广东专插本2001-2011年高等数学历年题集(2011年10月更新)

高等数学

历年试题集(含标准答案)

5、计算二重积分(),D

x y dxdy +⎰⎰其中D 为2,2x y x y ==及2xy =所围成(0)x >。 6、求一阶线性微分方程423(cos )2x xy y

x e x x -=+-的通解。

四、应用题（本题8分） 设有椭圆22

221x y a b

+= （1）用定积分计算要椭圆绕x 轴旋转所产生的旋转体体积。

（2）求内接于该随圆而平行于坐标轴的最大矩形面积。

20、试求函数xy z

e =在点（2，3）处的全微分。

四、应用题（每小题8分，共24分）

21、三个点A 、B 、C 不在同一直线上，60ABC

∠=。汽车以80千米/小时的速度由A 向B 行

驶，同时火车以50千米/小时的速度由B 向C 行驶。如果AB=200千米，试求运动开始几小时后汽车与火车间的距离为最小？ 22、试计算由抛物线

2y x =与直线23y x =-所围成的图形的面积。

23、设有边长为2a 的在方形薄板。如果薄板材料的度和到对解线线交点的距离平方成正比，且在它的角上的密度为l ，试求这个正方形薄板的质量。

2004年专升本插班考试

《高等数学》试题

一、填空题（每小题4分，共20分） 1、函数211

x x

y --=

的定义域是 。 2、

=+→x x x

x 52tan 30

lim 。 3、若=-=dx

dy

x x e y x 则),cos (sin 。 4、若函数⎰+--=x dt t t t x f 021

1

2)(,=)21(f 则 。

5、设23,32a

i j k b i j k c i j =-+=-+=-和,

()()

a b b c +⨯+=则 。

二、单项选择题（每小题4分，共20分） 6、若⎰=+=I dx x I 则,231

（ ）

（A ）

C x ++23ln 21 （B ）()C x ++23ln 2

1

（C ）C x ++23ln （D ）()C x ++23ln 7、设)2ln(),(x

y

x y x f +

=,=），

f y 01('则( ) （A ）0, （B ）1, (C)2, (D)2

1 8、曲线2,,1

===

x x y x y 所围成的图形面积为S ，则S=（ ） （A ）dx x x )1(21-⎰ （B ）dx x

x )1

(21-⎰

（C ）

dx y dx y )2()12(212

1

-+-⎰⎰

（D ）dx x dx x

)2()1

2(2121-+-⎰⎰

9、函数项级数∑∞

=-1)

2(n n

x n

的收敛区间是（ ）

（A ）1x > （B ）1x < （C ）13x x <>及 （D ）13x << 10、⎰

⎰

=

1

2

),(x

x dy y x f dx I 变换积分分次序后有I=（ ）

（A ）210

(,)x x dx f x y dy ⎰⎰ （B ）⎰⎰10

),(y

y

dx y x f dx

（C ）

⎰⎰

10

2

),(y

y dx y x f dx （D ）⎰

⎰y

y

dx y x f dx 1

),(

三、简单计算题（每题9分，共36分）

11、求极限x x x e x x 30

sin )2()2(lim ++-→

12、求由方程0sin 2

1

=+-y y x 所确定的隐函数y 的二阶导数22dx y d 。

13、计算定积分

⎰

1

25ln xdx x 。

14、设y

x z

x z y z x z xy x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=222,

,,),ln(求。 四、计算题（每题12分，共24分）

15、由2

,8,0x y x y ===所围成的曲边三角形OAB （如图所示），在曲边OB 上，求一点C ，使得过

此点所作2

x y =之切线与OA 、AB 所围成的三角形面积最大。

16、计算二重积分

⎰⎰

D

ydxdy ，共中D 是由直线2-=x ，,0=y 2=y 以及曲线2

2y y x --=所围成的平面区域。

2004年专升本插班考试

《高等数学》参考答案

一、填空题

1、[)(]1,00,1⋃-

2、

52 3、x e x

sin 2⋅ 4、4

3ln 5、j k -- 二、单项选择题

6、A

7、D

8、B

9、C 10、B 三、简单计算题

11、解：原式x

x e x e x x x cos sin 31

)2(lim 20++-=→ 6

1

0611sin 3cos 6lim sin lim sin 3cos sin 6lim 2200320=-⨯=-⋅=-=→→→x e x x x x x xe x x x x x 12、解：把y 看成x 的函数并对和方程关于x 求导，得

y x y x y y x y cos 2

111

)('0)('cos 21)('1-=

⇒=⋅+- 再一次求导，得 0))('(sin 2

1)(''cos 21)(''2

=⋅-⋅+-x y y x y y x y y x y y x y cos 2

11))('(sin 21)(''2-⋅-

=⇒ 3

3)cos 2

11()cos 211(sin 21y y

x y y --=

--

= 13、解：

⎰⎰

∞

-⋅=0261

25ln dt t e x e xdx x t t 令

108

1108

1181181181)(18131)(6161)(610

606060606062

06062062=

==+-=-=⋅-=-==∞

-∞-∞-∞

-∞-∞

-∞-∞-∞-⎰⎰⎰⎰⎰⎰t t t t t

t t t t e dt e dt e te e td tdt e t d e e t e d t 14、解：

1)ln(1)ln(+=⋅⋅+=∂∂xy y xy x xy x z y

x x xy x y z =⋅⋅=∂∂1 x xy y xy x x z x x z 1)1)(ln()(22==+∂∂=∂∂∂∂=

∂∂ y

xy x xy y x z y y x z 1

)1)(ln()(2==+∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ 四、计算题 15、解： x x y x

x y 2)(')(2

=∴= 于是过点c 的切线斜率为80,200≤≤x x 其中

∴切线方程为：)(2002

0x t x x S -=-， 即2002x t x S -=