不等式性质及证明

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]
高三新数学第一轮复习教案（讲座31）—不等式性质及证明
一．课标要求：
1．不等关系 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；
2．基本不等式：（a ,b ≥0）
①探索并了解基本不等式的证明过程；
②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。

二．命题走向
不等式历来是高考的重点内容。

对于本将来讲，考察有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。

本将内容在复习时，要在思想方法上下功夫。

预测2007年的高考命题趋势：
1．从题型上来看，选择题、填空题都有可能考察，把不等式的性质与函数、三角结合起来综合考察不等式的性质、函数单调性等，多以选择题的形式出现，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主；
2．利用基本不等式解决像函数)0(,)(>+=a x
a
x x f 的单调性或解决有关最值问题是考察的重点和热点，应加强训练。

三．要点精讲
1．不等式的性质
比较两实数大小的方法——求差比较法 0a b a b >⇔->； 0a b a b =⇔-=； 0a b a b <⇔-<。

定理1：若a b >，则b a <；若b a <，则a b >．即a b >⇔b a <。

说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。

定理2：若a b >，且b c >，则a c >。

说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性。

定理3：若a b >，则a c b c +>+。

说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向； （2）定理3的证明相当于比较a c +与b c +的大小，采用的是求差比较法； （3）定理3的逆命题也成立；
（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。

定理3推论：若,,a b c d a c b d >>+>+且则。

说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。

定理4．如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0<c ，那么bc ac <。

推论1：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >。

说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）
推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。

这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。

推论2：如果0>>b a ， 那么n
n b a > )1(>∈n N n 且。

定理5：如果0>>b a ，那么n
n b a > )1(>∈n N n 且。

2．基本不等式
定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222
≥+（当且仅当b a =时取“=”）。

说明：（1）指出定理适用范围：R b a ∈,；（2）强调取“=”的条件b a =。

定理2：如果b a ,是正数，那么
ab b
a ≥+2
（当且仅当b a =时取“=”
） 说明：（1）这个定理适用的范围：,a b R +
∈；（2）我们称b a b a ,2
为+的算术平均数，
称b a ab ,为的几何平均数。

即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3．常用的证明不等式的方法 （1）比较法
比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。

（2）综合法
利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。

综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒L ，及从已知条件A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B 。

（3）分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。

（1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；
（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程。

四．典例解析
题型1：考查不等式性质的题目
例1．（1）（06上海文，14）如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ）
（A ）
11
a b
< （B < （C ）22a b < （D ）||||a b > （2）（06江苏，8）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）a
a a a 112
2+
≥+ （C ）21
||≥-+
-b
a b a （D ）a a a a -+≤+-+213 解析：（1）答案：A ；显然0,0a b <>，但无法判断b a ,-与|||,|b a 的大小； （2）运用排除法，C 选项21
≥-+
-b
a b a ，当a －b <0时不成立，运用公式一定要
注意公式成立的条件，如果)""(2R,,2
2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ，如果a ,b 是正数，那么
).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b
a 点评：本题主要考查.不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全提干，必须结合选择支，才能得出正确的结论。

例2．（1）（2003京春文，1）设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ）
+c >b +d
－c >b －d >bd D.
c
b d a > （2）（1999上海理，15）若a <b <0，则下列结论中正确的命题是（ ） A
b a 1
1>和|
|1||1b a >均不能成立
B .
b
b a 1
1>-和||1||1b a >均不能成立 C .不等式
a b a 11>-和（a +b 1
）2>（b +a
1）2均不能成立
D.不等式
||1||1b a >和（a +a
1）2>（b +b 1
）2均不能成立 解析：（1）答案：A ；∵a >b ，c >d ，∴a +c >b +d ；
（2）答案：B
解析：∵b <0，∴－b >0，∴a －b >a ，又∵a －b <0，a <0，∴
a
b a 1
1<-。

故
a
b a 1
1>-不成立。

∵a <b <0，∴|a |>|b |，∴
||1||1b a <故|
|1||1b a >不成立。

由此可选B 。

另外，A 中
b a 11>成立.C 与D 中（a +b 1）2>（b +a
1
）2成立。

其证明如下：∵a <b <0，
a b 11<<0，∴a +b 1<b +a 1<0，∴|a +b 1|>|b +a
1
|， 故（a +
b 1）2>（b +a
1
）2。

点评：本题考查不等式的基本性质。

题型2：基本不等式
例3．（06浙江理，7）“a ＞b ＞0”是“ab ＜2
2
2b a +”的（ ）
(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件
(C )充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件
解析：A ；2
2
b a +ab 2≥中参数的取值不只是指可以取非负数。

均值不等式满足
)0,0(,2
>>≥+b a ab b
a 。

点评：该题考察了基本不等式中的易错点。

例4．（1）（2001京春）若实数a 、
b 满足a +b =2，则3a +3b 的最小值是（ ）
3
4
3
（2）（2000全国，7）若a ＞b ＞1，P ＝b a lg lg ⋅，Q ＝2
1（lg a ＋lg b ），R ＝lg （2b a +），
则（ ）
＜P ＜Q
＜Q ＜R ＜P ＜R
＜R ＜Q
解析：（1）答案：B ；3a +3b ≥2b a b a +=⋅3233=6，当且仅当a =b =1时取等号。

故3a +3b 的最小值是6；
（2）答案：B ；∵lg a ＞lg b ＞0，∴
2
1
（lg a ＋lg b ）＞b a lg lg ⋅，即Q ＞P ， 又∵a ＞b ＞1，∴
ab b
a >+2
， ∴2
1
lg )2lg(
=<+ab b a （lg a ＋lg b ）， 即R ＞Q ，∴有P ＜Q ＜R ，选B 。

点评：本题考查不等式的平均值定理，要注意判断等号成立的条件。

题型3：不等式的证明
例5．已知a ＞0，b ＞0，且a +b =1 求证 (a +
a 1)(
b +b 1)≥4
25。

证法一： (分析综合法）
欲证原式，即证4(ab )2+4(a 2+b 2)－25ab +4≥0，
即证4(ab )2－33(ab )+8≥0，即证ab ≤
4
1
或ab ≥8 ∵a ＞0，b ＞0，a +b =1，∴ab ≥8不可能成立
∵1=a +b ≥2ab ，∴ab ≤4
1
，从而得证。

证法二： (均值代换法) 设a =
21+t 1，b =2
1
+t 2。

∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴t 1+t 2=0，|t 1|＜
21，|t 2|＜2
1
， .
425
4
11625412316254
1)45(41)141)(141()21)(21()
141)(14
1(211)21(211)21(1
1)1)(1(224
2
222222
22222222211212
2221122212122=≥-++=--+=-++++++=++++++++=+++⨯+++=+⨯
+=++∴t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t b b a a b b a a 显然当且仅当t =0，即a =b =2
1
时，等号成立。

证法三：(比较法)
∵a +b =1，a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤4
1
，
425)1)(1(0
4)8)(41(4833442511425)1)(1(2222≥
++∴≥--=++=-+⋅+=-++b b a a ab ab ab ab ab b a b b a a b b a a 证法四：(综合法)
∵a +b =1， a ＞0，b ＞0，∴a +b ≥2ab ，∴ab ≤4
1
，
2
2
2
25(1)1139(1)1251611(1)144164
4ab ab ab ab ab ab
⎧-+≥⎪-+⎪∴-≥-=⇒-≥⇒⇒≥
⎨⎪≥⎪⎩
4
25
)1)(1(≥
++b b a a 即。

证法五：(三角代换法)
∵ a ＞0，b ＞0，a +b =1，故令a =sin 2α，b =c os 2α，α∈(0，
2
π)，
.
4
25
)1)(1(425
2sin 4)2sin 4(412sin 125162sin 24.3142sin 4,12sin 2sin 416)sin 4(2sin 42cos sin 2cos sin )cos 1)(cos sin 1(sin )1)(1(2
222
2222222
22442
2
22≥++≥-⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
≥≥+-=-≥-∴≤+-=+-+=++=++b b a a b b a a 即得ααααααα
ααααααα
αααΘ 点评：比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、
配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证。

例6．求使y x +
≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值。

分析：本题解法三利用三角换元后确定a 的取值范围，此时我们习惯是将x 、y 与c os
θ、sin θ来对应进行换元，即令x =c os θ，y =sin θ(0＜θ＜
2
π
＝，这样也得a ≥sin θ+c os θ，但是这种换元是错误的 其原因是：(1)缩小了x 、y 的范围；(2)这样换元相当于本题又增加了“x 、y =1”这样一个条件，显然这是不对的。

除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a 满足不等关系，a ≥f (x )，则a min =f (x )m a x 若 a ≤f (x )，则a m a x =f (x )min ，利用这一基本事实，可以较轻松地解决这一类不等式中所含参数的值域问题。

还有三角换元法求最值用的恰当好处，可以把原问题转化。

解法一：由于a 的值为正数，将已知不等式两边平方，
得：x +y +2xy ≤a 2(x +y )，即2xy ≤(a 2－1)(x +y )， ①
∴x ，y ＞0，∴x +y ≥2xy ，
②
当且仅当x =y 时，②中有等号成立。

比较①、②得a 的最小值满足a 2－1=1， ∴a 2=2，a =2 (因a ＞0)，∴a 的最小值是2。

解法二：设
y x xy y x y x y x y
x y
x u =+++=++=++=
2)(2
∵x ＞0，y ＞0，∴x +y ≥2xy (当x =y 时“=”成立)，
∴
y x xy +2≤1，y
x xy
+2的最大值是1。

从而可知，u 的最大值为211=+，
又由已知，得a ≥u ，∴a 的最小值为2， 解法三：∵y ＞0， ∴原不等式可化为
y x
+1≤a 1+y
x
， 设
y x =t a n θ，θ∈(0，2
π)。

∴t a n θ+1≤a 1tan 2+θ，即t a n θ+1≤a se c θ ∴a ≥sin θ+c os θ=2sin(θ+4
π
)， ③
又∵sin(θ+
4π)的最大值为1(此时θ=4
π)。

由③式可知a 的最小值为2。

点评：本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力。

该题实质是给
定条件求最值的题目，所求a 的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a 呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值。

题型4：不等式证明的应用
例7．（06浙江理，20）已知函数f (x)=x 3
+ x 3
，数列｜x n ｜(x n ＞0)的第一项x n ＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f (x)在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图）
.
求证：当n *N ∈时，(Ⅰ)x ;231212+++=+n n n n x x x （Ⅱ）21
)2
1()
21(--≤≤n n n x 。

证明：（I ）因为'2
()32,f x x x =+
所以曲线()y f x =在11(,())n n x f x ++处的切线斜率12
1132.n n n k x x +++=+
因为过(0,0)和(,())n n x f x 两点的直线斜率是2
,n n x x + 所以22
1132n n n n x x x x +++=+.
（II ）因为函数2
()h x x x =+当0x >时单调递增，
而221132n n n n x x x x +++=+21142n n x x ++≤+2
11(2)2n n x x ++=+，
所以12n n x x +≤，即
11
,2
n n x x +≥ 因此1121211().2
n n n n n n x x x x x x x ----=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥ 又因为122
12(),n n n n x x x x +++≥+令2,n n n y x x =+则
11
.2
n n y y +≤ 因为21112,y x x =+=所以12
111()().2
2
n n n y y --≤⋅=
因此2
21(),2n n n n x x x -≤+≤故1211()().22
n n n x --≤≤
点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。

例8．（2002江苏，22）已知a ＞0，函数f （x ）＝ax －bx 2。

（1）当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f （x ）≤1，证明a ≤2
b ；
（2）当b ＞1时，证明：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ；
（3）当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件。

（Ⅰ）证明：依设，对任意x ∈R ，都有f （x ）≤1，
∵f （x ）＝b
a b a x b 4)2(2
2+--， ∴b
a b a f 4)2(2
=≤1，∵a ＞0，b ＞0，∴a ≤2b ．
（Ⅱ）证明：必要性：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1⇒－1≤f （x ），据此可以推出
－1≤f （1），
即a －b ≥－1，∴a ≥b －1；
对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1⇒f （x ）≤1，因为b ＞1，可以推出f （
b
1
）≤1，即a ·
b
1
－1≤1，∴a ≤2b ；
∴b －1≤a ≤2
b ．
充分性：因为b ＞1，a ≥b －1，对任意x ∈［0，1］，
可以推出：ax －bx 2≥b （x －x 2）－x ≥－x ≥－1，即ax －bx 2≥－1； 因为b ＞1，a ≤2
b ，对任意x ∈［0，1］，
可以推出ax －bx 2≤2b x －bx 2≤1，
即ax －bx 2≤1。

∴－1≤f （x ）≤1。

综上，当b ＞1时，对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2
b ．
（Ⅲ）解：因为a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0，1］： f （x ）＝ax －bx 2≥－b ≥－1，即f （x ）≥－1； f （x ）≤1⇒f （1）≤1⇒a －b ≤1，即a ≤b ＋1，
a ≤
b ＋1⇒f （x ）≤（b ＋1）x －bx 2≤1，即f （x ）≤1。

所以，当a ＞0，0＜b ≤1时，对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是a ≤b ＋1． 22.解：原式⇒（x －a ）（x －a 2）＜0，∴x 1＝a ，x 2＝a 2。

当a =a 2时，a =0或a =1，x ∈∅，当a ＜a 2时，a ＞1或a ＜0，a ＜x ＜a 2， 当a ＞a 2时0＜a ＜1，a 2＜x ＜a ，
∴当a ＜0时a ＜x ＜a 2，当0＜a ＜1时，a 2＜x ＜a ，当a ＞1时，a ＜x ＜a 2，当a =0或a =1时，x ∈∅。

点评：此题考查不等式的证明及分类讨论思想。

题型5：课标创新题
例9．（06上海理，12）三个同学对问题“关于x 的不等式2
x ＋25＋|3
x －52
x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路。

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”； 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”； 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”；
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 。

答案：a ≤10。

点评：该题通过设置情景，将不等式知识蕴含在一个对话情景里面，考查学生阅读能力、分析问题、解决问题的能力。

例10．（06湖南文，20）在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a 。

（Ⅰ）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；
（Ⅱ）令n n n n n a a
a a
b 11+++=，证明32221+<++<n b b b n n Λ，n =1,2,…。

解 （Ⅰ）由已知得15,1054==a a ，2
)
1(12)1(+=+++-+=n n n n a n Λ。

（Ⅱ）因为Λ,2,1,22
222211==+⋅+>+++=+=
++n n
n n n n n n n a a a a b n n n n n ，
所以n b b b n 221>+++Λ. 又因为Λ,2,1,2
22222=+-+=+++=n n n n n n n b n ， 所以
)]2
1
1()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n ΛΛ
=322
2
1232+<+-+-
+n n n n 。

综上，ΛΛ,2,1,32221=+<++<n n b b b n n 。

点评：该题创意新，知识复合到位，能很好的反映当前的高考趋势。

五．思维总结
1．不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法。

（1）比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；
（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野。

2．不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等。

换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。

放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。

有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法。

证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点。

3．几个重要不等式
（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若
（2）2222,2(2||2)a b R a b ab a b ab ab ∈+≥+≥≥若、则或（当仅当
a =b
时取等号）
（3）如果a ,b 都是正数，那么
.2
a b +（当仅当a =b 时取等号）
最值定理：若
,,,,x y R x y S xy P +
∈+==则： ○
1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小；○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大；
注意：○1前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；
还要注意选择恰当的公式；○2“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；○3均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。

,3
a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则
a =
b =
c 时取等号）； 0,2b a
ab a b
>+≥(5)若则（当仅当a =b 时取等号）。