不等式性质及证明

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座31）—不等式性质及证明

一．课标要求：

1．不等关系 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；

2．基本不等式：（a ,b ≥0）

①探索并了解基本不等式的证明过程；

②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。

二．命题走向

不等式历来是高考的重点内容。对于本将来讲，考察有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。本将内容在复习时，要在思想方法上下功夫。

预测2007年的高考命题趋势：

1．从题型上来看，选择题、填空题都有可能考察，把不等式的性质与函数、三角结合起来综合考察不等式的性质、函数单调性等，多以选择题的形式出现，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主；

2．利用基本不等式解决像函数)0(,)(>+=a x

a

x x f 的单调性或解决有关最值问题是考察的重点和热点，应加强训练。

三．要点精讲

1．不等式的性质

比较两实数大小的方法——求差比较法 0a b a b >⇔->； 0a b a b =⇔-=； 0a b a b <⇔-<。

定理1：若a b >，则b a <；若b a <，则a b >．即a b >⇔b a <。

说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。 定理2：若a b >，且b c >，则a c >。

说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性。

定理3：若a b >，则a c b c +>+。 说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向； （2）定理3的证明相当于比较a c +与b c +的大小，采用的是求差比较法； （3）定理3的逆命题也成立；

（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。 定理3推论：若,,a b c d a c b d >>+>+且则。 说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。

定理4．如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0>b a 且0>>d c ，那么bd ac >。 说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）

推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。

推论2：如果0>>b a ， 那么n

n b a > )1(>∈n N n 且。 定理5：如果0>>b a ，那么n

n b a > )1(>∈n N n 且。

2．基本不等式

定理1：如果R b a ∈,，那么ab b a 222

≥+（当且仅当b a =时取“=”）。 说明：（1）指出定理适用范围：R b a ∈,；（2）强调取“=”的条件b a =。

定理2：如果b a ,是正数，那么

ab b

a ≥+2

（当且仅当b a =时取“=”

） 说明：（1）这个定理适用的范围：,a b R +

∈；（2）我们称b a b a ,2

为+的算术平均数，

称b a ab ,为的几何平均数。即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3．常用的证明不等式的方法 （1）比较法

比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负。

（2）综合法

利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。

综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒L ，及从已知条件A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B 。 （3）分析法

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。

（1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；

（2）综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程。 四．典例解析

题型1：考查不等式性质的题目

例1．（1）（06上海文，14）如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ）

（A ）

11

a b

< （B < （C ）22a b < （D ）||||a b > （2）（06江苏，8）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）a

a a a 112

2+

≥+ （C ）21

||≥-+

-b

a b a （D ）a a a a -+≤+-+213 解析：（1）答案：A ；显然0,0a b <>，但无法判断b a ,-与|||,|b a 的大小； （2）运用排除法，C 选项21

≥-+

-b

a b a ，当a －b <0时不成立，运用公式一定要