常微分方程课后习题部分答案

18. 设),(y x f 及连续,试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x 的积分因子.

证:必要性 若该方程为线性方程,则有)()(x Q y x P dx dy

+= ,

此方程有积分因子⎰=-dx x P e x )()(μ,)(x μ只与x 有关 .

充分性 若该方程有只与x 有关的积分因子)(x μ .

则0),()()(=-dx y x f x dy x μμ为恰当方程 , 从而dx x d y y x f x )())

,()((μμ=∂-∂ ,)()

(x x y f μμ'-=∂∂ ,

)()()()()

()()()

(x Q y x P x Q y x x x Q dy x x f +=+'-=+'-=⎰μμμμ . 其中)()

()(x x x P μμ'-= .于是方程可化为0))()((=+-dx x Q y x P dy

即方程为一阶线性方程.

20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)≠g(u),\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])1-

证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u 得：

uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0 则y uyf

∂∂=uf+uy y f

∂∂+yf y u

∂∂=)(g f xy f

-+)(g f xy y f y -∂∂-yf 222)()(g f y x y

g

xy

y f xy g f x -∂∂+∂∂+- =2)(g f xy y f gy y g yf -∂∂-∂∂=2)(g f x y xy

xy f g y xy xy g f -∂∂

∂∂-∂∂∂∂ =2)(g f xy

f

g xy g

f -∂∂-∂∂ 而x ux

g ∂∂=ug+ux x g ∂∂+xg x u ∂∂=)(g f xy g -+)(g f xy x g x -∂∂- xg 222)()(g f y x x

g

xy

x f xy g f y -∂∂-∂∂+-

=2)

(g f xy x xy xy f xg x xy xy g xf

-∂∂∂∂-∂∂∂∂=2)(g f xy f g xy g f -∂∂-∂∂ 故y uyf ∂∂=x

uxg ∂∂，所以u 是方程得一个积分因子 21．假设方程（2.43）中得函数M （x,y ）N(x,y)满足关系x

N y M ∂∂-∂∂= Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x 和y 得连续函数，试证方程（2.43）

有积分因子u=exp(⎰dx x f )(+⎰dy y g )()

证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 即证x uN y uM ∂∂=∂∂)()(⇔u y M ∂∂+M y u ∂∂=u x N ∂∂+N x

u ∂∂⇔ u(y M ∂∂-x N ∂∂)=N x

u ∂∂- M y u ∂∂⇔u(y M ∂∂-x N ∂∂)=Ne ⎰⎰+dy y g dx x f )()(f(x) -M e ⎰⎰+dy y g dx x f )()(g(y)⇔u(

y M ∂∂-x N ∂∂)=e ⎰⎰+dy y g dx x f )()((Nf(x)-Mg(y)) 由已知条件上式恒成立，故原命题得证。

22、求出伯努利方程的积分因子. 解：已知伯努利方程为：()();,o y y x Q y x P dx

dy n ≠+= 两边同乘以n y -，令n y z -=，

()()()(),11x Q n z x P n dx

dz -+-=线性方程有积分因子： ()()()()dx x P n dx x P n e e ⎰

=⎰=---11μ，故原方程的积分因子为： ()()()()dx x P n dx x P n e e ⎰

=⎰=---11μ，证毕！ 23、设()y x ,μ是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 的积分因子，从而求得可微函数()y x U ,，

使得().Ndy Mdx dU +=μ试证()y x ,~μ

也是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 的积分因子的充要条件是()(),,~U y x μϕμ

=其中()t ϕ是t 的可微函数。 证明：若()u μϕμ=~，则()()()()()()()()()N u M u y

M y u M u y M y M u y M μϕμϕμμϕμϕμμϕμ'+∂∂=∂∂'+∂∂=∂∂=∂∂~

又()()()()()()()()()()y

M M u N u y M M u N u x N x N u x N ∂∂='+∂∂='+∂∂=∂∂=∂∂μμϕμϕμμϕμϕμμϕμ~~ 即μ

~为()()0,,=+dy y x N dx y x M 的一个积分因子。 24、设()()y x y x ,,,21μμ是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 的两个积分因子，且≠21μμ常数，求证c =21μμ（任意常数）是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 的通解。 证明：因为21,μμ是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 的积分因子

所以o Ndy Mdx i i =+μμ ()2,1=i 为恰当方程

即 ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂x N y M y M x N i i

i μμμ，2,1=i 下面只需证2

1

μμ的全微分沿方程恒为零

事实上：

2121221222112222

2

212122

2

2211

1

221=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛x N y M x N y M N dx y M x N y M x N N dx dx y N M dx x dx y N M dx x dy y dx x dy y dx x d μμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμ 即当c ≠21

μμ时，c =2

1μμ是方程的解。证毕！