高等代数课件(北大版)第九章 欧式空间§9.3

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高等代数-9第九章 欧几里得空间

高等代数-9第九章   欧几里得空间
3) ( , ) , ( , )
(线性性)
4) ( , ) 0, 当且仅当 o 时 ( , ) 0. (非负性)
则称 ( , )为 和 的内积,称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.
§1 定义与基本性质
b
§1 定义与基本性质
线性性 ( k f lg , h) a k f ( x ) lg ( x ) h( x )dx
b
k f ( x )h( x )dx l g ( x )h( x )dx
a a
b
b
k ( f , h ) l ( g , h)
非负性 ( f , f ) f ( x ) f ( x ) dx f 2 ( x ) dx 0 a a 且 ( f , f ) 0 f ( x ) 0. 故( f , g) 为一内积, C (a , b) 构成欧氏空间.
注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间. (1)V为实数域 R上的线性空间; (2)V既有向量的线性运算,还有内积运算; (3) , V ,( , ) R. 注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间. 欧几里得(Euclid,约公元前330 年—前275年),古希腊数学家,是几 何学的奠基人,被称为“几何之 父”. 他最著名的著作是《几何原本》.
b b
§1 定义与基本性质
2. 内积的运算性质 设V为欧氏空间, , , , i V , k , l , ki R
1) ( , k ) k ( , ) 2) ( , ) ( , ) ( , ) 3) ( , k l ) k ( , ) l ( , ) 4) ( k l , ) k ( , ) l ( , )

第九章 欧几里德空间

第九章 欧几里德空间

第九章 欧几里德空间§1基本知识§1. 1 基本概念 1、欧式空间: 2、向量的长度:3、向量之间的夹角:4、单位向量:5、向量的正交:6、度量矩阵:7、正交向量组:8、正交基与标准正交基: 9、正交矩阵:10、欧式空间的同构: 11、正交变换:12、子空间、子空间的正交与正交补: 13、内射影或正射影: 14、对称变换:15、向量之间的距离: 16、最小二乘法:§1. 2 基本定理定理1(正交组的性质定理)正交向量组一定是线性无关组.定理2 (标准正交基的存在性定理)对于n 维欧式空间中任意一组基n ααα,,,21 ,都可以找到一组标准正交基n εεε,,,21 ,使得:n r L L r r ,,2,1),,,,(),,,(2121 ==αααεεε定理3(有限维欧式空间同构的条件)两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是:它们的维数相等.定理4(正交变换的等价条件)设σ是n 维欧式空间V 的一个线性变换,则如下条件等价(1)σ是正交变换;(2)σ保持向量的长度不变,即:V ∈∀=ααασ|,||)(|;(3)如果n εεε,,,21 是V 的一组标准正交基,则)(,),(),(21n εσεσεσ 也是V 的一组标准正交基;(4)σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。

定理5如果子空间s V V V ,,,21 两两正交,那么:s V V V +++ 21是直和。

定理6(正交补存在性定理)n 维欧式空间V 的任何一个子空间1V 都有唯一的正交补。

定理7(实对称矩阵的性质定理)对于任意一个n 阶实对称矩阵A ,都存在一个n 阶正交矩阵P ,使得:AP P T 为对角矩阵。

§1. 3 基本性质1、欧式空间的性质:(1)零向量且仅有零向量与任何向量的内积为零;(2)对任何R a V ∈∈,,,ζηξ,有:),(),(),(ηζξζηξζ+=+;),(),(ηξηξa a =;(3)s j r i R b a V j i j i ,,2,1;,,2,1,,,, ==∈∈∀ηξ,有:∑∑∑∑=====r i sj j i j i j s j j i r i i b a b a 1111),(),(ηξηξ;(4)V ∈∀βα,,有:),)(,(),(2ββααβα≤,当且仅当βα,线性相关时,等号成立。

高等代数【北大版】课件

高等代数【北大版】课件
线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中,线性方程组可以用来描述各 种现象,如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中,线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科,为其他分支提供了理论基础,如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象,具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式,其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数,$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程,有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ,将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵,其非主对角线上的元素都 为零,主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化,可以简化矩阵运算,并更好地理 解矩阵的性质和特征。

高等代数【北大版】9

高等代数【北大版】9

| 1 | 2,
|
3
|
3
4 10
,
| 2 |
2, 6
|
4
|
5
4 14
.
§9.2 标准正交基
于是得 R[ x]4的标准正交基
1
|
1
1
| 1
2 ,
2
2
|
1
2
|
2
6 x
2
3
|
1
3
| 3
10 4
14 (5x3 3x) 4
§9.2 标准正交基
4.标准正交基间的基变换
设 1, 2 , , n与 1,2 , ,n 是 n 维欧氏空间V中的
1. 定义
设 A (aij ) Rnn , 若A满足 则称A为正交矩阵.
AA E
2. 简单性质
1)A为正交矩阵 A 1. 2)由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交
矩阵.
§9.2 标准正交基
3)设 1, 2 , , n 是标准正交基,A为正交矩阵,若 (1,2 , ,n ) (1, 2 , , n ) A
(6)
§9.2 标准正交基
由公式(3), 有
(i , j ) a1i1 j a2i 2 j
aninj
1 0
i i
j j
, (7)
把A按列分块为 A A1, A2, , An
由(7)有
A1
AA
A2
A1
,
A2
,
An
, An En
(8)
§9.2 标准正交基
三、正交矩阵
注:
① 由正交基的每个向量单位化, 可得到一组标准 正交基.

第09章 欧式空间

第09章 欧式空间

= α s−1

(α s−1, ε1 ) (ε1,ε1 )
ε
1
−⋯

(α s−1 (ε s−2
,ε ,ε
s −2 s−2
) )
ε
s
−2
,ε s
= αs

s −1 k=1
(α s (εk
− εk ) ,εk )
ε
k
① L(ε1 ,⋯,ε s ) = L (α1 ,⋯,αs ) ⇔ ε1,⋯,ε s 与 α1,⋯, αs 等价
α = (ε1,⋯,ε n ) X = (η1,⋯,ηn ) X , X = T X , β = (ε1,⋯,ε n)Y = (η1,⋯,η n)Y ,Y = T Y
(α, β )在基 ε1,⋯,ε n ,η1,⋯,ηn下的度量矩阵分别为 G, G
(α ,
β)
=
X
'GY
=
X
'
T
'GT Y
=
X
'
GY
∴G = T 'GT 即 G~G
⎧R欧式空间
线性空间定义度量性质后 ⎪⎪C酉空间
⎨⎪思维时空空间 ⎪⎩辛空间
三维几何空间 R3
R
2
:设
� a
=
(a1
,
a2
),
� b
=
(b1,
b2)
�� a ⋅b = a1b1 + a2b2 ∈R
� a 的长度:
� a
=
a2 + a2 =
�� a⋅a
1
2
�� a,b
的夹角:
<
�� a, b
>= ar

高等代数欧几里得空间课件

高等代数欧几里得空间课件

矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列,可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质,如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则,矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律,即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间,且 $W_1 cap W_2 = {0}$, 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间,且 $u in W$,则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩,且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A,如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x,使得Ax=λx成立, 则称λ为矩阵A的特征值,x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示

高等代数9-2

高等代数9-2


( , ) ( X )T Y X T AT Y X T ( AY ) ( , )
σ是一个对称变换.
在标准正交基下,对称变换与对称矩阵对应.
定理 对于任意一个n阶实对称矩阵A , 都存在一个n阶正交 矩阵T ,使T T AT T 1 AT为对角矩阵.
定理12 如果σ是n维欧氏空间V的一个对称变换,那么可找
sin x cos y
1 (1,0), 2 (0,1)是一组标准正交基
T 1 (cos , sin ) cos 1 sin 2 T 2 ( sin , cos ) sin 1 cos 2
则称 σ为一个对称变换.
二、 对称变换与对称矩阵的关系
设是n维欧氏空间V的一个对称变换, 1 , 2 , , n 是V的一组 标准正交基. 并设在基 1 , 2 , , n 下的矩阵是
a11 a 21 A a n1 a12 a 22 an2 a1 n a2n a nn
定理6 n维欧氏空间V的每一个子空间V1 都有唯一的正交补.
下证唯一性
设W1 ,W2都是W的正交补,则 V W W1 任取 1 W1 , 则 1 V . 由( 2 )得,1 2
( , ) 0
(1 ) (2)
V W W2
W , 2 W2
证 先证存在性
若W 0, 则正交补就是V . 若W V , 则正交补就是0. 设W V ,0 :
在W中取一组正交基 1 , 2 , , m (1 m n )
把它扩充成V的一组正交基
1 , 2 ,, m , m 1 , , n
那么子空间L( m 1 , , m )就是W的正交补.

高等代数-欧几里得空间

高等代数-欧几里得空间

2) (, ) (, ) (, )
s
s
推广: ( , i ) ( , i )
i 1
i 1
3) (0, ) 0
§9.1 定义与基本性质
二、欧氏空间中向量的长度
1. 引入长度概念的可能性
1)在 R3向量 的长度(模) . 2) 欧氏空间V中, ,V , (, ) 0
使得 有意义.
③ ( , ) R.
§9.1 定义与基本性质
例1.在 Rn 中,对于向量
a1,a2, ,an , b1,b2, ,bn
1)定义 ( , ) a1b1 a2b2 anbn
(1)
易证 ( , ) 满足定义中的性质 1 ~ 4 .
所以, ( , ) 为内积. 这样Rn 对于内积 ( , ) 就成为一个欧氏空间.
2. 向量长度的定义
,V , ( , ) 称为向量 的长度. 特别地,当 1时,称 为单位向量.
§9.1 定义与基本性质
3. 向量长度的简单性质
1) 0; 0 0
2) k k
3)非零向量 的单位化:
1.
(3)
§9.1 定义与基本性质
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 引入夹角概念的可能性与困难
注:
① 零向量与任意向量正交.

, ,
2
即 cos, 0
.
§9.1 定义与基本性质
5. 勾股定理
设V为欧氏空间, , V
2 2 2
证: 2 , , 2, ,
2 2 2
( , ) 0
.
§9.1 定义与基本性质
推广:若欧氏空间V中向量1,2 , ,m 两两正交,
当 n 3 时,1)即为几何空间 R3中内积在直角 坐标系下的表达式 . ( , )即 .

高等代数课件北大版第九章欧式空间ppt.ppt

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§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
2.向量到子空间的距离
(1) 设 为一固定向量 ,如果 与子空间 W 中 每个向量垂直, 称 垂直于子空间W , 记作 W.
注:
如果 W L(1,2 , ,k ), 则 W i , i 1,2, ,k.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
§9.7 向量到子空间的距离
一、向量到子空间的距离 二、最小二乘法
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
一、向量到子空间的距离
1. 向量间的距离
定义 长度 称为向量 和 的距离,
记为 d , .
基本性质
(i)d , d , (ii)d , 0, 并且仅当 的等号才成立; (iii)(三角形不等式) d , d , d , .
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
实际上是不可能的.任何a,b 代入上面各式都发生 些误差.于是想找到 a,b 使得上面各式的误差的平方 和最小,即找 a,b 使 (3.6a b 1.00)2 (3.7a b 0.9)2 (3.8a b 0.9)2 (3.9a b 0.81)2 (4.0a b 0.60)2 (4.1a b 0.56)2 (4.2a b 0.35)2 最小.
§9.7 向量到子空间的距离 数学与计算科学学院
解:把表中数值画出图来看,发现它的变化趋势 近于一条直线.因此我们决定选取 x 的一次式 ax b 来表达.当然最好能选到适当的 a,b, 使得下面的等式
3.6a b 1.00 0, 3.7a b 0.9 0 3.8a b 0.9 0, 3.9a b 0.81 0, 4.0a b 0.60 0, 4.1a b 0.56 0, 4.2a b 0.35 0 都成立.

高等代数考研复习[欧氏空间]

高等代数考研复习[欧氏空间]
d) n维欧空间中任意一个正交向量组都能扩充 成一组标准正交基.
3) 标准正交基的求法:施密特(Schmidt)正交 化方法
题型分析:
例1 设 1,2, ,n 是欧氏空间V的基,证明:
1) 若 V 使得 ( ,i ) 0, 则 0.
2) 若 1, 2 V , 对任意的 V 有 (1, ) ( 2, )
个子空间,如果对任意 V1, V2 恒有 (, ) 0, 则称 V1 与 V2 是正交的,记为 V1 V2.
如果 V , 且对任意 V1, 有 (, ) 0, 则称 与子空间 V1 正交,记为 V1. 2) 正交子空间的有关结论:
a) L(1,2, ,m ) i ( ,i ) 0.
b) 设 , V , 1,2, ,n 是V的标准正交基,如 果 ( 1,2, ,n ) X , ( 1,2, ,n )Y , 则( , ) X Y.
c) 设 1,2, ,n 是V的一组标准正交基,1,2, ,n
且 (1,2, ,n ) ( 1,2, ,n )T , 则 1,2, ,n 也是 V的标准正交基 T是正交矩阵.
| 1 2 n || 1 | | 2 | | n | .
c) 如果 , 则 | |2 | |2 | |2 .
1.2 度量矩阵
1)定义:设V是n维 欧氏空间,1,2, ,n 是V
的一组基,称矩阵
(1,1)
A


V , | A || |;
(3) 如果 1,2, ,n 是标准正交基,则 A 1,A 2, ,A n 也是标准正交基; (4) A 在任何一组标准正交基下的矩阵是正
交矩阵.

高等代数第九章电子讲稿

高等代数第九章电子讲稿

高等代数第九章电子讲稿1.12.23.3高等代数第九章电子讲稿2017-08-23 01:36:12 | #1楼(410076)1231.2.1.2.3.§11VRV1)(α,β)=(β,α);2)(kα,β)=k(α,β);3)(α+β,γ)=(α,β)+(α,γ);4)(α,α)≥0,α=0(α,α)=0;α,β,γkV(V)(α,β),1Rnα=(a1,a2,···,an),β=(b1,b2,···,bn),(α,β)=a1b1+a2b2+···anbn.RnRnn=32(f,g)=b[a,b]C(a,b)f(x),g(x)f(x)g(x)dx.C(a,b)aR[x],R[x]n1)2)3)2’(α,kβ)=k(β,α)=k(α,β);3’(α,γ+β)=(γ+β,α)=(β,α)+(γ,α)=(α,β)+(α,γ);4)(α,α)≥0.α,(α,α)2(kα,kα)=α|α|ααα,αα,β<α,β>cos<α,β>=|α||β|(α,β)|≤1α,β-α,βt|(α,β)|≤|α||β|.β=0β=0.γ=α+tβ.t=(α,β)t(γ,γ)=(α+tβ,α+tβ)≥0.(β,β)≥0.|(α,β)|≤|α||β|.(α,β)2≤(α,α)(β,β).(α,α)+2(α,β)t+(β,β)t2≥0.αα,β(α,β)22a21+a2+···+an2(|α||β|,0≤<α,β>≤πbag2(x)dx)12-|α+β|≤|α|+|β|.|α+β|2=α⊥β.(α+β,α+β)=(α,α)+2(α,β)+(β,β)≤|α|2+2|α||β|+|β|2=(|α|+|β|)2.|α+β|≤|α|+|β|.4α,β(α,β)=0,α,βπα1,α2,···,αmk1α1+k2α2+···+kmαm=0.ki=0(i=1,2,···,m).αiki(αi,αi)=0.α1,α2,···,αmαi=0,n(αi,αi)>0,n6nnε1,ε2,···,εn(εi,εj)=1,0,i=j;i=j.nnα=(ε1,α)ε1+(ε2,α)ε2+···+xi=(εi,α)(i=1,2,···,n).(εn,α)εn.α=x1ε1+x2ε2+···+xnεn.εiα=x1ε1+x2ε2+···+xnεn,β=y1ε1+y2ε2+···+ynεn,(α,β)=x1y1+x2y2+···+xnyn=X′Y.1nα1,α2,···,αmnmnm=0α1,α2,···,αmnm=kβ1,β2,···,βk,α1,α2,···,αm,β1,β2,···,βkα1,α2,···,αmnm=k+1m<n,βαm+1=βk1α1k2α2···kmαm.k1,k2,···,km(αi,αm+1)=(β,αi)ki(αi,αi)(i=1,2,···,m).ki=(β,αi)αiαm+12nε1,ε2,···,εnη1,η2,···,ηn,1L(ε1,ε2,···,εi)=L(η1,η2,···,ηi),i=1,2,···,n.ε1,ε2,···,εnη1,η2,···,ηnηi =.η1,η2,···,ηm,ηm+1L(ε1,ε2,···,εm+1)=L(η1,η2,···,ηm+1|ηm).+1|2L(ε1,ε2,···,εi)=L(η1,η2,···,ηi),i=1,2,···,n.η1,η2,···,ηn2α1=(1,1,0,0),α2=(1,0,1,0),α3=(1,0,0,1),α4=(1,1,1,1)β1=α1=(1, 1,0,0),βα(α2,β1)2=22,11(ββ(α3,β2)11,β1)3,3,1),β(α4,β1)β(α4,β3)4=α4(β22,β2)√√√√√√1√1√√2,2,ε1,ε2,···,εnAa1ia1j+a2ia2jη1,η2,···,ηn1,+···+anianj=0,ε1,ε2,···,εni=j;i=j.A′A=E,A1=A′.7nAA′A=E.···+ainajn=A′A=EAA′=Eai1aj1+ai2aj2+1,0,i=j;i=j.§38RVV′VV′σ,1)σ(α+β)=σ(α)+σ(β),2)σ(kα)=kσ(α),3)(σ(α),σ(β))=(α,β),α,β∈V,k∈R,σVV′σVV′σVV′VnVε1,ε2,···,εn1)2)Vαα=x1ε1+x2ε2+···+xnεn,σ(α)=(x1,x2,···,xn)∈Rn.V3)RnσσVRnnRnσVV′σ11)2),Vα,β∈V′,(α,β)=(σ(σ1(α)),σ(σ1(β)))=(σ1(α),σ1(β)).σ1V′V′V′σ,τVV′′τσVV′′nRnn3§469VAα,β∈V,(Aα,Aβ)=(α,β).4AnV1)A3)2)Aα∈V,|Aα|=|α|;ε1,ε2,···,εnAε1,Aε2,···,Aεn4)A1)2)A(Aα,Aα)=(α,α).|Aα|=|α|.A(Aα,Aα)=(α,α),(Aβ,Aβ)=(β,β),(A(α+β),A(α+β))=(α+β,α+β),(Aα,Aα)+2(Aα,Aβ)+(Aβ,Aβ)=(α,α)+2(α,β)+(β,β).(Aα,Aβ)=(α,β).A1)3)ε1,ε2,···,εn(εi,εj)=(Aεi,Aεj)=1,0,i=j;i=j.(i,j=1,2,···,n).A1,0,i=j;i=j.(i,j=1,2,···,n).Aε1,Aε2,···,Aεnα=x1ε1+x2ε2+···+xnεn,β=y1ε1+y2ε2+···+ynεn,···+xnAεn,Aβ=y1Aε1+y2Aε2+···+ynAεn,(α,β)=(x1y1+x2y2+···+xnyn=(Aα,Aβ).Aα=x1Aε1+x2Aε2+A3)4)Aε1,ε2,···,εnA,(Aε1,Aε2,···,Aεn)=(ε1,ε2,···,εn)A.Aε1,Aε2,···,AεnAε1,ε2,···,εnAε1,Aε2,···,AεnAAε1,Aε2,···,Aεn1)2)3)4)AAA′=E,|A|2=1|A|=±1.+11+11ε1,ε2,···,εnAAε1=ε1,Aεi=εi,i=2,···,n.A§5710V2V1,V2Vα∈V1,β∈V2,α,(α,β)=0,β∈V1,V1V2(α,β)=0,αV1α⊥V1.V1⊥V2.V1⊥V2V1∩V2={0};α⊥V1,α∈V1α=0.5V1,V2, (V)V1+V+2+ (V)αi∈Vi,i=1,2,···,s,α1+···+···+αs=0.αi=0.αi(αi,αi)=0.V1αi=0(i=1,2,···,s).V1⊥V2,V1+V2+ (V)11V2V1+V2=V.V2V1V1V26nVV1V,V1={0},V1ε1,ε2,···,εmV1={0}.1Vε1,ε2,···,εm,εm+1,···,εn.V2,V3V1α∈V2,α=α1+α3,(α1+α3,α1)=(α1,α1)+(α3,α1)=(α1,α1)=0,α1∈V1,α3∈V3.α1=0.L(εm+1,···,εn)V=V1V2.V=V1V3.V1α⊥α1(α1,α1)=α∈V3,V1V3V2.V3=V2V2V3.V1⊥.(V1)+(V1⊥)=n.V1⊥V1αV=V1+V1⊥Vαα=α1+α2,α2∈V1⊥.α1V1α1∈V1,§6CC′ACnA,nT′,T′AT=T1AT1AAλ0Ax1x2ξ=···xn8Aξ=λ0ξ.x1xn,Aξ=ξ.ξ′A′ξ=(Ax1x1+Aξ)′ξ,λ0ξξ′λ0ξξ′ξxnxn=0.λ0= n1α1nRn,Aα1,λ1.α1L(α1)V1.3V1An1,A|V1(Aα,β)=(α,Aβ) A|V1n1α2,α3,···,αn V1α1,α2,···,αn TRnAnAx1x2A···xnAx1=Ax2···xnT′ATRnTRnAt22η2=···tn2ε1,ε2,···,εn t12,···,ηn=t2n···tnnη1,η2,···,ηnt1nt11t21η1=···tn1,RnATT1AT=T′ATt11t21T=...tn1t12t22...tn2 ·········t1nt2n...tnn.T1.Aλ1,···,λrA2.λi,Vλiηi1,···,ηiki.x2(λiEA) 0xnx1A3.λ1,···,λr4η11,···,η1k1,···,ηr1,···,ηrkr 7Rn101A=110111A0111|λEA|=1,10ATTT′ATλ11111λ1λ1111λ11100=001λ1λ1λ1010λ111λλ1=λ1λ211(λ1)310011λ=(λ1)3(λ+3).112A1()-3.1λ=1α1=(1,1,0,0),α2=(1,0,1,0),α=(1,0,0,1),λx1x2x3+x4=0,x+λx+xx=0,1234x1+x2+λx3x4=0,x1x2x3+λx4=0.-3β1=α1=(1,1,0,0),(α2,β1)1β2=α2, 2(α3,β1)1β1,,1),(β1,β1)3311η=(,,1,0),122112η2=(,,,0),6661113β3=(,,,), 121212121λx1x2x3+x4=0,x+λx+xx=0,1234λ=3x1+x2+λx3x4=0,x1x2x3+λx4=0.11η4=(,),22α4=(1,1,1,1),η1,η2,η3,η4R4T′AT=11173.T=12√016√26112√112√12.12T-1|T|=1.111S=...1.11T1=TS′T1|=|T||S|=1.T1AT1=T′AT.x1=c11y1+c12y2+···+c1nyn,x=cy+cy+···+cy, 22112222nnC=(cij)············xn=cn1y1+cn2y2+···+cnnyn,78222λ1y1+λ2y2+···+λnyn,nni=1j=1aijxixj,aij=aji.λ1,λ2,···,λnAa11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2b1x+ 2b2y+2b3z+d=0.aa1211A=a21a22a13a23a33a31a322B′X+d=0.C|C|=1.xb1,X=y,B=b2.zb3xc11c12y=c21c22zc31c32X′AX+c13c23c33λ11C22λ1x21+λ2y1+λ3z1+2b1x1+2b2y1+2b3z1+d=0, C′AC=′X1(C′AC)X1+2(B′C)X1+d=0.x1y1,z1λ2.X=CX1.λ3(b1,b2,b3)=(b1,b2,b3)Cλ1,λ2,λ3λ1,λ2,λ3bx1=x21λ1b2λ3.λ2bz1=x23§7·αβαβ13|αβ|αβd(α,β).1)d(α,β)=d(β,α);2)d(α,β)≥0,α=β3)d(α,β)≤d(α,γ)+d(γ,β)12“.W,α1,α2,···,αkW=L(α1,α2,···,αk).αW,αWαWααi(i=1,2,···,k).β,γWβγW.βWWδ,|βγ|≤|βδ|.βδ=(βγ)+(γδ).Wγ∈W,δ∈W,γδ∈W,βγγδ.|βγ|2+|γδ|2=|βδ|2, |βγ|≤|βδ|yxy(%)x(%)yxb1b2B=.,X= ..bnsa1jxjj=1sx1a2jxjx2j=1,Y=.. ....xssanjxjj=1=AX.|YB|2.00x01,x2, (x)YBYa2sxs...ansa1sa21a22Y=x1.+x2.+···+....an1an2a11a12A.α1,α2,···,αs.L(α1,α2,···,αs).YL(α1,α2,···,αs)Y,BXni=1(ai1x1+ai2x2+···+aisxsbi)2 L(α1,α2,···,αs)L(α1,α2,···,αs)Y=AX=x1α1+x2α2+···+xsαs C=BY=BAXL(α1,α2,···,αs)(C,α1)=(C,α2)=···=(C,αs)=0.′′α′1C=0,α2C=0,···,αsC=0,′′α′1,α2,···,αsA′,A′AA′(BAX)=0,A′AX=A′B.A′B.A′B=0,106.75a+27.3b19.675=0,273.3a+7b5.12=0.A=3.63.73.83.94.04.14.210.90110.900.81,,B=10.60110.5610.351.00a,bA′Aaba=1.05,b=4.81.14高等代数第四章电子讲稿2017-08-23 01:37:55 | #2楼2526§11(),x=x′cosθy′sinθ,y=x′sinθ+y′cosθ.(1)θxcosθ2×2sinθsinθcosθ(2)(2)(1)y+a13z,y=a21x′+a22y′+a23z′,a11a12a13z=a31x′+a32y′+a33z′.a22a23x=a11x′+a12′′(4)(3)a32a332ax2a21a31+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0(5),(5)yxbyc1e(3)a11a21...as14a12a22...as2·········a1na2n...asnaijAiBjnn1×nnn×1A,B,···(aij),(bij),···s×nAsn,Bsn,···(aij),(bij),···.().A=(aij)mn,B=(bij)lkm=ln=k,aij=biji=1,2,···,m,j=1,2,···,nA=B.§211A=(aij)sna11a21=...as1s×nC=(cij)snABC=A+B.b11b12...b1nb21b22...b2na22...a2n,B=(bij)sn=....... ........as2...asnbs1bs2...bsna11+b11a12+b12...a1n+b1na21+b21a2 2+b22...a2n+b2n=(aij+bij)sn=.........as1+bs1as2+bs2...asn+bsna1 2 (1)A+(B+C)=(A+B)+C.A+B=B+A.0sn,0,A,A+0=A.a11a12a21a22......as1a s2·········a1na2n...asnAA,A+(A)=0.AB=A+(B).21sns×naijAiBjs×n(A+B)≤(A)+(B).2x1,x2,x3,x4y1,y2,y3Z1,z2y1,y2,y3(1),(2)x1,x2,x3,x4z1,z223j=1k=123aikbkjzj=(aikbkj)zj(i=1,2,3,4)(3)(2)y2=b21z1+b2 2z2y=bz+bz331132233232xi=aikyk=aik(bkjzj)=aikbkjzj=y1=b11 z1+b12z2x1=a11y1+a12y2+a13y3x=ay+ay+ay2211222233x3= a31y1+a32y2+a33y3x4=a41y1+a42y2+a43y3(1)k=1k=1j=1k=1j =1xi=j=1k=12j=13k=1cijzj(i=1,2,3,4;j=1,2)(4)aikbkj(i=1,2,3,4;j=1,2)(5)x1,x2,x3, x4z1,z2(3),(4),cij=(A=(aij)43,B=(bij)32x1,x2,x3,x4y1,y2,y3y1,y2,y3(5)z1,z2x1,x2,x3,x4z1,z2C=(cij)42CABC=A×B.n2A=(aij)sn,B=(bij)nm,C=(cij)sm,cij=ai1b1j+ai2b2j+···+ainbn j=aikbkj(6)ABC=AB.k=1ABCijAiBj110A=110510C=AB=110512130,B=311,141210341256712130311=1026142171012 1312034(6)10AB(1)×0+1×1+3×3+0×(1)=10.x1x2...xn2A=(aij)snn×1s×1X=b1b2,B=...bsAX=B.3a11a21a31a12a22a32a13a23a33,X2=BX3,b11B=b21b311,z1)(x1,yx1x2X1=,X=y12y2,z1z2(x2,y2,z2)A=X1=AX2.b12b22b32b13b23b33x3,X3=y3,z3(x2,y2,z2)(x3,y3,z3)wjl=mj=1mA=(aij)sn,B=(bij)nm,C=(cij)mr,(AB)C=A(BC).nV=AB=(vik)sm,W=BC=(wjl)nr,vik=aijbjk(i=1,2,···,s;k=1,2,···,m), j=1bjkckl(j=1,2,···,n;l=1,2,···,r).(AB)C=VCVCiillk=1vikcklk=1nmnmn=(aijbjk)ckl=aijbjkcklk=1j=1nm(7),(8).A(BC)=AWAWaijwjl=aij(bjkckl)=j=1k=1k=1j=1nmaijbjkckl(7)(8)j=1k=1ABBAABBA1ABn×n11111111=0000,BA=3×3A=11111111BA1,B=1114×41=112212,AB=,2AB=ACB=C.31,n×n 1001 (00)·········00 (1)n4En,E.AmEm=Am,EmAm=Am.(9)A(B+C)=AB+AC;(10)(B+C)A=AB+CA.(9)(10)n×nAkAl=Ak+l,(AK)l=Akl.A1=A;Ak+1=AkAlAkkAk,l(AB)kAkBk34kka11ka21...kas1ka12ka22...kas2 ·········ka1nka2n...kasnA=(aij)snkkA.k.13)k(lA)=(kl)A;14)1A=A;15)11)(k+l)A=kA+lA;k(AB)=(kA)B=A(kB).12)k(A+B)=kA+kB;(i,t)kkE=0k 0kA=(kE)A=A(kE). (15) 0···0...···knj=1aijbjt,nj=1(kaij)bjtA=(aij)sn,B=(bjt)nm,k(AB),(kA)B,A(kB) nnn=kaijbjt,aij(kbjt)=kaijbjt,j=1j=1j=1(15)An×nn×nn×nn(7).kE+lE=(k+l)E,(kE)(lE)=(kl)E,4.5s×na21A=...as1a11a12a22...as2n×s ·········a1na2nAA′.,Aa12′A=...a1na11a21a22 (2)·········an1an2...ans.(16)(A′)′=A(17)(A+B)′=A′+B′(18)(AB)′=B′A′5(19)(kA)′=kA′(16)a11a12a22...as2a21...as1·········(i,j)′b11b12b21b22a2n,B=.........asnbs1bs2najkbki(20).a1n(17),(1 9)···b1n···b2n,AB...···bsn(18).A=(i,j)naikbkj.(AB)′k=1B(i,k)bki,A′(k,j) ajk,k=1BA′(i,j)nbkiajk=k=1k=1najkbki(21).(20),(21)(18).210A=(1,1,2),B=1134211214,B′=112,A′=B′A′12031(AB)′.210=(9,2,1).AB=(1,1,2)113421214191=2=(9,2,1)′==112 03121,2728§31A,BPn×n|AB|=|A||B|,(1)8116A1,A2,···,AmPAn×n|A1A2···Am|=|A1||A2|···|Am|.Pn×n|A|=0 n×nn.1,2A,BPn×nABA,B2(2)APn×mBPm×s(AB)≤min[(A),(B)](2),(AB)≤(A),6(AB)≤(B).Ba11a21A=...an1ja12a22...an2·········a1ma2m...anmC1,C2,···,Cn···+aimBmAB(C1,C2,···,cn)mABb11b21,B=...bm1b12b22...bm2·········Cib1sb2s...bmsj,B1,B2,···,Bmai1B1+a12B2+aikbkj,Ci=ai1B1+a12B2+···+aimBm(i=1,2,···,n).k=1ABB(10),(AB)≤(B).1,A2,···,AmAAD1,D2,···,DsABDi=b1iA1+b2iA2+···+bmiAm(i=1,2,···,s). ABA(AB)≤(A).23A=A1A2···At,(A)≤1min≤j≤t(Aj).§42n×nA,n×nAE=EA=A.nnn111aaa=17nAnB,AB=BA=E,(1)(1)(),A,(1)B().B1,B2(1)B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2. 18B(1),BAA.AAA1a1n9AijA=a11a12···a21a22 (2)A11A21···An1.........an1an2···annA12A22···An2 .........AA1nA2n···Ann7a=0EnA=()AA(2)d=|A|=0,3 AA=A=A=d0 00···d···...0···dA(1AA)A=E.(3) d0···0d···=AA=. .....00d=|A|.=dE,...d0..=dE.(2).dAA1=1AA1AA1d=E.A.|A||A1|=|E|=1.(5)|A|=0,3nA,B,AB=E,A,B3(4).(5)|A|=d=0,|A1|=d1.A,BA′AB(A′)1=(A1)′,(AB)1=B1A1.AA1=A1A=E,(A′)1=(A1)′. (A1)′A′=A′(A1)′=A!!E′=E.(AB)(B1A1)=(B1A1)(AB)=E,(AB)1=B1A1.(§22)AX=B.(6)A|A|=0X=CX=A1B(6),A(A1B)=B,a11x1+a12x2+···+a1nxn=b1,ax+ax+···+ax=b, 2112222nn2 ···············an1x1+an2x2+···+annxn=bn,A1B(6)AC=B,A1(AC)=A1B,C=A1B.X=A1BA1(4)4As×nPs×sQn×nR(A)=R(PA)=R(AQ).B=PA,2,R(B)≤R(A),A=P1B,R(A)≤R(B),R(A)=R(B)=R(PA). 82930§5000100A=1E20210=AE2 1E210120012A1=1211,0=1100.B=1031B11B12B10=3221B22B11=12,B1201 1200=,B 104122121=1011,B22=420.ABA,2ABE20B11B12B12A1E2BA,A21B11+B21=21B22B1B11+B21A1B12+B11=111011==B113402+1011=241122.A=12321B12+B2211101+32410120=3033+4120=1153.AB=101224111153.4A11A12···A1lA=(Aik)sn,B=(Bkj)nm A,BA=A21A22 (2)B11B12···B1r.........At1At2···Atl,B=B21B22 (2).........Bl1,si×njBijjAijni×mC1rC=AB=Al2···AlrC11C12···C21C22 (2)........C.pq=Qp1B1q+Ap2B2q+···+AplBlq= Ct1Ct2···ClApiBiq(p=i=1tr1,2,···,t;q=1,2,···,r).,902+Ba11B1+a12B2+···+a1mBm a21B1+a22B2+···+a2mBm AB=···············an1B1+an2B2+···+anmBm B1B2B=...BmB1,B2,···,Bm,Ba11...ak1D=c11...cr1AB (1)...···c1k...crkA0 0 0akk······b11...br1Cr×kk×r...0A=b1rC...brr.ABB().0BA,Bkr|D|=|A||B|,X12A,B0.DD1=kAC0BX11X21X11=A1,X12=A10=0.=X220ErAX11=Ek,AX12=0,CX11=BX21=0, CX12+BX22=E.rX11X21X12X22.EkEkErBX21=CX11=CA1,X21=B1CA1.A00B1D1=X22=B1.A10B1CA1B1.C=00a2...00...Al=A100B1A1a10 0·········00...alai(i=1,2,···,l) A20Aini×ni(i=1,2,···,l),···10A=A1A2..0 .AlA1B1A2B2AB=,B=0..B1B2... Bl.,0A+B=A1+B1A2+B2 ...Al+Bl,A1A1,A2,···,Al A2...§610E1...10···11P(i,j)= ...... (11)···.1 (1)11AlBl 1A11=AlA12 ...EiA1l,jPcEiP(i(c))= 1 ...c.Ejkis×nAAAA1,A2,···,AsAA1=P(i,j)A=...P(i,j)Ai...Aj...AsP(i(c1)),P(i,j(k))1=P(i,j(k)).511AB1...11...1···kP(i,j(k))=...1 (1)EikjP(i,j(k)).As×sn×nij)s×b11A1+b12A2+···+b1sAs b21A1+b22A2+···+b2sAssBA=B=(b ············.bs1A1+bs2A2+···+bssAs Aij1P(i,j)=P(i,j),P(i(c))1=BA125s×nA10...00 00···1···...0···0···...0···00...10 0···············00...00 0A1A(1).A=0A=0.Aa11=01a11a1j(j=1,2,···,n) 1a111)×(n1)A11 a...,s)11ai1(i=1,2, 10 0A..A1.0.A1(s11A100001001102A→00 020000→01 0031011000 0100A,B14→005 400000.100011325A=2267.2456000100214→021000005214000113114→00500002000000→50P1,P2,···,Ps,Q1,···,Qt,A=P1P2···PsBQ1···Qt.(1)n n,(1)6nAA=Q1Q2···Qm.(2)1s×nA,BsPnQA=PBQ.(2)111Qm···Q2Q1A=E.(3)AA(3)132An2,P1,P2,···,Pm Pm···P1A=E,(4)(4)AA1=Pm···P1=Pm···P1E.(5)(4),(5)A1.A,Bn×n(AE),2n×2n(4),(5)Pm···P1(AE)=(Pm···P1APm···P1E)=(EA1)n×2n (6),(6)E,0111211→001→0011121214000110014200104,000A1.A1.012322142114010→012101210001011400→0101101→1010010A100232211421.=32114010→02100011038021 010110632→421010421 0023212321 02110421,31231§7Em00En.()()En0Em(),P00En,P00EnACBD=PACPBD,EmP140EnAC()()()Em0EmPEm0 ,,.0P0EnPEn AB,CD0EnABCD =,Em0CDAB BAB=.DC+PAD+PB (3)P,C+PA=0AP=CA1C+PA=0 (3)ABDCA1B.(3)A011T= CDT.A01Em0CA1=A00E=A100D1T1=A10A10D1n.A,DCDDA0Em0CA001En=DCA1D1D.TAB21=CT1(ABD1C)1T11. ,DEmBD1ABBD1C010EnDCD=ACD,(ABDC)1C)1mBD11,T11=(ABD111D1E0=DC(ABD1C)(ABD1C)1BD1 1C(ABD1C)1D1C(ABD1C)1BD1+D1 En(ABD1C)1D.3EA0EAB|=|A||B|A00ABEB|=EB.(4)A,Bn×nPij=EnEij0E,i,j=n1,2,···,nEijn×nij·P0EAP11P12...P1n..n1 (i)pEnnnn0En=E.nAPijEP··PPA0A011P12·1n···n1···nnEB=EAAB0BE,0ABEBEn=|A||B|.(4)0En0E|AB|=|A||B|.=(1)BABB=(1)n|AB||E|=|A||B|.···a1k4 A=(aij)n×n,.a11....=0,1≤k≤n,ak1···akkBn×nBA=.nn=1150B=n1AB10(B1)(n1)×(n1)B1A1=A1βE0A1βA1β=,A=,11αannαA1αa0αAβ+annnn11 0A1βB1A1B1β=,1110αAβ+a0αAβ+annnn11B10E0B10A1=a11...an1,1······a1,n1...an1,n1,B=01αA11161=αA111,32-341(1)A,BnA2B2=(A+B)(AB).(2)A,Bn|AB|=|A||B|.(3)A,Bn|A+B|=|A| +|B|.(4)A,BnAB=BA,(A+B)1=A1B1.(5)aEnn|aEn|=|a||En|.(6)k),AA=0,kA=0.(7)AAA=0.(8)A,BnAB=0AB=0.2(1)Am×nBn×sAB(2)nAA|A|111(3)A=1124813927A 141664,(5)A,BnP,Q,PAQ=B,A(7)A=(1,0,2),B=54 ,AB=32λ+1,A=100(8)f(λ)=λ2 01211,f(A)=2.1234(10)A=1。

高等代数课件(北大版)第九章-欧式空间9.5

高等代数课件(北大版)第九章-欧式空间9.5
Vi Vj , i j
(i ,0) (i ,1 2 s ) (i ,i ) 0 由内积的正定性,可知 i 0, i 1,2, , s.
§9.5 子空间
二、子空间的正交补
1.定义:
如果欧氏空间V的子空间 V1,V2 满足 V1 V2 , 并且 V1 V2 V , 则称 V2 为 V1 的正交补.
但一般地,子空间W的余子空间未必是其正交补.
§9.5 子空间
3.内射影
设W是欧氏空间V的子空间,由 V W W ,
对 V , 有唯一的 1 W , 2 W , 使 1 2
称 1 为 在子空间W上的内射影.
§9.5 子空间
(1,1 ) 0 由此可得 1 0, 即有 V3
同理可证 V3 V2 , V2 V3 .
§9.5 子空间
V2 V3 . 唯一性得证.
注:① 子空间W的正交补记为 W . 即
W V W
② n 维欧氏空间V的子空间W满足: i) (W ) W ii) dimW dimW dimV n iii) W W V ⅳ) W的正交补 W 必是W的余子空间.
V1 V2 ( , ) 0 0.
③ 当 V1 且 V1 时,必有 0.
§9.5 子空间
2.两两正交的子空间的和必是直和.
证明:设子空间 V1,V2 , ,Vs 两两正交, 要证明 V1 V2 Vs , 只须证:
V1 V2 Vs 中零向量分解式唯一.
设 1 2 s 0, i Vi , i 1, 2, , s
2.n 维欧氏空间V的每个子空间 V1 都有唯一正交补.
证明:当 V1 {0} 时,V就是 V1 的唯一正交补. 当 V1 {0} 时,V1 也是有限维欧氏空间.
取 V1 的一组正交基 1, 2 , , m ,

高等代数§9.3 同构

高等代数§9.3 同构
( , ) (

1


1
( )), (
1
( ))

1
( ),
1
( )


1
为欧氏空间V'到V的同构映射.
§9.3 同构
③ 若 , 分别是欧氏空间V到V'、V'到V"的同构映射, 则 是欧氏空间V到V"的同构映射. 事实上,首先, 是线性空间V到V"的同构映射. 其次,对 , V , 有
( k ) k ( ),
, V ,
k R
3)
( ), ( )
( , ),
这样的映射 称为欧氏空间V到V'的同构映射.
§9.3 同构
二、同构的基本性质
1、若 是欧氏空间V到V'的同构映射,则 也是
线性空间V到V'同构映射. 2、如果 是有限维欧氏空间V到V'的同构映射, 则
( ), ( )
( ( )), ( ( )) ( ), ( )
( 4;的同构映射.
§9.3 同构
5、两个有限维欧氏空间V与V'同构
d im V d im V .
'
§9.3 同构
d im V d im V .
'
3、任一 n 维欧氏空间V必与 R n同构.
§9.3 同构
n 设V为2,1 , , n 维 欧氏空间, 标准正交基, 在这组基下,V中每个向量 可表成 为V的一组
证:
x 1 1 x 2 2 x n n ,

高等代数【北大版】课件

高等代数【北大版】课件

多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解, 可以更好地理解多项式的结构,简化计算 和证明。此外,多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种,如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵,从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况, 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况,通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解,常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集,它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合,它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底,则它的维数为n。同时,如果一个向量空间有有限 个基底,则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念,包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式,按照一定规则排列,具有一些重 要的性质,如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。

北京大学数学系《高等代数》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】第9章 欧式空间 【圣才出品】

北京大学数学系《高等代数》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】第9章 欧式空间 【圣才出品】

第9章欧式空间[视频讲解]9.1本章要点详解本章要点■欧式空间的定义■标准正交基■同构■正交变换■子空间■对称矩阵的标准型重难点导学一、定义与基本性质1.欧式空间的定义设V 是实数域R 上一线性空间,在V 上定义了一个二元实函数,记作(α,β),若(α,β)满足(1)(α,β)=(β,α);(2)(k α,β)=k (α,β);(3)(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ);(4)(α,α)≥0,当且仅当α=0时(α,α)=0.这里α,β,r 是V 中任意的向量,k 是任意实数,则称(α,β)为α和β的内积,并称线性空间V 为欧几里得空间.2.内积的简单性质V 为欧氏空间,∀α,β,γ,∀k ∈R ,则(1)(,)(,)k k =αβαβ;(2)(,)(,)(,)+=+αβγαβαγ;(3)(0,)=0β.2.欧氏空间中向量的长度(1)向量长度的定义非负实数称为向量α的长度,记为|α|.(2)关于长度的性质①零向量的长度是零;②|kα|=|k||α|;③长度为1的向量称为单位向量.如果α≠0,向量1αα就是一个单位向量,称此过程为把α单位化.3.欧氏空间中向量的夹角(1)柯西-布涅柯夫斯基不等式,即对于任意的向量α,β有|(α,β)|≤|α||β|当且仅当α,β线性相关时,等号才成立.(2)非零向量α,β的夹角<α,β>定义为(3)如果向量α,β的内积为零,即(α,β)=0,则称α,β为正交或互相垂直,记为α⊥β.注:零向量才与自己正交.(4)勾股定理:当α,β正交时,|α+β|2=|α|2+|β|2.4.有限维空间的讨论(1)度量矩阵设V是一个n维欧几里得空间,在V中取一组基ε1,ε2,…,εn,对V中任意两个向量α=x1ε1+x2ε2+…+x nεn,β=y1ε1+y2ε2+…+y nεn,由内积的性质得a ij=(εi,εj)(i,j=1,2,…,n)有a ij=a ji,则(α,β)还可写成(α,β)=X'AY,其中分别是α,β的坐标,而矩阵A=(a ij)nn称为基ε1,ε2,…,εn的度量矩阵.(2)性质①设η1,η2,…,ηn是空间V的另外一组基,而由ε1,ε2,…,εn到η1,η2,…,ηn的过渡矩阵为C,即(η1,η2,…,ηn)=(ε1,ε2,…,εn)C,于是基η1,η2,…,ηn的度量矩阵B=(b ij)=(ηi,ηj)=C'AC,则不同基的度量矩阵是合同的.②对于非零向量α,即有(α,α)=X'AX>0.因此,度量矩阵是正定的.二、标准正交基1.正交向量组欧式空间V中一组非零的向量,如果它们两两正交,称为正交向量组.按定义,由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.2.标准正交基(1)定义在n维欧氏空间中,由n个向量组成的正交向量组称为正交基;由单位向量组成的正交基称为标准正交基.注:①对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基.②一组基为标准正交基的充分必要条件是:它的度量矩阵为单位矩阵.(2)标准正交基的求法①n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.②对于n维欧氏空间中任意一组基ε1,ε2,…,εn,存在一组标准正交基η1,η2,…,η,使L(ε1,ε2,…,εi)=L(η1,η2,…,ηi),i=1,2,…,n.n把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法称为施密特正交化过程.3.标准正交基间的基变换设ε1,ε2,…,εn与η1,η2,…,ηn是欧氏空间V中的两组标准正交基,它们之间的过渡矩阵是A=(a ij),即因为η1,η2,…,ηn是标准正交基,所以矩阵A的各列就是η1,η2,…,ηn在标准正交基ε1,ε2,…,εn下的坐标.4.正交矩阵n级实数矩阵A称为正交矩阵,如果A'A=E.由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;反过来,如果第一组基是标准正交基,同时过渡矩阵是正交矩阵,则第二组基一定也是标准正交基.三、同构。

高等代数课件 第九章

高等代数课件 第九章

这相当于用 T1 j (
a1 j a11
) 右乘A,用
T j1 (
a1 j a11
) T1 j (
a1 j a11
)
左乘A。这样,总可以选取初等矩阵 E1 , E2 ,, E s , 使得
a11 0 0 0 E 2 E1 AE1 E 2 E s Es A1 0
(3)
x1 x2 q( x1 , x2 , , xn ) ( x1 , x2 , , xn ) A x n
二次型(3)的秩指的就是矩阵A的秩。
9.1.2 线性变换
如果对二次型(3)的变量施行如下的一个变换: (4) xi pi j y j , i 1,2, , n, pij F (1 i , j n)
3 0 A1 6 0 0 6 0 0 0 3 , 0 12 4 3 4 0 0 1 P1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
把 A1 的第一列乘以2加到第三列,第一行乘以 2加到第三行,同时把 P1 的第一列乘以2加到第三 列。分别得到:
定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分 条件是它们的矩阵合同。 等价的二次型具有相同的秩。 定理9.1.4 令A (aij ) 是数域F上的一个n阶对称矩 阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P,使得
c1 AP P 0 c2 0 cn
这里 A1 是一个n – 1阶的对称矩阵。
由归纳法假设,存在n – 1阶可逆矩阵 Q1 使得
c2 A1Q1 Q1 0 c3 0 cn

高等代数--第九章 欧几里得空间

高等代数--第九章 欧几里得空间

在欧几里得空间中同样有勾股定理,即当 , 正交时, 2 2 2
| | | | | | .
不难把勾股定理推广到多个向量的情形,即如 果向量1 , 2 ,, m两两正交,那么
| 1 2 m |2 | 1 |2 | 2 |2 | m |2 .
定义1 设V是实数域R上一线性空间,在V上定 义了一个二元实函数,称为内积,记作 , ( , ) 它具有以下性质: 1)( , ) ( , ); 2)(k , ) k ( , ); 3)( , ) ( , ) ( , ); 4)( , ) 0,当且仅当 0时( , ) 0.
( i , j ) xi y j .
i 1 j 1
n
n
令 aij ( i , j ) 显然 aij a ji .
(i, j 1,2,, n),
(8)
于是
( , ) aij xi y j .
i 1 j 1
n
n
( , ) 还可以写成 利用矩阵,
定义2 非负实数 ( , ) 称为向量 的长度,记 为| | 。 显然,向量的长度一般是正数,只有零向量 的长度才是零。且 | k || k || |, (3)
k R, V . 事实上, 这里,
| k | (k , k ) k 2 ( , ) | k || | .
这里 , , 是V中任意的向量,k是任意实数,这 样的线性空间V称为欧几里得空间。
几何空间中向量的内积显然适合定义中列举
的性质,所以几何空间中向量的全体构成一 个欧几里得空间。
例1 在线性空间Rn中,对于向量 (a1 , a2 ,, an ), (b1 , b2 ,, bn ), 定义内积 ( , ) a1b1 a2b2 anbn . (1) 显然,内积(1)适合定义中的条件,这样,Rn就 成为一个欧几里得空间。以后仍用Rn来表示这 个 欧几里得空间。 在n=3时,(1)式就是几何空间中向量的内积 在直角坐标系中的坐标表达式。
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§9.3 同构
数学与计算科学学院
4、同构作为欧氏空间之间的关系具有: ①反身性;②对称性;③传递性. ① 单位变换 I V 是欧氏空间V到自身的同构映射. ② 若欧氏空间V到V'的同构映射是 ,则 欧氏空间V'到V的同构映射. 事实上, 首先是线性空间的同构映射. 其次,对 , V ' , 有
'
§9.3 同构
数学与计算科学学院
( , ) (

1


1
( )), (
1
( ))

1
( ),
1
( )


1
为欧氏空间V'到V的同构映射.
数学与计算科学学院
§9.3 同构
③ 若 , 分别是欧氏空间V到V'、V'到V"的同构映射, 则 是欧氏空间V到V"的同构映射. 事实上,首先, 是线性空间V到V"的同构映射. 其次,对 , V , 有
§9.3 同构
数学与计算科学学院
证: 设V为 n 维欧氏空间, 1 , 2 , , n 为V的一组
标准正交基, 在这组基下,V中每个向量 可表成
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x 1 1 x 2 2 x n n ,
xi R
作对应 : V R n , ( ) ( x 1 , x 2 , , x n ) 易证 是V到 R n 的 1 1 对应. 且 满足同构定义中条件1)、2)、3), 故 为由V到 R n 的同构映射,从而V与 R n 同构.
( ), ( )
( ( )), ( ( )) ( ), ( )
( , )

为欧氏空间V到V"的同构映射.
数学与计算科学学院
§9.3 同构
5、两个有限维欧氏空间V与V'同构
d im V d im V .
一、欧氏空间的同构
定义: 实数域R上欧氏空间V与V'称为同构的,
如果由V到V'有一个1-1对应 ,适合
1) 2)
( ) ( ) ( ),
( k ) k ( ),
, V ,
k R
3)
( ), ( )
( , ),
这样的映射 称为欧氏空间V到V'的同构映射.
§9.3 同构
数学与计算科学学院
二、同构的基本性质
1、若 是欧氏空间V到V'的同构映射,则 也是
线性空间V到V'同构映射. 2、如果 是有限维欧氏空间V到V'的同构映射, 则
d im V d im V .
'
3、任一 n 维欧氏空间V必与 R n同构.
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形
§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
2012-9-22
数学与计算科学学院
§9.3 同构
一、欧氏空间的同构 二、同构的基本性质
§9.3 同构
数学与计算科学学院
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