8函数的奇偶性

【设计意图】 • 这些几 通过实际生 何图形 活中的例子，让 中又体 学生对对称有一 现了什 个初步的感性认 识，为下一步对 么
概念的理性认识 做好铺垫。让学 生感受到函数奇 偶性和我们的生 活密切相关，进 而激发学生的兴 趣.
人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》 四
过程分析
1.设问激疑，创设情景
设计意图：通过特殊值让学生
认识两个函数的对称性实质：是 自变量互为相反数时，函数值相 等这两种关系。
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过程分析
y
2.概括猜想，揭示内涵 结论：当自变量x在 P(x,f(x)) 定义域内任取一对 相反数时，相应的两 个函数值相同； x 即：f(-x)=f(x)
观察下面的函数图象，是否关于关于y轴对称？ 如果一个函 数的图象关 于y轴对称， 那么它的定 a 义域应该有 定义域应该关于原点对称. 什么特点
？
设计意图：在概念教学中，通过反例出现的不完整性与直
观引起矛盾，这里单独列出作为一个教学步骤，是想突出 这个中心环节，并有意识地训练学生依据知觉中的分散的 已知知识给概念下定义的创造能力。到此给对象（偶函数） 以明确的定义是水到渠成
（-3，3）
（3，3）
当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
设计意图：锻炼学生的动手能力，学生对图像的认识由感性
上升到理性，恰当地运用信息技术，使得这个抽象的问题变得 形象直观。让学生获得对函数奇偶性由“形”到“数”的认识。
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过程分析
… … －3 9
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过程分析
3.讨论归纳，形成定义
• 奇函数定义：设函 数 y f ( x) 的定义 f(-x)= - f(x) 域为 D，如果对 D 内的任意一个 x ， 奇函数 都有 x D ，且 f ( x ) f ( x ) ,则 图象关于原点对称 这个函数叫奇函数.
生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊 f(-x)=-x=-f(x) f(-x)=-1/x=-f(x) 到一般的数学思想方法，从知识体系的高度加 深理解函数的奇偶性。这种设计凸显学生的主 体地位。符合接受性原则和知识建构的要求， 从而突出重点，突破难点
实际上，对于定义 域内任意的一个x, 都有f(-x)=-f(x), 这时我们称这样的 函数为奇函数.
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过程分析
4.强化定义，深化内涵
☆对奇函数、偶函数定义的说明: (1)函数具有奇偶性：定义域关于原点对称。对于定义域内 的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量
o x [-b,-a] [a ,b] (2)若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立.图象关于原点对称 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立.图象关于y轴对称 (3)如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f(x) 具有奇偶性.函数的奇偶性是函数的整体性质；既不是 奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数.
P (-x,f(x))
/
-x P (-x,f(-x))
/
O
x
f(-x)=f(x)
设计意图：数学的高度抽象性造就了数学的难懂、难
教、难学，以学生们熟悉的函数y=|x|和y=x2为切入点， 既做到了“直观、具体”，又满足了课堂教学需要。
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过程分析
2.概括猜想，揭示内涵
观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类 y f ( x) x y y x
f ( x) x 2
f ( x) x
3
O ② y O x
x
f ( x) | x |
①
O
O
x
③
y O f ( x) x
1 | x|
④
⑤
这些函数图像 体现着哪种对 称的美呢？
设计意图：培养学生由感性到理
人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》 二 目的分析
1.教学目标 [知识目标]
使学生理解函数奇偶性的概念、图象和性质，并能判断一 些简单函数的奇偶性
[能力目标]
通过设置问题情境培养学生判断、观察、归纳、推理的能 力.在概念形成过程中,同时渗透数形结合和特殊到一般的数学 思想方法.
[情感目标]
1 (3) f ( x) x x
1 (4) f ( x) 2 x 1
解：定义域是R 1 1 f ( x) 2 2 （ x） 1 x 1 即f x f x f x 为偶函数
x x o 解：定义域是
1 1 f ( x ) x ( x ) x x 即f x f x f x 为奇函数
人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》 一 教材分析
2.wenku.baidu.com情分析
按照新课程教学理念，“数学教学是数学活动的教学. 在这个活动中，使学生掌握一定的数学知识和技能，同时身 心获得一定的发展，形成良好的思想品质.”数学课已不仅仅 是一些数学知识的学习，更要体现知识的认识和发展过程， 同时要根据教学需要，关注学生已有的知识基础和学习经验. 高一学生对函数图像的对称性已具备了初步认识，教学中从 观察实例开始，先观察函数图象的对称性，再作图，分析函 数值表格，逐步领悟图形对称、点对称、数相等、式相等之 间的关系，这样建立函数奇偶性的概念就水到渠成了.教学中 渗透了数形结合的思想方法.精心设计问题情境，激发学生学 习兴趣，引导学生积极探索，在探索过程中获得对数学的积 极体验和应用.是本节课关键.
通过绘制和展示优美的函数图像来陶冶学生的情操. 使学 生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于 探索的思维品质.
人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》 二 目的分析
2.重点与难点 教学重点
函数的奇偶性的概念及其建立过程，判断 函数的奇偶性
教学难点 对函数奇偶性概念的理解与认识
函数的奇偶性
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人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》
一 教材分析 二 目的分析 三 方法分析 四 过程分析 五 设计说明
人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》 一 教材分析
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1.教材的地位与作用
本节内容是新课标人教B版《数学必 修1》第二章“函数”第四节的教学内容. 函数的奇偶性是函数的一条重要性质，从 知识结构上看，函数的奇偶性既是函数概 念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、 对数函数、幂函数、三角函数等内容的基 础，在研究各种具体函数的性质、解决各 种问题中都有广泛的应用.
对于形如 f(x)=x n ( n Z ) 的函数，在定义 域R内: 若n为偶数，则它为偶函数。
若n为奇数，则它为奇函数。
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+x
∵f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x)
(2)
f(x)=3x4+6x2 +a
偶函数
请同学们考察：图象关于原点中心对称的函 数与函数式有怎样的关系？
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过程分析
3.讨论归纳，形成定义
1 图象有什么共同特征吗？ x
函数值的特征探索 你能发现这两个 函数图象有什么 共同特征吗？
(1)函数 f ( x) x 与函数 f ( x)
∵f(-x)=3(-x)4+6(-x)2 +a =3x4+6x2 +a 即 f(-x)= f(x)
解: 定义域为R
解: 定义域为R
∴f(x)为偶函数
∴f(x)为奇函数
说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:
⑴先求出定义域，看定义域是否关于原点对称. ⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立.
性的观察思维能力，同时导入新课
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过程分析
2.概括猜想，揭示内涵
0 0 1 1 2 2 3 3 … …
作出函数
y | x |的图像,再观察表格，你看出了什么？
… … －3 －2 －1 3 2 1
x
y | x |
f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)
2.概括猜想，揭示内涵
作出函数f(x)=x2图象，再观察表，你看出了什么？
x y x2
f(1) = 1
f(-1) = 1
－2 4
－1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
… …
f(2) = 4
f(-2) = 4
f(a) = a2 f(-a) = a2
(-a, a2)
(a, a2)
猜想 :
f(-x) ____ f(x) =
(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-3)=-3=-f(3) 设计意图： 这一问题的解决放手给学生，获 f(-2)=-1/2=-f(2) 得结论，教师借助于多媒体动画演示。目的是 f(-2)=-2=-f(2) 进一步理解奇偶性概念形成过程，从中培养学 f(-1)=-1=-f(1) f(-1)=-1=-f(1)
设计意图：帮助学生完善奇偶函数的定义
练习: 说出下列函数的奇偶性:
①f(x)=x4 偶函数 ________ 奇函数 ② f(x)= x -1 __________
④ f(x)=x -2 ⑥f(x)=x -3 偶函数 __________ 奇函数 _______________
③ f(x)=x ________ 奇函数 ⑤ f(x)=x5 __________ 奇函数
人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》 三 教学过程 方法分析
• 根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突 破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主 体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观 演示法、设疑诱导法为辅。教学中，我设计一个又一个带有 启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使 他们经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维 的基本过程，切实改进学生的学习方法。 • 根据建构理论与新课程教学理念，我注意结合学生所熟悉的 生活实例、已掌握的对称函数的图象，让学生利用图形直观 启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理 性思维的质的飞跃。
设计意图：让学生自己通过类比的方法探究奇函数定义，
一方面加深学生对知识的认识，另一方面充分调动学生学 习的主动性，培养学生合作探究的能力。
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过程分析
4.强化定义，深化内涵
（1）如何理解函数的奇偶性定义域内“任意”一个x？ （2）试讨论：奇函数和偶函数的定义域的特征. （3）判断函数奇偶性的方法和步骤是什么？
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过程分析
3.讨论归纳，形成定义
• 偶函数定义：设函 f(-x)=f(x) 数 y f ( x) 的定义 域为 D ，如果对定 义域 D 内的任意一 个 x 都有 x D， 且 f ( x ) f ( x ) ， 则这个函数叫做偶 图象关于y轴对称 函数.
思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是 偶函数吗？ y
分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1
∴ 2 0 f(x) -1 1
f(-x) ≠ - f(x)且f(-x) ≠
x
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函 数。（也称为非奇非偶函数） 如右图所示：图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。
• 为了更好的把握教学内容的整体性和联系性，在教学中应启 发引导，以问题为核心构建课堂教学，让学生从问题中质疑、 尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和 分析解决问题的能力。
人民教育出版社B版必修一《2.1.4函数的奇偶性》 四
过程分析
布置作业，回归拓展
设问激疑，创设情景
概括猜想，揭示内涵
课时小结，知识建构
讨论归纳，形成定义 4
概念辨析，升华提高
强化定义，深化内涵
讲练结合，巩固新知
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1.设问激疑，创设情景
• 从生活 中这些 图片中 你感受 到了什 么
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1.设问激疑，创设情景