两数和乘以这两数的差PPT教学课件
合集下载
两数和乘以这两数的差
结论与展望
05
结论一
01
通过对不同数值进行实验，我们发现两个数的和与这两个数的差的乘积具有普遍性，且不受数值大小的影响。
研究结论
结论二
02
我们进一步验证了此结论在整数、小数、正数、负数等不同类型的数据中都适用，具有广泛的适用性。
结论三
03
这一结论在数学领域具有重要价值，它提供了一种简单、快捷的计算方法，可以应用于更复杂的数学计算中。
xx年xx月xx日
《两数和乘以这两数的差》
目录
contents
引言两数和与两数差的性质两数和乘以这两数的差公式两数和乘以这两数的差的应用结论与展望参考文献
引言
01
在数学中，两数和乘以这两数的差是一种常见的运算，它涉及到加法和减法两种基本的算术运算。通过对这种运算的研究，我们可以更深入地理解加法和减法这两种基本运算的性质和应用。
研究展望与建议
参考文献
06
该论文提供了关于两数和乘以这两数的差的详细研究和分析，为相关领域提供了重要的参考和指导。
参考文献一
该文献探讨了如何应用两数和乘以这两数的差来解决实际问题，为相关领域的应用提供了有益的思路和方法。
参考文献二
该研究对两数和乘以这两数的差的算法进行了优化，提高了计算效率和准确性。
两数和与两数差的几何意义
两数和乘以这两数的差公式
03
基于分配律和乘法运算，通过将两数和与这两数的差相乘，得到一个表达式，再通过化简得到最终的公式。
推导过程
$(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$
公式形式
公式推导
代数应用
在解决代数问题时，该公式可用于简化表达式、求值或化简方程式。
华师大版八年级数学上册第12章第3节《两数和乘以这两数的差》优秀课件
探究问题一 理解平方差公式 例 1 [课本例 1 变式题] 填空： (1)(3x ＋ 2y)(2y － 3x) ＝ (_2_y__ ＋ 3x)(_2_y__ － 3x) ＝ (_2_y__)2 － (_3_x__)2＝_4_y_2－__9_x_2_； (2)( － 2m － 3n)(2m － 3n) ＝ － (_ 2m＋_3_n_)(_2m－_3_n_) ＝ － [(_2_m__)2－(_3_n__)2]＝__－__4_m_2＋9n_2_； (3)(a＋0.25b)(2a－0.5b)＝2(a＋0.25b)·(_a_－__0_.2_5_b_)＝2[(__a__)2 －(0_._2_5_b)2]＝__2_a2_－__0_._12；5b2 (4)(a2＋b2)(a2－b2)＝(__a_2 _)2－(_b_2__)2＝__a_4－__b_4__； (5)(x＋3y＋z)(x－3y＋z) ＝[(_x_＋__z__)＋3y][(__x_＋__z _)－(___3_y__)] ＝(__x_＋__z _)2－(____3_y_)2.
12.3.1 两数和乘以这两数的差
新知梳理
► 知识点 两数和与这两数差的乘法公式 语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平__方差__． 有时也简称为平方差公式． 字母表达式：(a＋b)(a－b)＝__ 两数和乘以这两数的差
重难互动探究
解：原式＝
1－1 2
1＋1 2
1－1 3
1＋1 3
…
1－ 1 10
1＋ 1 10
＝1×3×2×4×…× 9 ×11
2233
10 10
＝1×11 2 10
＝11. 20
[归纳总结] 逆用：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(x2＋5－x2＋5)＝10x.
12.3.1 两数和乘以这两数的差
新知梳理
► 知识点 两数和与这两数差的乘法公式 语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平__方差__． 有时也简称为平方差公式． 字母表达式：(a＋b)(a－b)＝__ 两数和乘以这两数的差
重难互动探究
解：原式＝
1－1 2
1＋1 2
1－1 3
1＋1 3
…
1－ 1 10
1＋ 1 10
＝1×3×2×4×…× 9 ×11
2233
10 10
＝1×11 2 10
＝11. 20
[归纳总结] 逆用：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(x2＋5－x2＋5)＝10x.
八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式1两数和乘以这两数的差课件(新版)华东师大版
1 2 2 1 1 xy－ 4 自我诊断 3. 计算：(－xy＋ )(－xy－ )＝ 2 2
.
.
1．(孝感中考)下列计算正确的是( B ) A．b3· b3＝2b3 B．(a＋2)(a－2)＝a2－4 C．(ab2)3＝ab8 D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b 2．计算：(x－y)(－y－x)的结果是( A ) A．－x2＋y2 C．x2－y2 B．－x2－y2 D．x2＋y2
解：原式＝9；
(2)(4m－3n)(4m＋3n)；
解：原式＝16m2－9n2；
1 1 (3)(－2x2＋ )(－2x2－ )； 2 2 1 4 解：原式＝4x － ； 4 2 3 2 3 (4)( x－ y)(－ x－ y)． 3 4 3 4 4 9 解：原式＝－ x2＋ y2. 9 16
7．边长为 acm 的正方形(a＞1)，一组对边的边长增加 1cm，另一组对边的 边长减少 1cm，得到的长方形的面积与原正方形的面积比较，有没有发生 变化？说明你的理由．
14．(青海中考)观察下列各式规律： (x－1)(x＋1)＝x2－1； (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1； (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1…
8 x 可得到(x－1)(x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x＋1)＝ －1
7
6
5
4
3
2
； .
n＋1 一般地(x－1)(xn＋xn－1＋x5＋…x2＋x＋1)＝ x －1
10．(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( C ) A．x4＋16 C．x4－16 B．－x4－16 D．16－x4
11．已知 m2－n2＝4.那么(m＋n)2(m－n)2 的结果是( C ) A．4 C．16 B．8 D．32
.
.
1．(孝感中考)下列计算正确的是( B ) A．b3· b3＝2b3 B．(a＋2)(a－2)＝a2－4 C．(ab2)3＝ab8 D．(8a－7b)－(4a－5b)＝4a－12b 2．计算：(x－y)(－y－x)的结果是( A ) A．－x2＋y2 C．x2－y2 B．－x2－y2 D．x2＋y2
解：原式＝9；
(2)(4m－3n)(4m＋3n)；
解：原式＝16m2－9n2；
1 1 (3)(－2x2＋ )(－2x2－ )； 2 2 1 4 解：原式＝4x － ； 4 2 3 2 3 (4)( x－ y)(－ x－ y)． 3 4 3 4 4 9 解：原式＝－ x2＋ y2. 9 16
7．边长为 acm 的正方形(a＞1)，一组对边的边长增加 1cm，另一组对边的 边长减少 1cm，得到的长方形的面积与原正方形的面积比较，有没有发生 变化？说明你的理由．
14．(青海中考)观察下列各式规律： (x－1)(x＋1)＝x2－1； (x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1； (x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1…
8 x 可得到(x－1)(x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x ＋x＋1)＝ －1
7
6
5
4
3
2
； .
n＋1 一般地(x－1)(xn＋xn－1＋x5＋…x2＋x＋1)＝ x －1
10．(x＋2)(x－2)(x2＋4)的计算结果是( C ) A．x4＋16 C．x4－16 B．－x4－16 D．16－x4
11．已知 m2－n2＝4.那么(m＋n)2(m－n)2 的结果是( C ) A．4 C．16 B．8 D．32
两数和乘以两数差公式
比较等号两 a 4 边的代数式,它 们在系数和字母 (2) (a+b)(a-b )=________________ 方面各有什么特 2 2 4m n (4) (2m+n)(2m-n)=_______________ 点?两者有什么 联系? 观察以上算式及其运算结果，你发现了什么 规律？ 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.
步骤：1、判断；2、调整；3、用公式。
找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式．
1.下列运算正确吗? 若不正确 , 请改正. (1) ( x 7)( x 7) x 7
2
(2) ( 2 x 7)(2 x 7) 2 x 49
2
(3)(3x 2)(3x 2) 9 x 4
可以
(5) (-x-1)(x+1)
不可以
(6) (x+3)(x-2)
不可以
例2
用平方差公式计算:
=(2000-2)(2000+2) =20002-22 =4000000-4 =3999996
(1)1998×2002
(2)10.2×9.8 =(10+0.2)(10-0.2)
=102-0.22
=100-0.04 =99.96
2
×) ( ×)
(
(4)(1 4b)(1 4b) 1 16b
2
4、下列式子中哪些可以用平方差公式运算?如 果可以,并计算. 1 1 ⑴ (ab-8)(ab+8) 可以 ⑵ ( 4 x y )( 4 x y ) 可以
(3) (-4k+3)(-4k-3) 可以 (4) (1-x)(-x-1)
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2。
两数和乘以这两数的差
首先，将两数和与这两数的差分别表示为 $(A+B)$ 和 $(A-B)$。
然后，将这两个表达式相乘，得到 $(A+B) \times (A-B)$。
最后，通过分配律展开，得到 $A^2-B^2$。
算式的表示方法
03
ห้องสมุดไป่ตู้
算法的描述
两个实数 $a$ 和 $b$。
算法的输入
一个实数，即 $(a+b)(a-b)$。
希望实现对所有数据类型的自动分类和优化，以扩大算法的应用范围和提高其适应性。
01
03
02
谢谢您的观看
THANKS
时间复杂度不随输入数据规模的增长而增长，因此算法具有很高的效率。
时间复杂度
算法的空间复杂度也为O(1)，因为算法不需要额外的存储空间，只使用了固定数量的变量来存储两个数。
空间复杂度与输入数据规模无关，因此算法具有较低的空间占用。
空间复杂度
可以考虑优化算法的实现方式，减少计算机资源的消耗。
可以使用更高效的算法来实现相同的功能，提高算法的执行速度和效率。
算法的
算法的实现过程
2. 然后计算 $s$ 和 $b$ 的差，记为 $d$。
3. 最后计算 $d$ 和 $a$ 的乘积，即 $(s-b)\times a$，记为 $result$。
1. 首先计算 $a$ 和 $b$ 的和，记为 $s$。
04
算法的复杂度分析
VS
算法的时间复杂度为O(1)，因为算法只涉及两个数相乘，与输入数据规模无关。
xx年xx月xx日
两数和乘以这两数的差
contents
目录
引言符号约定与定义算法的描述算法的复杂度分析程序实现与测试结论与总结
两数和乘以这两数的差-课件
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月27日星期 六2021/2/272021/2/272021/2/27
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/2ห้องสมุดไป่ตู้2021/2/272021/2/272/27/2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 1:31:59 PM
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
■，最后一项不慎被墨水污染，则被墨水污染的这一项应该是
( C)
A．5y2
B．10y2
C．25y2
D．100y2
6．(3分)(2014·包头)计算：(x＋1)2－(x＋2)(x－2)＝_2__x_＋__5__.
7．(8分)计算下列各题： (1)(12x＋2y)2； 14x2＋2xy＋4y2
(2)(－3m－2n)2；
9m2＋12mn＋4n2
(3)(－a＋2b)2； a2－4ab＋4b2
(4)(x＋1)2－(x－1)2. 4x
8．(8分)利用两数和(差)的平方公式计算： (1)2012； 40 401 (2)99.82.
9 960.04
8、两数和乘以这两数的差
解：原式=（2-1） 2 122 124 128 1 ···264 11
=(2²-1)（2²+1）（2⁴+1）（28+1）…（264+1）+1 =（2⁴-1）（2⁴+1）（28+1）…（264+1）+1 =（264-1）（264+1）+1 =2128
例5、计算：803×797;
【分析】两个比较大的数值相乘时，可以观察规律，符不符合两数和和 这两数的差相乘，本题可以看作800与3的和Байду номын сангаас乘积.
（1+a）（1﹣a+a2﹣a3+a4）＝1+a5
…
（1+a）（1﹣a+a2﹣a3+…﹣a9）＝
．
（2）以（1）中最后的结果为参考，求下列代数式的值（结果可以含幂的形式）
2﹣22+23﹣24+…+29＝
．
【解答】 （1） 1-a10
（2） 2 1 29 3
原式 ＝2×（1﹣2+22﹣23+24+…+28） ＝（1+2）× 1 ×2×（1﹣2+22﹣23+24+…+28） 3 ＝ 2 （1+2）（1﹣2+22﹣23+…+28） 3
两数和乘以这两数差
▪ 灰太狼开了租地公司,一天他把一边 长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植. 有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的 一边增加5米,另一边减少5米,再继续租 给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊 一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村, 就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一 听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊 村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊 这是为什么吗?
=(2²-1)（2²+1）（2⁴+1）（28+1）…（264+1）+1 =（2⁴-1）（2⁴+1）（28+1）…（264+1）+1 =（264-1）（264+1）+1 =2128
例5、计算：803×797;
【分析】两个比较大的数值相乘时，可以观察规律，符不符合两数和和 这两数的差相乘，本题可以看作800与3的和Байду номын сангаас乘积.
（1+a）（1﹣a+a2﹣a3+a4）＝1+a5
…
（1+a）（1﹣a+a2﹣a3+…﹣a9）＝
．
（2）以（1）中最后的结果为参考，求下列代数式的值（结果可以含幂的形式）
2﹣22+23﹣24+…+29＝
．
【解答】 （1） 1-a10
（2） 2 1 29 3
原式 ＝2×（1﹣2+22﹣23+24+…+28） ＝（1+2）× 1 ×2×（1﹣2+22﹣23+24+…+28） 3 ＝ 2 （1+2）（1﹣2+22﹣23+…+28） 3
两数和乘以这两数差
▪ 灰太狼开了租地公司,一天他把一边 长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植. 有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的 一边增加5米,另一边减少5米,再继续租 给你, 你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊 一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村, 就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一 听,都说道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊 村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊 这是为什么吗?
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 3
则
x2y xy2
x2 y2 =
1/4.
10.化简：(
x
1
1
1
1 x
2
)
3x x1
1 3(x 1)
➢ 典型例题解析
【例1】 当a取何值时，分式 a2 3a 4
2a 3
(1)值为零；(2)分式有意义?
解：a 3a 4= (a 4)(a 1)
2a 3
2a 3
(1)当(2aa43)(a0 1) 时0，有
x
2 1)2
(3)原式=［a 2 4 a2 4a 4 ］÷(
a2
a
=［a 2 (a 2)2 ］3 a
a2 a
a4
4 a)
a
=(a2 4 3a) a = (a 4)(a 1) a
a
(a 4)
a
4a
= (a 1) = a 1
➢ 典型例题解析
【例4】 (2002年·山西省)化简求值：
2．解分式方程一定要验根.
➢ 课前热身
1. (2004·南宁市)当x≠1
时，分式 3 有意义。 1 x
2.
(2004年·南京)计算a：a b
a
b b
=1
.
3.计算：x2 4x 4 5x x2 = 6 .
x2
x3 x3
x y
4.在分式① x y ,②
3x2 y 2x ,③
4 5x5yx,y④
果是：
1 x 2
黄冈）化简：( x 。
x 2
x
x
2
)
4x 2x
的结
5.(2004年·青海)化简：( x2x
3
x
x
3
)
•
x
2 x
9
解：原式＝2x 2 6 x x 2 3 x • x 2 9
( x 3)( x 3)
x
x2 9x x 9
x
6.当1＜x＜3时，化简
|
x 3| |
x 1| | 得x |
两数和与这两数差的积,
等于 这两数的平方差.
公式变形:
1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2、（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
合理加括号
相同数的平方减去相反数的平方
相同项的平方减去相反项的平方 口答下列各题：
(l)(-a+b)(a+b)= _b_2-_a_2_____ (2)(a-b)(b+a)= ___a_2-_b_2____ (3)(-a-b)(-a+b)= _a_2_-_b2____
(4)(a-b)(-a-b)= _b_2_-_a2_____
1、找一找、填一填
(a-b)(a+b)
a b a2-b2
2.分式的混和运算应注意运算的顺序，同时要 掌握通分、约分等法则，灵活运用分式的基本 性质，注意因式分解、符号变换和运算的技巧， 尤其在通分及变号这两个方面极易出错，要小心 谨慎！
➢ 课时训练
1. (2004年·上海)函数y
x x1
的定义域是 x>-1
.
2.(2004 年·重庆)若分式 x2 9 的值为零，则x
➢ 典型例题解析
【例5】 化简： 1 + 1 +
1a 1a
1
2 a
2+
1 4a.4
解：原式=
(1 a) (1 a) (1 a)(1 a)
2 1 a2
4 1 a4
=
2(1 a2 )2(1 a2 ) 4
1 a4
1 a4
=
4 1 a4
4 1 a4
8
= 1 a8
1.当分式的值为零时，必须同时满足两个条件： ①分子的值为零； ②分母的值不为零.
c c c b d bd bd bd
2.分式的乘、除法法则
a · c = ac ， a c = a · d = ad .
b
d bd
bd b
c bc
3.分式的乘方法则
a n =
b
an bn
(n
为正整数)
着重提示：
1．分式的“值为零”和分式“无意义”. 分式的值为零，是在分式有意义的前提下考虑的.要 使分式的值为零，一定要同时满足两个条件；(1)分母 的值不为零；(2)分子的值为零.特别应注意，分子、 分母的值同时为零时，分式无意义. 分式的分母为零，分式无意义，这时无须考虑分子 的值是否为零.
(1+x)(1-x)
1x
12-x2
(-3+a)(-3-a) -3 a (-3)2-a2
(1+a)(-1+a)
a1
a2-12
(0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1 ( 0.3x)2-12
(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2
用平方差公式计算
注意
计算：（x+2y)(x-2y)
设计制作:
1.分式 A
在分式中 B ，分式的分母B中必须含有字母，且分母 不能为零.
2.有理式 整式和分式统称为有理式.
3.最简分式 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分 式4..最简公分母
几个分式，取各分母的系数的最小公倍数与各 分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公 分母叫做最简公分母.
③（m＋ 5n)( m－5n)=m2 － 25n2 m2 － (5n)2
④（3y ＋ z)(3y－z)= 9y2 － z2 (3y)2 － z2
123、它算能们式不的有能结什用果么字有特母什点表么？示特你点的？发现？
两个(数a+平的b和方)(乘差a以-的b两)形=个a数式2-的b差2
平方差公式：
(a+b)(a−b)= a2−b2
a2
a
a
解：(1)原式= a 2 4
1 a2
= a2 4 4
a2 a2
= a2 8
a2 1
x1
x3 ( x 1)( x 1)
• ( x 1)2 ( x 1)( x 3)
=
x
1
1
(
x1 x 1)
2=
x1 x1 ( x 1)2 ( x 1)2
=(
这里的( -x )相当
= x2 － 9y2
于公式里的 a,( 3y )
相当于b
随堂练习
1、 (5＋6x)(5－6x)
2、(x－2y)(x＋2y)
3、 (8＋ab)(－8＋ab)
明确个是
4、(－m＋n)(－m－n)
a , 哪个是
5、(1 x 2 y)( 1 x 2 y) b.再动笔
2
2
a2 -4b2
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b
合理加括号
相同数的平方减去相反数的平方
(1) (3a +2b)(3a−2b) 9a2－4b2
（2）(-2x-y)(-y+2x)
y2-4x 2
(3)
1 a 1 b 1 a 1 b 3 2 3 2
1 a2 1 b2 94
(4) 49 51
(
a a2
2 2a
a2
a1 ) ÷
4a 4
a ，4 其中a满足：a2-2a-1=0.
a2
解：原式=［a(aa22)
a1 (a 2)
2］×
a2 a4
=(a
2
4) a(a
(a 2 2)2
a×)
a a
2 4
=
a
a (a
42×)2
a2 a4
=a(a1 2)
=
1 a2 2a
又∵a2+2a-1=0， ∴a2+2a=1 ∴原式=1
B.-5 D.-5或5
7.当x=cos60°时，代数式 x2 3x÷(x+ 3 )的值是( A)
x2
2x
A.1/3 B. 3 C.1/2
3
D.
3 1
3
➢ 课前热身
8.(2004·西宁市)若分式x2 2x 3 的值为0，则x＝ -3 。
x1
9. (2004年·呼和浩特)已知x 1 , xy 1
（1）(2b+a)(a-2b)=4b2 -a2 ( × )
n2 -m2
（2）(m–n )(-m -n)=-m2 -n2 ( × )
（3）(x+ y) (-x -y)=x2 -y2 (×) -x2-2xy -y2
（4）(2a+b)(a-2b)=2a2- 2b2
2a2-
( ×)
3ab-2b2
（5）(3b+2a)(2a-3b)=4a2 -9b2 ( √ )
40x2 50 x 15 6x2 7x 3
= 5(2 x 3)(4 x 1)
(3 x 1)(2 x 3)
= 20x 5
3x 1
➢ 典型例题解析
【例3】 计算：(1) a 2 4 ；
a2
1
(2)
x1
x3 x2 1
•
x2 x2
2x 1 4x 3
；
(3)［(1 4 )( a 4 4 )-3］÷( 4 1 ).
(1)(2+3a2)(3a2-2)
(2) (3y − x)(− x − 3y）
(3)(-5x-3y)(-5x+3y)
(4)(1 a 2b)(1 a 2b)
3
3