正则化图像超分辨率重建算法

正则化图像超分辨率重建算法
1. MAP 正则化算法理论介绍
图像超分辨率重建问题是一个病态的问题，而在求解中加入先验信息可以提供一个很好的正则化机制来获得具有物理意义的解。

贝叶斯（Bayesian ）方法可以用先验概率分布的形式来加入先验限制，从而可以获得超分辨率问题的正则解，而且该方法在近年的研究中被证明十分有效，因此成为图像超分辨率重建的主要方法之一。

贝叶斯的基本思想是：假设原始图像X 和降质图像Y 都是随机场，当概率
()|P X Y 取最大值时，X 代表了在已知降至图像Y 时，原始图像X 的最大可能，
被称为X 的最大后验概率估计。

()()()()arg max || arg max MAP X X X P X Y P Y X P X P Y =⎡⎤⎣⎦
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
(1)
由于以e 为底数的log 函数是单调递增函数，因此可以将上述概率函数取log
对数，不会影响最大值的结果。

()()()arg max log log log MAP X X Y X P X P Y ⎡⎤=+-⎣⎦
(2)
由上式可知，()log P Y 与MAP X 取得最大值无关，因此可以忽略不计。

由此可得：
()()arg max log log MAP X X Y X P X ⎡⎤=+⎣⎦
(3)
假定图像的噪声是均值为0，方差为2σ的高斯分布，则在给定的HR 图像的
当前估计X
的条件下，LR 图像的概率密度为： (
)22,,,,,|()2)k i j k i j k n
i j
P Y X Y Y σ=-- (4)
由此可得
(
)22,,,,,22,,,,,,2,,,,,,ˆarg max log |arg max log ()2)arg min ()2arg min ()X X i j k i j k n i j X i j k i j k n i j k X i j k i j k i j k X P Y X Y Y Y Y Y Y σσ⎡⎤=⎣⎦
⎡⎤=--⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
∑∑ (5)
上式中，由于方差齐次性，所以可以消去n σ的影响。

2. 图像超分辨率重建的正则化处理
由于图像成像系统降质过程模型表达式为：
y Hx n =+
(6) 图像超分辨率重建问题转化为求解使下式达到最小值的X
2ˆarg min X X
Y HX =-
(7)
其Euler-Lagrange 方程为：
T T H HX H Y =
(8)
由此可看出，H 及Y 的很小变化就会造成解的很大变化，从而导致解不连续依赖于观测数据，所以这种情况是病态的。

由于上述问题，我们通常加入正则化项2
CX α，对X 进行约束，构造正则化泛函如下：
{
}2
2
ˆarg min X
X
Y HX CX
α=-+
(9)
2Y HX -表示数据拟合项，通过已知数据和未知数据的差来衡量数据拟合程
度；2
CX α是正则项，用来平衡数据的奇异性，并补偿降质图像所丢失的一些信息，使问题不在病态；α为正则化参数，起平衡正则项和数据项的作用，其值
的变化，可以影响数据的平滑性和数据拟合误差，直接影响重建数据的效果；C 通常代表高通滤波。

上式作为代价函数是凸函数，可以找到唯一解
1()T T T x H H C C H y α-=+
(10)
但由于逆矩阵的求解十分复杂，本文采用迭代下降算法求解重建图像，可以得到迭代表达式为：
1(())T T T k k k k x x H y H H x C C x α+=+-+ (11)
222
2
()15k k
x y Hx y
α=-
(12)
其中，k x 表示第k 次迭代的结果，迭代终止准则如下：
21
2
22
k k k
x x x ε
--≤ (13)
满足收敛条件后，终止迭代。