2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期入学考试数学试题 Word版
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题
【分析】
由等差数列的性质可求得a4=13，a6=9，从而有a4+a6=22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案．
【详解】
解：∵在等差数列 中， ， ，
， ，
，
∴数列 的前9项之和 ，
故选：B
【点睛】
本题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n项和公式是解决问题的关键，属于基础题．
5．D
【解析】
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或 或
2．下列命题中正确的是（）
A．第一象限角必是锐角；B．相等的角终边必相同；
25．过点Q 作圆C： 的切线，切点为D，且QD＝4．
(1)求 的值；
(2)设P是圆C上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆C的切线l，且l交x轴于点A，交y轴于点B，设 ，求 的最小值(O为坐标原点).
26．如图， ， ， 是同一平面内的三条平行直线， 与 之间的距离是1， 与 之间的距离是2，三角形 的三个顶点分别在 ， ， 上.
3．A
【分析】
由指数函数的性质，可得函数 恒过点坐标为 ，且函数 是增函数，图象不经过第二象限，得到关于 的不等式，即可求解.
【详解】
由指数函数的性质，可得函数g（x）=3x+t恒过点坐标为（0，1+t），函数g（x）是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得t≤–1．故选A．
【点睛】
本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中熟记指数函数的图象与性质，特别是指数函数的图象恒过定点是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
湖南省长郡中学高二上学期入学考试数学试题解析版
2019-2020学年湖南省长郡中学高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）A．随机抽样B．分层抽样C．系统抽样D．以上都是【答案】C【解析】对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，其它依次加5，得到样本编号.【详解】对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，从第二组开始依次加5，得到样本编号为：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，属于系统抽样.【点睛】本题考查系统抽样的概念，考查对概念的理解.2．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为()A7B6C5D．2【答案】A【解析】根据三视图知该几何体是一个正四棱锥，结合图中数据求出各条棱长即可得出结论．【详解】解：根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥，画出图形如图所示；则AC 2=DC 2BE 2==，AC ⊥底面CDEB ，结合图形中的数据，求得BC 2=，在Rt ABC V 中，由勾股定理得2222AB AC BC (2)(2)2=+=+=，同理求得22AD (2)26=+=22222222AE AC CE AC CD DE (2)217=+=++=++=A ．【点睛】本题利用三视图考查了四棱锥的结构特征，属基础题．3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S【答案】C【解析】由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7． 【详解】∵（n +1）S n ＜nS n +1， ∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1 即na 1()12n n d-+＜na 1+n 2d ，整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ∵n 2﹣n ﹣2n 2＝﹣n 2﹣n ＜0 ∴d ＞0∵87aa-＜1＜0∴a7＜0，a8＞0数列的前7项为负，故数列{S n}中最小值是S7故选C．【点睛】本题考查等差数列中前n项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．4．如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )A．84,4.84 B．84,1.6 C．85,1.6 D．85,4【答案】C【解析】根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差．【详解】由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，所剩数据84，84，86，84，87的平均数为8484868487855++++=；方差为()()()()()2222218 8485848586858485878555⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案为C【点睛】茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数．5．四面体P ABC-的三组对棱分别相等，且长度依次为5,13 5.则该四面体的外接球的表面积（）A．294πB．28πC．296D．29π【答案】D【解析】分析：先将四面体P ABC-补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为25,13，5，再通过解方程组得长方体的长宽高，最后根据四面体的外接球为长方体的外接球求结果.详解：因为将四面体P ABC -补成一个长方体，相邻三个面的对角线长分别为25,13，5，所以由22222225,13,5,x y z y x z +=+=+=得22216,4,9x y z ===因为四面体的外接球为长方体的外接球，所以外接球直径为22229x y z ++=因此四面体的外接球的表面积为24π29πR =， 选D.点睛：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”． 6．若圆上总存在点A ，使得，则实数的取值范围是 A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】问题等价于圆和圆相交或相切，利用两圆圆心距大于等于两圆半径之差、小于等于两圆半径之和求解即可. 【详解】 问题可转化为圆和圆相交或相切，两圆圆心距，由得，解得，即，故选D. 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，体现了转化的数学思想，属于中档题. 两圆半径为，两圆心间的距离，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.7．在锐角三角形ABC 中，已知,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且32sin ,4b a B a ==，则ABC △面积的最大值为（ ）A ．3B ．3C ．83D ．3【答案】B【解析】2sin a B =利用正弦定理将边化成角，得到sin A 的值，利用余弦定理，得到bc 的最大值，再由面积公式1sin 2S bc A =得到ABC V 面积的最大值. 【详解】在ABC V 中，由正弦定理得sin sin a bA B=2sin a B = 2sin sin B A B =，解得sin 2A =Q ABC V 为锐角三角形，则1cos 2A ==由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,2216b c bc =+-22162bc b c bc ∴+=+≥，16bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立1sin 24ABC S bc A ∴=⋅=≤V 故选B 项. 【点睛】本题考查三角形中正余弦定理的使用，基本不等式的简单应用，属于基础题. 8．若P 为两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） A ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面 【答案】B【解析】解：因为若点P 是两条异面直线l m ，外的任意一点，则过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直，选B9．已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且12019lg lg 0a a +=，若22()1f x x=+，则122019()()()f a f a f a +++=L （ ） A ．2018 B ．4036C ．2019D ．4038【答案】C【解析】∵正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且12019lg lg 0a a +=∴19lg 0a a ⋅=，即191a a ⋅=. ∵函数()221f x x=+ ∴222212222()()21111x f x f x x xx ++=+==+++ 令122019()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+，则201920181()()()T f a f a f a =++⋅⋅⋅+ ∴1201922018201912()()()()()()22019T f a f a f a f a f a f a =++++⋅⋅⋅++=⨯ ∴2019T = 故选C.点睛：倒序相加法求和，不仅应用在等差数列中，而且在函数中也有应用.等差数列中主要利用等差数列性质：若()*,,,,m n p q m n p q N+=+∈，则mn p q aa a a +=+；函数中主要利用对称中心性质：若()f x 关于(),m n 对称，则()()22f x f m x n +-=. 10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且=，则B= ( )A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】试题分析：根据正弦定理可得, 由已知可得,整理可得,,在中.故C 正确.【考点】1正弦定理;2余弦定理.11．过点2,0)引直线l 与曲线21y x =-A ，B 两点，O 为坐标原点，当OA OB ⊥时，直线l 的斜率等于（ ）A ．33-B ．33C ．33±D ．3【答案】A【解析】分析：由题意得曲线21y x =-x 轴上方的部分，设过点2,0)的直线为0(2)y k x -=，即20kx y k --=，又由OA OB ⊥，所以圆心到直线的距离等于2r ，列出方程即可求解.详解：由y =221(0)x y y +=≥，所以曲线y =x 轴上方的部分，则过点0)的直线与曲线y =10k -<<，设直线的方程为0(y k x -=，即0kx y --=，又由OA OB ⊥，所以圆心到直线的距离等于2r，即2d ==，解得k =，又因为10k -<<，所以k =，故选A.点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用问题，其中把OA OB ⊥转化为圆心到直线的距离为2，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及推理与运算能力.12．已知函数()cos ,(0,2)f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ,且方程()(0)f x m m =≠有两个不同的实根34,x x ,若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数m =( ) A ．12B ．12-CD． 【答案】D【解析】由题意可知：123,22x x ππ==，且34,x x 只能分布在12,x x 的中间或两侧，下面分别求解并验证即可的答案． 【详解】由题意可知:123,22x x ππ==,且34,x x 只能分布在12,x x 的中间或两侧,若34,x x 分布在12,x x 的中间,则公差32233d πππ-==, 故34,x x 分别为56π､76π,此时可求得5cos 6m π==; 若34,x x 分布在12,x x 的两侧,则公差322d πππ=-=,故34,x x 分别为5,22ππ-,不合题意.故选D. 【点睛】本题为等差数列的构成问题，涉及分类讨论的思想和函数的零点以及三角函数，属中档题．13．已知直线:10l x y --=，2:220l x y --=，若直线2l 与1l 关于l 对称，则1l 的方程是（ ） A ．210x y -+= B ．210x y --= C ．10x y +-= D ．210x y +-=【答案】B【解析】画出l 和2l 的图像，确定两者的交点，结合直线1l 的斜率，确定正确选项. 【详解】由10220x y x y --=⎧⎨--=⎩解得l 和2l 的图像的交点为()1,0，由于l 的斜率为1，2l 的斜率为2，故1l 的斜率为正数，由此排除C,D 选项.结合1l 过()1,0，排除A 选项. 故选：B.【点睛】本小题主要考查直线关于直线对称的直线方程的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14．设平面点集{}221(,)|()()0,(,)|(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂所表示的平面图形的面积为 A ．34π B ．35πC ．47π D ．2π 【答案】D 【解析】【详解】由集合1(,)|()()0A x y y x y x ⎧⎫=--≥⎨⎬⎩⎭可得其表示的区域为010y x y x -≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩和010y x y x -≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩所对应的平面区域，集合{}22(,)|(1)(1)1B x y x y =-+-≤表示的区域为圆22(1)(1)1x y -+-=内和圆上的点对应的区域；作出对应图像，则I ，III 对应的区域，即为所求平面区域； 因为函数1y x=的图像，与圆22(1)(1)1x y -+-=均关于y x =对称， 所以I ，III 区域的面积恰好为圆的一半，故所求平面区域的面积为：2π. 故选：D.15．数列{}n a 的通项222ππcossin 33n n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其前n 项和为n S ，则30S 为（ ） A ．470 B ．490C ．495D ．510【答案】A【解析】分析：利用二倍角的余弦公式化简得22πcos 3n n a n =，根据周期公式求出周期为3，从而可得结果.详解：首先对{}n a 进行化简得22πcosn n a n =，又由2πcos n 关于n 的取值表：可得2πcos3n 的周期为3，则可得22222222230124528293630222S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，设()()()222323153922kk k b k k -+-=-+=-， 则()305912 (10104702)S =+++-⨯=，故选A ． 点睛：本题考查二倍角的余弦公式、三角函数的周期性以及等差数列的求和公式，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力以及计算能力，求求解过程要细心，注意避免计算错误.二、填空题16．已知,,a b c 为直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点(,)M m n 在直线:20l ax by c ++=上，则22m n +的最小值为__________．【答案】4【解析】∵a ，b ，c 为直角三角形中的三边长，c 为斜边长，∴， 又∵点M （m ，n ）在直线l ：ax+by+2c=0上， ∴m 2+n 2表示直线l 上的点到原点距离的平方， ∴m 2+n 2的最小值为原点到直线l 距离的平方， 由点到直线的距离公式可得=2，∴m 2+n 2的最小值为d 2=4， 故答案为4.17．已知函数2()()f x x ax b a b R =++∈，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ．【答案】9．【解析】∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b－24a＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋14a2＝12x a⎛⎫+⎪⎝⎭2.又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，∴m，m＋6是方程x2＋ax＋24a－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得()226{64m aam m c+=-+=-解得c＝9.18．已知三棱柱111ABC A B C-的侧棱与底面边长都相等,1A在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与1CC所成的角的余弦值为__________.【答案】34【解析】根据三棱柱的性质可知，11//C C A A，异面直线AB与1CC所成的角就是1A AB∠，连接1A B，利用余弦定理即可求解．【详解】作出草图，如下：由三棱柱的性质可知，11//C C A A，异面直线AB与1CC所成的角就是1A AB∠，连接1A B，又三棱柱111ABC A B C-的侧棱与底面边长都相等，1A在底面ABC上的射影为BC的中点，所以1A D BC⊥，∴三角形1A DB是直角三角形，设1DB=，则12AB A A==．又AD BC⊥131AD A D∴==，所以12A B在1A AB ∆中，由余弦定理可知：22211114423cos 22224A A AB A B A AB A A AB +-+-∠===⋅⨯⨯． 故答案为：34． 【点睛】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．已知0,0x y >>，且1x y +=，若19a x y≤+恒成立，则实数a 的最大值为__________． 【答案】16 【解析】不等式19a x y ≤+恒成立⇔（19x y+）min ≥a ．利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出． 【详解】∵0,0x y >>，且1x y +=∴()1919x y x y x y ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭10910y x x y ++≥+=16，当且仅当y ＝3x ＝34时取等号． ∵不等式19a x y ≤+恒成立⇔（19x y+）min ≥a ． ∴a ∈（﹣∞，16]， 即实数a 的最大值为16 故答案为16． 【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题． 20．已知a ，b ，c 分别为ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边，2a =且(2)(sin sin )b A B +-()sin c b C =-，则ABC △面积的最大值为__．【解析】【详解】由已知()()()a b a b c b c +-=-，即2221cos 2b c a bc A +-=⇒=得60A =︒， 222244b c bc b c bc bc ∴+-=∴=+-≥1sin 32ABC S bc A ∆∴=≤三、解答题21．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5． 【解析】【详解】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a ，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x ＝0.0075，所以直方图中x 的值是0.0075. ------------- 3分(2)月平均用电量的众数是2202402+＝230. ------------- 5分 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内， 设中位数为a ，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a －220)＝0.5 得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分 (3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户， 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户， 月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户， 月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分 抽取比例＝112515105+++＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户．-- 12分【考点】频率分布直方图及分层抽样22．已知数列{}n a 为等差数列，0n a ≠，且满足231173232a a a +=，数列{}n b 满足120n n b b +-=，77b a =． （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】（I ）12n nb -=； （Ⅱ）(1)21n n S n =-•+.【解析】（I ）由等差数列的性质可得：23117732323220a a a a +==⨯≠，解得7a ．利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）1•2n n n c nb n -==，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．【详解】（I ）由等差数列的性质可得：23117732323220a a a a +==⨯≠，解得764a =．数列{}n b 满足120n n b b +-=，可得：数列{}n b 是等比数列，公比为2．∵7764b a ==．∴61•264b =，解得11b =．∴12n n b -=．（Ⅱ）若1•2n n n c nb n -==，∴数列{}n c 的前n 项和()221122321?2?2n n n S n n --=+⨯+⨯++-+L ，()2312222321?2?2n n n S n n -=+⨯+⨯++-+L ，∴21211222?2?221n n nn n S n n L ---=++++-=--，可得()1?21n n S n =-+． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式性质与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭rr ，记()f x m n =r r g ． （1）若()1f x =，求cos 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满()2cos cos a c B b C -=，求()2f A 的取值范围．【答案】（1）12；（2）3]2【解析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换可得()sin()26x f x π=+12+，由()1f x =可得1sin()262x π+=，根据二倍角公式可得cos()3x π+的值；（2）根据正弦定理消去(2)cos cos a c B b C -=中的边可得3B π=，所以23A C π=-，又02C <<π，则62A ππ<<，得2363A πππ<+<，根据三角函数值域的有界性即可求得(2)f A 的取值范围． 【详解】（1）向量,1)4x m =r，2(cos ,cos )44x x n =r，记()f x m n =⋅r r ，则2()cos cos 4442x x x x f x =+=11cos 222x ++sin()26x π=+12+，因为()1f x =，所以1sin()262x π+=， 所以21cos()12sin ()3262x x ππ+=-+=． （2）因为(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=， 所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=， 所以2sin cos sin()sin A B B C A =+=，sin 0A ≠，所以1cos 2B =，又02B π<<，所以3B π=，则23A C π+=，即23A C π=-，又02C <<π， 则62A ππ<<，得2363A πππ<+<， 所以3sin()126A π<+≤，又1(2)sin()62f A A π=++，所以(2)f A 的取值范围313(,]2+． 【考点】三角求值、正弦函数的值域及正弦定理解三角形.24．如图，已知正三棱柱ABC=A 1B 1C 1的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C 重合． （1）当CF=1时，求证：EF ⊥A 1C ；（2）设二面角C ﹣AF ﹣E 的大小为θ，求tanθ的最小值．【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）过E 作EN ⊥AC 于N ，连接EF ，NF ，AC 1，由直棱柱的性质可知，底面ABC ⊥侧面A 1C ∴EN ⊥侧面A 1CNF 为EF 在侧面A 1C 内的射影 在直角三角形CNF 中，CN=1则由，得NF ∥AC 1，又AC 1⊥A 1C ，故NF ⊥A 1C由三垂线定理可知EF ⊥A 1C（2）连接AF ，过N 作NM ⊥AF 与M ，连接ME 由（1）可知EN ⊥侧面A 1C ，根据三垂线定理得EM ⊥AF ∴∠EMN 是二面角C ﹣AF ﹣E 的平面角即∠EMN=θ 设∠FAC=α则0°＜α≤45°， 在直角三角形CNE 中，NE=，在直角三角形AMN 中，MN=3sinα故tanθ=，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤故当α=45°时，tanθ达到最小值， tanθ=，此时F 与C 1重合25．已知圆C ：x 2+y 2+x -6y +m =0与直线l ：x +2y -3=0． （1）若直线l 与圆C 没有公共点，求m 的取值范围；（2）若直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值． 【答案】（1）37(8,)4（2）m ＝3 【解析】(1)将圆的方程配方，得1()2x +2＋(y －3)2＝3744m-，故有3744m -＞0，解得m ＜374. 将直线l 的方程与圆C 的方程组成方程组，得22230{60x y x y x y m +-=++-+= 消去y ，得x 2＋32x -⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋x －6×32x -＋m ＝0， 整理，得5x 2＋10x ＋4m －27＝0， ①∵直线l 与圆C 没有公共点，∴方程①无解，故有Δ＝102－4×5(4m －27)＜0，解得m ＞8.∴m 的取值范围是37(8,)4. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由OP ⊥OQ ，得OP OQ ⋅u u u r u u u r＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0， ② 由①及根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝4275m -， ③又∵P 、Q 在直线x ＋2y －3＝0上，∴y 1·y 2＝132x -·232x -＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1·x 2]， 将③代入上式，得y 1·y 2＝125m +， ④将③④代入②得x 1·x 2＋y 1·y 2＝4275m -＋125m +＝0，解得m ＝3.代入方程①检验得Δ＞0成立，∴m ＝3.。
2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
2020-2021学年湖南省长沙市长郡中学上学期期末考试高二数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.命题“若a b >，则22a b >”的逆否命题是A.若a b ≤，则22a b ≤B.若a b >，则22a b ≤C. 若22a b ≤，则 a b ≤D. 若22a b ≤，则 a b >2.用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实数根”时，要做的假设时A. 方程30x ax b ++=没有一个实数根B. 方程30x ax b ++=至多有一个实数根C. 方程30x ax b ++=至多有两个实数根D. 方程30x ax b ++=恰好有两个实数根 3.双曲线2213x y -=的焦点坐标为 A.()3,0 B. ()2,0± C. (0,3 D. ()0,2±4.已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率为 A.23 B. 12 C. 13 D.165.设()ln f x x x =，若()02f x '=，则0x =A. 2eB. eC. ln 22D.ln 2 6.如图是2016年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为A. 85,84B. 84,85C. 86,84D. 84,867.如图，M 是半径为R 的圆周上的一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 2R 的概率为 A. 15 B. 14 C. 13 D. 128.已知a 是函数()312f x x x =-的极小值点，则a =A. 4-B. 2-C. 2D. 49.对具有线性相关关系的变量,x y ，有一组观测数据()(),1,2,3,,8i i x y i =，其回归直线方程是1ˆˆ3y x a =+，且()12812826x x x y y y +++=+++=，则实数ˆa 的值是 A. 12 B. 14 C. 18 D.11610.若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 A.(7,14± B. (14,14± C.(7,214± D.(7,214-±11.若函数()321f x x ax =-+在()0,2内单调递减，则实数a 的取值范围是 A. 2a = B. 3a ≥ C. 3a ≤ D.03a <<12.已知有相同焦点12,F F 的椭圆2215x y +=和双曲线2213x y -=，P 是它们的一个交点，则12PF F ∆的形状是A. 锐角三角形B. 直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形13.若命题“2,20x R ax ax ∀∈--≤”是真命题，则实数a 的取值范围是A. []8,0-B. (]8,0-C. [)8,0-D.()8,0-14.设()(),f x g x 是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x '⋅-⋅<，则当a x b <<时，有A. ()()()()f x g x f b g b ⋅>⋅B. ()()()()f x g a f a g x ⋅>⋅C. ()()()()f x g b f b g x ⋅>⋅D. ()()()()f x g x f a g a ⋅>⋅15.已知抛物线2:4C y x =的焦为F,直线1y x =-与C 交于A,B 两点，与双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的渐近线相交于M,N 两点，若线段AB 与MN 的中点相同，则双曲线E 的离心率为 A.632 C. 1533 第Ⅱ卷（非选择题 共55分）二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.16.已知i 是虚数单位，则31i i+=-为 . 17.对任意非零实数,a b ，若a b ⊗的运算原理如下边程序框图所示，则32⊗= .18.将全体正整数排成一个三角形数表：根据以上排列规律，数阵中第10行从左到右的第3个数为 .19.曲线C 的方程为22221x y m n+=，其中,m n 是将一枚骰子先后投掷两次所得的点数，记事件A 为“方程22221x y m n +=表示焦点在x 轴上的椭圆”，那么事件A 发生的概率()P A = .20.在平面直角坐标系xoy 中，已知点P 是函数()()0x f x e x =>图象上的动点，该图像在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值为 .三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21.（本题满分8分）已知曲线C 的参数方程为45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 2.ρθ=（1）将C 测参数方程化为普通方程；（2）直线l 与曲线C 交于A,B 两点，求AB 的长度.22.（本题满分8分）设:p 实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，:q 实数x 满足30.2x x -≤- （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.23.（本题满分8分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为了调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300为学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）.（1）应收集多少为女生样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[](](](](][]0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成下列每周体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关.”24.（本题满分8分）在平面直角坐标系xoy 中，点P 到两点((0,3,3-的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C,直线1y kx =+与C 交于A,B 两点.（1）写出C 的方程；（2）若OA OB ⊥，求k 的值.25.（本题满分8分）已知函数()1xx e f x xe =+ （1）求()f x 的最大值；（2）当0x >时，()211f x ax >+，求正实数a 的取值范围.。
长郡中学高二入学考试理科数学考试试题及参考答案
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湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题含答案
（ ）根据频率分布直方图估计这 位男生身高的中位数；
（ ）用分层抽样的方法在身高为 内抽取一个容量为 的样本，从样本中任意抽取 位男生，求这两位男生身高都在 内的概率．
23.已知数列 的前 项和为 ，且 对任意 都成立.
（Ⅰ）求 值；
（Ⅱ）证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
（Ⅲ）设 ，求数列 的前 项和 .
24.已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P 轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4.
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且 （O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）
16.某中学高二年级甲班的学生共有25名女生和35名男生，现以简单随机抽样的方法从甲班全班同学中推选5名学生代表甲班参加全校演讲比赛，则甲班中某女生被抽到的概率是________．
17.已知函数 （ ，且 ）的图像恒过定点 ，则 __________．
C. 有最大值， 有最大值D. 有最小值， 有最小值
二、多项选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，有选错的得0分，部分选对得1分）
11.下列关于函数 的说法中正确的是（）
A. 为奇函数
B. 上单调递减
C. 不等式 的解集为
D. 不等式 的解集为
12.如图，在正四棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点，异面直 与 所成角的余弦值为 ，则（）
湖南省五市十校2020-2021学年高二上学数学试题 含答案
8x 2y
8x 8 ，当且仅当
2y
，即
y
2x 时有最小值 8；
yx
yx
yx
m2 2m 8 ，即 m2 2m 8 0 .解得 2 m 4 .故选 D.
7.B 解析：所给数列为高阶等差数列,设该数列的第 8 项为 x，根据所给定义：用数列的后一项减去前
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长郡高二入学考试数学(文科)答案
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二填空题
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长郡中学学年度高二第一学期入学考试
数学!文科"参考答案
一#选择题
湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高二上学期入学考试数学模拟试卷及答案
长郡中学新高二入学考试数学模拟试卷数 学时量：120分钟 满分：100分一、单选题(共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案) 1.若集合{}210A x ax x =∈++=R 中只有一个元素，则a 的值为() A.14B.12C.0D.0或142.i 是虚数单位，复数21iz =−，则z 在复平面内对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若正实数a ，b 满足()()240f a f b +−=则121a b++的最小值是()A.23B.43C.2D.44.对任意[]1,1a ∈−，函数()()2442f x x a x a =+−+−的值恒大于零，则x 的取值范围是()A.13x << B.1x <或3x > C.12x << D.1x <或2x >5.已知()11,A x y ，()22,B x y 是函数2xy =图象上两个不同的点，若1224x x +=，则y 1+y 22的最小值为( )A.2B.4C.8D.106.已知把函数()3sin cos 34f x x x π⎛⎫=+− ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若()()1214g x g x ⋅=，若[]12,,x x ππ∈−，则12x x −的最大值为()A.πB.34π C.32π D.2π7.如图，在ABC △中，2AD DB =，3AE EC =，CD 与BE 交于F ，AF xAB yAC =+，则(),x y 为( )A.11,32⎛⎫⎪⎝⎭B.11,32⎛⎫− ⎪⎝⎭C.11,23⎛⎫− ⎪⎝⎭D.11,23⎛⎫⎪⎝⎭8.如图ABCDEF 为五面体，其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，3332AB EF AD ===，ADE △和BCF △都是正三角形，则该五面体的体积为( )A.723B.423 C.2D.3229.x 是12100,,,x x x 的平均数，a 是1240,,,x x x 的平均数，b 是4142100,,,x x x 的平均数，则下列各式正确的是( )A.4060100a bx +=B.6040100a bx +=C.x a b =+D.2a bx +=10.甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且{},1,2,3,4a b ∈，若1ab ≤，则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.38B.58C.316D.51611.在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，且3AB BD DA ===，3CD =，则三棱锥A BCD −的外接球的表面积为( )A.154πB.15πC.32πD.6π12.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC △的面积，且()222S a b c =−−，则222b c bc+的取值范围为( )A.4359,1515⎛⎫⎪⎝⎭B.4322,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.5922,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.)22,⎡+∞⎣二、多选题(共3个小题，每小题3分，共9分，每小题答案不全得1分，多选或错选得0分)13.下列说法正确的是( )A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1；B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5；C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23；D.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则121021,21,,21x x x −−−的标准差为1614.已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，且()()02f f ππ⎛⎫==−− ⎪⎝⎭.则ω的可能取值为( )A.23B.2C.13D.115.已知边长为a 的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC △沿AC 翻折，下列说法正确的是( )A.在翻折的过程中，直线AD ，BC 所成角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B.在翻折的过程中，三棱锥D ABC −体积最大值为38aC.在翻折过程中，三棱锥D ABC −表面积最大时，其内切球表面积为()21483a π−D.在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D '，E 为棱CD 上的一个动点，ED '的最小值为34a 三、填空题(共5个题，每小题3分，共15分)16.若()()211i z a a =−+−为纯虚数，其中a ∈R ，则2i1ia a ++等于__________.17.设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4xf x =，则()520212f f ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭__________. 18.如图，已知二面角A BC D −−，2AB =，2BC =，3CD =，7AD =，且AB BC ⊥，CD BC ⊥，则二面角A BC D −−的余弦值为__________. 19.函数()f x 的定义域为D ，若满足：(1)()f x 在D 内是单调函数；(2)存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，使得()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，那么就称函数()f x 为“梦想函数”.若函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“梦想函数”，则t 的取值范围是______________.20.在ABC △中，222sin sin sin sin sin B C A B C +−=，点D 在线段BC 上，且3BC BD =，2AD =，则BAC ∠______；ABC △面积的最大值为______.四、解答题(共5个大题，每题8分，共40分)21.某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：kg )，并绘制频率分布直方图如下：(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)22.袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是59，得到黄球或绿球的概率是23，试求： (1)从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？23.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()sin cos bA B C a+=−. (1)求角A ；(2)若4b c −=，ABC △的外接圆半径为ABC △的边BC 上的高.24.如图，已知四棱锥P ABCE −中，PA ⊥平面ABCE ，平面PAB ⊥平面PBC ，且1AB =，2BC =，BE =，点A 在平面PCE 内的射影恰为PCE △的重心G .(1)证明：BC AB ⊥；(2)求直线CG 与平面PBC 所成角的正弦值.25.如图，矩形ABCD 中，AB =4BC =，点M ，N 分别在线段AB ，CD (含端点)上，P 为AD 的中点，PM PN ⊥，设APM α∠=.(1)求角α的取值范围；(2)求出PMN △的周长l 关于角α的函数解析式()f a ，并求PMN △的周长l 的最小值及此时α的值.长郡中学新高二入学考试数学模拟数学参考答案一、选择题二、选择题三、填空题16.i17.2−18.319.1,04⎛⎫− ⎪⎝⎭20.3π 2四、解答题21.【解析】(1)如图示：区间[)80,90频率最大，所以众数为85，平均数为：()650.0025750.01850.04950.0351050.011150.002510x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯89.75=.(2)日销售量[)60,90的频率为0.5250.8<，日销量[)60,100的频率为0.8750.8>， 故所求的量位于[)90,100.由0.80.0250.10.40.275=---，得0.27590980.035+≈， 故每天应该进98千克苹果.22.【解析】(1)从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ，由于A ，B ，C 为互斥事件，根据已知，得()()()()()()()()()()59231P A B P A P B P B C P B P C P A B C P A P B P C ⎧+=+=⎪⎪⎪+=+=⎨⎪++=++=⎪⎪⎩，解得()()()132949P A P B P C ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是13，29，49. (2)由(1)知黑球、黄球、绿球个数分别为3，2，4， 从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点，其中两个是黑球的样本点是3个，两个黄球的是1个，两个绿球的是6个， 于是，两个球同色的概率为31653618++=， 则两个球颜色不相同的概率是51311818−=. 23.【解析】(1)由()sin cos bA B C a=−＋， 得sin cos bC C a+=，即sin cos a C a C b +=， 由正弦定理，得sin sin sin cos sin sin cos sin cos A C A C B A C C A +==+， 即sin sin sin cos A C C A =. 又sin 0C ≠，所以sin cos A A =， 即tan 1A =. 又0A π<<， 所以4A π=.(2)由正弦定理得64a π==，由余弦定理得()(22222cos 236a b c bc A b c bc =+−=−+=，所以(102bc =+，设ABC △的BC 边上的高为h ， 因为ABC △的面积11sin 22S bc A ah ==， 所以ABC △的边BC 上的高()()21022521sin 263bc Ah a+⨯+===.24.【解析】(1)过A 作AD PB ⊥于D ，因为平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB 平面PBC PB =，AD ⊂平面PAB ，∴AD ⊥平面PBC ， ∵BC ⊂平面PBC ， ∴AD BC ⊥.又PA ⊥平面ABCE ，BC ⊂平面ABCE ， ∴PA BC ⊥， 又PAAD A =，∴BC ⊥平面PAB ， ∵AB ⊂平面PAB ， ∴BC AB ⊥.(2)连结PG 并延长交CE 于M ，连结AM ，以B 为原点，分别以BA ，BC 所在的直线为x ，y 轴，以过B 且与平面ABCE 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0B ，()1,0,0A ，()0,2,0C ，设(),,0E x y ，∵AG ⊥平面PCE ，CE ⊂平面PCE ， ∴AG CE ⊥，同理PA CE ⊥， 又AGPA A =，∴CE 平面PAM ， ∴CE AM ⊥， 又G 是PCE △的重心， ∴M 是CE 的中点，∴AC AE =，由(1)知，BC AB ⊥，∴5AC AE ==，(),,0BE x y =，()1,,0AE x y =−，∴()2222815x y x y ⎧+=⎪⎨−+=⎪⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩， ∴()2,2,0E ，设AP a =，则()1,0,P a ，故41,,33a G ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴40,,33a AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21,,33a CG ⎛⎫=− ⎪⎝⎭， ∴280099a AG GC⋅=−+=，∴a = ∴(P ，∴()1,0,22BP =，()0,2,0BC =，2221,,33CG ⎛⎫=−⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则0220200BP n x z y BC n ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩，令1z =，则()22,0,1n =−， 设直线CG与平面PBC所成角为θ，则22sin 63CG nCG nθ−⋅===⋅，故直线CG 与平面PBC 所成角的正弦值为63. 25.【解析】(1)由题意，当点M 位于点B 时，角α取最大值，此时tan α=因为02πα<<，所以3πα=，当点N 位于点C 时，DPN ∠取得最大值，角α取最小值， 由对称性知此时3DPN π∠=，所以min 236πππα=−=，所以角α的取值范围是,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)在直角PAM △中，cos PAPMα=且2PA =， 所以2cos PM α=，在直角PDN △中，cos cos sin 2PD PDN PN παα⎛⎫∠=−== ⎪⎝⎭且2PD =， 所以2sin PN α=， 在PMN △中，由勾股定理得2222222444cos sin cos sin MN PM PN αααα=+=+=， 因为,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以sin 0α>，cos 0α>， 所以2cos sin MN αα=，所以()()21sin cos 222sin cos sin cos sin cos fααααααααα++=++=，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得57,41212πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以4t πα⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭⎣，又由21sin cos 2t αα−=，可得()()2214112t f t t t +==−−， 因为函数()f t在区间12+⎣上单调递减，当t =时，())min 41f t ==，此时4t πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭4πα=，所以当4πα=时，PMN △的周长l取得最小值，最小值为)41+.。
长郡中学高二入学考试理科数学考试试题及参考答案
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长郡中学 学年度高二第一学期入学考试
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【数学】长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期入学考试数学试题含解析
长郡中学2022年高二入学检测试卷数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）1．已知i 是虚数单位，复数()()242i z x x =-++是纯虚数，则实数x 的值为（）A ．2B ．2-C ．2±D ．42．若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A．2a ba b +>>>B．2a ba b +>>>C．2a ba b +>>>D．2a ba b +>>>3．在平面四边形中，满足AB CD +=0 ，()0AB AD AC -⋅=，则四边形ABCD 是（）A ．矩形В．正方形C ．菱形D ．梯形4．《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（）A．4πB．4πC．2πD．2π5．已知a ，b 是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是（）A ．若a b ∥，b α∥，则a α∥B ．若αβ⊥，a α∥，则a β⊥C ．若αβ⊥，a α⊄，a β⊥，则a α∥D ．若b α⊥，a b ∥，βα⊥，则a β∥6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos a c b C b A -=-，则△ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形7．设()()2,01,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是（）A ．[]1,2-B ．[]1,0-C ．[]1,2D ．[]0,28．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球的表面上有四个点A ，B ，C ，P ，且球心O 在PC 上，AC =BC =4，AC ⊥BC，tan tan 2PAB PBA ∠=∠=，则该鞠（球）的表面积为（）A ．9πB ．18πC ．36πD ．64π二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9．下列选项中，与sin30°的值相等的有（）A ．212cos 75-︒B ．sin135cos15cos 45cos 75︒︒-︒︒CD ．tan 20tan 25tan 20tan 25︒+︒+︒︒10．某同学在研究函数()1xf x x=+，（x ∈R ）时，分别得出下面几个结论，其中正确的结论是（）A ．等式()()0f x f x -+=在x ∈R 时恒成立B ．函数()f x 的值域为()1,1-C ．若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠D ．方程()0f x x -=在R 上有三个根11．已知()2cos ,sin x x ωω=a，(),2cos x x ωω=b ，0ω>，()f x =⋅+a b ，且()f x 的图象的对称中心与对称轴的最小距离为4π，则下列说法正确的是（）A ．1ω=B ．()f x 的图象关于直线12x π=-对称C ．把()f x 图象向左平移12π单位，所得图象关于y 轴对称D ．保持()f x 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后把图象向左平移3π个单位，得到函数2sin y x =的图象12．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图，点F ，G ，M 分别为CC 1，BB 1，B 1C 1的中点，则下列说法正确的是（）A ．平面AD 1F ∥平面A 1MGB ．直线AD 1与直线A 1G所成角的余弦值为10C ．平面AFD 1截正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1所得截面的面积为98D ．点C 1与点G 到平面AFD 1的距离相等三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．欧拉公式i cos isin xe x x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数i 42i eπ的共轭复数为________．14．已知1sin 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．15．已知函数3tan 1y x ω=+在,34ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是减函数，则ω的取值范围是________．16．已知三角形的三边长，其面积是固定的，而已知平面凸四边形的四边长，其面积是不确定的．现有一平面凸四边形ABCD ，AB =3，BC =4，CD =5，DA =6，则其面积最大值为________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）如图所示，三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CA =a ，CB =b ，1CC =c，CA =CB =CC 1=1，2,,3π==a b c ，,2π=b c ，N 是AB 中点．（1）用a ，b ，c 表示向量1A N；（2）在线段C 1B 1上是否存在点M ，使AM ⊥A 1N ？若存在，求出M 的位置，若不存在，说明理由．18．（本小题满分12分）已知函数()3xf x -=．（1）若函数()3y f x k =--在[]2,1x ∈-上有且仅有一个零点，求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得函数()23log 44f x y m x-=--（0x >）在[],a b 上的值域为[]2,2a b ，若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．19．（本小题满分12分）如图所示，已知DOE ，中心角为3π的扇形，P 为弧 DE 上一动点，四边形PQMN 是矩形，∠POD =x （03x π<<）．（1）求矩形PQMN 的面积()f x 的最大值及取得最大值时的x 值；（2）在△ABC 中，()2f C =，2c =，其面积ABC S =△ABC 的周长．20．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =2，AD ，点E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥PC ；（2）求二面角C −AE −D 的大小．21．（本小题满分12分）向量=a （2，2），向量b 与向量a 的夹角为34π，且2⋅=-a b （1）求向量b ；（2）若=t （1，0），且⊥b t ，=c （cos A ，22cos 2C ），其中A ，B ，C 是△ABC 的内角，且3B π=，试求+b c 的取值范围．22．（本小题满分12分）如图①所示，长方形ABCD 中，AD =1，AB =2，点M 是边CD 的中点，将△ADM 沿AM 翻折到△PAM ，连结PB ，PC ，得到图②的四棱锥P–ABCM ．（1）若棱PB 的中点为N ，求CN 的长；（2）设P −AM −D 的大小为θ，若0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．长郡中学2022年高二暑假作业检测试卷数学得分：本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期入学考试(暑假作业检测)数学试题
湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期入学考试（暑假作业检测）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．有一组互不相等的数组成的样本数据1x 、2x 、L 、9x ，其平均数为a （i a x ¹，1i =、2、L 、9），若插入一个数a ，得到一组新的数据，则（ ）A ．两组样本数据的平均数相同B ．两组样本数据的中位数相同C ．两组样本数据的方差相同D ．两组样本数据的极差相同10．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱111,,A D AA CD 的中点，则（ ）6,A12．AD【分析】根据函数的对称性，周期性判断A ，根据()g x 与()f x 的关系及周期性判断B ，根据中心对称的性质及周期性可判断CD.【详解】对于A ，因为()()20f x f x -+=，所以()f x 的对称中心为()1,0，因为()()33f x g x +-=，所以()()33f x g x ++=，又()()13f x g x -+=，所以()()31f x f x +=-，所以()()31f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，所以()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=éùëû，即()f x 的周期为4，又()()31g x f x =--，所以()g x 的周期也为4，故A 正确；对于B ，因为()()31f x f x +=-，所以()()4f x f x +=-，又由A 知()f x 周期为4，即()()4f x f x +=，所以()()=f x f x -，()f x 为偶函数，故B 错误；对于C ，由()f x 对称中心为()1,0，得()10f =，又因为直线2x =为()f x 对称轴，所以()30f =，所以()f x 关于点()3,0对称，所以()()22f ,和()()4,4f 关于点()3,0对称，所以()()240f f +=，所以()()()()12340f f f f +++=，所以()()()1220240f f f ++×××+=，故C 错误；对于D ，由C 得()()()()01230f f f f +++=，因为()()31g x f x =--，所以()()130g f =-，()()()23131g f f =--=-，()()332g f =-，()()433g f =-，所以()()()()()()()()123430313233g g g g f f f f +++=-+-+-+-。
长郡中学高二入学考试文科数学考试试题及参考答案
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如图是一个无盖器皿的三视图% 正视图$ 侧视图和俯视图中的正方形边 : ! ( 长为# % 正视图$ 侧视图中的虚线都是半圆% 则该器皿的表面积是
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湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题Word版含答案
(3)设 ，求数列 的前n项和Tn.
24. (8分)
两个定点A(0,4),B(0,1),动点P满足 ,设动点P的轨迹为曲线E,直线l:y=kx-4.
(1)求曲线E的轨迹方程;
(2)假设l与曲线E交于不同的C、D两点,且∠COD= 120°(O为坐标原点),求直线l的斜率;
a，b为正实数,且a+b+ab=3,那么2a+b的最小值为_________
四、解答题(此题共5小题,每题8分,共40分.解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤. )
21. (8分)
在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边,假设b=3,c=4,C=2B,且 .
(1)求cos B及a的值;
， ，1， ，3
5.阿波罗尼斯(约公元前262年至公元前190年)是古埃及希腊化时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆〞是他的主要研究成果之一:“假设动点P与两定点M,N的距离之比为 ,那么点P的轨迹就是圆〞,事实上，互换该定理中的局部题设和结论,得到的命题依然成立.点M(2,0)，点P为圆O:x2+y2=16上的点,假设存在x轴上的定点N(t,0)(t>4)和常数λ,对满足条件的点P均有 ,那么λ= .
A. [0, ]B. [0,1]C. (0,2]D. [0,2]
、B、C三点的截面和球心O的距离等于球半径的一半,且AB= BC=CA=2,那么球O的体积为
A. B. C. D.
10.如图，直角△ABC的斜边BC长为2,∠ACB= ,记 ,分别考察M、N的所有运算结果,那么
A.M有最小值,N有最大值B.M有最大值,N有最小值
(1)补全频率分布直方图;
(2)根据频率分布直方图估计这50个男生身高的中位数;
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长郡中学2020～2021 学年度高二第一学期入学考试
数 学
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,共8页。
时量120分钟。
满分100分。
第I 卷
一、单项选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合{214A x x ⎫=≤⎬⎭，集合{}21B y y x ==-则A B= A. 11[,]22- B.[-1,1] C. [0,1] D. 1[0,]2
2.若等差数列{}n a 各项都是正数，11233,21a a a a =++=,则345a a a ++=
A.21
B.45
C.63
D.84
3.如图是幂函数n y x =的部分图象,已知n 取
12，2，- 2，12
-这四个值,则与曲线C 1，C 2，C 3，C 4相对应的n 依次为 A.2，
12，1,22-- B.—2，11,,222
- C. 11,2,2,22-- D. 112,2,22--， ★4.已知一-组数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的平均数是2，方差是
13，那么另一组数据3x 1-2，3x 2- 2，3x 3- 2，3x 4-2，3x 5- 2的平均数和方差分别为
A.2，13
B.2，1
C.4，23
D.4，3 5.阿波罗尼斯(约公元前262年至公元前190年)是古埃及希腊化时期的著名数学家，“阿波罗
尼斯圆”是他的主要研究成果之一:“若动点P 与两定点M,N 的距离之比为0,1)λ
λλ>≠（且,则点P 的轨迹就是圆”,事实上，互换该定理中的部分题设和结论,得到的命题依然成立.已知点M(2,0)，点P 为圆O:x 2+y 2=16上的点,若存在x 轴上的定点N(t,0)(t>4)和常数λ,对满足已知条件的点P 均有PM PN λ=,则λ= .
A.1
B. 12
C. 13
D. 14
★6.若仅存在一个实数(0,
)2t π∈.使得曲线C: sin()(0)6y x πωω=->关于直线x =t 对称,则ω的取值范围是 A. 17
[,)33 B. 410[,)33 C. 17(,]33 D. 410(,]33
7.已知一个正三棱锥的高为3,如下图是其底面用斜二测画法所画出
的水平放置的直观图,其中O'为B'C'的中点3,则此正三棱锥的体 积为 A. 3 B. 33 C. 3 D. 33★8.已知向量a b p a b =+,其中,a b 均为非零向量,则b 的取值范围是
A. [0, 2]
B. [0,1]
C. (0,2]
D. [0,2]
9.已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心O 的距离等于球半径的一半,且AB= BC=CA=2,则球O 的体积为
A. 25681π
B. 6427π
C. 169π
D. 43
π 10.如图，直角△ABC 的斜边BC 长为2,∠ACB=30° ,且点B 、C 分别在
x 轴、y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方.设
(,)OA xOB yOC x y R =+∈,记,M OA OC N x y =⋅=+,分别考察
M 、N 的所有运算结果,则
A.M 有最小值,N 有最大值
B.M 有最大值,N 有最小值
C.M 有最大值,N 有最大值
D.M 有最小值,N 有最小值
二、多项选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得3分,有选错的得0分,部分选对得1分)
11.下列关于函数1()1x f x x
-=+的说法中正确的是 A. f (x )为奇函数 B. f (x )在(0,+∞).上单调递减
C.不等式f (x )<0的解集为(,1)(1,)-∞-+∞
D.不等式f (x )<0的解集为(1,0)(0,1)-
12.如图,在正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中21，E 、F 分别为AB 、
BC 的中点,异面直线AB 1与C 1F 所成角的余弦值为m,则
A. 3m =
B.直线A 1E 与直线C 1F 共面 2 D.直线A 1E 与直线C 1F 异面 13.已知定义在R 上的函数f (x )满足()()0,(6)()f x f x f x f x +-=+=-,且对任意的x 1，2[3,0]x ∈-，当x 1≠x 2时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的
是
A.函数f (x )是偶函数
B.函数f (x )在[-9,-6]单调递增
C. x =3是函数f (x )的对称轴
D.函数f (x )的最小正周期是12
14.将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移
12π个单位长度得到函数y =g (x )的图象.若函数g(x )在区间[0,
]2π上是单调增函数,则实数ω可能的取值为 A. 23 B.1 C. 65
D.2 15.定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数f (x ),如果对于任意给定的等比数列{}n a ,数列{}
()n f a 仍是等比数列,则称f (x )为“保等比数列函数".现有定义在(,0)
(0,)-∞+∞上的四个函数中,是“保等比数列函数”的为
A. f (x )=x 2
B. f (x )=2x
C. ()f x =
D. ()ln f x x =
第II 卷
三/填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)
16.某中学高二年级甲班的学生共有25名女生和35名男生,现以简单随机抽样的方法从甲班全班同学中推选5名学生代表甲班参加全校演讲比赛,则甲班中某女生被抽到的概率是____。
★17.已知函数831(0x y a a -=->,且a ≠1)的图象恒过定点A(m ，n),则log ____mn =
18.若过原点O 的动直线l 将圆E:(x -1)2+(y -2)2= 10分成的两部分面积之差最大时,直线l 与圆E 的交点记为A 、B ；l 将圆E 分成的两部分面积相等时,直线l 与圆E 的交点记为C 、D;则四边形ABCD 的面积为________________。
19.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a 、b 、c ,求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之,自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上,余四约之,为实.一为从隅,开
平方得积.”若把以上这段文字写出公式，即若a >b >c 现有
周长为的△ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =,则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为___________。
20.已知a ，b 为正实数,且a +b +ab =3,则2a +b 的最小值为_________
四、解答题(本题共5小题,每小题8分,共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )
21. (8分)
在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边,若b =3,c =4,C=2B,且a b ≠.
(1)求cos B 及a 的值;
(2)求cos(2)3B π+
的值.
★22. (8分)
某学校进行体验,现得到所有男生的身高数据,从中随机抽取50人进.行统计(已知这50人身高介于155cm 到195cm 之间),现将抽取结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组
[160,165),.,第八组[190,195],并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图,其中第六组
[180,185)和第七组[185,190)还没有绘制完成,已知第一组与第八组人数相同,第六组和第七组人数的比为5 : 2.
(1)补全频率分布直方图;
(2)根据频率分布直方图估计这50个男生身高的中位数;
(3)用分层抽样的方法在身高为[170,180)内抽取一个容量为5的样.本,从样本中任意抽取2个男生,求这两个男生身高都在[175,180]内的概率.
23.(8分)
已知数列{}n a 的前n 项和为Sn ，且1(2)3n n a S n =
+对任意n N *∈都成立. (1)求a 1 ，a 2的值;
(2)证明数列{}2n a +是等比数列.并求出数列{}n a 的通项公式;
(3)设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和Tn.
24. (8分)
已知两个定点A(0,4),B(0,1),动点P 满足2PA PB =,设动点P 的轨迹为曲线E,直线l :y =kx -4.
(1)求曲线E 的轨迹方程;
(2)若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点,且∠COD= 120°(O 为坐标原点),求直线l 的斜率;
(3)若k =1,Q 是直线l 上的动点,过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN,切点为M 、N,探究:直线MN 是否过定点,若存在定点请写出坐标,若不存在则说明理由.
25.(8分).
设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠,集合{
}()A x f x x == (1)若{}=1,2()0A f x >，，且方程f (x )=0的两根都小于1-,求实数a 的取值范围;
(2)若{}2A = ,求函数f (x )在区间[-2,2]上的最大值M(结果用a 表示).。