ABCMD【习题11】 若在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠ACB =90°，则222a b c +=试用两种方法证明．【解析】方法一：如图，△CDE ≌△ADE ，且B 、C 、D 在一条直线上，联结AE∵△CDE ≌△ADE ，∴CED ACB ∠=∠∵︒=∠+∠90CED ECD ，∴︒=∠+∠90CED ACB ，∴︒=∠90ACE∴梯形ABDE 的面积为()()22121221c ab b a b a +⨯=++整理得：222a b c +=，即得证．方法二、如图，由四个△ABC 拼成以下图形， 则四边形BCEG 和四边形ADFH 都为正方形∵四边形BCEG 的面积为2c ，∴四边形ADFH 的面积为()22214b a c ab +=+⨯，整理得：222a b c +=，即得证．【总结】本题主要考查学生对勾股定理的理解及通过几何说理方法说明定理的正确性．【作业1】 下列命题中，正确的有()个（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 （2） 有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 （3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】（1）（2）正确，（3）错误，分锐角三角形和钝角三角形两种情况．故选C ． 【总结】考察三角形全等的判定．【作业2】 如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A =______． 【答案】22．【解析】根据勾股定理得A 的面积等于另外两正方形面积之差． 【总结】考察勾股定理的应用．【作业3】 如图，Rt ABC ∆中，斜边1AB =，则222AB BC AC ++的值是_________． 【答案】2．【解析】222=1+1=2AB BC AC ++． 【总结】考察勾股定理的应用．【作业4】 已知点()35A -，，点B 的横坐标为-3，且A 、B 两点之间的距离为10，那么点B 的坐标是____________． 【答案】()()33313B B ---，或，． 【解析】设()3B m -，，∵BA =10，∴()106522=++m ，解得：133-=或m ，∴()()33313B B ---，或，． 【总结】考察两点之间的距离公式的应用．【作业5】 现将直角三角形ABC 的直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，点C与点E 重合，已知AC =3，BC =4，则CD 等于_____________.课后作业5072A【答案】23=CD ． 【解析】由翻折性质，可得：3==AE AC ，∴2=BE ．设4CD DE x DB x ===-，则，∵222BD BE DE =+，∴()22242x x -=+，解得：23=x ，∴23=CD ． 【总结】考察翻折性质及勾股定理的综合应用．【作业6】 如果ABC ∆的周长为12，而22AB BC AC AB BC +=-=，，那么ABC ∆的形状是____________．【答案】直角三角形．【解析】∵12=++AC BC AB ，22AB BC AC AB BC +=-=，， 联立方程，解得：534AB BC AC ===，，． ∵222CB AC AB +=，∴ABC ∆为直角三角形． 【总结】考察勾股定理逆定理的应用．【作业7】 已知等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，DBC ∆为等边三角形，那么A 、D两点的距离为_______. 【答案】13-=AD 或13+．【解析】∵CD BD AC AB ==，，∴DA 垂直平分BC ．设DA 交BC 于E ，∵等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，∴1=AE∵DBC ∆为等边三角形，∴根据勾股定理和直角三角形的性质可得：3=DE 当A 点在DBC ∆内部时，13-=AD ； 当A 点在DBC ∆外部时，13+=AD ．【总结】考察勾股定理和直角三角形的性质的综合运用，注意分类讨论．【作业8】 已知：如图，已知在Rt ABC ∆中，9030B C ∠=∠=，，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转30后得到APQ ∆，若1AB =，则两个三角形重叠部分的面积为_________. 【答案】63．【解析】设AC 与PQ 相交于D由题意可得：︒=∠30BAO ，︒=∠30PAD ，1==AB AP ∵︒=∠90P ，︒=∠30PAD ，∴设2PD x AD x ==，ABCQPD∴()2221x x =+，解得：33=x ． ∴6321=⋅⋅=PD AP S APD △． 【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的综合运用．【作业9】 已知：如图，四边形ABCD 的三边（AB 、BC 、CD ）和BD 都为5厘米，动点P 从A 出发（A B D →→），速度为2厘米/秒，动点Q 从点D 出发（D C B A →→→）到A ，速度为2.8厘米/秒，5秒后P 、Q 相距3厘米，试确定5秒时APQ ∆的形状. 【答案】直角三角形．【解析】P 点的运动路程为10厘米，则此时P 与D 重合；Q 点的运动路程为14厘米，此时BQ =4厘米． ∵534===BP PQ BQ ，，∴△BPQ 为直角三角形，且︒=∠90BQP ，即︒=∠90AQP ． ∴APQ ∆的形状为直角三角形．【总结】考察动点背景下勾股定理逆定理的运用，注意对动点运动路线的判断．【作业10】 阅读下列题目的解题过程： 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状. 解：222244a c b c a b -=-（A ），()()()2222222c a b a b a b ∴-=+-(B ) 222c a b ∴=+(C )，∴ABC ∆是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错? 请写出该步的代号：____________； （2）错误的原因：_______________；（3）本题正确的结论为：____________.【答案】（1）C ；（2）两边同时除一个不为零的数，等式成立．（3）直角三角形或者等 腰三角形．【解析】C 步骤应该为：222220c a b a b =+-=或， 所以应为直角三角形或者等腰三角形．ABCDQP【总结】考察因式分解和勾股定理的综合应用．【作业11】 如图，一根长度为50CM 的木棒的两端系着一根长度为70CM 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【答案】满足条件的点有2个，一段长为30厘米，一段长为40厘米． 【解析】设其中的一段长为x cm ，则另一段长为()cm x -70∴()2225070=-+x x ，解得：4030或=x ．∴满足条件的点有2个，一段长为30厘米，一段长为40厘米． 【总结】考察勾股定理的应用，注意两个点的考虑．【作业12】 在直角坐标平面内，已知()()1054A B -，，，，在坐标轴上求一点P ，使得PAB ∆为直角三角形，求点P 的坐标. 【答案】()05P ，或()01P -，或302P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或2302P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()50P ，或()10P -，或2303P ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【解析】当点P 在y 轴上时，设()0P y ，， 当222AB BP AP =+，∴()22222246541+=+-++y y ，解得：15-=或y ， ∴()05P ，或()01P -，； 当222BP AB AP =+，∴()22222254461+-=+++y y ，解得：23-=y ，∴302P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，； 当222AP AB BP =+，∴()22222214654+=+++-y y ，解得：223=y ，∴2302P ⎛⎫⎪⎝⎭，；当点P 在x 轴上时，设()0P x ，， 当222AB BP AP =+，∴()()222222464501+=+-+++x x ，解得：15-=或x ， ∴()50P ，或()10P -， 当222BP AB AP =+，∴()()222222454601+-=++++x x ，解得：1-=x ，∴()10P -，当222AP AB BP =+，∴()()222222014645++=+++-x x ，解得：323=x ，∴2303P ⎛⎫⎪⎝⎭，． 综上所述：满足条件的点P 的坐标为：()05P ，或()01P -，或302P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或2302P ⎛⎫⎪⎝⎭，或 ()50P ，或()10P -，或2303P ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【总结】考察勾股定理的运用和两点之间的距离公式的综合应用，本题综合性较强，要进行多角度的分类讨论．。
已知二点坐标算距离公式
已知二点坐标算距离公式在平面直角坐标系中，我们可以通过求两点之间的距离来计算这两点的几何关系。
已知两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们可以使用勾股定理来计算两点之间的距离。
勾股定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方的和。
根据这个定理，我们可以计算出A点与B点的距离d：d = sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，sqrt表示开平方。
下面我们通过一个实际问题来解释如何使用这个公式计算两点之间的距离。
假设有两座城市A和B，它们的地理坐标分别是A(3,4)和B(5,7)。
我们需要计算出这两座城市之间的距离。
根据公式，我们有：d = sqrt((5 - 3)² + (7 - 4)²)= sqrt(2² + 3²)= sqrt(4 + 9)= sqrt(13)所以，城市A和城市B之间的距离是sqrt(13)。
这个公式在计算距离时非常实用，因为它可以应用于任何两个点的坐标。
无论是在平面上还是在三维空间中，这个公式都适用。
在三维空间中，我们可以将坐标点表示为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)。
根据勾股定理，我们可以得到这两个点之间的距离d：d = sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)这个公式可以用于计算任意两个三维空间中的点之间的距离。
除了上述方法之外，我们还可以使用向量的方法来计算两点之间的距离。
向量的表示既可以使用坐标表示，也可以使用起点和终点来表示。
如果我们使用坐标表示，可以将两个坐标点表示为向量A(x1,y1)和向量B(x2,y2)。
那么，AB向量的长度就是两点之间的距离。
如果我们使用起点和终点来表示，可以将点A看作是一个向量A，点B看作是一个向量B。
那么，AB向量的长度就是两点之间的距离。
这种向量的方法在计算机图形学和几何学中经常被使用。
19-勾股定理及两点的距离公式 - 学生版
教师姓名 学生姓名 年级上课时间学科 数学 课题名称勾股定理及两点的距离公式待提升的知识点/题型Ⅰ知识梳理知识点一：勾股定理（1）定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；（2）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其它两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．知识点二：两点的距离公式（1）平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 之间的距离公式为12PP = 222121()()x x y y -+-．（2）中点坐标公式：对于平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，线段12PP 的中点是00(,)M x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．Ⅱ知识精析一.勾股定理（一）典例分析.学一学例1-1利用222c b a =+求未知边在一直角三角形中有两边长分别是3.4，则其第三边长为例1-2勾股数的考察（345、51213、81517、72425） 下面四组数中是勾股数的有（ ）．（1）1.5，2.5，2 （2）2，2，2 （3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组例1-3直角三角形的判定问题已知：在△ABC 中，∠A.∠B.∠C 的对边分别是a.b.c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a +24b +26c . 试判断△ABC 的形状.例1-4面积问题已知：如图，已知∠B =∠D =90°，∠A =60°，AB =10，CD =6. 求：四边形ABCD 的面积.AB CD例1-5折叠问题如图，矩形纸片ABCD 的边AB =10cm ，BC =6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠， 点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.例1-6最短路程问题一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B ’点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?已知长方体的长2cm.宽为1cm.高为4cm .例1-7实际问题如图，一个梯子AB =5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 间的距离为3m 梯子滑动后停在DE 位置上，如图，测得DB 的长为1m ，则梯子顶端A 下落了多少m ?例1-8思维发散在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006,,P P P ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++=_____.（二）限时巩固，练一练1．已知直角三角形的两边长为3.2，则另一条边长是________________．2．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm ，则另一条直角边的长为D ˊ ABCD A ˊB ˊC ˊ_______________．3.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，12 4.若△ABC的三边a.b.c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断△ABC的形状.5.已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积6.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.7.有一立方体礼盒如图所示，在底部A处有壁虎，C’处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥.若立方体礼盒的棱长为20cm，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎的每分钟至少爬行__________________厘米（用根号表示）8.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．•当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯多少米?9.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．（1）2+1=2 S1=1 2（2）2+1=3 S2=2 2（3）2+4=5 S3=3 2（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+S22+…+S102的值．二.两点的距离公式（一）典例分析.学一学例2-1（1）求A(-1,3).B（2，5）两点之间的距离；（2）已知A（0，10），B（a，-5）两点之间的距离为17，求实数a的值．例2-2已知三角形ABC的三个顶点13(1,0),(1,0),(,)22A B C-，试判断ABC∆的形状．例2-3已知ABC∆是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC=．例2-4已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),A -(2,1),(4,7)B C --，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程．（二）限时巩固.练一练1.式子22(1)(2)a b ++-可以理解为( )()A 两点(a,b )与(1,-2)间的距离； ()B 两点(a,b )与(-1,2)间的距离 ()C 两点(a,b )与(1,2)间的距离； ()D 两点(a,b )与(-1,-2)间的距离2.以A (3,-1), B (1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为( )()A 2x +y -5=0 ()B 2x +y +6=0 ()C x -2y =0 ()D x -2y -8=03. 线段AB 的中点坐标是(-2,3),又点A 的坐标是(2,-1),则点B 的坐标是 ． 4．已知点(2,3),A -，若点P 在直线70x y --=上，求取最小值．※三.延伸拓展：对称性问题（选讲）（一）典例分析，学一学 例3-1已知直线1:12l y x =-，（1）求点(3,4)P 关于l 对称的点Q ；（2）求l 关于点(2,3)对称的直线方程．例3-2一条光线经过点(2,3)P ,射在直线10x y ++=上，反射后，经过点(1,1)A ，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．（二）限时巩固.练一练1．点(-1,2)关于直线x +y -3=0的对称点的坐标为( )()A (1,4) ()B (-1,4) ()C (1,-4) ()D (-1,-4)2．直线3x -y -2=0关于x 轴对称的直线方程为 ．3．已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求D 点的坐标,使四边形ABCD 为等腰梯形．4．已知定点(2,2)A ，(8,4)B ，求2222(2)2(8)4x x -++-+的最小值．Ⅲ课堂测评一.填空题.1.如果直角三角形的边长分别是6.8.x ，则x 的取值范围是 .2.如图，D 为△ABC 的边BC 上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，BD ＝5，AC ＝BC ，则BC ＝ .第2题图13125DCBA第3题图DCB A第5题图DCB A3.如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝900，则∠DAB ＝ .4.等腰△ABC 中，一腰上的高为3cm ，这条高与底边的夹角为300，则ABC S ∆＝ .5.如图，△ABC 中，∠BAC ＝900，∠B ＝2∠C ，D 点在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB ＝1，则BD 的长为 .6.已知Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6，则ABC S ∆＝ .7.如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，腰长为8cm ，AC.BD 相交于O 点，且∠AOD ＝600，设E.F 分别为CO.AB 的中点，则EF ＝ .第7题图 FEODC BA第8题图 EQPDCBA第9题图 DC BA8.如图，点D.E 是等边△ABC 的BC.AC 上的点，且CD ＝AE ，AD.BE 相交于P 点，BQ ⊥AD .已知PE ＝1，PQ ＝3，则AD ＝ .9.如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A.B.C.D 的面积的和是 .二.选择题1.如图，已知△ABC 中，AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则三个结论：①AS ＝AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP 中（ ）A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D.仅①和③正确2.如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定3.在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝4，AD ＝3，则∠ACB 的度数是（ ） A.大于900 B.小于900 C.等于900 D.不能确定第1题图S R Q PCBA第4题图OCBA4.如图，已知△ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝3，OA ＝OC ＝6，则∠O AB 的度数为（ ） A.100 B.150 C.200 D.250 三.解答题1.阅读下面的解题过程：已知a .b .c 为△ABC 的三边，且满足42222a c b c a =-4b -，试判断△ABC 的形状.解：∵42222a c b c a =-4b -……①∴))(()(2222222b a b a b ac -+=-……② ∴222c b a =+……③ ∴△ABC 是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 . 2.已知△ABC 中，∠BAC ＝750，∠C ＝600，BC ＝33+，求AB 、AC 的长.3.如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE 于G . （1）求证：G 是CE 的中点； （2）∠B ＝2∠BCE .第3题图G E D CB A4.已知△ABC 的两边AB.AC 的长是方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边BC ＝5.（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积.Ⅳ 回顾总结1.勾股定理及其逆定理分别是？常考题型有哪些？常见勾股数有哪些？2.两点的距离公式及中点坐标公式思维点拔：平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式为222121()()x x y y -+-，线段12PP 中点坐标为1212(,)22x x y y ++.平面上两点间距离公式及中点坐标公式有着广泛的应用，如：计算图形面积，判断图形形状等.同时也要注意掌握利用中点坐标公式处理对称性问题.Ⅴ 课后巩固1．已知△ABC 中，∠A =12∠B =13∠C ，则它的三条边之比为（ ）． A ．1：1：2 B ．1：3：2 C ．1：2：3 D ．1：4：1111222(,),(,)P x y P x y 中点坐标1212(,)22x x y y ++ 22122121()()PP x x y y =-+-2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）．A．52B．3 C．322+D．332+3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，54．下列各命题的逆命题成立的是（）A．全等三角形的对应角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）．A．3cm2B．23cm2C．33cm2D．4cm26．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（）．A．2 B．4 C．22D．107．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（）．A．5B．3C．1 D．1 28．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（）A．182 B．183 C．184 D．1859．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，•求CN的长10.已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F•处，•如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．.。
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模块一：勾股定理的证明及应用知识精讲1、勾股定理：（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．例题解析【例1】（1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=_________；（2）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=3，则AC=_________．【例2】（1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．【例3】（1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________；（3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．【例4】（1）若直角三角形的三边长分别为N+1，N+2，N+3则N的值是____________；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．【例5】 如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周长．【例6】 如图，已知：R t △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．【例7】 已知已直角三角形的周长为4+26，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．【例8】 如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路，请你求出这条小路的长（结果保留根号）．A BCD A BCM MNBC D【例9】 如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒?【例10】 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，求出重叠部分△AFC 的面积．【例11】 如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．APQMNABCD EF A BC DA B CDP2、 逆定理：（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．【例12】 下列命题中是假命题的是（）A ． 在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ． 在△ABC 中，若2()()a b c b c =+-，则△ABC 是直角三角形 C ． 在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形D ． △ABC 中，若::5:4:3a b c =，则△ABC 是直角三角形【例13】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足222()()0a b a b c -+-=则△ABC 是________三角形．【例14】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用例题解析知识精讲【例15】 ABC ∆的三边分别为A 、B 、C ，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断△ABC 的形状．【例16】 如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ．（1） 若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2） 若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?【例17】 如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．ABCD A BCDE【例18】 如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求AE ：BE 的值．3、 距离公式：如果平面内有两点11()A x y ，、22()B x y ，，则A 、B 两点间的距离为：221212()()x x y y -+-．（1） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在x 轴上或平行于x 轴的直线上，则有12y y =，AB =12||x x -； （2） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在y 轴上或平行于y 轴的直线上，则有12x x =，AB =12||y y -．【例19】 已知点A （2，2）、B （5，1）．（1） 求A 、B 两点间的距离； （2） 在x 轴上找一点C ，使AC =BC ．例题解析模块三：两点间的距离公式ABCDEF知识精讲【例20】（1）已知A（x，3）、B（3，x+1）之间的距离为5，则x的值是_________；（2）已知点P在第二、四象限的平分线上，且到Q（2，-3）的距离为5，则点P的坐标为_________．【例21】（1）以点A（1，2）、B（-2，-1），C（4，-1）为顶点的三角形是________；（2）已知点A（0，3）、B（0，-1），△ABC是等边三角形，则点C的坐标是_______．【例22】已知直角坐标平面内的点A（4，1）、B（6，3），在坐标轴上求点P，使P A=PB．【例23】已知直角坐标平面内的点P（4，m），且点P到点A（-2，3）、B（-1，-2）的距离相等，求点P的坐标．【例24】已知点A（2，3）B（4，5），在x轴上是否存在点P，使得PA PB的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【例25】已知直角坐标平面内的点A（4，32）、B（6，3），在x轴上求一点C，使得△ABC是等腰三角形．【例26】已知点A（4，0）、B（2，-1），点C的坐标是（x，2-x），若△ABC是等腰三角形，求C的坐标．【习题1】六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）．A．2、4、8B．4、8、10C．6、8、10D．8、10、12随堂检测【习题2】 已知点A （2，4）B （-1，-3）C （-3，-2），那么△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不是【习题3】 （1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________．【习题4】 如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 上的点F 处，AB =8，AD =10．求EC 的长．【习题5】 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =9，BC =12，CD =15，DA =152．求四边形ABCD 的面积． A B CDABC DEF【习题6】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB =5，AC =3，AD =2．求：△ABC 的面积．【习题7】 若A 、B 、C 是三角形的边长且关于x 的方程222()20x a b x c ab -+++=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【习题8】 如图，在一条公路上有P 、Q 两个车站，相距27km ，A 、B 是两个村庄，AP ⊥PQ ，BQ ⊥PQ ，且AP =15km ，BQ =24km ，现在要在公路上建立一个商场M 使得A 、B 两个村庄到商场M 的距离相等，求PM 的长 ．【习题9】 已知点()()2814A B -，，,点C 在y 轴上，使ABC ∆为直角直角三角形，求满足条件的点C 的坐标．AB D CABQP M【习题10】 如图，在ABC ∆中，90ACB AC BC M ∠==o ，，是ABC ∆内一点，且 312AM BM CM ===，，,求BMC ∠的度数．【习题11】 若在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠ACB =90°，则222a b c +=试用两种方法证明．【作业1】 下列命题中，正确的有()个（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 （2） 有一直角边和斜边上对应相等的两个直角三角形全等 （3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3课后作业ABCM【作业2】 如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A =______．【作业3】 如图，Rt ABC ∆中，斜边1AB =，则222AB BC AC ++的值是_________．【作业4】 已知点()35A -，，点B 的横坐标为-3，且A 、B 两点之间的距离为10，那么点B 的坐标是____________．【作业5】 现将直角三角形ABC 的直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，C 与E 重合，且AC =3，BC =4，则CD 等于_____________.【作业6】 如果ABC ∆的周长为12，而22AB BC AC AB BC +=-=，，那么ABC ∆的形状是 ____________．【作业7】 已知等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，DBC ∆为等边三角形，那么A 、D 两点的距离为_______. 5072A【作业8】 知：如图，已知在Rt ABC ∆中，9030B C ∠=∠=o o ，，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转30o 后得到APQ ∆，若1AB =，则两个三角形重叠部分的面积为_________.【作业9】 已知：如图，四边形ABCD 的三边（AB 、BC 、CD ）和BD 都为5厘米，动点P 从A 出发（A B D →→），速度为2厘米/秒，动点Q 从点D 出发（D C B A →→→）到A ，速度为2.8厘米/秒，5秒后P 、Q 相距3厘米，试确定5秒时APQ ∆的形状.【作业10】 阅读下列题目的解题过程： 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状.解：Q 222244a c b c a b -=-（A ），()()()2222222c a b a b a b ∴-=+-(B )222c a b ∴=+(C )，∴ABC ∆是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错? 请写出该步的代号：____________； （2）错误的原因：_______________；（3）本题正确的结论为：____________.ABCDQPABCQP【作业11】 如图，一根长度为50CM 的木棒的两端系着一根长度为70CM 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【作业12】 在直角坐标平面内，已知()()1054A B -，，，，在坐标轴上求一点P ，使得PAB ∆为直角三角形，求点P 的坐标.。