关于极坐标与平面坐标互转的例题

1）用直角坐标表示时：∫∫D x/y dxdy （D是区间范围）D：x2+y2=y与x=0 所围成的位于第一象限的区域，转化成极坐标时，上下限怎么转换的。答案：上下限分别为0≤ρ≤sinθ0≤θ≤π/2

（2））∫∫D √（4-x2-y2）dxdy D：√2x-x2与y=0所围区域答案：转换成极坐标后上下限0≤ρ≤2cosθ0≤θ≤π/2

详细解

（1）x2+y2=y即x2+y2-y+1/4=1/4，

x2+(y-1/2)2=(1/2)2，表示以(0，1/2)为圆心，以1/2为半径的圆，如图，粉色是D的范围，积分区域是第一象限，那么由于x轴对应θ=0，y轴对应θ=π/2，所以θ的范围是[0，π/2]，令x=rcosθ，y=rsinθ，带入原方程得

r2cosθ2+r2sinθ2=rsinθ

r2=rsinθ

r=sinθ

即ρ(θ)=sinθ

ρ的下限是0，上限是ρ(θ)，这是定义，

∴ρ的积分区间是[0,sinθ]，θ的积分区间是[0，π/2]。

（2）√2x-x2与y=0所围区域在第1象限，

∵y=√2x-x2即y2+(x-1)2=1，y≥0是以点(1,0)为圆心，以1为半径的圆的上半部分

它与y=0围成的区间是一个半圆，

∴θ的范围同（1），也是[0，π/2]，

那么令x=rcosθ，y=rsinθ，

x2+y2=2x，即r2cosθ2+r2sinθ2=2rcosθ，

即r2=2rcosθ，即r=2cosθ，

ρ的下限是0，上限是ρ(θ)，

∴ρ的积分区间是[0,2cosθ]，θ的积分区间是[0，π/2]。