归纳曲线方程的定义在直角坐标系中如果曲线(看作

(3)代入法：形成轨迹的动点P(x，y)随另一动点Q(x′， y′)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易 求得， 则可先将x′、y′用x、y表示，再代入Q的轨迹方程 ，然后整理得点P的轨迹方程，代入法也称相关点法.
(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横 坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x 、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得 出动点的轨迹方程．
分析：题中给出了3个条件A(a，b)，l1⊥l2，点M、点 N，从不同的角度去分析三个条件之间的联系，将有不同 的解法．
•答案：2ax＋2by－a2－b2＝0
[例3] (2010·北京)在平面直角坐标系xOy中，点B与 点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的 斜率之积等于－ .
3．轨迹问题还应区别是“求轨迹”，还是“求轨迹方程 ”．一般说来，若是“求轨迹方程”，求到方程就可以了； 若是“求轨迹”，求到方程还不够，还应指出方程所表示的 曲线的类型．有时候，问题仅要求指出轨迹的形状，如果 能绕过求轨迹方程这一环节直接根据定义及已知知识指出 轨迹是什么曲线，则可不求轨迹方程．
一、求轨迹的常用方法 (1)直译法：如果动点运动的条件就是一些几何量的 等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x、y的等式 得到轨迹方程，这种方法称之为直译法. 用直译法求动点 轨迹的方程一般有建系、设点、列式、代入、化简、证明 五个步骤，但最后的证明可以省略. (2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥 曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或 从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.
1．(2010·华北师大附中模考)已知点A(2,0)，B、C在y
轴上，且|BC|＝4，△ABC外心的轨迹S的方程为( )
A．y2＝2x
B．x2＋y2＝4
C．y2＝4x
D．x2＝4y
[答案] C
[解析] 设△ABC外心为G(x，y)，B(0，a)，C(0，a＋
4)，
由G点在BC的垂直平分线上知y＝a＋2
，设M(x0，y0)、P(x，y)，只要用x，y表示x0，y0，即可将 点M坐标代入l的方程获解．
点评：用代入法求曲线方程的步骤是：(1)分别设从 动点为(x，y)，主动点为(x0，y0)；(2)用x，y表示x0，y0； (3)将x0，y0代入已知方程，化简即得所求轨迹方程．
过定点A(a，b)任作互相垂直的两直线l1与l2，且l1与x 轴交于M点，l2与y轴交于N点，则线段MN中点P的轨迹方 程为________．
B．2x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0
D．2x－y＋3＝0
[答案] A
[解析] 由过点(1,1)排除C、D；由椭圆焦点在x轴上
，M在椭圆内，位于第一象限知，弦所在直线斜率大于－
1，排除B，故选A.
[点评] 可设出直线y－1＝k(x－1)，与椭圆两交点
E(x1，y1)、F(x2，y2)，用点差法直接求解，但过程较繁．
2．求曲线方程的基本步骤： (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线 上任意一点M的坐标； (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}； (3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上 ．
A．圆
B．抛物线
C．双曲线
D．直线
解析：由P向AD作垂线垂足为N，由题意知|PN|2＋1 －|PM|2＝1，
∴|PN|＝|PM|，即动点P到直线AD的距离等于动点P到 点M的距离，∴点P的轨迹是抛物线．
答案：B
如图，设点A和B为抛物线y2＝4px(p>0)上除原点以外 的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，则点M的轨迹方 程为________．
归纳曲线方程的定义在直角 坐标系中如果曲线(看作
重点难点 重点：曲线与方程的概念及求曲线方程的步骤 难点：曲线的方程与方程的曲线概念的理解 知识归纳 1．曲线方程的定义 在直角坐标系中，如果曲线C(看作适合某条件的点的 集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建 立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线C上；那么这 个方程叫做曲线C的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
[例4] 已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动
点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
•答案：B
正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上 ，且AM＝ ，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线
A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的 轨迹是( )
[答案] A
[解析] |QF1|＝|PF1|＋|PQ| ＝|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆．
•[答案] C
•[答案] D
4．(2010·山东东营质检)已知椭圆x2＋2y2－4＝0，则
以M(1,1)为中点的弦所在的直线方程是( )
A．x＋2y－3＝0
(2)根据曲线上的点所满足的条件列出方程是最重要 的一环. 应认真分析题设条件，综合利用平面几何的知识 ，列出几何等式，再利用解析几何的一些概念、公式、定 理等将几何等式坐标化，便得曲线的方程，还要将所得方 程化简，使求得的方程是最简单的形式．
2．在求曲线方程时经常出现的问题是产生多解或漏 解的错误，为此解题时应注意以下三点：①注意动点应满 足的某些隐含条件；②注意方程变形是否同解；③注意图 形可能的不同位置或字母系数取不同值时的讨论．
3．由方程画曲线的步骤：①讨论曲线的对称性(关于 x轴、y轴和原点)；②求曲线在两轴上的截距；③讨论曲 线的范围；④列表、描点、画线．
4．交点与曲线系方程 求两曲线的交点，就是求这两条曲线方程组成的方程 组的解． 过曲线f1(x，y)＝0和f2(x，y)＝0的交点的曲线系方程 是f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0(λ∈R)．
(2010·四川)已知定点A(－1,0)，F(2,0)，定直线l：x＝ ，不在x轴上的动点P到点F的距离是它到直线l的距离的2 倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直 线AB、AC分别交l于点M、N.
(1)求E的方程； (2)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明 理由．
分析：A·B＝0⇔A＝0或B＝0，但要保证其有意义． 本题中限制条件为根号下的被开方数x＋y＋1≥0.
•答案：C
•答案：B
[例2] 已知直线l：
＝1，M是直线l上的一个动
点，过点M作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B，点P是
线段AB的靠近点A的一个三等分点，求点P的轨迹方程．
分析：M是直线l上的动点，M的运动引起点P的运动
上)的点的轨迹是 •以定点为焦点，定直线为准线的抛物线 ．
误区警示 1．求曲线的方程注意以下三个问题： (1)要适当建立坐标系，坐标系建得适当，可使运算 过程简单，所得的方程也比较简单，否则会大大增加运算 量. 在实际解题过程中，应充分利用图形的几何特性. 如中 心对称图形、可利用它的对称中心作为坐标原点；轴对称 图形，可以利用它的对称轴为坐标轴；条件中有直角、可 考虑将两直角边作为坐标轴等等.
(5)交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接 消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引 入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹 方程．
二、加强知识交汇的训练 向量、三角函数、不等式与解析几何交汇，特别是向 量进入解析几何已成为新的命题热点，应加强这种融合多 处知识，而又比较浅显，考查对学科最基础知识和最基本 方法的掌握的小题训练．
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(5)平面内到两定点F1，F2距离之和为定值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹是
•以两定点为焦点，2a为长轴长的椭圆．
(6)平面内到两定点F1，F2距离差的绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹是
•以两定点为焦点，实轴长为2a的双曲线 ．
(7)平面内到定点和定直线距离相等(定点不在定直线
∵|GA|2＝|GB|2，∴(x－2)2＋y2＝x2＋(y－a)2，
整理得y2＝4x
即点G的轨迹S方程为y2＝4x.
•[答案] C
5．常见的轨迹 (1)在平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是
•连结两定点的线段的垂直平分线 ． (2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是
•这个角的平分线 ． (3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是
•以定点为圆心，以定长为半径的圆． (4)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹 是与 •这条直线平行的两条直线 ．
(1)求动点P的轨迹方程； (2)设直线AP与BP分别与直线x＝3交于点M、N.问： 是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
分析：(1)直接将坐标代入，依据“直线AP与BP的斜率 之积等于－ ”列出等式，化简即得点P的轨迹方程．
(2)假设满足题设条件的点存在，则由S△PAB＝S△PMN可 得|PA|，|PB|，|PM|，|PN|的关系式，设出P点坐标代入解 方程 ，若有解，则存在点P，否则不存在．
答案：x2＋y2－4px＝0 点评：注意挖掘图形的几何性质联想有关定义，多角 度、全方位分析，常能简化运算，起到事半功倍的效果．
一、选择题
1．已知椭圆的焦点为F1、F2，P是椭圆上一个动点，
延长F1P到点Q，使|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线一支
D．抛物线