二项式定理及应用PPT教学课件
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知识网络
二项式 定理
展开式 通项公式 系数性质
应用
复习
1.二项式定理：
(a b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n
1b1
C
r n
a
nr
b
r
C
n n
b
n
(n
N
)
2.通项即展开式的第r+1项：
Tr1
C
r n
a
n
r
b
r
二项式系数的性质
(1)对称性： 与首末两端“等距离” 的 两个二项式系数相
等
代数意义：
例2、在(2x+3)20的展开式中，求其项的最大 系数与最大二项式系数之比
2
例3、已知 ( x 3 3x2 )n的展开式中，各项系
数和比它的二项式系数和大992．求展开式 中二项式系数最大的项
典题型举例
例4、设(1-2x)5= a0＋ a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5. 求：
评注：利用二项式定理证明不等式问题时，通常 是把二项展开式中的某些正项适当删去（缩小）， 或把某些负项删去（放大），使等式转化为不等 式，然后再根据不等式的传递性进行证明
练习：设x 1，n N *且n 2， 求证：xn n2 ( x - 1)2
4
典题型举例
例5 求(x - 1) - (x -1) 2 + (x -1)3- (x -1)4 + (x -1)5展开
例 6 若 (x+m)2n+1 和 (mx+1)2n (n∈N+ ， m∈R且m≠0)的展开式的 xn 项的系数相等， 求实数m的取值范围
评注：注意区分二项式系数与项的系数
练习、若(1+ x )n的展开式中，倒数第5，6， 7项的系数顺次为等差数列，且展开式的项 数为奇数，求展开式中x2的系数
练习
1、已知
x
2 x
n
展开式中第五项的系数与
第三项的系数比是10 : 1，求展开式中含x的项
2、如果： 1＋2C
1 n
22 Cn2 L
2n
C
n n
2187
求：Cn1 L Cnr L Cnn 的值
小结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
式中含 x 2 项的系数
(90年全国)
分析：求特定项系数，我们已经学过二项式展开式、 通项公式、分解因式等方法。对于求较复杂的代数式 的展开式中某项的系数，常常需要对所给的代数式进 行化简，减少计算量
变式：求(a b c d )1995展开式中 a200b800c900d 95项的系数
典题型举例
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习：
若(2 x 3 )4 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______ (99年全国)
在生态系统中，各种生物的数量和 所占的比例总是维持在相对稳定的 状态，这种现象就叫生态平衡。
如果食物链或食物网中某一环节出 了问题，就会使整个生态失衡。
▪疑问：
▪ 在自然生态系统中，各种 动物的数量能不能无限的 增长？为什么？
典题型举例
例5、 Biblioteka Baidu192除以100的余数是＿＿＿＿＿
(92年“三南”高考 题)
评注：利用二项式定理可以求余数和证明整除性 问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式， 且这种转化形式与除数有密切关系
练习：若今天是星期天，则今天后的第100100 天是星期________
典题型举例
例6证明：当 n 3时，2n 2(n 1)
2、( 1 3 x )20展开式中，不含x的项是第____ 项 x
3、（x2 - 1 ）9展开式中x9的系数是 _________（03年 2x
全国高考）
例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
请支援我们 20万只青蛙，2 万只麻雀和5000条蛇。
疑问1 为什么古老城选择了用
自然方法处理蝗灾？
第三章 动物在生物圈中的作用
第一节 动物在自然界中的作用
疑问2 古老城中的青蛙、麻雀
和蛇都哪儿去了？
当地农民说：“青蛙和蛇对付蝗 虫很管用，可现在青蛙和蛇都让 人吃光了。”
麻雀啄食和糟蹋农作物，曾被 列为主要害鸟。20世纪50～60 年代，我国开展了一场轰轰烈 烈的“剿灭麻雀”的全民运动。
作业: 指导与学习P74-75
T1-10
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
(3)各二项式系数的和
(1)C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
r n
C
n n
2n
即：(a b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n
(
2)C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
2n1
即：(a b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和 等于偶数项的二项式系数的和
这种方法叫做赋值法
考点练习
1、若(1+x)8展开式中间三项依次成等差数列， 则x=____________
“成果”：
仅一天，上海就消灭麻雀194432只！ 据不完全报道：从3月到11月上旬， 8个月的时间中全国捕杀麻雀19.6亿 只！
通过以上资料的分析，你认为人类能否 随意灭杀某种动物吗？为什么？ 人为的破坏动物的种类和数量，会导致 整个生态系统失去平衡
从而可以看出 动物在自然界有什么作用？
维持生态平衡
C
m n
C
n n
m
几何意义：
直线 r n 2
作为对称轴
将图象分成对称的两部分
(2)增减性与最大值
当k n 1时,二项式系数是逐渐增大的.由对称性 2
知它的后半部分是逐渐减小的, 且在中间取得最大值.
n
当n是偶数时,中间的一项 C n2 取得最大值;当 n是奇
n1 n1
数时,中间的两项Cn 2 ,Cn 2 相等,且同时取得最大值.
二项式 定理
展开式 通项公式 系数性质
应用
复习
1.二项式定理：
(a b)n
C
0 n
a
n
C
1 n
a
n
1b1
C
r n
a
nr
b
r
C
n n
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n
(n
N
)
2.通项即展开式的第r+1项：
Tr1
C
r n
a
n
r
b
r
二项式系数的性质
(1)对称性： 与首末两端“等距离” 的 两个二项式系数相
等
代数意义：
例2、在(2x+3)20的展开式中，求其项的最大 系数与最大二项式系数之比
2
例3、已知 ( x 3 3x2 )n的展开式中，各项系
数和比它的二项式系数和大992．求展开式 中二项式系数最大的项
典题型举例
例4、设(1-2x)5= a0＋ a1x + a2x2 + a3x3+ a4x4+ a5x5. 求：
评注：利用二项式定理证明不等式问题时，通常 是把二项展开式中的某些正项适当删去（缩小）， 或把某些负项删去（放大），使等式转化为不等 式，然后再根据不等式的传递性进行证明
练习：设x 1，n N *且n 2， 求证：xn n2 ( x - 1)2
4
典题型举例
例5 求(x - 1) - (x -1) 2 + (x -1)3- (x -1)4 + (x -1)5展开
例 6 若 (x+m)2n+1 和 (mx+1)2n (n∈N+ ， m∈R且m≠0)的展开式的 xn 项的系数相等， 求实数m的取值范围
评注：注意区分二项式系数与项的系数
练习、若(1+ x )n的展开式中，倒数第5，6， 7项的系数顺次为等差数列，且展开式的项 数为奇数，求展开式中x2的系数
练习
1、已知
x
2 x
n
展开式中第五项的系数与
第三项的系数比是10 : 1，求展开式中含x的项
2、如果： 1＋2C
1 n
22 Cn2 L
2n
C
n n
2187
求：Cn1 L Cnr L Cnn 的值
小结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
式中含 x 2 项的系数
(90年全国)
分析：求特定项系数，我们已经学过二项式展开式、 通项公式、分解因式等方法。对于求较复杂的代数式 的展开式中某项的系数，常常需要对所给的代数式进 行化简，减少计算量
变式：求(a b c d )1995展开式中 a200b800c900d 95项的系数
典题型举例
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习：
若(2 x 3 )4 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______ (99年全国)
在生态系统中，各种生物的数量和 所占的比例总是维持在相对稳定的 状态，这种现象就叫生态平衡。
如果食物链或食物网中某一环节出 了问题，就会使整个生态失衡。
▪疑问：
▪ 在自然生态系统中，各种 动物的数量能不能无限的 增长？为什么？
典题型举例
例5、 Biblioteka Baidu192除以100的余数是＿＿＿＿＿
(92年“三南”高考 题)
评注：利用二项式定理可以求余数和证明整除性 问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式， 且这种转化形式与除数有密切关系
练习：若今天是星期天，则今天后的第100100 天是星期________
典题型举例
例6证明：当 n 3时，2n 2(n 1)
2、( 1 3 x )20展开式中，不含x的项是第____ 项 x
3、（x2 - 1 ）9展开式中x9的系数是 _________（03年 2x
全国高考）
例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
请支援我们 20万只青蛙，2 万只麻雀和5000条蛇。
疑问1 为什么古老城选择了用
自然方法处理蝗灾？
第三章 动物在生物圈中的作用
第一节 动物在自然界中的作用
疑问2 古老城中的青蛙、麻雀
和蛇都哪儿去了？
当地农民说：“青蛙和蛇对付蝗 虫很管用，可现在青蛙和蛇都让 人吃光了。”
麻雀啄食和糟蹋农作物，曾被 列为主要害鸟。20世纪50～60 年代，我国开展了一场轰轰烈 烈的“剿灭麻雀”的全民运动。
作业: 指导与学习P74-75
T1-10
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
(3)各二项式系数的和
(1)C
0 n
C
1 n
C
2 n
C
r n
C
n n
2n
即：(a b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n
(
2)C
0 n
C
2 n
C
1 n
C
3 n
2n1
即：(a b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和 等于偶数项的二项式系数的和
这种方法叫做赋值法
考点练习
1、若(1+x)8展开式中间三项依次成等差数列， 则x=____________
“成果”：
仅一天，上海就消灭麻雀194432只！ 据不完全报道：从3月到11月上旬， 8个月的时间中全国捕杀麻雀19.6亿 只！
通过以上资料的分析，你认为人类能否 随意灭杀某种动物吗？为什么？ 人为的破坏动物的种类和数量，会导致 整个生态系统失去平衡
从而可以看出 动物在自然界有什么作用？
维持生态平衡
C
m n
C
n n
m
几何意义：
直线 r n 2
作为对称轴
将图象分成对称的两部分
(2)增减性与最大值
当k n 1时,二项式系数是逐渐增大的.由对称性 2
知它的后半部分是逐渐减小的, 且在中间取得最大值.
n
当n是偶数时,中间的一项 C n2 取得最大值;当 n是奇
n1 n1
数时,中间的两项Cn 2 ,Cn 2 相等,且同时取得最大值.