基于模糊集合论的信息融合技术ppt课件
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基于模糊集合的证据理论信息融合方法
２００８，４４（２０）ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用１引言多传感器信息融合技术是对来自不同传感器（信息源）的数据信息进行分析与综合，以产生对被测对象的统一的最佳估计，因而可以使信息在准确性、可靠性及完备性等方面较其中任一单个传感器有明显提高。
由于传感器所提供的信息都具有一定程度的不确定性，因此信息融合过程实质上是一个非确定性推理与决策的过程［１，２］。
由于Ｄ－Ｓ证据理论能很好地表示“不确定性”及“无知”等认知学上的重要概念，且推理形式简单，因而在信息融合方面起着重要的作用。
证据理论又称Ｄｅｍｐｓｔｅｒ－Ｓｈａｆｅｒ证据理论或信任函数理论，是由Ｄｅｍｐｓｔｅｒ于１９６７年提出的，Ｓｈａｆｅｒ于１９７６年对此做了系统发展。
经过几十年的发展，该理论得到了国际学术界的广泛承认。
证据理论的主要特点就是可以通过证据的积累逐步缩小假设集，证据理论的一个基本策略是将证据集合划分成两个或多个不相关的部分，并利用它们分别对辨识框架独立进行判断，然后用Ｄ－Ｓ组合规划将它们组合起来。
基于证据理论的信息融合方法是以ｍａｓｓ函数为基础，而ｍａｓｓ函数表示人们对目标可信程度的一种推理，不同的思想会构成不同的ｍａｓｓ函数。
文献［３］采用最小确定原则进行确定ｍａｓｓ函数；文献［４］利用目标速度和加速度获得ｍａｓｓ函数；文献［５］根据目标类型和环境加权系数确定ｍａｓｓ函数。
以上获得的ｍａｓｓ函数都可以取得很好的融合结果，但每一种方法都是限定在一个具体的应用中。
本文提出了一种利用模糊集合确定概率分配函数（ｍａｓｓ函数）进行信息融合的方法．首先根据实际情况构造出模糊集合，计算出每个传感器所得数据的隶属度，然后把隶属度转化成ｍａｓｓ函数，最后利用Ｄ－Ｓ合成规则对多传感器的信息进行融合。
本文所提出的利用模糊集合可以方便的构造出ｍａｓｓ函数，并可以取得良好的融合效果。
汽车轮胎的压力安全预警实验表明了该方法的有效性。
第3章_模糊集合的度量_PPT
3.1.1 模糊集合之间的距离
• 度量模糊集合的关系密切程度可以用两者之间的距 离来描述, 即距离越大, 关系越稀疏; 而距离越小, 关 系越密切。 • 若X={x1, x2, …, xn}, A∈F(X)。则: • A= (A(x1), A(x2), …, A(xn)) • 这时(A(x1), A(x2), …, A(xn))可解释为n维欧氏空间中 的点, 因此可仿照欧氏空间中距离来定义模糊集之间 的距离。 • 当X=[a, b]时A(x)可解释为[a, b]上的有界函数, 从而 可使借鉴函数空间中距离的概念。
1 ⎛ d M ′ ( A, B ) = ⎜ ⎝n
∑
n
i =1
⎞ | A ( xi ) − B ( xi ) | ⎟( A, B) = ⎜ | A( x) − B( x) | dx ⎟ ∫ ⎝b−a a ⎠
1 p
• 定义3.1.2(加权距离) 设w:X→[0, 1]满足归一条件, 即 当 X={x1, x2, …, xn} 或 X=[a, b] 时 , ∑i=1nw(xi) =1 或 ∫abw(x)dx=1. 则称如下定义的dMw(A, B)为模糊集A, B 之间的加权闵可夫斯基距离:
⎛ n p ⎞ d M w ( A , B ) = ⎜ ∑ w ( xi ) | A ( xi ) − B ( xi ) | ⎟ ⎝ i =1 ⎠
dMw ( A, B) =
1 p
(∫
b
a
w( x) | A( x) − B( x) | p dx
)
1 p
• 假设在无限论域X中有两个模糊集合A, B, 并且它们 的隶属函数都是连续的, 则绝对海明距离的几何意义 是两隶属函数间的面积:
• 定义3.1.1 设X={x1, x2, …, xn}或X=[a, b], A, B∈F(X), p为正实数。则称如下定义的dM(A, B)为A, B之间的 闵可夫斯基 (Minkowski) 距离:
模糊模式识别PPT课件
2）序偶表示法： ~A {(1, a), (0.9, b), (0.5, c), (0.2, d)}
3）向量表示法： ~A (1, 0.9, 0.5, 0.2)
4）其他方法，如： ~A 1 a, 0.9 b, 0.5 c, 0.2 d
注：当某一元素的隶属函数为0时，这一项可以不计入。
第17页/共113页
例 3.2：以年龄作为论域，取 X=[0,200]，Zadeh 给出了“年老” 与“年轻”两个模糊集 O~ 和Y~ 的隶属函数如下：
0 ,
0 x 50
①
ox
~
1
(x
50 5
)
2
1
,
50 x 200
1,
0 x 25
Y ~
x
1
(
x
25)2 5
1
,
25 x 200
② X是一个连续的实数区间，模糊集合表示为
用精确数学方法判断“秃头”： 方法：首先给出一个精确的定义，然后推理，最后结论。
定义：头发根数≤n时，判决为秃头；否则判决为不秃。 即头发根数n为判断秃与不秃的界限标准。
问题：当头发根数恰好为n+1，应判决为秃还是不秃？
第2页/共113页
推理：两种选择 (1) 承认精确方法：判定为不秃。
均表现出精确方法在这个 问题上与常理对立的情况
当 x 为多变量，即 x {x1, x2 , , xn}时，隶属函数通常定义为
A x A(1) x1 A(2) x2 A(n) xn
~
~
~
~
其中， A(1) ， A(2) ，…， A(n) ：对应于各变量的模糊子集；
~~
~
A(i) xi ：相应的单变量隶属函数。
《模糊计算及其应用》课件
THANKS
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03
模糊推理与模糊控制系统
模糊推理的基本概念
01
模糊集合
模糊集合是传统集合的扩展，它 允许元素具有不明确的边界和隶 属度。
模糊逻辑
02
03
模糊推理规则
模糊逻辑是传统逻辑的扩展，它 使用模糊集合和模糊隶属度函数 来处理不确定性和模糊性。
模糊推理规则是传统推理规则的 扩展，它使用模糊集合和模糊逻 辑来处理不确定性和模糊性。
智能控制
利用模糊逻辑的推理规则，实现智能控制系统的优化和自动 化。
智能机器人
通过模糊逻辑的决策和推理，提高机器人的感知、决策和行 动能力。
模糊计算的研究热点与发展趋势
模糊逻辑的优化算法
研究更高效和精确的模糊逻辑算法，提高模糊计算的性能和精度。
模糊计算在物联网中的应用
将模糊计算应用于物联网设备的智能管理和控制，实现更高效和智能的物联网应用。
详细描述
模糊计算的发展历程可以分为几个阶段。在模糊集合 论阶段，模糊集合和隶属度函数的概念被提出，为模 糊计算奠定了基础。在模糊逻辑阶段，模糊逻辑的原 理和方法被应用于计算机科学和人工智能领域，产生 了模糊逻辑控制器和模糊专家系统等应用。在模糊推 理阶段，模糊推理的方法和原理得到了进一步发展和 应用，形成了模糊控制系统和智能控制等应用领域。
1 2 3
模糊逻辑
模糊逻辑是一种扩展的逻辑系统，它使用模糊集 合和隶属函数来处理不确定性和模糊性。
模糊逻辑们在模糊推理和控制系统中有重要应 用。
模糊推理
模糊推理是模糊逻辑的核心，它基于模糊条件语 句进行推理，能够处理不确定性和模糊性。
模糊集合与模糊逻辑的应用实例
05
模糊计算的前沿技术与发 展趋势
基于模糊集合论的信息融合技术(2)
3
4.2 基于扩张原则的多传感器测量信息融合
2 融合函数与顺序加权平均算子
满足上述三个条件的融合函数F有很多，例如：
（1）均值函数：
F ( x1 , x2 , , xn ) xi / n
i 1 n
（2）中值函数： F ( x1, x2 , , xn ) med ( x1, x2 , , xn ) （3） 最大值函数： F ( x1, x2 , , xn ) max( x1, x2 , , xn ) （4）最小值函数： F ( x1, x2 , , xn ) min( x1, x2 , , xn )
F ( y) {x | x X , F ( x) y}
A ( x) B F ( x) xX
2
1
为了方便，把（1）式 表示为
4.2 基于扩张原则的多传感器测量信息融合
2 融合函数与顺序加权平均算子
一般地，融合函数F应满足以下三个条件： （1） 可交换性。 （2） 单调性。 （3） 幂等性。
(1)若w1 1, wi 0(i 2,3, , n), 则F * (a1 , a2 , , an ) max ai ;
i
(2)若wn 1, wi 0(i 1, 2, , n 1), 则F* (a1 , a2 , , an ) min ai ;
i 1 n
(3) F (a1 , a2 , , an )
i 1
n
顺序加权平均算子满足 可交换性、单调性和 bi wi , 其中，bi是a1 , a2 , , a幂等性。 n中的
第i大元素。
5
4.2 基于扩张原则的多传感器测量信息融合
2 融合函数与顺序加权平均算子
基于模糊集合论的信息融合技术ppt课件
(xA) (xA)
则 A 可以分解为
A U A [0,1]
16
4.1 模糊集合论基础
（5）模糊集合与普通集合的相互转化
定义（扩张原则）
设 f :,UA 是论V域U上任一的普通集合，
Bf 的扩f(张A)给 为°定f V论°域f :U°A上 任一f (模°A糊) 子集 ，
°A
Q o R ，即： Q o R (x ,z ) m y a V x { m in [Q ( x ,y ) ,R (y ,z ) ] }
称 Q o R 为Q与R的合成。也称为max-min复合. 还有一种max乘积合成。
21
4.1 模糊集合论基础
例：上式中 X {1,2,3}, Y{,,,}, Z {a,b} , R
特点：具有精确的边界，强调精确性。
模糊集合理论：用“隶属度”来表示的；强 调“亦此亦彼”的关系。
特点：具有模糊、平滑的边界，强调模糊性。
经典集合对温度的定义
模糊集合对温度的定义
集合是现代数学的基础概念；模糊集合是集合的发展，是模糊数学的基础
5
4.1 模糊集合论基础
（1）模糊集合
模糊集合：如果X是对象x的集合，则将X的模 糊集合A定义为有序对的集合，即
模糊关系Байду номын сангаас示两个以上集合元素之间关联、交互或互联 存在或不存在的程度。
令X和Y是两个论域，则模糊关系R(X,Y)是X ×Y空间中 的模糊集合，可表示为
R ( X , Y ) { ( ( x ,y ) ,R ( x ,y ) ) |( x ,y ) X Y }
式中： ×为直接积算符。该式称作X ×Y的二元模糊关系， 实际上R (就x,是y)一个二维的隶属函数。
模糊集理论及其应用第六章PPT课件
根据加权相对偏差距离公式(6.1.7)可得
13
d 1
d1 (v1, v 0 )
1 a
m
( a i i1 ) 2 1 .9 3 7
i1
d 2
d 2 (v2,v0)
1 a
m
(a i i2 ) 2 2 .7 0 9
i1
d 3
d3(v3,v0 )
1 a
m
(a i i3 ) 2 1 .0 5 4
B=A•R=(b1, b2, b3, b4)=(0.64, 0.53, 0.86, 0.42) 由于b3=max{b1, b2, b3, b4}，故由最大隶属度原则知所对应的方 案3为最优方案。这与应用加权相对偏差距离最小法的决策结果一 致。
16
6.1.2 定性指标模糊决策法 当式(6.1.2)中各因素指标值为定性指标时，模糊评价
8 189 .7
9
190 .1
980
1062
1500
2871
10
经专家评定，各因素指标的重要程度模糊集为 A=(0.57, 1, 0.54, 0.41, 0.82, 0.97, 0.58, 0.44, 0.36, 0.1)
试对各投资方案进行模糊决策。 解 因所给的因素指标是定量指标，我们分别采用加
由式(6.2.5)可知，虽然权重向量w事先并不知道，权重 向量矩阵M也不知道，但是我们可以通过两元素重要程度 的相对比较，作出他们权重比的估计值bij，从而得到权重 比矩阵M的一个估计矩阵B，称之为判断矩阵，其构造方 式如下：
1) 确定两两元素相比的判断值f(Bi/Bj) 设B={B1, B2, …, Bn}，在B中任意选取一对元素Bi和Bj ， 对Bi和Bj的重要程度进行比较，设f(Bi/Bj)表示Bi相对于Bj 的 “重要程度”的判断值，其确定方法可以参考书本表6.，见图6.1.2。 此类划分的因素指标评定值的确定方法类似于上述的说明。 (2) 九级划分法 U=(最好，很好，好，较好，中，差，很差，最差)，见图6.1.3 当因素指标为“最好”时，评定值为0.95；当因素指标为“很 好”时，评定值为0.85；当因素指标为“好”时，评定值为0.75； 当因素指标为“较好”时，评定值为0.65；当因素指标为“中”时， 评定值为0.55；当因素指标为“较差”时，评定值为0.45；当因素 指标为“差”时，评定值为0.35；当因素指标为“很差”时，评定 值为0.25；当因素指标为“最差”时，评定值为0.1；当因素指标介 于两个等级之间时，评定值取这两个等级评定值之间的值。
模糊数学1-集合运算PPT课件
15
Definitions: Type-2 Fuzzy Sets (figure from Klir&Yuan)
16
2. Fuzzy Number
A fuzzy number A must possess the following three
properties:
1. A must must be a normal fuzzy set,
Definition: A rough set, R(A), is a given representation of
a classical (crisp) set A by two subsets of X/R, R(A) and R( A) that approach A as closely as possible from the inside and outside (respectively) and
0
for
x 3, x 5
A
(x)
x
3
for
3 x 4
5
x
for
4 x5
0 for x 12 , x 32
B (x)
( x 12
) /8
for 12 x 20
(
32
x ) / 12
for 2 0 x 32
A ( ) [ 3 , 5 ]
B ( ) [ 8 12 , 32 12 ]
professor Zadeh). What the extension principle says is that
f(A) =f(A( )). The formal definition is:
[f(A)](y)=supx|y=f(x){A(x)}
Definitions: Type-2 Fuzzy Sets (figure from Klir&Yuan)
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2. Fuzzy Number
A fuzzy number A must possess the following three
properties:
1. A must must be a normal fuzzy set,
Definition: A rough set, R(A), is a given representation of
a classical (crisp) set A by two subsets of X/R, R(A) and R( A) that approach A as closely as possible from the inside and outside (respectively) and
0
for
x 3, x 5
A
(x)
x
3
for
3 x 4
5
x
for
4 x5
0 for x 12 , x 32
B (x)
( x 12
) /8
for 12 x 20
(
32
x ) / 12
for 2 0 x 32
A ( ) [ 3 , 5 ]
B ( ) [ 8 12 , 32 12 ]
professor Zadeh). What the extension principle says is that
f(A) =f(A( )). The formal definition is:
[f(A)](y)=supx|y=f(x){A(x)}
信息融合ppt课件ppt课件
复合方式的确定应根据目标空间分布、 光谱反射特性及时相规律方面的特征选 择不同的遥感图像信息
精选课件
6
不同传感器的遥感数据复合
例1 TM和SPOT影像数据融合
例如TM影像有7个波段，光谱信息丰富，特 别是5和7波段。SPOT数据就没有，但SPOT 数据分辨率高，全色波段可达10m，比TM的 30m和SPOT多光谱传感器的 20m都高，两 者复合既可以提高新图像的空间分辨率又可 以保持较丰富的光谱信息。
13
不同时相的气象卫星数据与NOAA数据融合
精选课件
14
数据融合前处理：图像几何校正与配准
信息融合的必要条件是：使两幅（多）图像所对 应的地物吻合，分辨率一致，地理坐标统一，即 影像空间配准。
影像配准是数据融合处理中的关键步骤，其几何配 准精度直接影响融合影像的质量。
方法是采用几何校正，分别在不同数据源的影像上 选取控制点，用双线性内插或三次卷积内插运算等 对分辨率较小的图像进行重采样，改正其误差，
精选课件
35
（五）遥感与非遥感信息的复合
✓ 遥感数据是以栅格格式记录的，而地面采集的地理数据常 呈现出多等级，多量纲的特点，数据格式也多样化。
✓ 为了使各种地理数据能与遥感数据兼容，首先需要将获取 的非遥感数据按照一定的地理网格系统重新量化和编码， 以完成各种地理数据的定量和定位，产生出新的数据格式。 甚至可以将其制作成与遥感数据类似的若干独立的波段， 以便和遥感数据复合。
第八章遥感图象处理：信息复合
信息复合的概念和简介 信息复合的应用举例
-不同传感器的遥感信息复合 -不同时相的遥感数据复合 遥感数据复合前处理—几何纠正和空间配准 常用的数据复合方法 遥感信息与非遥感信息的复合
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6
不同传感器的遥感数据复合
例1 TM和SPOT影像数据融合
例如TM影像有7个波段，光谱信息丰富，特 别是5和7波段。SPOT数据就没有，但SPOT 数据分辨率高，全色波段可达10m，比TM的 30m和SPOT多光谱传感器的 20m都高，两 者复合既可以提高新图像的空间分辨率又可 以保持较丰富的光谱信息。
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不同时相的气象卫星数据与NOAA数据融合
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14
数据融合前处理：图像几何校正与配准
信息融合的必要条件是：使两幅（多）图像所对 应的地物吻合，分辨率一致，地理坐标统一，即 影像空间配准。
影像配准是数据融合处理中的关键步骤，其几何配 准精度直接影响融合影像的质量。
方法是采用几何校正，分别在不同数据源的影像上 选取控制点，用双线性内插或三次卷积内插运算等 对分辨率较小的图像进行重采样，改正其误差，
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35
（五）遥感与非遥感信息的复合
✓ 遥感数据是以栅格格式记录的，而地面采集的地理数据常 呈现出多等级，多量纲的特点，数据格式也多样化。
✓ 为了使各种地理数据能与遥感数据兼容，首先需要将获取 的非遥感数据按照一定的地理网格系统重新量化和编码， 以完成各种地理数据的定量和定位，产生出新的数据格式。 甚至可以将其制作成与遥感数据类似的若干独立的波段， 以便和遥感数据复合。
第八章遥感图象处理：信息复合
信息复合的概念和简介 信息复合的应用举例
-不同传感器的遥感信息复合 -不同时相的遥感数据复合 遥感数据复合前处理—几何纠正和空间配准 常用的数据复合方法 遥感信息与非遥感信息的复合
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模糊聚类PPT课件
若关系矩阵R中的元素为区间[0,1]的数的矩阵称 为模糊矩阵，模糊关系与模糊矩阵是一一对应的。
0.20.810.80.2 2 345 6
向量法： A ( 0 ,0 .2 ,0 .8 ,1 ,0 .8 ,0 .2 )
序偶法： A { 2 , 0 . 2 ( ) 3 , 0 . ( 8 ) 4 , 1 ) ( 5 , 0 . ( 8 ) 6 , 0 . ( 2 )}
16
3. 模糊集合的运算 两个集合之间的运算是它们的隶属函数之间的运算
15
例3 设 U { 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 } ， A : “ 4 ” ,A 靠 F ( U )近
U中各数 A的属 程 A(于 ui度 )可由下表给
ui
123456
A(ui )
0 0.2 0.8 1 0.8 0.2
Zadeh法：A 00 .20 .810 .80 .2 12 345 6
A (u) [1(u 5 05)0 2]1
0u50 5 0u100
B(u) [1(u 1 52)5 2]1
0u25 2 5u100
B(u) 1
A(u)
0 25 50
100 U
14
2. 模糊集合的表示方法
U为有限集或可数集
① Zadeh法：
A nA (u i)A (u 1 ) A (u 2) A (u n )
6
4、 模糊数学的应用 1976年英国学者Gains和Kohout搜集整理模糊
数学及应用方面的论文统计表
7
二、模糊数学基础
1、模糊集合的定义 普通集合只能表示清晰概念 u U ,A U u A 或 u A
子集A由映射CA : U 0,1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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f ( °A为) 的°A映射，是论域V上的一个模糊子集，其隶属度为 f(° A)(y)m f(xa) xy{° A(x)}
由扩张原则可知，如果 为f 单值映射，则 与 °A 对f应( 元°A )
素的隶属度保持不变，否则，像的隶属度取原像的隶属度的最大值。
17
4.1 模糊集合论基础
（6）模糊关系
A{(x,A (x)|x X)}
其中：X称为论域， A ( x ) 称为模糊集A的隶属函
数。
A(Ax()x) 0,1,表 表示 示完 完全 全不 属属 于于 AA 0A(x)1, 表示部分属于A
隶属函数具有主观性，来源于个人感受和表达抽 象概念上的差异，与随机性无关。
基于模糊集合论的信息融合技术
万江文
1
主要内容
1 模糊集合论基础 2 基于扩张原则的多传感器信息融合 3 基于模糊逻辑的多传感器信息融合 4 基于模糊积分的多分类器信息融合 5 基于可能性理论的信息融合
2
4.1 模糊集合论基础
1. 模糊数学基础
用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为： 1.确定性现象：如水加温到100摄氏度就沸腾，这种现象的规 律性靠经典数学去刻画；
此外，若 A 为模糊数，则 A [，a即,b模]糊数的截集
为实数轴的一个闭区间。
15
4.1 模糊集合论基础
（5）模糊集合与普通集合的相互转化
定理1（分解定理）:
设 A 为论域U上的一个模糊子集， 为A A 的 截集 ， 模糊子集 A为 与 的“A 乘积”, 其隶属函数定义为
A (x)0
（3）向量表示法：
A {A(x1), A(x2 ),..., A(xn )}
7
4.1 模糊集合论基础
(二)当论域 X 为连续集时:
Zadeh表示法：
A A(x)
xx
式中：Σ 和 ∫ 表示论域U中各个元素u与隶属度μA(x)的对 应关系，并不是求和与积分。
例 设论域为年龄X=[0，200]，Zadeh给出了“年青”A
定义1：设 A 为论域U上的模糊子集，对任意 ，[0,的1] A 隶属度达到或超过 的元素的集合（普通集合）为
A { x|x U ,A (x) }
称 为A 的 截A 集。
可以证明，截集满足 ( A U B) A U B
( A I B) A I B
A A (0 1)
这个模糊集表示如下：
A
1
[1 ( x 25)2 ]1 5
x 0 x25
25 x200
x
8
4.1 模糊集合论基础
（3）模糊集合的运算
两个模糊集合间的运算，实际上是逐点对隶属度作相应 的运算。设A，B，C和 A 都为论域X上的模糊子集。
①相等：A B A (x )B (x ) ②包含：A B A (x )B (x )
2.随机现象：如掷骰子，观看那一面向上，这种现象的规律性 靠概率统计去刻画;
3.模糊现象：如“今天天气很热”，“小伙子很帅”，…等等， 这种现象的规律性靠模糊数学去刻画。
3
4.1 模糊集合论基础
风的强弱
模糊现象普遍存在
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
4
4.1 模糊集合论基础
经典集合理论：一个元素和某一集合之间 的关系是“属于”或“不属于”；强调 “非此即彼”的关系。
6
4.1 模糊集合论基础
（2）模糊集合的表达方式
(一)当论域X为有限（可数）集 合{x1,x2,…,xn}时:
（1）Zadeh表示法：
A A (x1) A(x2 ) … A(xn ) n A(xi )
x1
x2
xn
x i 1
i
（2）序偶表示法：
A {(x1, A(x1)),(x2, A(x2 )),..., (xn , A(xn ))}
12
4.1 模糊集合论基础
（4）隶属函数的参数化
一维隶属函数：
高斯型钟形13来自4.1 模糊集合论基础
钟形隶属函数参数改变对其形状的影响：
bell(x,a,b,c) 1
1 xc 2b
a
调节c和a，可以改变隶属函数的中心 和宽度；用b控制隶属函数交叉点上的 斜率。
14
4.1 模糊集合论基础
（5）模糊集合与普通集合的相互转化
特点：具有精确的边界，强调精确性。
模糊集合理论：用“隶属度”来表示的；强 调“亦此亦彼”的关系。
特点：具有模糊、平滑的边界，强调模糊性。
经典集合对温度的定义
模糊集合对温度的定义
集合是现代数学的基础概念；模糊集合是集合的发展，是模糊数学的基础
5
4.1 模糊集合论基础
（1）模糊集合
模糊集合：如果X是对象x的集合，则将X的模 糊集合A定义为有序对的集合，即
(xA) (xA)
则 A 可以分解为
A U A [0,1]
16
4.1 模糊集合论基础
（5）模糊集合与普通集合的相互转化
定义（扩张原则）
设 f :,UA 是论V域U上任一的普通集合，
Bf 的扩f(张A)给 为°定f V论°域f :U°A上 任一f (模°A糊) 子集 ，
°A
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4.1 模糊集合论基础
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4.1 模糊集合论基础
模糊集合的交、并、余运算具有如下性质：
①幂等律
A U A A ;A IA A .
②交换律 ③结合律 ④吸收律
A U B B U A ;A IB B IA . (AUB)UCAU(BUC); (AI B)I CAI (BI C). ( A U B ) IA A ;( A IB ) U A A .
模糊关系表示两个以上集合元素之间关联、交互或互联 存在或不存在的程度。
令X和Y是两个论域，则模糊关系R(X,Y)是X ×Y空间中 的模糊集合，可表示为
R ( X , Y ) { ( ( x ,y ) ,R ( x ,y ) ) |( x ,y ) X Y }
③并： C A U B C (x)m a x (A (x), B (x)) A (x)B (x)
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4.1 模糊集合论基础
（3）模糊集合的运算(续)
④交：
C A IBC (x)m in (A (x), B (x)) A (x) B (x)
⑤补： A(x)=1-A(x)