教案 初三 圆的概念及性质

教师教案

学生教师班主任学科日期课时

教学内容圆的概念与性质

教学重难点圆的相关概念，圆心角定理的应用，垂径定理及应用

2.1圆

知识点1：圆的概念及与圆的相关概念

1.圆的概念

2.与圆有关的概念

典型例题

考点1：命题判定

例1以下命题：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤圆心相同的圆是同心圆．其中正确的命题有( )

A．1个B．2个C．3个D．4个

例2下列命题中是真命题的有 ( )

①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分；③长度相等的弧是等弧；④半径相等的圆是等圆；⑤直径是最大的弦；⑥半圆所对的弦是直径．

A．3个B．4个C．5个D．6个

考点2：圆的性质应用

例1 如图，CD是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，DC、EB的延长线相交于点A．若∠A＝20°，AB＝OC，求∠EOD 的度数．

考点3：利用圆的性质进行证明

例1 如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE＝DF．试说明∠OEF与∠OFE的关系．

例2 如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE点C为AB上一点，连接CD、CE、CO，

∠AOC＝∠BOC．

求证：CD＝CE．

知识点2：点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。

设⊙o的半径为r，点P到圆心O的距离为d，用图形表示点与圆的位置关系如图所示。

典型例题

考点1：利用数量关系判断点与圆的位置关系

例1 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心、PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( )

A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内

C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内

考点2：利用点与圆的位置关系求圆的半径范围

例1已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，若以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是( )

A．r>15 B．15

能力提优

题型1：圆的性质和矩形性质综合

例1 如图，点A、D、G、M在半圆O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c．则下列各式正确的是( )

A．a>b>c B．a＝b＝c C．c>a>b D．b>c>a

题型2：点与圆的位置关系中分类讨论思想

例1 若⊙O所在平面上的一点P到⊙O上的点的最大距离是10，最小距离是2，则此圆的半径为

题型3：利用圆的定义与直角三角形的性质综合进行证明

例1已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点，试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．

例2如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．

求证：A、E、C、F四点共圆；

2.2圆的对称性

知识点1：圆的对称性

圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线。

注意：（1）圆的对称轴有无数条。（2）圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任何角度后，仍与自身重合。

典型例题

考点：命题判定

例1下列说法正确的是（）

A.直径是圆的对称轴

B.经过圆心的直线是圆的对称轴

C.与圆相交的直线是圆的对称轴

D.与半径垂直的直线是圆的对称轴

知识点2：圆心角、弧、弦之间的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

典型例题

考点1：利用圆心角性质和推论求角度

=，∠1＝25°，则∠2＝_______．

例1 如图，在⊙O中，AC BD

=，∠A＝30°，则∠ABC＝_______．

例2如图，在⊙O中，AB AC

例3 如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，CE的度数为70°，则∠AOC＝_______．

考点2：利用圆心角性质和推论求弦长和线段长

，若AC=3，则BD=__________．

例1如图，在☉O中，AD BC

例2如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，AB＝6 cm，∠ABC＝∠BAC，AB与OC相交于点M，求AM的长．

考点3：利用圆心角性质和推论进行证明

例1 如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB＝CD．求证：∠AOC＝∠BOD．

例2如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE＝DF．试问：

(1) OE等于OF吗？

(2)AC与BD有怎样的数量关系？

例3如图，AB是⊙O的直径．

(1)若OD//AC，CD与BD的大小有什么关系？为什么？

(2) 把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由．

知识点3：圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系

1.︒1的弧：将顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是︒1的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把︒1的圆心角所对的弧叫做︒1的弧。

2.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

注意：（1）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，不是指角与弧相等（角与弧是两个不同的图形）

（2）度数相等的角为等角，但度数相等的弧不一定是等弧。

典型例题

考点：求圆心角

例1如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，CE的度数为40°，则∠AOC＝_______°．

例2 ☉O的一条弦AB把圆分成2：3两部分，则弦所对的圆心角为__________0．

能力提优

题型1：利用圆心角性质和推论比较弦长和弧长的大小

例1 如图，在同圆中，若∠AOB＝2∠COD，则AB与2CD的大小关系是( )

A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB＝2CD D．不能确定

例2 如图，在同圆中，若AB＝2CD，则AB与2CD的大小关系是( )

A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB＝2CD D．不能确定