高二【数学(人教A版)】导数的概念及其几何意义(2)-任务单
高二下学期数学人教A版选择性必修第二册5.1.2第二课时导数的几何意义课件
1．导数的概念
如果当Δx→0
时，平均变化率Δy无限趋近于一个确定的值，即Δy有极限，则称
Δx
Δx
y＝
f (x)在 x ＝ x0 处 _可_导__ ， 并 把 这个 _确__定_的__值__ 叫 做 y＝ f (x) 在 x＝ x0 处 的 导数 ( 也 称 为
_瞬__时_变__化_率___)，记作 f
′(x0)或__y_′|x_＝__x_0 _，即 f ′(x0)＝Δlixm→0
Δy
Δx ＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
问题2：导数f ′(x0)表示函数y＝f (x)在x＝x0处
的瞬时变化率，反应函数y＝f (x)在x＝x0附近的 变化情况.那么导数的几何意义是什么？
二、 新课讲授
5.1.2导数的概念及其几何意义(第二课时)
学科版本：人教A版202X新课标 教材版本：人教A版（202X） 教材章节：选择性必修第二册5.1.2 学段学科：高中数学 年级学期：高二上学期
一、 新课引入
引导语：
问题1：根据平均变化率的概念回顾导数的概念.
二、 新课讲授
[新知初探]
知识点一 导数的几何意义
四、 知识点二
知识点二 导函数的概念 1．定义：当 x 变化时，y＝ f′(x) 就是 x 的函数，我们称
它为 y＝f(x)的导函数(简称导数)． lim fx＋Δx－fx
2．记法：f′(x)或 y′，即 f′(x)＝y′＝_Δ_x→__0______Δ_x_____.
五、 例题练习，巩固新知
求曲线的切线方程 [例 1] 已知曲线 C：y＝x2，求曲线 C 上的横坐标为 2 的 点处的切线方程．
已知曲线上一点 P(x0，f(x0))，求在该点处切线方程的三个 步骤
5.1.2 导数的概念及其几何意义教案2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
5.1.2 导数的概念及其几何意义教学设计一、教学目标1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景.2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.3.根据导数的几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线方程. 二、教学重难点 1、教学重点平均变化率的概念及求法、利用导数概念求导数、导数的几何意义及其应用. 2、教学难点导数概念及其几何意义的理解和应用. 三、教学过程 1、新课导入在上节课的学习中，我们研究了平均速度和瞬时速度的物理问题，以及割线斜率和切线斜率的几何问题，在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，这节课我们就来探究一下平均变化率、导数的概念及其几何意义. 2、探索新知一、平均变化率的概念对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，相应地，函数值y 就从0()f x 变化到0(Δ)f x x +. 这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为00Δ(Δ)()y f x x f x =+-. 我们把比值ΔΔy x ，即00(Δ)()ΔΔΔf x x f x y x x+-=叫做函数()y f x =从0x 到0x x +∆的平均变化率. 二、瞬时变化率（导数）的概念 如果当Δ0x →时，平均变化率ΔΔy x 无限趋近于一个确定的值，即ΔΔyx有极限，则称()y f x =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做()y f x =在0x x =处的导数（也称为瞬时变化率），记作0()f x '或0x x y ='，即000Δ0Δ0Δ()Δ()limlim()ΔΔx x f x x f x yf x x x→→+-=='. 三、求函数在0x x =处的导数（瞬时变化率） 例1 设1()f x x=，求(1)f '. 解：Δ0Δ0Δ011(1Δ)(1)11Δ(1)lim lim lim 1ΔΔ1Δx x x f x f x f x x x →→→-+-⎛⎫+===-=- ⎪+⎝⎭'. 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第x h 时，原油的温度（单位：C ︒）为2()715(08)y f x x x x ==-+≤≤. 计算第2 h 与第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.解：在第 2h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是(2)f '和(6)f '. 根据导数的定义， Δ(2Δ)(2)ΔΔy f x f x x+-=22(2Δ)7(2Δ)15(27215)Δx x x+-++--⨯+=24Δ(Δ)7ΔΔx x xx +-=Δ3x =-，所以Δ0Δ0Δ(2)limlim(Δ3)3Δx x yf x x →→'==-=-.同理可得(6)5f '=.在第2 h 与第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3C /h -︒与5C /h ︒. 说明在第2 h 附近，原油温度大约以3C /h ︒的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5C /h ︒的速率上升. 一般地，00()08()f x x ≤≤'反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设s t 时汽车的速度（单位：m/s ）为2()660y v t t t ==-++，求汽车在第2 s 与第6 s 时的瞬时加速度，并说明它们的意义.解：在第2 s 和第6 s 时，汽车的瞬时加速度就是(2)v '和(6)v '. 根据导数的定义，22Δ(2Δ)(2)(2Δ)6(2Δ)60(26260)Δ2ΔΔΔy v t v t t t t t t +--++++--+⨯+===-+， 所以Δ0Δ0Δ(2)limlim(Δ2)2Δt t yv t t →→==-+='.同理可得(6)6v '=-.在第2 s 与第6 s 时，汽车的瞬时加速度分别是22m/s 与26m/s -.说明在第2 s 附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s ；在第6 s 附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s .四、导数的几何意义平均变化率00(Δ)()ΔΔΔf x x f x y x x+-=表示割线0P P 的斜率. 如下图，在曲线()y f x =上任取一点(())P x f x ，，如果当点(())P x f x ，沿着曲线()y f x =无限趋近于点000(())P x f x ，时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为曲线()y f x =在点0P 处的切线.割线0P P 的斜率00()()f x f x k x x -=-.记0Δx x x =-，当点P 沿着曲线()y f x =无限趋近于点0P 时，即当Δ0x →时，k 无限趋近于函数()y f x =在0x x =处的导数. 因此，函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是切线0PT 的斜率0k ，即0000Δ0(Δ)()lim ()Δx f x x f x k f x x→'+-==.这就是导数的几何意义.例4 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数2() 4.9 4.811h t t t =-++的图象.根据图象，请描述、比较曲线()h t 在012t t t t =，，附近的变化情况.解：我们用曲线()h t 在012t t t t =，，处的切线斜率，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当0t t =时，曲线()h t 在0t t =处的切线0l 平行于t 轴，0()0h t '=.这时，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降.（2）当1t t =时，曲线()h t 在1t t =处的切线1l 的斜率1()0h t '<.这时，在1t t =附近曲线下降，即函数()h t 在1t t =附近单调递减.（3）当2t t =时，曲线()h t 在2t t =处的切线2l 的斜率2()0h t '<.这时，在2t t =附近曲线下降，即函数()h t 在2t t =附近也单调递减.从图中可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线()h t 在1t t =附近比在2t t =附近下降得缓慢.例5 下图是人体血管中药物浓度()c f t =（单位：mg /mL ）随时间t （单位：min ）变化的函数图象，根据图象，估计0.2t =，0.4，0.6，0.8 min 时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）.解：血管中某一时刻药物浓度的瞬吋变化率，就是药物浓度()f t 在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率.如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作0.8t =处的切线，并在切线上取两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则该切线的斜率0.480.911.41.00.7k -=≈--，所以(0.8) 1.4f '≈-.下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.从求函数()y f x =在0x x =处导数的过程可以看到，当0x x =时，0()f x '是一个唯一确定的数. 这样，当x 变化时，()y f x '=就是x 的函数，我们称它为()y f x =的导函数（简称导数）.()y f x =的导函数有时也记作y '，即Δ0Δ()())lim Δ(x f x x f x f x y x→'+-'==.3、课堂练习 1.已知函数2()f x y x==，且1()2f m '=-，则m 的值为( )A.-4B.2C.-2D.2±答案：D解析：22()()2()y f m x f m m x m x x x m m x -∆+∆--+∆===∆∆∆+∆，2022()lim ()x f m m m x m∆→-'∴==-+∆，2212m ∴-=-，24m =，解得2m =±. 2.若函数2()f x x =在区间[]00,x x x +∆上的平均变化率为1k ，在区间[]00,x x x -∆上的平均变化率为2k ，则下列说法中正确的是( ) A.12k k > B.12k k <C.12k k =D.1k 与2k 的大小关系不能确定答案：A 解析：()()()220000102f x x f x x x x k x x xx+∆-+∆-===+∆∆∆，()()()220000202f x f x x x x x k x x xx--∆--∆===-∆∆∆.由题意，得0x ∆>，所以12k k >.3.曲线21y x =+在点(1,2)处的切线方程为( ) A.1y x =+B.24y x =-+C.2y x =D.42y x =-答案：C解析：因为22(1)1222y x x x x x x x∆+∆+-∆+∆===+∆∆∆∆，则曲线21y x =+在点(1,2)处的切线斜率0lim(2)2k x ∆→=∆+=，则切线方程为22(1)y x -=-，即为2y x =.4.已知函数3()(0)f x ax ax a =->的图像在0x =和1x =处的切线互相垂直，则a =______.解析：根据导数定义可知，3320()()()lim lim 3x x y a x x a x x ax axx ax a xf x ∆→∆-∞∆+∆-+∆-+==='-∆∆.则(0)(1)1f f ''⋅=-，即(3)1a a a -⋅-=-，即221a =，解得a =（a =舍去）.故答案. 4、小结作业小结：本节课学习了导数的概念及其几何意义. 作业：完成本节课课后习题. 四、板书设计5.1.2 导数的概念及其几何意义1.平均变化率的概念：对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，相应地，函数值y 就从0()f x 变化到0(Δ)f x x +. 这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为00Δ(Δ)()y f x x f x =+-，把比值ΔΔy x ，即00(Δ)()ΔΔΔf x x f x y x x+-=叫做函数()y f x =从0x 到0x x +∆的平均变化率.2.瞬时变化率（导数）的概念：如果当Δ0x →时，平均变化率ΔΔyx无限趋近于一个确定的值，即ΔΔyx有极限，则称()y f x =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做()y f x =在0x x =处的导数（也称为瞬时变化率），记作0()f x '或0x x y ='，即000Δ0Δ0Δ()Δ()limlim()ΔΔx x f x x f x yf x x x→→+-=='. 4.导数的几何意义：在曲线()y f x =上任取一点(())P x f x ，，如果当点(())P x f x ，沿着曲线()y f x =无限趋近于点000(())P x f x ，时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为曲线()y f x =在点0P 处的切线，记0Δx x x =-，当点P 沿着曲线()y f x =无限趋近于点0P 时，即当Δ0x →时，k 无限趋近于函数()y f x =在0x x =处的导数. 因此，函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '就是切线0PT 的斜率0k ，即0000Δ0(Δ)()lim ()Δx f x x f x k f x x→'+-==.这就是导数的几何意义.。
高中数学 专题1.1.3 导数的几何意义教案 新人教A版选
导数的几何意义【教学目标】1．了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系．2．理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义．3．会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义．【教法指导】本节学习重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义．本节学习难点：导数的几何意义．【教学过程】☆复习引入☆如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容．☆探索新知☆思考1：如图，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n的变化趋势是什么？思考2：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答：不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．其图象特征是：切点附近的曲线均在切线的同侧，如l2.思考3：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与曲线过某点(x0，y0)的切线有何不同？答：曲线f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要求出k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而曲线f (x )过某点(x 0，y 0)的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，既使在曲线上也不一定是切点．【小结】曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，欲求斜率，先找切点P (x 0，f (x 0))． 思考4：如何求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程？答：先确定切点P (x 0，f (x 0)) ，再求出切线的斜率k ＝f ′(x 0)，最后由点斜式可写出切线方程． 2、例题剖析例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的切线方程.解：（1）222100[(1)1](11)2|limlim 2x x x x x x y x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=（2）因为222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --= 例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．（2）当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．（1） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t （单位：min ）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．作0.8t =处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：0.480.911.41.00.7k -=≈--所以 (0.8) 1.4f '≈-下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：t0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率'()f t0.4-0.7-1.4☆课堂提高☆1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为( )A．4 B．16 C．8 D．2 【答案】C【解析】f′(2)＝limΔx→0f2＋Δx－f2Δx＝limΔx→022＋Δx2－8Δx＝limΔx→0(8＋2Δx)＝8，即k＝8.2．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( ) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1【答案】A【解析】由题意，知k＝y′|x＝0＝limΔx→00＋Δx2＋a0＋Δx＋b－bΔx＝1，∴a＝1.又(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.3．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为________．【答案】(3,30)。
《导数的几何意义》 学习任务单
《导数的几何意义》学习任务单一、学习目标1、理解导数的几何意义，即导数与曲线切线斜率的关系。
2、掌握利用导数求曲线切线方程的方法。
3、能够通过导数的几何意义解决与曲线切线相关的实际问题。
二、学习重点1、导数的几何意义的理解。
2、求曲线在某点处的切线方程。
三、学习难点1、导数的几何意义的深刻理解及应用。
2、运用导数解决复杂曲线的切线问题。
四、知识回顾1、函数的平均变化率函数＼（f(x)＼）从＼（x_1\）到＼（x_2\）的平均变化率为＼（＼dfrac{＼Delta y}｛＼Delta x} ＝＼dfrac{f(x_2) f(x_1)｝｛x_2 x_1}＼）。
2、导数的定义设函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数为＼（f'（x_0)＼），则＼（f'（x_0) ＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼dfrac{＼Delta y}｛＼Delta x} ＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼dfrac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼）。
五、新知识讲解1、导数的几何意义函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼）的几何意义是曲线＼（y ＝ f(x)＼）在点＼（P(x_0, f(x_0)）＼）处的切线的斜率。
也就是说，曲线＼（y ＝ f(x)＼）在点＼（P(x_0,f(x_0)）＼）处的切线的斜率是＼（f'（x_0)＼）。
相应的切线方程为＼（y f(x_0) ＝ f'（x_0)（x x_0)＼）。
例如，对于函数＼（f(x) ＝ x^2\），其导数为＼（f'（x) ＝ 2x\）。
那么在点＼（x ＝ 1\）处，导数＼（f'（1) ＝ 2\），这意味着曲线＼（f(x) ＝ x^2\）在点＼（（1, 1) ＼）处的切线斜率为＼（2\），切线方程为＼（y 1 ＝ 2(x 1)＼），即＼（y ＝ 2x 1\）。
5.1.2 导数的概念及其几何意义 第2课时 课件高二数学人教A版(2019)选择性必修2
变化情况
kl1>kl2>0，|kl1|>|kl2| 倾斜程度：l1 > l2
曲线 f (x) 在 t1 附近比 在 t2 附近上升的快；
kl1<kl2<0，|kl1|>|kl2| 倾斜程度：l1 > l2
曲线 f (x) 在 t1 附近比 在 t2 附近下降的快；
kl1= kl2= 0 直线 l1，l1与 x 轴平行
f (x0 +
Δx) Δx
– f (x0)，
和瞬时变化率
f
´(x0)
= lim ∆x→0
Δy Δx
= lim ∆x→0
f
(x0
+
Δx) Δx
–
f
(x0)
表示什么？
平均变化率
Δy Δx
=
f
(x0 +
Δx) Δx
–f
(x0)
表示
割线P0P 的斜率；
如图，在曲线 y = f (x) 上任取一点 P，
y
f (x0+ Δx)
故在t = t4附近曲线上升，即函数h(t)在t = t4附近也单调递增；
由图可以看出，直线 l3 的倾斜程度大于直线 l4 的倾斜
t4
程度，这说明曲线 h(t) 在 t3 附近比在 t4 附近上升的快.
O t3
t
学习目标
新课讲授
课堂总结
归纳小结
曲线 f (x) 在 x = x0 附近的导数符号、单调性及变化情况如下：
5.1.2 导数的概念及其几何意义 第2课时
学习目标
新课讲授
课堂总结
1. 理解导数的几何意义，会求曲线的切线问题； 2. 了解导函数的概念，能理解函数在某处的导数与导函数之间关系.
人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第五章 导数的概念及其意义 第2课时导数的几何意义
②当0 =
1
1
1
− 时,切点坐标为(− , − ),相应的切线方程为
2
2
8
3 − 4 + 1 = 0.
1
8
+ =
3
(
4
1
+ ),即
2
分析（1）
（2）
规律方法利用导数几何意义研究切线方程的方法
（1）利用导数的几何意义求曲线 = ()在点(0 , (0 ))处的切线方程的步骤:
= 0 处瞬时变化越快;|′(0 )|越小⇔在 = 0 处瞬时变化越慢.
变式训练3若函数 = ()的导函数在区间[, ]上是增函数,则函数 = ()在区间
[, ]上的图象可能是() A
A.
B.
C.
D.
[解析]依题意, = ′()在[, ]上是增函数,则在函数()的图象上,各点的切线的斜
变式训练2已知曲线 = 2 2 − 7在点处的切线方程为8 − − 15 = 0,求切点的坐标.
解设切点(, )，切线斜率为，由
′ =
[2(+Δ)2 −7]−(2 2 −7)
= lim
= lim (4 + 2Δ) = 4,得 = 4.由题意可知
Δ
Δ→0
Δ→0
lim
Δ
Δ→0
= lim
( + Δ − )( + Δ + )
Δ ⋅ (1 + Δ + 1)
= lim
=
.
Δ→0 + Δ +
2
Δ→0
02
新教材高中数学第五章第2课时导数的几何意义ppt课件新人教A版选择性必修第二册
(+) -
=12,
→
故切线的斜率为 12,切线方程为 y-8=12(x-2),即 12x-y-16=0.
答案:A
)
(2)曲线 y=f(x)=x3+2x-1 在点 P(1,2)处的切线方程为
5x-y-3=0
.
解析:由题意,得点 P(1,2)在曲线 y=f(x)上.
=
=f'(1)=-1.
-
→
→
所以所求切线的斜率为-1.
方法规律
1.求曲线上某点处切线方程的步骤
2.已知曲线外的点 P(x1,y1),求曲线过点 P 的切线方程的步骤
(1)设切点为点 Q(x0,y0).
(2)求出函数 y=f(x)在 x0 处的导数 f'(x0).
(3)利用点 Q 在曲线上和 f'(x0)=kPQ,求出 x0,y0 及 f'(x0).
(4)根据直线的点斜式方程,得切线方程为 y-y0=f'(x0)(x-x0),再将其
化为一般式即可.
是
【跟踪训练】
1.若函数 f(x)的图象在点 A(1,2)处的导数是-1,则过点 A 的切线方程
x+y-3=0 .
解析:由题意,得切线的斜率为 k=-1.
所以点 A(1,2)处的切线方程为 y-2=-(x-1),
角形的面积为 ,则
解析:因为
a=
±1
.
(+) -
f'(a)=
=3a2,
→
所以曲线 f(x)在点(a,a3)处的切线方程为 y-a3=3a2(x-a).
5.1.2导数的几何意义高二数学教材教学课件(人教A版2019选择性)
01 复习导入
复习导入
导数的概念
导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达.
复习导入 求某点处导数值的步骤
一差、二比、三极限
02 导数的几何意义
新知探究
新知探究
平均变化率的 几何意义
新知探究
问题2：观察右图，当点 P 沿着曲线y=f(x)趋近于点 f (x)
P0 时，割线 P0 P 的变化趋势是什么？
新知探究
问题：函数在点x =x0处的导数f ′(x0)、导函数 y = f ′(x)、导数之间有什么区别与联系呢？
l
（1）函数在一点x0处的导数 f ′(x0) ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变 量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数 f (x)的导函数 f ′(x)，
A.f′(x1)>f′(x2) C.f′(x1)＝f′(x2)
B.f′(x1)<f′(x2) D.不能确定
新知探究
解：如图，根据导数的几何意义，f′(x1)为曲线 f(x)在点 A 处切线的斜率，设该 斜率为 k1，f′(x2l)为曲线 f(x)在点 B 处切线的斜率，设该斜率为 k2，由图象可得
3 即 12x－3y－16＝0.
新知探究
方法总结 求曲线上一点处的切线方程可按以下步骤进行：(1)求出该点的坐标.(2)求出 函数在该点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率.(3)利用点斜式写出切 线方程.
新知探究
新知探究
例 2.过点(1，－1)且与曲线 y＝x3－2x 相切的直线方程为 ( A )
(D )
新知探究
(1)由导数的l 几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随 x 增 大而变大，因此应选 A. (2)从导函数的图象可知两个函数在 x0 处斜率相同，可以排除 B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明 显看出 y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢 变小，排除 A.
5.1.2导数的概念及其几何意义-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
的割线P0P的变化情况.
P•
y
1
• P0
O
1
2
x
观察 如图示，当点P(x, x2)沿着抛物线f(x)=x2趋近于点P0(1, 1)时，
割线P0P有什么变化趋势?
y
P•
4
我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线
P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位
置的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处
t
h
(
t
t
)
h
(
t
)
0
0
(2) 瞬时速度： v(t0 ) lim
t 0
t
瞬时速度的本质是平均速度的极限.
2.本节课学习到了哪些思想方法?
极限思想
5.1.1变化率（2）
问题2 抛物线的切线的斜率
我们知道，如果一条直线与一个圆只有
一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.
对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？
5.1导数的概念及其几何意义
本节知识框架
平
均
速
度
瞬
时
速
度
割
线
斜
率
切
线
斜
率
导
数
的
概
念
及
其
意
义
温故知新
1. 约4课时；
2. 3课时正课1节习题课
3.变化率问题可以分两节，导数的概念及其几何意义可 一节；
4.导函数我们可以讲导函数运算前讲。
温故知新
知识目标
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，
v
2 1
高二上学期数学 人教A版 选择性必修第二册5.1 导数的概念及几何意义 教案word'版无答案
导数的概念及几何意义一、学习目标1.经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，体会导数的概念的实际背景2.理解平均速度、瞬时速度的区别和联系.3.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题.4.掌握割线与切线的定义，会求其斜率.5.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.6根据导数的几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线方程.二、知识精讲2、瞬时变化率： 一般地，函数y=f(x) 在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或 ，即。
3、导函数：从求函数f (x )在x =x 0处导数的过程可以看到，当x =x 0时，f ' (x 0)是一个确定的数. 这样, 当x 变化时, f '(x )便是x 的一个函数, 我们称它为f (x ) 的导函数(简称导数).即：题型1：平均变化率1、某质点沿曲线运动的方程为()221f x x =-+（x 表示时间，()f x 表示位移），则该质点从1x =到2x =的平均速度为（ ） A ．-4B ．-8C ．6D ．-62、函数2y x x =+在1x =到1x x =+∆之间的平均变化率为（ ） A ．2x ∆+B ．3x ∆+C ．()22x x ∆+∆D ．()23x x ∆+∆3、某物体沿水平方向运动，其前进距离s （米）与时间t （秒）的关系为()252s t t t =+，则该物体在运行前2秒的平均速度为（ ）（米/秒） A ．18B ．13C ．9D ．1324、若函数()2f x x c =-在区间[]1m ，上的平均变化率为4，则m 等于（ ） A B ．3C ．5D ．160x x =0000()()lim lim ∆→∆→+∆-∆=∆∆x x f x x f x yx x()y f x =0x x =0()f x '0x xy ='00000()()()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆1、 平均变化率：若函数关系用y=f(x)表示，则变化率可用式子1212()()--f x f x x x 表示。
5.1 导数的概念及其意义(导数的几何意义)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
)
(5)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × )
)
合作探究 释疑解惑
探究一
导数的几何意义与函数图象
【例1】 若函数y=f(x)的导函数在区
间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在区
间[a,b]上的大致图象可能是(
)
解析:已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)
(2)由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.
y
(+Δ)2 +(+Δ)-2-( 2 +-2)
解:(1)y'= lim =
=2x+1.
Δ
Δ→0 x x→0
因为直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,
所以直线l1的斜率k1=y'|x=1=3,可得直线l1的方程为y=3x-3.
Δ
x→0
= lim (4x+2Δx)=4x.
Δ→0
(1)∵切线的倾斜角为45°,
∴切线的斜率为tan 45°=1.
设切点的坐标为(x0,y0),则 y'|= =4x0=1,解得
0
∴该切点的坐标为
1 9
,
4 8
.
1
x0= ,
4
(2)∵切线平行于直线4x-y-2=0,
∴切线的斜率为4.
则切线的斜率 k=2x0.
切线方程为 y-x02 =2x0(x-x0),将点(-1,0)的坐标代入,
得-x02 =2x0(-1-x0),解得 x0=0 或 x0=-2.
当x0=0时,切线的斜率k=0,过点(-1,0)的切线方程为y=0;
5.1.2导数的概念及其几何意义教学设计-2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)
课题导数的概念及其意义课型新授课课时约4课时学习目标(1)通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.(2) 体会极限思想.(3) 通过函数图象直观理解导数的几何意义.学习重点导数的概念，导数的几何意义学习难点导数的概念，曲线的切线概念学情分析本章内容是对函数内容进行更深入的研究。
在初高中的物理学科中，学生已经掌握了平均速度和瞬时速度的基本概念，可以计算出平均速度；学生对高中函数知识也已有了比较基本的认识，掌握了与直线方程和直线斜率相关的基本知识，并且对圆锥曲线的切线有了一些直观认识。
导数的概念应用了极限的思想，学生对此是陌生的，通过图象和有代表性的例子能够让学生对导数的概念和几何意义有更深刻的认识。
核心知识导数的概念，导数的几何意义教学内容及教师活动设计（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）教师个人复备第1课时一、导语在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长” 是越来越慢的，“指数爆炸” 比“直线上升” 快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。
二、 新知探究问题1 高台跳水运动员的速度高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系 h (t )＝－4.9t 2＋4.8t ＋11.如何描述用运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v̅近似的描述它的运动状态。
例如,在 0 ≤ t ≤0.5这段时间里，v̅=ℎ(0.5)−ℎ(0)0.5−0=2.35(m/s)在 1≤ t ≤2这段时间里，v̅=ℎ(2)−ℎ(1)2−1=−9.9(m/s)一般地，在 t 1≤ t ≤t 2这段时间里，v̅=ℎ(t 2)−ℎ(t 1)t 2−t 1=−4.9(t 1+t 2)+4.8探究1： 计算运动员在0 ≤ t ≤4849这段时间内的平均速度你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。
人教版高中数学 选择性必修二 A版5.1.2《导数的概念及其几何意义》课件PPT
作业设计
课本P70.
习题5.1： 1、2、3、4、5、6、7.
在PPT软件中双击图标ห้องสมุดไป่ตู้开配套教案
人教A版高中数学选择性必修二
5.1.2 导数的概念及其
几何意义
第五章 一元函数的导数及其应用
汇报人：XXX
人教A版高中数学选择性必修二
5.1.2 导数的概念及其
几何意义
第五章 一元函数的导数及其应用
汇报人：XXX
目 录
01
学习目标
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课程小结
第一部分
学习目标
学习目标
1. 理解函数在0处的瞬时变化率即导数的概念并会求其值.
2.理解导数的几何意义，并会应用之求切线方程.
3.感受新概念的定义、运动变化的数学思想方法，从而
温馨提示：直接利用概念求平均变化率，先求出表达
式，再直接代入数据就可以得出相应的导
数的值.
跟踪练习
解析：当自变量从0变化到0＋Δ时，函数的平均变化
Δ+0 − 0
△
率为 ＝
△
Δ
＝
= 30 2 +30 △ + △
2
0 +△ 3 −0 3
Δ
当0＝1，Δ → 0时,
1
∆
2
1
∆)=1−2
2
1
2
× 22 )
课堂互动
∴物体在时刻t=2处的瞬时速度是1−2 .
课堂互动
3.已知 ＝2－3，则 在 = 0处的切线的方程
(
3 + = 0
解析： ′(0)＝
)
Δ
5.1.2导数的概念及其几何意义(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
x0
x
x0
x
x0
环节四：辨析理解，深化概念
我们知道, 导数f ( x0 )表示函数y f ( x)在x x0处的瞬时变化率, 反映
了函数y f ( x)在x x0附近的变化情况. 那么导数f ( x0 )的几何意义是
什么?
思考：观察函数y f ( x)的图象,
平均变化率 y f ( x0 x) f ( x0 )
x
x
表示什么?
瞬时变化率
f
(
x0
)=
lim
x0
y x
lim
x 0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
表示什么?
容易发现, 平均变化率 y x
f ( x0 x) x
f ( x0 ) 表示割线P0P的斜率.
如图5.1 4, 在曲线y f ( x)上任取一点P( x, f ( x)),如果当点P( x, f ( x))
质点A在t 2.7 s时的瞬时速度
2(2.7 t)2 1 2 2.72 1
v(2.7) lim
lim(10.8 2t) 10.8Leabharlann t 0tt 0
故质点A在t 2.7 s时的瞬时速度为10.8 m / s.
4. 设函数f ( x) x2 1, 求： (1) 当自变量x由1变到1.1时, 函数的平均变化率; (2) 函数在x 1处的导数.
例4 图5.1 6是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间 变化的函数h(t) 4.9t 2 4.8t 11的图象. 根据图象, 请描述,比较曲线h(t) 在t t0 , t1, t2附近的变化情况. 解：我们用曲线h(t)在t t0 , t1, t2处的切线斜率, 刻画曲线h(t )在上述三个时刻附近的变化情况.
高二《专题复习——导数(2)》自主学习任务单
《专题复习——导数（2）》自主学习任务单一、学习目标1．了解函数的单调性、函数的极值、函数的最值与导数的关系；2．会求函数的单调区间、函数的极值与最值；3. 能根据函数的单调区间、极值（最值）求函数中参数范围．二、学习过程（一）知识梳理1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x) 0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x) 0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程的根；③考查f′(x)在方程的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的；②将函数y＝f(x)的各与处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．（二）基础自测1．函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是．2．函数y＝3x3－9x＋5的极大值为．3．已知函数f(x)＝x ln x，则f(x)的单调减区间为．4．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是 ． 5．若函数y ＝sin x ＋ax 为R 上的单调增函数，则实数a 的取值范围是 ． 6．已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (1)＝3，且f (x )的导数f ′(x )在R 上恒有f ′(x )<2(x ∈R )，则不等式f (x )<2x ＋1的解集为 ．7．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是 ． （三）典例精析例1．对于定义在R 上的可导函数f (x )，当x ∈(1，＋∞)时，(x －1)f ′(x )－f (x )>0恒成立．已知a ＝f (2)，b ＝12f (3)，c ＝(2＋1)f (2)，则a ，b ，c 的大小关系为 ．(用“<”连接)问题1.怎么判断一个函数的单调性？问题2. 由(x －1)f ′(x )－f (x ) >0可以联想到不等式左边是哪个函数的导数？例2．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． 问题1. 函数h (x )＝f (x )－g (x )的定义域是什么？问题2. 函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间是什么意思？ 问题3. 函数h (x )在某区间上单调递减，要满足h ′(x )<0还是h ′(x )≤0？例3．已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．问题1. 曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，说明切线的斜率是多少？问题2. 当函数中的参数的大小不确定，而它的取值会影响到函数的单调性时，需要怎么处理？（四）反思总结1．函数的单调性与导数的关系； 2．能运用分类讨论思想解决含参问题． 三、效果检测1．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1,2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是_____．2．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是________．3．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是 ．4．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为 ．5．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．参考答案基础自测1．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－53，(1，＋∞) 解析 令y ′＝3x 2＋2x －5>0，得x <－53或x >1.2．答案 11解析 y ′＝9x 2－9，令y ′＝0，得x ＝±1.当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞) y ′ ＋ 0 － 0 ＋ y极大值极小值从上表可以看出，当x ＝－1时，函数y 取得极大值为3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.3．答案 ⎝⎛⎭⎫0，1e 解析 因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )<0时，解得0<x <1e，即函数的单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e . 4．答案 π6＋ 3 解析 ∵y ′＝1－2sin x ，∴当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π6时，y ′>0；当x ∈⎝⎛⎦⎤π6，π2时，y ′<0.∴当x ＝π6时，y max ＝π6＋ 3. 5．答案 [1，＋∞) 解析 易得y ′＝cos x ＋a ，由y ′≥0在R 上恒成立，即a ≥－cos x 在R 上恒成立，可得a ≥1.6．答案 (1，＋∞) 解析 令g (x )＝f (x )－2x －1，∴g ′(x )＝f ′(x )－2<0，∴g (x )在R 上为减函数，g (1)＝f (1)－2－1＝0.由g (x )<0＝g (1)，得x >1.∴不等式的解集为(1，＋∞)．7．答案 (－∞，－1) 解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，∴方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解，∵当x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x <－1.（三）典例精析例1．答案 c <a <b 解析 构造函数g (x )＝f xx －1，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝f ′xx －1－f xx －12>0，即函数g (x )单调递增．又a ＝f (2)＝f 22－1＝g (2)，b ＝12f (3)＝f 33－1＝g (3)，c ＝(2＋1)f (2)＝f22－1＝g (2)，因为1<2<2<3，所以g (2)<g (2)<g (3)，即c <a <b .例2．解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1. 所以a >－1.又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0， 所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 例3．解 (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－aex .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的单调增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x ＝a ，即x ＝ln a ，当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． 三、效果检测1.答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，72 解析:由题意知，f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－23，又f (1)＝72，f ⎝⎛⎭⎫－23＝15727，f (－1)＝112，f (2)＝7，故f (x )min ＝72，∴a <72. 2.答案 [－3,0) 解析:由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23，得x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5>0，解得a ∈[－3,0)． 3.答案 (0,1) 解析:∵f ′(x )＝2x －2x＝2x ＋1x －1x(x >0)，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．4.答案 {x |x <－1或x >1} 解析:设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即不等式的解集为{x |x <－1或x >1}． 5.解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．[2分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞.[6分] 综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞.[7分] (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[8分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[9分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数． 又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；[11分]当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .[13分]综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是f (1)＝－a ；当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[16分]。
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【学习任务二】
学习例2之后思考并藐视t＝t3和t＝t4时刻函数的增减情况以及增减快慢.
学习资源
1．
2．
……
课程基本信息
课例编号学科数学来自年级高二学期
上
课题
导数的概念及其几何意义（2）
教科书
书名：普通高中教科书 数学 选择性必修 第二册
出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年 5月
学生信息
姓名
学校
班级
学号
学习目标
理解导数的几何意义，体会以直代曲的思想方法.
课前学习任务
复习导数的概念和意义.
课上学习任务
【学习任务一】