勾股定理及两点间的距离公式

模块一：勾股定理的证明及应用

知识精讲

1、勾股定理：

（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；

（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，

可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因

此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．

例题解析

【例1】（1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=_________；

（2）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=3，则AC=_________．

【例2】（1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；

（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．

【例3】（1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；

（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________；

（3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．

【例4】（1）若直角三角形的三边长分别为N+1，N+2，N+3则N的值是____________；

（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．

【例5】 如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周

长．

【例6】 如图，已知：R t △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的

长．

【例7】 已知已直角三角形的周长为4+26，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．

【例8】 如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一

栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路，请你求出这条小路的长（结果保留根号）．

A B

C

D A B

C

M M

N

B

C D

【例9】 如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假

设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒?

【例10】 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，求出重叠部分

△AFC 的面积．

【例11】 如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，

CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．

A

P

Q

M

N

A

B

C

D E

F A B

C D

A B C

D

P

2、 逆定理：

（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理

来判断三角形是否为直角三角形．

（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于

较小两边的平方和．

【例12】 下列命题中是假命题的是（

）

A ． 在△ABC 中，若∠

B =∠

C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ． 在△ABC 中，若2()()a b c b c =+-，则△ABC 是直角三角形 C ． 在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形

D ． △ABC 中，若::5:4:3a b c =，则△ABC 是直角三角形

【例13】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；

（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足222()()0a b a b c -+-=则△ABC 是________三角形．

【例14】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多

少米?

（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．

模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用

例题解析

知识精讲

【例15】 ABC ∆的三边分别为A 、B 、C ，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断△ABC 的形状．

【例16】 如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已

知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ．

（1） 若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2） 若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?

【例17】 如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．

A

B

C

D A B

C

D

E