2015届高考数学文二轮专题训练专题四第3讲推理与证明

合集下载

2015届高考数学(文)二轮专题课件：7.3推理与证明

＋－－
1 1 可以推测，当 k≥2(k∈N )时，ak＋1＝，ak＝，ak－1 k 2 k＋1 12 0 ＝________，ak－2＝________ ．
n 4
1 6 1 5 5 4 1 2 i ＝6n ＋2n ＋12n －12n ， i＝ 1
n 5
G 高考热点突破
1 7 1 6 1 5 1 3 1 i ＝7n ＋2n ＋2n －6n ＋42n， i＝1
6
n
„
ik＝ak
i＝1
n
＋1
nk 1＋aknk＋ak－1nk 1＋ak－2nk 2＋„＋a1n＋a0.
栏目链接
＝k＋1时，命题也成立．
Z 主干考点梳理
考点自测
1. (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
栏目链接
将三角形数 1，3，6，10，„记为数列{an}，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测： ①b2 012 是数列{an}中的第________ 5 030 项；
栏目链接
一般结论实概括出 ________的推理．
(2)归纳推理的思维过程如下：实验、观察 ―→ 概括、推广 ―→ 猜测一般性结论
Z 主干考点梳理
2．类比推理． (1)类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理． (2)类比推理的思维过程如下：观察、比较 ―→ 联想、类推 ―→ 猜测新的结论
栏目链接
2．分析法．
用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
Z 主干考点梳理

2015高考数学(理)概率与推理证明

－1 m m m m－1 r r r r r＋1 An ＝mAm ＋ A ； A ＝ n A . C ＋ C ＋ C ＋„＋ C ＝ C －－－＋＋ n 1 n 1 n n 1 r r 1 r 2 n n＋ 1 ； 2 3 n n－ 1 C1 . n＋2Cn＋3Cn＋„＋nCn＝n2
例将 5 名支教志愿者分配到 3 所学校，每所学校至少分 1 人，至多分 2 人，且其中甲、乙 2 人不到同一所学校，则不同的分配方法共有( )A．78 种 B．36 种 C．60 种 D．72 种先不考虑甲、乙 2 人是否分到同一所学校，共有不同的分配方 2 2 1C4C2 法：C5 2 · A3 3种；其中，甲、乙 2 人分到同一所学校，有不同的 A2 2 3 分配方法：C2 2C3A3种，故甲、乙 2 人不分到同一所学校，不同的分 2 2 C 4C2 2 2 3 配方法有 C1 A3 2 · 5 3－C2C3A3＝72 种．故选 D. A2
第18讲│ 命题立意追溯
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱 100 30 60
厨余 400 100 垃圾可回 30 240 收物其他 20 20 垃圾 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率； (2)试估计生活垃圾投放错误的概率；
第18讲│ 命题立意追溯
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物” 箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0， a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a， b，c的值(结论不要求证明)，并求此时s2的值． 1 2 注：s ＝ n [(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋„＋(xn－ x )2]，其中 x 为数据x1，x2，„，xn的平均数.
第18讲│ 要点热点探究

高考数学推理与证明

1.合情推理与演绎推理(1)归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.(2)演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.2.直接证明与间接证明直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.思考反证法通常适用于哪些问题？答案反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题.3.数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.思考何为探索性命题？其解题思路是什么？答案探索性命题是试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.题型一合情推理及应用例1观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28B.76C.123D.199答案 C解析记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.反思与感悟归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明.尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用.运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证.跟踪训练1自然数按下表的规律排列则上起第2 014行，左起第2 015列的数为()A.2 0142B.2 0152C.2 013×2 014D.2 014×2 015答案 D解析经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n 行的第1个数为n 2；②第一行第n 个数为(n －1)2＋1；③第n 行从第1个数至第n 个数依次递减1； ④第n 列从第1个数至第n 个数依次递增1.故上起第2 014行，左起第2 015列的数，应是第2 015列的第2 014个数，即为[(2 015－1)2＋1]＋2 013＝2 014×2 015. 题型二直接证明与间接证明例2 已知a ＞b ＞0，求证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b .证明欲证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b ，只需证(a －b )28a ＜(a －b )22＜(a －b )28b ，∵a ＞b ＞0，∴只需证a －b 22a ＜a －b 2＜a －b22b ，即a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b，欲证a ＋b 2a ＜1，只需证a ＋b ＜2a ，即b ＜a ，该式显然成立.欲证1＜a ＋b2b，只需证2b ＜a ＋b ，即b ＜a ，该式显然成立. ∴a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b成立. ∴(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b成立.反思与感悟直接证明方法可具体分为比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用. 跟踪训练2 已知等差数列{a n }中，首项a 1＞0，公差d ＞0. (1)若a 1＝1，d ＝2，且1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列，求正整数m 的值；(2)求证对任意正整数n ，1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2都不成等差数列.(1)解 ∵{a n }是等差数列，a 1＝1，d ＝2， ∴a 4＝7，a m ＝2m －1.∵1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列， ∴1492＝1(2m －1)2，即2m －1＝49.∴m ＝25.(2)证明假设存在n ∈N *，使1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2成等差数列，即2a 2n ＋1＝1a 2n ＋1a 2n ＋2， ∴2a 2n ＋1＝1(a n ＋1－d )2＋1(a n ＋1＋d )2＝2a 2n ＋1＋2d2(a 2n ＋1－d 2)2，化简得d 2＝3a 2n ＋1.(*)又∵a 1＞0，d ＞0，∴a n ＋1＝a 1＋nd ＞d ，∴3a 2n ＋1＞3d 2＞d 2，与(*)式矛盾，因此假设不成立，故命题得证. 题型三数学归纳法及应用例3 已知a i ＞0(i ＝1,2，…，n )，考察： ①a 1·1a 1≥1；②(a 1＋a 2)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2≥4；③(a 1＋a 2＋a 3)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.归纳出对a 1，a 2，…，a n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明.解结论：(a 1＋a 2＋…＋a n )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a n≥n 2(n ∈N *). 证明：①当n ＝1时，显然成立. ②假设当n ＝k 时，不等式成立，即(a 1＋a 2＋…＋a k )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a k≥k 2. 当n ＝k ＋1时，(a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1)·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k＋1ak ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a k )⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋a k ＋1·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋1a k ＋1(a 1＋a 2＋…＋a k )＋1 ≥k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 1＋a 1a k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 2＋a 2a k ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＋a k a k ＋1＋1 ≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.由①②可知，不等式对任意正整数n 都成立.反思与感悟数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的. 跟踪训练3 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *). (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)证明(1)中的猜想.(1)解当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1；当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n 1(n ∈N *).(2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立. ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， ∴2a k ＋1＝2＋a k .∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k .所以当n ＝k ＋1时，结论成立. 由①②知猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)成立.应用反证法证明问题时，因对结论否定不正确致误例4 已知x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝0，求证x ，y 全为0. 错解假设结论不成立，则x ，y 全不为0，即x ≠0且y ≠0，∴x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾，故x ，y 全为0.错因分析 x ，y 全为0的否定应为x ，y 不全为0，即至少有一个不是0，得x 2＋y 2＞0与已知矛盾.正解假设x ，y 不全为0，则有以下三种可能： ①x ＝0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾； ②x ≠0，y ＝0，得x 2＋y 2＞0, 与x 2＋y 2＝0矛盾； ③x ≠0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾. ∴假设是错误的， ∴x ，y 全为0.防范措施应用反证法证明问题时，首先要否定结论，假设结论的反面成立，当结论的反面呈现多样性时，需罗列出各种可能情形，否定一定要彻底.1.下列推理正确的是( )A.把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB.把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC.把(ab )n 与(x ＋y )n 类比，则(x ＋y )n ＝x n ＋y nD.把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则(xy )z ＝x (yz ) 答案 D2.在△ABC 中，若sin A sin C ＞cos A cos C ，则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定答案 D解析由sin A sin C ＞cos A cos C ，得cos(A ＋C )＜0，即cos B ＞0, 所以B 为锐角，但并不能确定角A 和C 的情况，故选D.3.猜想数列12×4，14×6，16×8，18×10，…的通项公式是____________________.答案 a n ＝12n (2n ＋2)(n ∈N *)解析分析式子12×4，14×6，16×8，18×10，…的规律，可得分子均为1，分母为连续相邻的两个偶数的乘积.4.如图是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n 个图形中的花盆数a n ＝__________.答案 3n 2－3n ＋1解析观察知每一个图案中间一行的花盆数为1,3,5，…，其中第n 个图案中间一行的花盆数为2n －1，往上一侧花盆数依次是2n －2,2n －3，…，它们的和为n (2n －1＋n )2＝n (3n －1)2，往下一侧(含中间一行)花盆数为n (3n －1)2，所以a n ＝2·n (3n －1)2－(2n －1)＝3n 2－3n ＋1.5.函数列{f n (x )}满足f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x )). (1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )的表达式，并证明. 解 (1)f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)， f 2(x )＝x 1＋x 21＋x 21＋x 2＝x1＋2x 2， f 3(x )＝x 1＋2x 21＋x 21＋2x 2＝x 1＋2x 2＋x 2＝x1＋3x 2. (2)猜想f n (x )＝x 1＋nx 2(n ∈N *)，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，命题显然成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，f k (x )＝x1＋kx 2，那么f k ＋1(x )＝x 1＋kx 21＋x 21＋kx 2＝x 1＋kx 2＋x 2＝x1＋(k ＋1)x 2.这就是说当n ＝k ＋1时命题也成立. 由①②可知，f n (x )＝x 1＋nx2对所有n ∈N *均成立.故f n (x )＝x 1＋nx2(n ∈N *).转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归是数学思想方法的灵魂.在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化，数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化，反证法体现的是对立与统一的转化.从特殊到一般的思想方法即由特殊情况入手，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.与正整数n 有关的命题，经常要用到归纳猜想，然后用数学归纳法证明，这体现了从特殊到一般的探求规律的思想.一、选择题1.古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n 个三角形数为( )A.nB.n (n ＋1)2C.n 2－1D.n (n －1)2答案 B解析观察图形可知，这些三角形数的特点是第n 个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上n ，于是第n 个三角形数为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误答案 C解析演绎推理的一般模式是三段论，大前提是已知的一般性原理，小前提是研究的特殊情况，结论是得出的判断.本题中并非所有的有理数都是真分数，所以推理形式错误.3.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (c,0)，当AB →⊥FB →时，由b 2＝ac 得其离心率为5－12，此类椭圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”x 2a 21－y 2b 21＝1中，由b 21＝a 1c 1(c 1为黄金双曲线的半焦距)可推出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12 B.3＋12 C.5＋13D.7－12答案 A 解析 b 21＝a 1c 1，c 21－a 21＝b 21＝a 1c 1，∴c 21a 21－1＝c 1a 1，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝5＋12(∵e ＞1).故选A.4.设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x ＜0)，则f (x )( )A.有最大值B.有最小值C.为增函数D.为减函数答案 A解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，则 (－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2(－2x )⎝⎛⎭⎫－1x ＝22， ∴－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 2. ∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x －1≤－22－1. 当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取最大值.故选A.5.设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算为：A i A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3.则满足关系式(x x A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 B解析当x ＝A 0时，(x xA 2＝A 2≠A 0，当x ＝A 1时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立；当x ＝A 2时，(x xA 2＝A 0A 2＝A 2≠A 0；当x ＝A 3时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立.故选B.6.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心答案 B解析如图，AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD 的方向.又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同.而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 二、填空题7.已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a ＞2)，则p ，q 的大小关系为______.答案 p ＞q解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＜2，∴q ＜22＝4≤p .8.α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及平面β外两条不同的直线，给出下列四个论断： ①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个你认为正确的命题__________. 答案 ②③④⇒①(或①③④⇒②)9.若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析方法一(补集法)：令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧ －2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0即⎩⎨⎧ p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴p ≤－3或p ≥32，符合题意的解是－3＜p ＜32. 方法二(直接法)：依题意，有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，∴－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，∴－3＜p ＜32. 10.设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K ，若函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最小值为______________. 答案 1e解析由于f (x )＝ln x ＋1e x ，所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x ，令g (x )＝1x－ln x －1，则g ′(x )＝－x －2－1x＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝1e ，又函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，结合新定义可知，K 的最小值为1e. 三、解答题11.如图所示，设在四面体P ABC 中，∠ABC ＝90°，P A ＝PB ＝PC ，D 是AC 的中点，求证：PD ⊥平面ABC .证明要证明PD ⊥平面ABC ，只需证明PD 与平面ABC 内的两条相交直线垂直即可，由于已知△ACP 为等腰三角形，AP ＝PC ，D 为AC 的中点，故PD ⊥AC ，从而有△P AD 为直角三角形，且AD ＝BD ，PD ＝PD ，AP ＝PB ，于是△APD ≌△BPD .因此∠PDA ＝∠PDB ＝90°，∴PD ⊥BD .又知AC 交BD 于D ，可知PD ⊥平面ABC .12.求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立.证明假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立. 于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0. 又⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≥0，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立.13.在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *).(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)求证1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. (1)解由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2. ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立.(2)证明当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .∴1a n ＋b n ＜12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512.综上，对n ∈N *，1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512成立.。

2015届高考数学二轮专题复习配套课件：专题四第2讲

∴Tn＝12＋222＋233＋…＋2nn， 12Tn＝212＋223＋…＋n－2n 1＋2nn＋1， ∴两式相减，得 Tn＝2(12＋212＋213＋…＋21n－2nn＋1) ＝2－2n1－1－2nn<2.
第二十三页，编辑于星期五：十点二分。
错位相减法求数列的前n项和是一种重要的方法. 在应用这种方法时，一定要抓住数列的特征，
第二十九页，编辑于星期五：十点二分。
裂项相消法适合于形如{ 1 }形式的数列，其
思
an·an＋k
维
升中{an}为等差数列.
华
第三十页，编辑于星期五：十点二分。
变式训练3
已知等差数列{an}是递增数列，且满足a4·a7＝15，a3＋ a8＝8. (1)求数列{an}的通项公式；
解根据题意a3＋a8＝8＝a4＋a7，a4·a7＝15，
加(或减少)时，我们称该模型为生长模型.如分期付款
问题，树木的生长与砍伐问题等.
(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的
前一项an－1(或前n项)间的递推关系式，我们可以用递
推数列的知识来解决问题.
第九页，编辑于星期五：十点二分。
热点分类突破
➢ 热点一分组转化求和 ➢ 热点二错位相减法求和
第三十四页，编辑于星期五：十点二分。
热点四数列的实际应用
例4 自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、
受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座
120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.

24 推理与证明-三年高考(2015-2017)数学(文)试题分项版解析含解析

一、选择题1. 【2014山东。

文4】用反证法证明命题“设b a ,为实数,则方程02=++b ax x至少有一个实根”时,要做的假设是（） A.方程02=++b ax x 没有实根 B.方程02=++b ax x 至多有一个实根C 。

方程02=++b ax x 至多有两个实根D 。

方程02=++b ax x 恰好有两个实根【答案】A考点：反证法.【名师点睛】本题考查反证法.解答本题关键是理解反证法的含义，明确至少有一个的反面是一个也没有。

本题属于基础题,难度较小。

2。

【2014山东。

文9】对于函数)(x f ，若存在常数0≠a ，使得取定义域内的每一个值，都有)2()(x a f x f -=，则称)(x f 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（）A x x f =)(B 2)(x x f =C x x f tan )(= D)1cos()(+=x x f【答案】D【解析】由()f x 为准偶函数的定义可知，若()f x 的图象关于x a =对称，则()f x 为准偶函数。

在D 中,()cos(1)f x x =+的图象关于1,x k k z π=-∈对称，故选D .考点：新定义,函数的图象和性质.【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的奇偶性、新定义问题。

此类问题的基本解法是紧扣新定义，研究各个函数的图象及特性，得出结论.本题是一道新定义问题，属于基础题,在考查函数的概念、函数的奇偶性、函数的图象等基础知识的同时，考查数阅读能力、学习能力、转化与化归思想.3。

【2015高考浙江，文8】设实数a ，b ,满足1sin a b t +==( )A ．若确定,则2b 唯一确定B ．若确定，则22aa +唯一确定 C ．若确定,则sin 2b 唯一确定 D ．若确定，则2a a +唯一确定【答案】B【考点定位】函数概念【名师点睛】本题主要考查函数的概念。

主要考查学生利用条件对其进行处理，通过对比选项，确定最终正确结论的能力。

高三数学二轮专题三第3讲推理与证明

整理ppt
11
热点分类突破
第3讲
解析依题意，知当 n＝1 时，N＝{1}，则 T1＝1；
当 n＝2 时，T2＝4；
当 n＝3 时，N＝{1,2,3}，所有的非空子集为{1}，{2}，{3}，{1,2}，
本
讲栏
{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，所以 T3＝1＋2＋3＋1＋2＋1＋2＝12；
目盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法
开
关证明命题“若 p 则 q”的过程可以用如图所示的框图表示．
整理ppt
7
热点分类突破
第3讲
题型一归纳推理
本讲
【例
1】
设数列{aபைடு நூலகம்}是首项为 0 的递增数列，n∈N*，fn(x)
栏目开
＝sin
n1x－an，x∈[an，an＋1]，满足：对于任意的 b∈[0,1)，
的根，
整理ppt
8
热点分类突破 ∴a2＝π；
第3讲
本讲
∵对任意的 b∈[0,1)，f2(x)＝b 总有两个不同的根，
栏
目开
∴a3＝3π；
关
f3(x)＝sin
13x－a3＝sin
13x－3π＝sin
13x，x∈[3π，a4]，
∵对任意的 b∈[0,1)，f3(x)＝b 总有两个不同的根，
∴a4＝6π.
括能力的考查．
易错提醒 (1)找不准归纳的对象．本题归纳对象有两个，即等号左边式子的第一个数和最后一个数；等号右边的数是归纳对象．(2)找不准变化规律.
整理ppt
2
主干知识梳理
第3讲
本讲
1．合情推理
栏目

2015届高考数学总复习第七章推理与证明第3课时数学归纳法教学案(含最新模拟、试题改编)

第七章推理与证明第3课时数学归纳法(对应学生用书(理)97～98页)考情分析考点新知理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1. 若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N )，则n ＝1时，f(n)＝________.答案：1＋12＋13解析：当n ＝1时，f(1)＝1＋12＋13.2. (选修22P 88练习题3改编)用数学归纳法证明不等式“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取为________．答案：5解析：当n ≤4时，2n ≤n 2＋1；当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，所以n 0应取为5.3. 设f(n)＝1＋12＋13＋14＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f(k ＋1)－f(k)＝________.答案：13k ＋13k ＋1＋13k ＋2解析：f(k ＋1)－f(k)＝1＋12＋13＋14＋…＋13（k ＋1）－1－⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋14＋…＋13k －1＝13k ＋13k ＋1＋13k ＋2. 4. 用数学归纳法证明“当n 为正偶数时x n －y n 能被x ＋y 整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成____．答案：2 当n ＝2k(k ∈N *)时结论成立，x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除解析：因为n 为正偶数，故取第一个值n ＝2，第二步假设n 取第k 个正偶数成立，即n ＝2k ，故假设当n ＝2k(k ∈N *)时结论成立，x 2k －y 2k 能被x ＋y 整除．5. 已知a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 2，a 3，a 4，a 5的值分别为________________，由此猜想a n ＝________．答案：37、38、39、310 3n ＋5解析：a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37＝32＋5，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38＝33＋5，a 4＝39＝34＋5，a 5＝310＝35＋5，猜想a n ＝3n ＋5.1. 由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2. 对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n 取第1个值n 0时，命题成立；然后假设当n ＝k(k ∈N ，k ≥n 0)时命题成立；证明当n ＝k ＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为： (1) 归纳奠基：证明凡取第一个自然数n 0时命题成立；(2) 归纳递推：假设n ＝k(k ∈N ，k ≥n 0)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时，命题成立； (3) 由(1)(2)得出结论． [备课札记]题型1 证明等式例1 用数学归纳法证明： 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N )．证明：① 当n ＝1时，等式左边＝1－12＝12＝右边，等式成立．② 假设当n ＝k(k ∈N )时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么，当n ＝k ＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，上式表明当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n ∈N 均成立．变式训练当n ≥1，n ∈N *时，(1) 求证：C 1n ＋2C 2n x ＋3C 3n x 2＋…＋(n －1)C n －1n x n －2＋nC n n xn －1＝n(1＋x)n －1； (2) 求和：12C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋(n －1)2C n －1n ＋n 2C nn .(1) 证明：设f(x)＝(1＋x)n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n －1n x n －1＋C n n x n ，①①式两边求导得n(1＋x)n －1＝C 1n ＋2C 2n x ＋3C 3n x 2＋…＋(n －1)C n －1n x n －2＋nC n n xn －1.② ①式等于②式，故等式成立．(2) 解：②两边同乘x 得nx(1＋x)n －1＝C 1n x ＋2C 2n x 2＋3C 3n x 3＋…＋(n －1)C n －1n xn －1＋nC n n x n.③ ③式两边求导得n(1＋x)n －1＋n(n －1)x(1＋x)n －2＝C 1n ＋22C 2n x ＋32C 3n x 2＋…＋(n －1)2C n －1n x n －2＋n 2C n n xn －1.④在④中令x ＝1，则12C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋(n －1)2C n －1n ＋n 2C n n ＝n·2n －1＋n(n －1)2n －2＝2n －2(2n ＋n 2－n)＝2n －2·n(n ＋1)．题型2 证明不等式例2 (选修2-2P 91习题6改编)设n ∈N *，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，试比较f(n)与n ＋1的大小．解：当n ＝1，2时f(n)<n ＋1；当n ≥3时f(n)>n ＋1.下面用数学归纳法证明： ① 当n ＝3时，显然成立；② 假设当n ＝k(k ≥3，k ∈N )时，即f(k)>k ＋1，那么，当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)>k ＋1＋1k ＋1＝k ＋2k ＋1>k ＋2k ＋2＝k ＋2，即n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②知，对任何n ≥3，n ∈N 不等式成立．备选变式（教师专享）用数学归纳法证明a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除(n ∈N *)．证明：① 当n ＝1时，a 2＋(a ＋1)＝a 2＋a ＋1可被a 2＋a ＋1整除．② 假设n ＝k(k ∈N *)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a·a k ＋1＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1＝a·a k ＋1＋a·(a ＋1)2k －1＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1＝a[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1，由假设可知a[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]能被a 2＋a ＋1整除，(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1也能被a 2＋a ＋1整除，∴ a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1能被a 2＋a ＋1整除，即n ＝k ＋1时命题也成立，∴ 对任意n ∈N *原命题成立．题型3 证明整除例3 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n ＋7)·3n ＋9(n ∈N *)能被36整除．证明：① 当n ＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．② 假设n ＝k 时，f(k)能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)，由归纳假设3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36整除，而3k －1－1是偶数，所以18(3k －1－1)能被36整除．所以n ＝k ＋1时，f(n)能被36整除．由①②知，对任何n ∈N ，f(n)能被36整除．备选变式（教师专享）已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145. (1) 求数列{b n }的通项公式b n ；(2) 设数列{a n }的通项a n ＝log a ⎝⎛⎭⎫1＋1b n (其中a ＞0且a ≠1)．记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与13log a b n ＋1的大小，并证明你的结论.解：(1) 设数列{b n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧b 1＝1，10b 1＋10（10－1）2d ＝145Þ⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，d ＝3， ∴ b n ＝3n －2. (2) 由b n ＝3n －2，知S n ＝log a (1＋1)＋log a ⎝⎛⎭⎫1＋14＋…＋log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2 ＝log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋1）⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2而13log a b n ＋1＝log a 33n ＋1，于是，比较S n 与13log a b n ＋1的大小比较(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2与33n ＋1的大小 . 取n ＝1，有1＋1＝38>34＝33×1＋1，取n ＝2，有(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14>38>37＝33×2＋1. 推测 (1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13n －2＞33n ＋1，(*) ① 当n ＝1时，已验证(*)式成立；② 假设n ＝k(k ≥1)时(*)式成立，即(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k －2＞33k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋13（k ＋1）－2>33k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k ＋1＝3k ＋23k ＋133k ＋1. ∵ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋23k ＋133k ＋13－(33k ＋4)3＝（3k ＋2）3－（3k ＋4）（3k ＋1）2（3k ＋1）2＝9k ＋4（3k ＋1）2>0，∴ 33k ＋13k ＋1(3k ＋2)>33k ＋4＝33（k ＋1）＋1，从而(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋14…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13k ＋1>33（k ＋1）＋1，即当n ＝k ＋1时，(*)式成立．由①②知(*)式对任意正整数n 都成立．于是，当a ＞1时，S n ＞13log a b n ＋1，当 0＜a ＜1时，S n ＜13log a b n ＋1.题型4 归纳、猜想与证明例4 已知数列{a n }满足a 1＝1，且4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9(n ∈N )． (1) 求a 2，a 3，a 4的值；(2) 由(1) 猜想{a n }的通项公式，并给出证明．解：(1) 由4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9，得a n ＋1＝9－2a n 4－a n ＝2－1a n －4，求得a 2＝73，a 3＝135，a 4＝197.(2) 猜想a n ＝6n －52n －1.证明：①当n ＝1时，猜想成立．②设当n ＝k 时(k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝6k －52k －1，则当n ＝k ＋1时，有a k ＋1＝2－1a k －4＝2－16k －52k －1－4＝6k ＋12k ＋1＝6（k ＋1）－52（k ＋1）－1，所以当n＝k ＋1时猜想也成立．综合①②，猜想对任何n ∈N *都成立．备选变式（教师专享）已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n ∈N )，g(n)＝2(n ＋1－1)(n ∈N )．(1) 当n ＝1，2，3时，分别比较f(n)与g(n)的大小(直接给出结论)； (2) 由(1)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并证明你的结论．解：(1) 当n ＝1时，f(1)>g(1)；当n ＝2时，f(2)>g(2)；当n ＝3时，f(3)>g(3)．(2) 猜想：f(n)>g(n)(n ∈N *)，即1＋12＋13＋ (1)>2(n ＋1－1)(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f(1)＝1，g(1)＝2(2－1)，f(1)>g(1)．②假设当n ＝k 时，猜想成立，即1＋12＋13＋…＋1k >2(k ＋1－1)．则当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1>2(k ＋1－1)＋1k ＋1＝2k ＋1＋1k ＋1－2，而g(k ＋1)＝2(k ＋2－1)＝2k ＋2－2，下面转化为证明：2k ＋1＋1k ＋1>2k ＋2. 只要证：2(k ＋1)＋1＝2k ＋3>2（k ＋2）（k ＋1），需证：(2k ＋3)2>4(k ＋2)(k ＋1)，即证：4k 2＋12k ＋9>4k 2＋12k ＋8，此式显然成立．所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．综上可知：对n ∈N *，猜想都成立，即1＋12＋13＋ (1)>2(n ＋1－1)(n ∈N *)成立．1. 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n ，其中n>1且n ∈N *，在验证n ＝2时，式子的左边等于________．答案：1＋12＋13⎝⎛⎭⎫或116 解析：当n ＝2时，式子的左边等于1＋12＋122－1＝1＋12＋13.2. 用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N *)”时，第一步验证的表达式为________．答案：21＋1≥12＋1＋2(或22≥4或4≥4也算对)解析：当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2.3. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是____．答案：假设n ＝2k －1(k ∈N *)时正确，再推n ＝2k ＋1(k ∈N *)正确解析：因为n 为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k 个正奇数也成立，本题先假设n ＝2k －1(k ∈N *)正确，再推第k ＋1个正奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈N *)正确．4. (2013·广东理)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1) 求a 2的值；(2) 求数列{a n }的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.(1) 解：∵ 2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.∴ 当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 2－13－1－23＝a 2－2.又a 1＝1，∴ a 2＝4.(2) 解：∵ 2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.∴ 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n＝na n ＋1－n （n ＋1）（n ＋2）3， ①∴ 当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －（n －1）n （n ＋1）3， ②由①－②，得 2S n －2S n －1＝na n ＋1－(n －1)a n －n(n ＋1)． ∵ 2a n ＝2S n －2S n －1，∴ 2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n(n ＋1)，∴a n ＋1n ＋1－a nn＝1. ∴ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以首项为a 11＝1，公差为1的等差数列.∴ a nn ＝1＋1×(n －1)＝n ，∴a n ＝n 2(n ≥2)，当n ＝1时，上式显然成立． ∴ a n ＝n 2，n ∈N * .(3) 证明：由(2)知，a n ＝n 2，n ∈N * ，① 当n ＝1时，1a 1＝1<74，∴ 原不等式成立. ② 当n ＝2时， 1a 1＋1a 2＝1＋14<74，∴ 原不等式亦成立.③ 当n ≥3时， ∵ n 2>(n －1)·(n ＋1)，∴ 1n 2<1（n －1）·（n ＋1）， ∴1a 1＋1a 2＋...＋1a n ＝112＋122＋ (1)2 <1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）·n ＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝⎛⎭⎫11－13＋12⎝⎛⎭⎫12－14＋12(13－15)＋…＋ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1 ＝1＋12(11－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋12－1n －1n ＋1＝74＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n －1n ＋1<74， ∴ 当n ≥3时，原不等式亦成立.综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.1. 用数学归纳法证明“12＋22＋32＋…＋n 2＝16n(n ＋1)(2n ＋1)(n ∈N *)”，当n ＝k ＋1时，应在n ＝k 时的等式左边添加的项是________．答案：(k ＋1)2解析：[12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2]－(12＋22＋…＋k 2)＝(k ＋1)2.2. 用数学归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2＞1(n ∈N *且n ＞1)．证明：①当n ＝2时，左边＝12＋13＋14＝1312＞1，∴n ＝2时不等式成立；②假设当n ＝k(k ≥2)时不等式成立，即1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＞1，那么当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋1＋…＋1k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋…＋1（k ＋1）2 ＝1k ＋1k ＋1＋…＋1k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋…＋1（k ＋1）2－1k＞1＋(2k ＋1)·1k 2＋1－1k ＝1＋k 2＋k －1k （k 2＋1）＞1. 综上，对于任意n ∈N *，n>1不等式均成立，原命题得证．3. 设函数f(x)＝x －xlnx ，数列{a n }满足0＜a 1＜1，a n ＋1＝f(a n )．求证： (1) 函数f(x)在区间(0，1)是增函数； (2) a n ＜a n ＋1＜1.证明：(1) f(x)＝x －xlnx ，f ′(x)＝－lnx ，当x ∈(0，1)时，f ′(x)＝－lnx ＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数．(2) (用数学归纳法)①当n ＝1时，0＜a 1＜1，a 1ln a 1＜0，a 2＝f(a 1)＝a 1－a 1lna 1＞a 1. 由函数f(x)在区间(0，1)是增函数，且f(1)＝1，得f(x)在区间(0，1)是增函数，a 2＝f(a 1)＝a 1－a 1lna 1＜f(1)＝1，即a 1＜a 2＜1成立．②假设当n ＝k(k ∈N *)时，a k ＜a k ＋1＜1成立，即0＜a 1≤a k ≤a k ＋1＜1，那么当n ＝k ＋1时，由f(x)在区间(0，1]上是增函数，得0＜a 1≤a k ≤a k ＋1＜1，得f(a k )＜f(a k ＋1)＜f(1)，而a n ＋1＝f(a n )，则a k ＋1＝f(a k )，a k ＋2＝f(a k ＋1)，即a k ＋1＜a k ＋2＜1，也就是说当n ＝k ＋1时，a n ＜a n ＋1＜1也成立．由①②可得对任意的正整数n ，a n ＜a n ＋1＜1恒成立．4. (2013·江苏改编)设数列{a n }：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k －1k ，…，(－1)k －1k k 个，即当（k －1）k 2<n ≤k （k ＋1）2(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k ，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，用数学归纳法证明S i(2i ＋1)＝－i(2i ＋1)(i ∈N *)．证明：①当i ＝1时，S i(2i ＋1)＝S 3＝－1·(2＋1)＝－3，故原式成立．②假设当i ＝m 时，等式成立，即S m(2m ＋1)＝－m·(2m ＋1)．则当i ＝m ＋1时，S (m ＋1)[2(m ＋1)＋1]＝S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m(2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2＝－m(2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2 ＝－(2m 2＋5m ＋3)＝－(m ＋1)(2m ＋3)，故原式成立．综合①②得：S i(2i ＋1)＝－i(2i ＋1)．1. 数学归纳法是专门证明与整数有关命题的一种方法，他分两步，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两步缺一不可．2. 运用数学归纳法时易犯的错误①对项数估算的错误，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错；②没有利用归纳假设；③关键步骤含糊不清，“假设n ＝k 时结论成立，利用此假设证明n ＝k ＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性和规范性．。

高中数学《推理与证明》练习题(附答案解析)

高中数学《推理与证明》练习题（附答案解析）一、单选题1．记凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋（） A ．2π B ．πC ．32π D ．2π2．用数学归纳法证明()11111231n n n n ++++>∈+++N ，在验证1n =时，左边的代数式为（） A ．111234++ B ．1123+C ．12D ．13．两个正方体1M 、2M ，棱长分别a 、b ，则对于正方体1M 、2M 有：棱长的比为a:b ，表面积的比为22:a b ，体积比为33:a b ．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（） A ．两个球B ．两个长方体C ．两个圆柱D ．两个圆锥4．用数学归纳法证明1115 (1236)n n n +++≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（） A ．111313233k k k +++++ B ．11113132331k k k k ++-++++ C ．131k + D ．133k + 5．现有下列四个命题：甲：直线l 经过点(0,1)-；乙：直线l 经过点(1,0)；丙：直线l 经过点(1,1)-；丁：直线l 的倾斜角为锐角.如果只有一个假命题，则假命题是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．用数学归纳法证明242123()2n n n n N *+++++=∈，则当1n k =+时，等式左边应该在n k =的基础上加上（） A ．21k +B ．2(1)k +C ．2(2)k +D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++7．已知数列{}n a 中，11a =，()*111nn na a n a +=+∈+N ，用数学归纳法证明：1n n a a +<，在验证1n =成立时，不等式右边计算所得结果是（）A ．12B ．1C ．32D ．28．设平面内有k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条直线的交点个数为()f k ，则()1f k +与()f k 的关系是（） A ．()()11f k f k k +=++ B ．()()11f k f k k +=+- C ．()()1f k f k k +=+D ．()()12f k f k k +=++9．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（） A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则在这个子数列中第2 020个数是（） A ．3976 B ．3974 C ．3978D ．3973二、填空题11．用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++（n 为正整数）时，第一步应验证的等式是______．12．用数学归纳法证明命题“1+1123++…+1222n n +>(n ∈N +，且n ≥2)”时，第一步要证明的结论是________.13．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．14．已知等差数列{}()*n a n N ∈中，若10100a =，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b =，则与此相应的等式_________________恒成立.三、解答题15．(1)请用文字语言叙述异面直线的判定定理；(2)把（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式，并用反证法证明．16．把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为___________.17．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？（1）求证：当N*n ∈时，1=+n n ．证明：假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1k k =+．则当1n k =+时，左边1(11)k k =+=++=右边．所以当1n k =+时，等式也成立．由此得出，对任何N*n ∈，等式1=+n n 都成立．（2）用数学归纳法证明等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=．证明，∈当1n =时，左边=11S a =，右边1a =，等式成立． ∈假设当(*)n k k N =∈时，等式成立，即1()2k k k a a S +=．则当1n k =+时， 11231k k k S a a a x a a ++=+++++， 11121k k k k S a a a a a ++-=+++++．上面两式相加并除以2，可得 111(1)()2k k k a a S ++++=，即当1n k =+时，等式也成立．由∈∈可知，等差数列的前n 项和公式是1()2n n n a a S +=18．一本旧教材上有一个关于正整数n 的恒等式22211223(1)(1)12n n n n ⨯+⨯+++=+？其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于n 的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．参考答案与解析：1．B【分析】根据题意相当于增加了一个三角形，从而得出选项. 【详解】由凸k 边形变为凸k ＋1边形时，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π. 故选：B 2．A【分析】将1n =代入计算可得结果. 【详解】解：1111231n n n ++++++代入1n =为：111234++. 故选：A 3．A【分析】分别使用表面积公式、体积公式计算后即可发现结论. 【详解】设两个球的半径分别为R ，r ．这两个球的半径比为：:R r ，表面积比为：22224:4:R r R r ππ=，体积比为：333344::33R r R r ππ=，所以，两个球是相似体．故选：A ． 4．B【分析】比较n k =、1n k =+时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项，从而得到正确的选项. 【详解】当n k =时，所假设的不等式为1115 (1236)k k k +++≥++，当1n k =+时，要证明的不等式为1111115 (2233132336)k k k k k k ++++++≥+++++，故需添加的项为：11113132331k k k k ++-++++，故选：B.【点睛】本题考查数学归纳法，应用数学归纳法时，要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系，必要时和式的开端和结尾处需多写几项，便于寻找差异.本题属于基础题. 5．C【分析】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -，计算AB k 和BC k ，可判断三点共线，可知假命题是甲､乙､丙中的一个，再由斜率即可求解.【详解】设(0,1)A -，(1,0)B ，(1,1)C -则10101AB k --==-，101112BC k -==---，因为AB BC k k ≠，所以,,A B C 三点不共线，所以假命题必是甲､乙､丙中的一个，丁是真命题，即直线l 的斜率大于0，而0AB k >，0BC k <，0AC k <，故丙是假命题. 故选：C. 6．D【分析】由n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++可得答案.【详解】当n =k 时，等式左端2123k =++++，当n =k+1时，等式左端2123k =+++++222(1)(2)(1)k k k ++++++，增加了项222(1)(2)(1)k k k ++++++．故选：D ． 7．C【分析】将1n =代入即可得结果. 【详解】当1n =时，不等式右边为1211311122a a a =+=+=+．故选：C. 8．C【分析】考虑当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，由于直线l 与前面n 条直线任何两条不平行，任何三条不共点，所以要多出k 个交点，从而得出结果. 【详解】当1n k =+时，任取其中1条直线，记为l ，则除l 外的其他k 条直线的交点的个数为()f k ，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k 个交点两两不相同，且与平面内其它的()f k 个交点也两两不相同，从而1n k =+时交点的个数是()()1f k k f k +=+，故选：C 9．A【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 10．A【分析】根据题意分析出第n 次取n 个数，前n 次共取(1)2n n +个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，然后算出前63次共取了2016个数，从而能得到数列中第2 020个数是3976.【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n 次共取了(1)1232n n n ++++⋯+=个数，且第n 次取的最后一个数为n 2，当63n =时，()6363120162⨯+=，即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为2633969=，即第2 016个数为3 969，所以当n ＝64时，依次取3 970，3 972，3 974，3 976，…，所以第2 020个数是3 976. 故选：A. 11．11122-= 【分析】根据数学归纳法的一般步骤，令1n =即可得出结论. 【详解】依题意，当1n =时， 1112121-=⨯⨯，即11122-=，故答案为：11122-=.12．1112212342++++> 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明2n =时的不等式成立.【详解】因为n ≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+111222342+++>. 故答案为：1112212342++++> 13．a ，b ，c 中至少有两个偶数【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键. 【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数. 14．()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【解析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论.【详解】已知等差数列{}()*n a n N ∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N ∈，且1001b =，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈. 故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．(1)见解析； (2)见解析.【分析】（1）将判定定理用文字表述即可；（2）根据（1）中的前提和结论可得定理的形式，利用反证法可证该结论.【详解】（1）异面直线的判定定理：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不过该点直线是异面直线. （2）（1）中的定理写成“已知：．．．，求证：．．．”的形式如下： ,,,P Q l Q l ααα∉∈⊂∉，求证：,PQ l 为异面直线.证明：若,PQ l 不为异面直线，则,PQ l 共面于β，故,,Q l ββ∈⊂ 而Q l ∉，故,αβ为同一平面，而P β∈，故P α∈，这与P α∉矛盾，故,PQ l 为异面直线.16．正四面体内一点到四个面的距离之和为定值【分析】将边类比为面，从而得出正确结论.【详解】把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为“正四面体内一点到四个面的距离之和为定值”. 故答案为：正四面体内一点到四个面的距离之和为定值 17．（1）有错误，理由见解析；（2）有错误，理由详见解析.【分析】根据数学归纳法分为两步，∈证明当1n =时，结论成立，∈假设当n k =时，结论成立，当1n k =+时，应用归纳假设，证明1n k =+时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处. 【详解】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证明1n =时等式成立；（2）有错误，错误在于证明1n k =+时，没有应用n k =时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程. 18．222211223(1)(1)(31110)12n n n n n n ⨯+⨯+++=+++，证明见解析【分析】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++即可求得f （1），f （2），f （3）；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，由f （1），f （2），f （3）的值可求得a ，b ，c ；再用数学归纳法证明即可．【详解】设222()1223(1)f n n n =⋅+⋅+⋅⋅⋅++， f ∴（1）2124=⋅=，f （2）22122322=⋅+⋅=， f （3）22212233470⋅+⋅+⋅=；假设存在常数a ，b ，c 使得2(1)()()12n n f n an bn c +=++对一切自然数n 都成立，则f （1）12()412a b c ⨯=++=， 24a b c ∴++=∈，同理，由f （2）22=得4244a b c ++=∈，由f （3）70=得9370a b c ++=∈ 联立∈∈∈，解得3a =，11b =，10c =．2(1)()(31110)12n n f n n n +∴=++．证明：1︒当1n =时，显然成立；2︒假设n k =时，2(1)(1)(2)(35)()(31110)1212k k k k k k f k k k ++++=++=，则1n k =+时，2(1)()(1)[(1)1]f k f k k k +=++++2(1)(2)(35)(1)[(1)1]12k k k k k k +++=++++2(1)(2)(31724)12k k k k ++=++ (1)(2)(3)(38)12k k k k ++++=(1)[(1)1][(2)1][3(1)5]12k k k k +++++++=，即1n k =+时，结论也成立．综合1︒，2︒知，存在常数3a =，11b =，10c =使得2(1)()(31110)12n n f n n n +=++对一切自然数n 都成立。

高中数学2015年高考数学二轮复习推理与证明、新定义经典练习试卷及答案

高中数学2015年高考数学二轮复习推理与证明、新定义经典练习试卷及答案一、填空题（每空？分，共？分）1、定义区间、、、的长度均为.已知实数.则满足的x构成的区间的长度之和为 .二、选择题（每空？分，共？分）2、定义函数（定义域），若存在常数C ，对于任意,存在唯一的，使得,则称函数在D上的“均值”为C．已知函数，则函数在上的均值为（）(A) (B)(C) 10 (D)3、已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：①；②；③；④.其中是“垂直对点集”的序号是 -（）(A)①②(B) ②③ (C)①④ (D) ②④4、定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为………（）.．．．．5、设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在上是单调函数；②在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”．下列结论错误的是……………………………………（）A．函数（）存在“和谐区间”B．函数（）不存在“和谐区间”C．函数）存在“和谐区间”D．函数（，）不存在“和谐区间”参考答案一、填空题1、2或，因此所求长度之和为2．考点：解含参数的分式不等式．二、选择题2、D3、D4、B 【解析】试题分析：这类问题，首先要正确理解新运算，能通过新运算的定义把新运算转化为我们已经学过的知识，然后解决问题.本题中实质上就是取中的最小值，因此就是与中的最小值，函5、D在时取得最小值，而，即的最小值为正，无实根，。

【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习几何证明选讲

几何证明选讲1．(2014·某某高考)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE交于点F ，则△CDF的周长△AEF的周长＝________.【解析】易证△AEF∽△CDF,3AE＝CD ∴△CDF的周长△AEF的周长＝CD AE ＝3. 【答案】 32．(2014·某某高考)过圆外一点P 作圆的切线PA(A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C.若PA ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________.【解析】依题意得△PAC∽△PBA，则PA PC ＝AB AC ＝PB PA ，即6PB ＋9＝AB 8＝PB6，解得PB ＝3，AB＝4.【答案】 43．(2014·某某高考)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________.【解析】利用相似三角形的性质求解． ∵∠A＝∠A，∠AEF＝∠ACB，∴△AEF∽△ACB，∴AC AE ＝BC EF ，∴2＝BCEF，∴EF＝3.【答案】 34．(2014·某某高考)如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点．证明：∠OCB＝∠D.【证明】因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB ＝OC. 故∠OCB＝∠B.又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点，故∠B，∠D 为同弧所对的两个圆周角，所以∠B＝∠D. 因此∠OCB＝∠D.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为： 1．相似三角形的判定及相关性质①该考向主要在实行新课标的高考地区经常出现，主要考查相似三角形有关知识及平行线等分线段定理和平行线截割定理．②既可以命制选择题、填空题，也可命制解答题，难度中档． 2．圆的切线的判定和性质①本考向主要考查圆的切线的判定，圆周角定理等基础知识，是高考的重点和热点，主要考查学生的逻辑思维能力和计算能力．②既可以命制填空题、选择题，也可以命制解答题． 3．圆幂定理及应用①本考向主要考查圆幂定理和应用(四点共圆)问题，是高考的重点和热点，主要考查学生的逻辑思维能力和推理论证能力．②既可以命制填空题、选择题，也可以命制解答题．相似三角形的判定及相关性质【例1】 (2014·东北三校联考)如图，PA ，PB 是圆O 的两条切线，A ，B 是切点，C 是劣弧AB(不包括端点)上一点，直线PC 交圆O 于另一点D ，Q 在弦CD 上，且∠DAQ＝∠PBC.求证：(1)BD AD ＝BC AC； (2)△ADQ∽△DBQ.【证明】 (1)因为△PBC∽△PDB，所以BD BC ＝PD PB ，同理AD AC ＝PD PA .又因为PA ＝PB ，所以BD BC ＝AD AC ，即BD AD ＝BC AC.(2)连接AB.因为∠BAC＝∠PBC＝∠DAQ， ∠ABC＝∠ADQ，所以△ABC∽△ADQ，即BC AC ＝DQ AQ ，故BD AD ＝DQ AQ，又因为∠DAQ＝∠PBC＝∠BDQ，所以△ADQ∽△DBQ.【规律方法】判定三角形相似的常用方法 (1)利用三角形判定定理；(2)利用平行线分线段成比例定理； (3)利用与圆有关的“四定理”．[创新预测]1.(2012·某某高考)如图，⊙O 和⊙O′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC ＝AE.【证明】 (1)由AC 与⊙O′相切于A ，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.从而AC AD ＝ABBD，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED＝∠BAD. 又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.从而AE AB ＝ADBD，即AE·BD＝AD·AB.结合(1)的结论知，AC ＝AE.圆的切线的判定和性质【例2】 (2014·某某高考)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED.【证明】 (1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD 为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠D BA ＝∠EGA.所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB 是直径．(2)连接BC ，DC.由于AB 是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而Rt △BDA≌Rt △ACB，于是∠DAB＝∠CBA. 又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE 为直角．于是ED 为直径．由(Ⅰ)得ED ＝AB.【规律方法】已知圆的切线时，常作辅助线：连结圆心与切点，若题中有圆的直径常作出直径所对的圆周角，构造直角三角形．[创新预测]2．(2013·某某高考)如图，AB 为⊙O 直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连结AE ，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF 2＝AD·BC.【证明】 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB 为⊙O 的直径，得AE⊥EB.从而∠EAB＋∠EBF＝π2；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝π2，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE 是公共边，得Rt △BCE≌Rt △BFE，所以BC ＝BF.类似可证：Rt △ADE≌Rt △AFE，得AD ＝AF.又在Rt △AEB 中，EF⊥AB，故EF 2＝AF·BF，所以EF 2＝AD·BC.圆幂定理及应用【例3】 (2014·全国新课标Ⅰ高考)如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E.证明：(1)BE ＝EC ；(2)AD·DE＝2PB 2.【证明】 (1)连接AB ，AC.由题设知PA ＝PD ，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE ＝EC .因此BE ＝EC.(2)由切割线定理得PA 2＝PB·PC.因为PA ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB. 由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB 2.【规律方法】一般地，涉及圆内的两条相交弦时首先考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．[创新预测]3．(2013·全国课标Ⅱ高考)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC·AE＝DC·AF，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．【解】 (1)证明因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BC FA ＝DCEA，故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°. 所以∠CBA＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连接CE ，因为∠CBE＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB·BA＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB·DA＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.。

高考数学：专题三第三讲推理与证明课件

本讲栏目开关
191,202，„，999.则 (1)4 位回文数有________个； (2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个.
解析 (1)4 位回文数有： 1001,1111,1221，„，1991,10 个 2001,2112,2222，„，2992,10 个 „„ 9009,9119,9229，„，9999,10 个共 90 个.
－－
∴{an}的通项公式为 an＝4· (－1)n－1－n (n∈N*).
题型与方法
(3)解 ∵{an}的通项公式为
n n
－
第三讲
an＝4· (－1)n－1－n (n∈N*)，
本讲栏目开关
所以 Sn＝∑ ak＝∑ [4· (－1)k 1－k] k＝1 k＝1
＝∑ [4· (－1) k＝1
代入 an－1＝an(an＋1－1)得 bn＝(bn＋1)bn＋1.
Байду номын сангаас
整理得 bn－bn＋1＝bnbn＋1，
由题意知，bn≠0，(否则 an＝1，与 a1＝2 矛盾) 1 1 从而得－＝1， bn＋1 bn
∵b1＝a1－1＝1，
本讲栏目开关
题型与方法 1 ∴数列{b }是首项为 1，公差为 1 的等差数列. n 1 1 ∴b ＝n，即 bn＝n. n 1 1 1 (2)证明 ∵Sn＝1＋＋＋„＋， 2 3 n
本讲栏目开关
n∈N*， C4n＋11＋C4n＋15＋C4n＋19＋„＋C4n＋14n 1＝____________.
解析这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由两项构成，第二项前有(－1)n，两项指数分别为 4n－1，2n－1，

【高考复习方案】2015届高三数学(新课标文)二轮限时训练第4讲算法与推理证明

专题限时集训(四)[第4讲算法与推理证明](时间：5分钟＋30分钟)基础演练1．根据程序，当输入a＝－4时，输出的b的值为()A．－8 B．－5 C．5 D．82．图4-18时，输出的结果是()图4-1A．9 B．－6 C．－3 D．03．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，照此规律，第五个等式为______________.4．执行如图4-2所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的x为________.图4-2提升训练5．22014个位上的数字为()A．2 B．4 C．6 D．86．图4-3所示的程序框图，输出的结果是()A．2450 B．2550 C．5050 D．49007．阅读如图4-4的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为()图4-4A．3 B．4 C．5 D．68．某程序框图如图4-5()图4-5A．k＞4? B．k＞5? C．k＞6? D．k＞7? 9．已知13＝12，13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，……据以上各式可猜想出第n个等式是________.10．阅读如图4-6k的值为________.11．有n粒球(n≥2，n∈N*)，任意将它们分成两堆，求出两堆球数的乘积，再将其中一堆任意分成两堆，求出这两堆球数的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球数的乘积，直到不能分为止，记所有乘积之和为S n.例如，对于4粒球有如下两种分解：(4)→(1，3)→(1，1，2)→(1，1，1，1)，此时S4＝1×3＋1×2＋1×1＝6；(4)→(2，2)→(1，1，2)→(1，1，1，1)，此时S4＝2×2＋1×1＋1×1＝6.于是发现S4为定值6，请你计算S5的值为________.12．如图4-7所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为a n.则(1)a n＝________；(2)9a2a3＋9a3a4＋9a4a5＋…＋9a2013a2014＝________.图专题限时集训(四)【基础演练】1．A [解析] 因为a ＝－4≤3，所以b ＝a －4＝－4－4＝－8.2．D [解析] x ＝－8≤0，执行循环体，x ＝x ＋3＝－8＋3＝－5≤0，继续执行循环体；x ＝－5＋3＝－2≤0，继续执行循环体，x ＝－2＋3＝1＞0，跳出循环体，故输出y ＝log 21＝0.3．6＋635＝6635[解析] 由前三个式子的规律可归纳出第n 个等式为（n ＋1）＋n ＋1（n ＋1）2－1＝(n ＋1)n ＋1（n ＋1）2－1，第五个等式为6＋635＝6635. 4．－1或4 [解析] 由程序框图知，当x ＜1时，y ＝2－x ，令2－x ＝2得x ＝－1；当x ≥1时，y ＝log 2x ，令log 2x ＝2，得x ＝4，所以x ＝－1或x ＝4.【提升训练】5．B [解析] 由21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝24＋1＝32，26＝24＋2＝64，27＝24＋3＝128，28＝24＋4＝256，…，知2n 的个位上的数字具有同期性，且周期为4，又22014＝2503×4＋2，所以其个位上的数字与22的个位上的数字相同，为4.6．A [解析] 据框图知，当i ＝100时输出s ，所以输出的结果是2＋4＋6＋…＋98＝49（2＋98）2＝2450. 7．B [解析] 第一次循环i ＝1，a ＝2; 第二次循环i ＝2，a ＝5; 第三次循环i ＝3，a ＝16；第四次循环i ＝4，a ＝65＞50，输出i ＝4.8．A [解析] 程序依次运行：k ＝2，S ＝4；k ＝3，S ＝11；k ＝4，S ＝26；k ＝5，S ＝57，结果循环输出S ＝57.所以判断框内应填“k ＞4？”．9．13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2 [解析] 经观察知等式左边为从1开始的连续整数的立方和，等式右边为从1开始的连续整数和的平方．10．2 [解析] 第一次循环，i ＝3×5＋1＝16，i ＝16>50不成立；执行第二次循环，k ＝0＋1＝1，i ＝3×16＋1＝49, i ＝49>50不成立；执行第三次循环，k ＝1＋1＝2，i ＝3×49＋1＝148 ，i ＝148>50成立，跳出循环，输出k 的值为2.11．10 [解析] 据题意知无论怎么分，S 5应为定值，所以计算其中一种分法即可，(5)→(1，4)→(1，2，2)→(1，1，1，2)→(1，1，1，1，1)，于是S 5＝1×4＋2×2＋1×1＋1×1＝10.12．(1)3(n －1)(n ≥2) (2)20122013 [解析] (1)由图案知，图案上的点数构成首项为3，公差为3的等差数列，所以有a n ＝3(n －1)(n ≥2)．(2)因为9a n a n ＋1＝93（n －1）×3n ＝1n －1－1n，所以 9a 2a 3＋9a 3a 4＋…＋9a 2013a 2014＝1－12＋12－13＋…＋12012－12013＝20122013.。

专题24 推理与证明—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(原卷版)

专题24 推理与证明一、选择题1. 【2014山东.文4】用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程02=++b ax x 没有实根B.方程02=++b ax x 至多有一个实根C.方程02=++b ax x 至多有两个实根D.方程02=++b ax x 恰好有两个实根 2. 【2014山东.文9】对于函数)(x f ，若存在常数0≠a ，使得x 取定义域内的每一个值，都有)2()(x a f x f -=，则称)(x f 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是（） A x x f =)( B 2)(x x f = C x x f tan )(= D )1cos()(+=x x f3.【2015高考浙江，文8】设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（） A ．若t 确定，则2b 唯一确定 B ．若t 确定，则22a a +唯一确定 C ．若t 确定，则sin2b唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定 4. 【2015高考广东，文10】若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（）A ．50B ．100C ．150D ．2005.【2014高考广东卷.文.10】对任意复数1w .2w ,定义1212w w w w *=,其中2w 是2w 的共轭复数.对任意复数1z .2z .3z ,有如下四个命题：①()()()1231323z z z z z z z +*=*+*； ②()()()1231213z z z z z z z *+=*+*； ③()()123123z z z z z z **=**； ④1221z z z z *=*. 则真命题的个数是( )A .1B .2C .3D .46.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（） A.227 B.258 C.15750 D.3551137. 【2015高考湖北，文10】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（）A ．77B ．49C ．45D ．308. 【2014福建,文12】在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为121212.PP x x y y =-+-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,FF 的“L-距离”之和等于定值（大于12|||F F ）的点的轨迹可以是（）二、填空题1. 【2016高考新课标2文数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 2. 【2016高考山东文数】观察下列等式：；；；；…… 照此规律，_________．3. 【2015高考山东，文14】定义运算“⊗”： 22x y x y xy -⊗=（,0x y R xy ∈≠，）.当00x y >>，时，(2)x y y x ⊗+⊗的最小值是 .4. 【2015高考陕西，文16】观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++…………据此规律，第n 个等式可为______________________.5．【2014四川，文15】以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -。

高考数学二轮：4.4《推理与证明》试题(含答案)

第 4 讲推理与证明1．(2015 ·北湖 )已知集合 A ＝ {( x ，y)|x 2＋ y 2≤1，x ，y ∈ Z } ，B ＝ {( x ，y)||x| ≤2，|y| ≤2，x ，y ∈ Z } ，定集合 A B ＝ {( x 1＋x 2，y 1＋ y 2)|(x 1 ，y 1)∈ A ，(x 2 ，y 2)∈ B} ， AB 中元素的个数()A ．77B ．49C ．45D ．302．(2014 ·京北 )学生的文、数学成均被定三个等，依次 “ 秀 ”“合格 ”“不合格 ”．若学生甲的文、数学成都不低于学生乙，且其中至少有一成高于乙，称 “学生甲比学生乙成好 ”．如果一学生中没有哪位学生比另一位学生成好，并且不存在文成相同、数学成也相同的两位学生，那么学生最多有 ( )A ．2 人B ．3人C ．4 人D ．5 人3． (2015 · 山 ) 察下列各式： C 10＝40；C 30＋C 31＝ 41;C 05＋C 15＋ C 25 ＝42 ；C 07＋C 17＋ C 27 ＋C 37＝ 43； ⋯⋯*12n －1照此律，当 n ∈ N， C 2n － 1 ＋C 2n － 1＋ C 2n － 1＋ ⋯＋ C 2 n － 1＝ ________.4．(2015 福·建 )一个二元是由0 和 1 成的数字串 x 1x 2⋯ x n (n ∈ N * )，其中 x k (k ＝ 1,2，⋯ ，n)称第 k 位元．二元是通信中常用的，但在通信程中有会生元(即元由01，或者由 10)．已知某种二元x 1x 2⋯ x 7 的元足如下校方程：x 4 x 5 x 6 x 7＝ 0， x 2 x 3 x 6 x 7＝ 0， x 1 x 3 x 5 x 7＝ 0，其中运算定0＝ 0,01＝ 1,10＝ 1,11＝ 0.已知一个种二元在通信程中在第k 位生元后成了1101101，那么利用上述校方程可判定k 等于 ________．1.以数表、数、形背景与数列、周期性等知相合考推理和比推理，多以小形式出.2.直接明和接明的考主要作明和推理数学命的方法，数列及不等式等合命.常与函数、点一推理(1)推理是由某事物的部分象具有某些特征，推出事物的全部象都具有些特征的推理，或者由个事概括出一般的推理．(2)推理的思程如下：、察→ 概括、推广→ 猜一般性例 1 (1) 古希腊达哥拉斯学派的数学家研究各种多形数，如三角形数1,3,6,10 ，⋯，第n n＋＝1 21形数 N(n， k)(k≥ 3)，以下列出了部分 kn 个三角形数2n＋ n，第 n 个 k 22形数中第 n 个数的表达式：三角形数121 N(n,3)＝ n＋ n，22正方形数N(n,4)＝ n2，五形数321n，N(n,5)＝ n－22六形数N(n,6)＝ 2n2－n⋯⋯可以推 N(n，k)的表达式，由此算N(10,24)＝ ____________.(2) 已知 f(n)＝ 1 ＋1＋1＋⋯＋1(n∈N* )，算得f(4)>2 ， f(8)>5， f(16)>3 ， f(32)>7，有2 3n22______________________ ．思升推思想在解决，从特殊情况入手，通察、分析、概括，猜想出一般性，然后予以明，一数学思想方法在解决探索性、存在性或与正整数有关的命有着广泛的用．其思模式是“ 察——猜想—明”，解的关在于正确的猜想．跟踪演 1 (1)有菱形的正六形地面，按下的律拼成若干个案，第六个案中有菱形的正六形的个数是()A ．26B ．31C ．32D ．36(2)两旅客坐火外出旅游，希望座位在一起，且有一个靠窗，已知火上的座位的排法如所示，下列座位号符合要求的当是( )A ． 48,49B ． 62,63C ． 75,76D ．84,85点二比推理(1) 比推理是由两象具有某些似特征和其中一象的某些已知特征，推出另一象也具有些特征的推理． (2) 比推理的思程如下：察、比→ 想、推→ 猜新的例 2(1) 在平面几何中有如下：若正三角形ABC 的内切面 S 1，外接面 S 2，S 1 1ABCD 的内切球体 V 1，外接球＝ .推广到空几何可以得到似：若正四面体S 2 4V 1体 V 2， V 2＝ ________.x－ x(2)(2015 日·照高三第一次模考) 已知双曲正弦函数 e － e和双曲余弦函数ch x ＝sh x ＝2e x ＋e － x与我学的正弦函数和余弦函数有多似的性，比正弦函数和余弦函数的2和角或差角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个似的正确．．．．．．．______________________ ．思升比推理是合情推理中的一重要推理，的是两事物之的相似性，有共同要素是生比迁移的客因素，比可以由概念性上的相似性引起，如等差数列与等比数列的比，也可以由解方法上的似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的比．跟踪演 2(1) 若数列 { a n } 是等差数列， b n ＝a 1＋ a 2＋ ⋯ ＋ a n，数列 { b n } 也等差数列．n比一性可知，若正数列 { c n } 是等比数列，且{ d n } 也是等比数列，d n 的表达式 ( )A．d n＝ c1＋ c2＋⋯＋ c nnc ·c ·⋯·cB ．d n＝12nnC．d n＝n c1n＋ c2n＋⋯＋ c n nnD． d n＝n12·⋯·c nc ·cx2y2(2)若点 P0(x0，y0)在a2＋b2＝ 1(a>b>0) 外，点 P0作的两条切，切点分P1，P2，切点弦P1P2所在直的方程x0x y0y x2y2a2＋b2 ＝1.那么于双曲a2－b2＝1(a>0，b>0)，似地，可以得到切点弦所在直的方程____________________．点三直接明和接明直接明的常用方法有合法和分析法，合法由因果，而分析法是果索因，反法是反出矛盾的明方法．例 31＋ a n＋1＝＋a n，a n a n＋1<0 (n≥ 1)；数列 { b n} 足：已知数列 { a n} 足： a1＝，1－ a n＋121－ a n22(n≥ 1)．b n＝ a n＋1－ a n(1)求数列 { a n} ， { b n} 的通公式；(2)明：数列 { b n} 中的任意三不可能成等差数列．思升(1)有关否定性的明常用反法或出一个不成立的例子即可．(2)合法和分析法是直接明常用的两种方法，我常用分析法找解决的突破口，然后用合法来写出明程，有候，分析法和合法交替使用．跟踪演3 (1)已知 △ABC 的三个内角 A ，B ，C 成等差数列， A ，B ，C 的分 a ，b ，c.求：1 ＋ 1 ＝3 ；a ＋b b ＋c a ＋ b ＋c(2)已知 f(x) ＝ a x＋x －2(a>1) ，明：方程 f(x)＝ 0 没有根．x ＋1点四数学法数学法明的步(1) 明当 n 取第一个 n 0(n 0∈N *) 成立．(2)假 n ＝ k(k ∈N * ，且 k ≥n 0) 成立，明 n ＝ k ＋ 1也成立．由 (1)(2) 可知，任意n ≥n 0，且 n ∈ N * ，都成立．4 已知 f(n)＝ 1＋ 111131*例 23＋ 33＋ 43＋ ⋯ ＋n 3， g(n)＝ 2－2n 2， n ∈N.(1) 当 n ＝ 1,2,3 ，比 f(n)与 g(n)的大小； (2) 猜想 f(n) 与 g(n)的大小关系，并出明．思维升华用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，由n＝ k 到 n＝k＋ 1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．难点在于寻求等式在n＝ k 和 n＝ k＋ 1 时的联系．跟踪演练4设a>0，f(x)＝ax，令a1＝1，a n＋1＝f(a n)，n∈ N*. a＋ x(1)写出 a2， a3， a4的值，并猜想数列{ a n} 的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．1．把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij (i ， j ∈N* )是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a42＝8.若a ij＝ 2 011，则i 与j 的和为________．14272．已知下列不等式： x＋≥2，x＋2≥3，x＋3≥4，⋯，第 n 个不等式 ________________ ．x x x3．数列 { a n} 是公比 q的等比数列，S n是它的前 n 和，明：数列{ S n} 不是等比数列．提醒：完成作四第4二化四第 4推理与明A通关1．察下列各式： a ＋ b ＝ 1， a 2＋ b 2＝ 3， a 3＋ b 3＝ 4， a 4 ＋ b 4＝ 7， a 5＋ b 5＝ 11， ⋯ ，a 10＋b10等于()A ．28B ． 76C ．123D ． 1992 ．察下列事： |x|＋ |y|＝ 1 的不同整数解 (x ，y)的个数4，|x|＋ |y|＝ 2 的不同整数解 (x ，y)的个数 8， |x|＋ |y|＝ 3 的不同整数解 (x ，y)的个数 12，⋯ ， |x|＋ |y|＝ 20 的不同整数解 (x ，y)的个数 ( )A ．76B ．80C ． 86D ．923． (2015 合·肥模 )正弦函数是奇函数， f(x) ＝sin(x 2＋ 1)是正弦函数，因此 f(x)＝ sin(x 2＋ 1)是奇函数，以上推理 ( )A ．正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确 4．下列推理是推理的是 ( )A ． A ，B 定点，点P 足 |PA|＋ |PB|＝ 2a>|AB|， P 点的迹B ．由 a 1＝ 1， a n ＝3n － 1，求出 S 1， S 2， S 3，猜想出数列的前 n 和 S n 的表达式222的面 πr 2，猜想出x 2 y 2C ．由 x ＋ y ＝ r 2＋2＝ 1 的面 S ＝πaba bD ．以上均不正确5．已知函数 f(x)是 R 上的增函数且奇函数，数列 { a n } 是等差数列， a 3>0， f(a 1)＋ f( a 3)＋ f(a 5)的 ( )A ．恒正数B ．恒数C ．恒 0D ．可正可6． (2015 山· ) 定运算 “?”： x?y ＝ x 2－ y 2(x ， y ∈ R ， xy ≠ 0)，当 x ＞ 0， y ＞ 0 ， x?y ＋ (2y)?xxy 的最小 ________．7．平面内有 n 条直，最多可将平面分成f(n)个区域， f(n) 的表达式 ________．8．如果函数 f(x)在区 D 上是凸函数，那么于区D 内的任意 x 1， x 2， ⋯， x n ，都有f x 1 ＋ fx 2 ＋ ⋯ ＋f x n x 1＋ x 2＋ ⋯＋ x nn≤f( n)．若 y ＝sin x 在区 (0，π)上是凸函数，那么在 △ABC 中， sin A ＋ sin B ＋ sin C 的最大是 ________．9．某同学在一次研究性学中，以下五个式子的都等于同一个常数：22① sin 13°＋ cos 17°－ sin 13 cos ° 17 ；°② sin 215°＋ cos 215°－ sin 15 cos ° 15 ；° ③ sin 218°＋ cos 212°－ sin 18 cos ° 12 ；°④ sin 2(－18°)＋ cos 2 48°－ sin(－ 18°)cos 48 ；° ⑤ sin 2(－25°)＋ cos 2 55°－ sin(－ 25°)cos 55 . °(1) 从上述五个式子中一个，求出个常数；(2)根据 (1)的算果，将同学的推广三角恒等式，并明你的．2 21410．已知 a ， b ， m 非零数，且a ＋b ＋ 2－ m ＝0， a 2＋ b 2＋ 1－2m ＝ 0.(1)求： 1 ＋ 4 92 2 ≥22；a b a ＋ b7(2)求： m ≥ .2B 能力提高11．(2015 西·安五校考 )已知 “整数 ”按如下律排成一列： (1,1) ，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)， (1,4) ， (2,3)， (3,2)， (4,1) ， ⋯，第 60 个 “整数 ”是 ( )A ． (7,5)B ． (5,7)C ．(2,10)D ． (10,1)3712．大于 1 的自然数m 的三次可用奇数行以下方式的33，“分裂 ”： 2 5， 3 911134 315 3的“分裂数 ”中有一个是 59， m 的 ________．， ⋯.仿此，若 m171913．在平面上，我如果用一条直去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下所，由勾股定理有：c 2＝ a 2＋ b 2. 想正方形成正方体，把截成如的截面，从正方体上截下三条棱两两垂直的三棱O — LMN ，如果用S 1， S 2， S 3 表示三个面面， S 4 表示截面面，那么比得到的是_______________________________ ．14．蜜蜂被是自然界中最杰出的建筑，个蜂巢可以近似地看作是一个正六形，如一蜂巢的截面．其中第一个有1 个蜂巢，第二个有7 个蜂巢，第三个有19个蜂巢，按此律，以f(n)表示第 n 个的蜂巢数．(1)出 f(4) ， f(5) 的，并求f(n)的表达式 (不要求明 )；明： f 1＋ f1＋ f114(2)＋ ⋯ ＋ f n <3.学生用答案精析第 4 推理与明高考真体1．C[如，集合 A 表示如所示的所有点 “”，集合 B 表示如所示的所有点 “”＋所有点 “”，集合 A B 然是集合 {( x ，y)||x| ≤3，|y| ≤3，x ， y ∈Z } 中除去四个点 {( － 3，－ 3)，(－ 3,3)， (3，－ 3)， (3,3)} 之外的所有整点(即横坐与坐都整数的点)，即集合 A B表示如所示的所有点 “”＋所有点 “”＋所有点 “”，共 45 个．故 AB 中元素的个数45.故C.]2．B[假足条件的学生有 4 位及 4 位以上，其中 4 位同学分甲、乙、丙、丁，4 位同学中必有两个人文成一，且两个人数学成不一 (或 4 位同学中必有两个数学成一，且两个人文成不一)，那么两个人中一个人的成比另一个人好，故足条件的学生不能超3 人．当有3 位学生，用A ，B ，C 表示 “ 秀 ”“合格 ”“不合格 ”，足意的有AC ， CA ， BB ，所以最多有3 人． ]n －13． 4解析察每行等式的特点，每行等式的右端都是的形式，底数均4，指数与等式左端最后一个合数的上相等，故有12n － 1n － 1C 2n － 1＋C 2n － 1＋ C 2n － 1＋ ⋯ ＋C 2n － 1＝ 4.4． 5解析 (ⅰ )x 4 x 5 x 6 x 7＝ 11 01＝ 1，(ⅱ )x 2 x 3x 6 x 7＝ 1 00 1＝0；(ⅲ )x 1x 3x 5x 7＝ 111＝ 1.由 (ⅰ )(ⅲ )知 x 5， x 7 有一个， (ⅱ )中没有，∴ x 5 ，故 k 等于 5.点分突破例 1(1)1 000 (2) f(2 n n ＋ 2*)>2(n ≥2， n ∈ N )解析(1) 由 N(n,4)＝ n 2， N(n,6)＝ 2n 2－ n ，可以推：当 k 偶数，N(n ， k)＝k － 2 2 4－ k2 n ＋ 2 n ，∴ N(10,24)＝24－ 2 4－ 24×102 ×100＋ 2＝ 1 100－ 100＝1 000.(2)由意得 f(22)>4， f(23)> 5，22f(2 46 5 7，所以当 n ≥2 ，有 f(2n)>n ＋2)> ， f(2 )>2.22故填 f(2n)>n ＋ 2(n ≥2， n ∈ N * )．2跟踪演 1 (1)B (2)D解析 (1) 有菱形的正六形个数如下表：案 1 23⋯个数61116⋯由表可以看出有菱形的正六形的个数依次成一个以6 首，以 5 公差的等差数列，所以第六个案中有菱形的正六形的个数是6＋ 5×(6－ 1)＝ 31.故 B.(2)由已知形中座位的排列序，可得：被5 除余 1 的数和能被 5 整除的座位号窗，由于两旅客希望座位在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4 座位号，只有D 符合条件．例2 (1)1 27(2)ch(x － y)＝ ch xch y － sh xsh y解析 (1) 平面几何中，的面与的半径的平方成正比，而在空几何中，球的体与半径的立方成正比，所以V 1＝ 1V 227. (2)ch xch y － sh xsh y ＝e x ＋ e－x2·e y ＋e－ye x － e －x e y － e－y－2 · 221 x ＋ y x － y －x ＋y－ x － y x ＋ yx －y － x ＋ y－ x － y＝ (e ＋e ＋ e ＋ e － e＋ e ＋e － e) 41－－ x －yx －y－( x － y))＝ ex y＋ e＝ ch(x － y)，＝ (2e＋ 2e24故知 ch(x ＋y)＝ ch xch y ＋ sh xsh y ，或 sh(x － y)＝ sh xch y －ch xsh y ，或 sh(x ＋ y)＝ sh xch y ＋ch xsh y.跟踪演 2 (1)D(2) x 0x y 0 ya 2 －b 2 ＝1解析(1) 由{ a n } 等差数列，公差d ，a 1 ＋ a 2 ＋⋯ ＋ a nn －1b n ＝＝ a 1＋ 2 d ，n又正数列 { c n } 等比数列，公比 q ，d ＝n＝nn 2n n 1 n2 ＝ c 1 q2 ，故 D.nc 1·c 2 ·⋯·c nc 1 q(2) P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 0(x 0，y 0)，点 P 1，P 2 的切的方程分x 1x y 1y ＝ 1， x 2x a 2 － 2 2b ay 2yx 1x 0 y 1y 0x 2x 0 y 2y 0－ b 2 ＝ 1.因 P 0(x 0， y 0)在两条切上，所以 a 2 －b 2 ＝1， a 2 － b 2＝ 1，明 P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2 ，y 2 )都在直 x 0x y 0y＝ 1 上，故切点弦P 1P 2 所在直的方程 x 0x y 0y2 － 2 2 － 2＝ 1.a bab＋ a n ＋1 ＋a n2例 3 (1) 解＝化 1－a n ＋1 2 ，已知 1－ a 2 ＝1－ a n ＋ 1 1－ a3 n n而 1－a 21＝ 34，所以数列 {1 － a n 2} 是首3，公比2的等比数列，4323 2 n － 123 2 n － 11－a n ＝4×3， a n ＝ 1－4× 3 ，由 a n a n ＋ 1<0，知数列 { a n } 的正相出，因此 a n ＝(－1) n ＋13 2 n － 11－4× 3 ，223 2 n 3 2 n － 1 1 2 n － 1b n ＝ a n ＋1－ a n ＝－ 4× 3 ＋ 4×3 ＝4×3.(2) 明假存在某三成等差数列，不妨b m 、b n 、b p ，其中 m 、n 、p 是互不相等的正整数，可 m<n<p ，而 b ＝ 1 2 n － 1随 n 的增大而减小，×n3 4那么只能有 2b n ＝b m ＋ b p ，1 2 n －11 ×2m －11 2 p －1，可得 2×× 3＝ 4 3＋ ×3442×2 n － m 2 p －m 3 ＝ 1＋ 3 .当 n －m ≥2 ，2×2n －m2 2＝ 8，上式不可能成立，只能有 n － m ＝ 1，此等式4 3≤ 2×9 ＝133＋23 p －m，1 2 p －m21即 3 ＝ 3 ，那么 p － m ＝log 33 ，左正整数，右无理数，不可能相等．所以假设不成立，那么数列{ b n} 中的任意三项不可能成等差数列．跟踪演练3证明(1)要证1＋1＝3，a＋ b b＋ c a＋ b＋ c即证 a＋ b＋ c＋a＋ b＋ c＝3，a＋ b b＋ cc a也就是＋＝1，只需证 c(b＋ c)＋ a(a＋ b)＝ (a＋ b)(b＋ c)，需证 c2＋a2＝ac＋ b2，又△ABC 三内角 A， B， C 成等差数列，故 B＝ 60°，由余弦定理，得b2＝ c2＋ a2－ 2accos 60 °，即 b2＝ c2＋ a2－ ac，故 c2＋ a2＝ ac＋ b2成立．于是原等式成立．(2)假设 x0是 f(x)＝ 0 的负根，x x0－ 2则 x0<0 ，且 x0≠－ 1， a 0＝－x0＋1，所以 0<a x0<1? 0<－x0－2<1，x0＋1解得1<x0<2，这与 x0<0 矛盾，故方程f(x) ＝ 0没有负根．2例 4解(1) 当 n＝ 1 时， f(1) ＝ 1， g(1) ＝ 1，所以 f(1)＝ g(1)；当 n＝2 时， f(2)＝9， g(2) ＝11，88所以 f(2)< g(2) ；当 n＝3 时， f(3)＝251，g(3) ＝312，216216所以 f(3)< g(3) ．(2)由 (1)，猜想 f(n) ≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．①当 n＝ 1,2,3 时，不等式显然成立，②假设当n＝ k(k≥3)时不等式成立，即1 1 1 1 3 11＋ 23 ＋ 33＋43＋ ⋯ ＋ k 3<2－ 2k 2.那么，当 n ＝ k ＋1 ， f(k ＋ 1)＝ f(k)＋1 311k ＋3<2－ 2k 2＋k ＋3.因1 2－ [ 12－1 3]k ＋ 2kk ＋k ＋ 3 1－ 3k － 1＝k ＋3－2k2＝k ＋3k2<0，所以 f(k ＋ 1)< 3－1 2＝g( k ＋ 1)．2k ＋由①②可知，一切n ∈N * ，都有 f(n) ≤g(n)成立．跟踪演4 (1)解∵a 1＝ 1，∴ a 2＝ f(a 1)＝f(1)＝ a；1＋aa 3＝ f(a 2 )＝ a ； a 4＝ f(a 3 )＝ a .2＋ a 3＋ a 猜想 a n ＝n － a (n ∈ N * )．＋ a(2) 明 ①易知， n ＝1 ，猜想正确．②假 n ＝ k 猜想正确，即a · a k ＋ 1＝ f(a k )＝a ·a k＝a ＋ a ka ＋a a k ＝，k －＋ aa k －＋ aa k －＋a＝a＝ak ＋－1]＋ a.k －＋ a ＋ 1 明， n ＝ k ＋1 猜想正确．由①②知，于任何n ∈N * ，都有 a n ＝a.＋ an －高考押精1． 108解析由三角形数表的排列律知，a ij ＝ 2 011， i 必奇数．i ＝ 2m ＋ 1.在第 i 行上面，必有 m 行奇数行， m 行偶数行．在前2m 行中，共有奇数 m 2 个．最大的奇数 1＋ (m 2－ 1) ×2＝2m 2－ 1，由 2m 2－ 1<2 011 得 m 的最大 31.∴ i ＝ 63.最大的奇数 1 921 ，在第 63 行中，首 1 923 ，即 1 923 ＋ (j － 1) ×2＝ 2 011，∴ j＝ 45，故 i ＋ j ＝108.n n2． x ＋ x n ≥n ＋ 1解析已知所不等式的左第一个式子都是x ，不同之在于第二个式子，当n ＝1 ，1；当 n ＝ 2 ，427⋯⋯x x 23；当 n ＝3 ， x然式子中的分子与分母是的，分母 x n，分子是 n n，所以不等式左的式子n nx ＋ n ，x然不等式右的式子 n ＋ 1，所以第 n 个不等式 x ＋nn n ≥n ＋ 1.x3．明假 { S n } 是等比数列，S 22＝ S 1S 3，即 a 12(1 ＋q) 2＝ a 1·a 1(1＋ q ＋ q 2)．因 a 1 ≠0，所以 (1 ＋q)2 ＝1＋ q ＋ q 2，即 q ＝ 0，与 q ≠0矛盾，故 { S n } 不是等比数列．二化答案精析第 4推理与明1． C [察可得各式的构成数列1,3,4,7,11，⋯，其律从第三起，每等于其前相两的和，所求数列中的第十．写出此数列 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123 ，⋯，第十123，即 a10＋ b10＝ 123.]2． B[由 |x|＋ |y|＝ 1 的不同整数解的个数4， |x|＋ |y|＝2的不同整数解的个数8， |x|＋ |y|＝ 3 的不同整数解的个数12，推理得 |x|＋ |y|＝ n 的不同整数解的个数4n，故 B.( 本用列法也不找出 |x|＋ |y|＝20 的 80 个不同整数解 )]3． C[因 f(x)＝ sin(x2＋ 1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]4． B[从 S1， S2， S3猜想出数列的前 n 和 S n，是从特殊到一般的推理，所以 B 是推理． ]5． A[由已知得 f(0) ＝ 0， a1＋ a5＝ 2a3>0，所以 a1 >－a5.由于 f(x)增且奇函数，所以f(a1)＋ f(a5)>f( －a5)＋f(a5)＝ 0，又 f(a3)>0 ，所以 f(a1) ＋f(a3)＋ f(a5)>0. 故 A.]6.2由意，得 x?y＋ (2y)?x＝x2－y2y2－x2x2＋ 2y22 x2·2y22，当且当 x＝ 2解析xy＋2yx＝2xy ≥2xy＝y取等号．n2＋ n＋ 27． f(n)＝2解析 1 条直将平面分成1＋ 1 个区域； 2 条直最多可将平面分成1＋ (1＋ 2)＝ 4 个区域；3 条直最多可将平面分成1＋ (1＋ 2＋ 3)＝ 7 个区域；⋯⋯， n 条直最多可将平面分成1＋n n＋＝n2＋ n＋2(1＋ 2＋3＋⋯＋ n)＝ 1＋2个区域．28.33 2解析由意知，凸函数足f x1＋ f x2＋⋯＋ f x n x1＋x2＋⋯＋ x n)，n≤f(n又 y＝ sin x 在区 (0，π)上是凸函数，A＋B＋ Cπ 3 3 sin A＋sin B＋ sin C≤3sin3＝ 3sin3＝ 2.9．解方法一(1) 选择②式，计算如下：22°－sin 15 cos ° 15 °sin 15°＋ cos 15 1 1 3.＝ 1－ sin 30 ＝°1－＝24 4(2)三角恒等式为223sin α＋ cos (30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ 4. 证明如下：sin 2 α＋ cos 2(30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ sin 2α＋(cos 30 cos ° α＋ sin 30 sin ° α)2－ sin α(cos 30 °cos α＋ sin 30 sin ° α)23 23 123 1 23 2 3 23 ＝ sin α＋ cos α＋2sin αcos α＋ sin α－2sin αcos α－sin α＝ sin α＋cos α＝ .442444方法二(1)同方法一．223(2)三角恒等式为sinα＋ cos (30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ .证明如下：22°－ α)－ sin αcos(30 －°α)sin α＋ cos (30 1－ cos 2α 1＋ cos 60°－2α＝＋－ sin α(cos 30 cos ° α＋ sin 30 sin ° α)22＝ 1－11＋ 13 12α22cos 2α＋ 2 2(cos 60 cos ° 2α＋ sin 60 sin ° 2α)－ 2 sin αcos α－ 2sin31＝ 2－2cos 2α＋ 2＋ 4cos 2α＋ 4 sin 2α－ 4 sin 2α－4(1 －cos 2α)3111111 13＝ 1－4cos 2α－ 4＋ 4cos 2α＝ 4.10．证明 (1)(分析法 )要证14 ≥ 2 92成立，2 ＋ 2a b a ＋ b 1 4 2 2 只需证 ( a 2＋b 2)( a ＋ b ) ≥9，即证 1＋ 4＋ b 2 4a 2a 2＋ b 2 ≥9，即证 b 2 4a 2 a 2＋ 2 ≥ 4.b根据基本不等式，有 b 2 4a 2 b 2 4a 2＝4 成立，2＋ 2 ≥2 2· 2a b a b 所以原不等式成立．221 4(2)( 综合法 )因为 a ＋ b ＝m － 2， a 2＋ b 2＝ 2m － 1，由 (1) ，知 (m － 2)(2m － 1) ≥9，即2 － 5m － 7≥0，解得 m ≤－ 17 22＝ m － 2>0.2m 或 m ≥.又因 a ＋ b27所以 m>2 ，故 m ≤－ 1 舍去，所以m ≥2.11．B [ 依意，就每整数的和相同的分一，不得知每整数的和 n ＋ 1，且每共有n 个整数，的前 n 一共有n n ＋＋个整数，注意到22<60<＋的 )的第 5 个位，因此第 60 个整数于第 11 (每整数的和 122置，合意可知每整数的和 12 的中的各数依次(1,11)， (2,10) ，(3,9) ，(4,8) ，(5,7)， ⋯ ，因此第 60 个整数是 (5,7)． ]12． 8解析由已知可察出 m 3 可分裂m 个奇数，最小的一个 (m － 1)m ＋ 1.当 m ＝8 ，最小的数57，第二个便是59.∴m ＝ 8.222213． S 1＋S 2＋S 3＝S 4解析将面面比直角三角形的直角，截面面比直角三角形的斜，2222可得 S 1 ＋S 2＋ S 3＝ S 4. 14． (1)解f(4) ＝ 37，f(5) ＝ 61.由于 f(2)－ f(1) ＝7－ 1＝ 6， f(3) －f(2)＝ 19－7＝ 2×6， f(4) －f(3)＝ 37－19＝ 3×6， f(5) －f(4)＝ 61－37＝ 4×6，⋯⋯因此，当 n ≥2 ，有 f(n)－ f(n － 1)＝ 6(n － 1)，所以 f(n) ＝ [f(n)－ f(n － 1)] ＋ [f(n － 1)－ f(n － 2)] ＋ ⋯ ＋ [f(2) － f(1)] ＋ f(1) ＝ 6[( n － 1)＋ (n ＋ 2) ＋⋯＋ 2＋ 1]＋ 1＝ 3n 2－ 3n ＋ 1.又 f(1)＝ 1＝ 3×12－ 3×1＋ 1，所以 f(n)＝ 3n 2－ 3n ＋ 1.(2) 明当 k ≥2 ，1 ＝1<11 ( 1 1f k2 2 －＝－ )．3k － 3k ＋1 3k 3k 3 k －1 k所以 1 ＋1 ＋f 1 ＋ ⋯ ＋1 <1＋ 1 [(1－ 1 )＋ ( 1－1 )＋⋯＋( 1 － 1 )]＝ 1＋ 1 (1－fff n 3 2 2 3n － 1 n 31 1 4 n)<1＋3＝3.。

【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习专题训练四第3讲推理与证明理

第3讲推理与证明考情解读 1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题．1．合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论2．演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．3．直接证明(1)综合法用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(2)分析法用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件4．间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用如图所示的框图表示．肯定条件p否定结论q→导致逻辑矛盾→“既p，又綈q” 为假→“若p，则q” 为真5．数学归纳法数学归纳法证明的步骤：(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，命题都成立．热点一归纳推理例1(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A．26 B．31C．32 D．36(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位符合要求的应当是( )A．48,49 B．62,63C．75,76 D．84,85思维启迪(1)根据三个图案中的正六边形个数寻求规律；(2)靠窗口的座位能被5整除或者被5除余1.答案 (1)B (2)D解析 (1)有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 … 个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31. 故选B.(2)由已知图形中座位的排列顺序，可得：被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号，只有D 符合条件．思维升华归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用．其思维模式是“观察——归纳——猜想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想．(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上．1鼠 2猴 3兔4猫开始1兔 2猫 3鼠4猴 1猫 2兔 3猴4鼠1猴 2鼠 3猫4兔A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有________________．答案 (1)B (2)f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)解析 (1)考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上，第二次坐在2号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐在3号位上，第五次坐在1号位上，因此小兔的座位数更换次数以4为周期，因为202＝50×4＋2，因此第202次互换后，小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同，因此小兔坐在2号位上，故选B. (2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n )>n ＋22.故填f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)．热点二类比推理例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.(2)已知双曲正弦函数sh x ＝e x－e －x2和双曲余弦函数ch x ＝e x ＋e－x2与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角或差角．．．．．公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个．．类似的正确结论________．思维启迪 (1)平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；(2)可利用和角或差角公式猜想，然后验证．答案 (1)127(2)ch(x －y )＝ch x ch y －sh x sh y解析 (1)平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以V 1V 2＝127. (2)ch x ch y －sh x shy ＝e x＋e －x2·e y ＋e －y 2－e x －e －x 2·e y －e－y2＝14(e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y ＋e －x －y －e x ＋y ＋e x －y ＋e －x ＋y －e －x －y) ＝14(2e x －y ＋2e －(x －y ))＝e x －y＋e －x －y2＝ch(x －y )，故知ch(x ＋y )＝ch x ch y ＋sh x sh y ，或sh(x －y )＝sh x ch y －ch x sh y ，或sh(x ＋y )＝sh x ch y ＋ch x sh y .思维升华类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起．当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，例2即属于此类题型．一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等．(1)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( ) A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋n B ．d n ＝c 1·c 2·…·nC ．d n ＝12nnnn n c c c ++⋅⋅⋅D ．d n ＝nc 1·c 2·…·(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________.答案 (1)D (2)b 2a2解析 (1)由{a n }为等差数列，设公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋n －12d ，又正项数列{}为等比数列，设公比为q ，则d n ＝nc 1·c 2·…·＝221n n nnc q-c 112n q-，故选D.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y22.将A ，B 代入双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中得x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b2＝1，两式相减，得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b2，即x 1－x 2x 1＋x 2a2＝y 1－y 2y 1＋y 2b2，即y 1－y 2y 1＋y 2x 1－x 2x 1＋x 2＝b 2a2，即k OM ·k AB ＝b 2a2.热点三直接证明和间接证明例3 已知数列{a n }满足：a 1＝12，31＋a n ＋11－a n ＝21＋a n1－a n ＋1，a n a n ＋1<0 (n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．思维启迪 (1)利用已知递推式中的特点构造数列{1－a 2n }；(2)否定性结论的证明可用反证法． (1)解已知31＋a n ＋11－a n ＝21＋a n 1－a n ＋1化为1－a 2n ＋11－a 2n ＝23，而1－a 21＝34，所以数列{1－a 2n }是首项为34，公比为23的等比数列，则1－a 2n ＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，则a 2n ＝1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，由a n a n ＋1<0，知数列{a n }的项正负相间出现，因此a n ＝(－1)n ＋11－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，b n ＝a 2n ＋1－a 2n ＝－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. (2)证明假设存在某三项成等差数列，不妨设为b m 、b n 、b p ，其中m 、n 、p 是互不相等的正整数，可设m <n <p ，而b n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1随n 的增大而减小，那么只能有2b n ＝b m ＋b p ，可得2×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23m －1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫23p －1，则2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －m ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23p －m.(*)当n －m ≥2时，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －m ≤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89，(*)式不可能成立，则只能有n －m ＝1，此时等式为43＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23p －m，即13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23p －m ，那么p －m ＝log 2313，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等．所以假设不成立，那么数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．思维升华 (1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可． (2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，所以d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)，n ∈N *. (2)证明由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ≠q ≠r )成等比数列，则b 2q ＝b p b r . 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∵(p ＋r2)2＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r 与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．热点四数学归纳法例4 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，S n 为其前n 项和，且满足S 2n －1＝12a 2n ，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，12a n －1，n 为偶数，T n 为数列{b n }的前n 项和．(1)求a n ，b n ；(2)试比较T 2n 与2n 2＋n3的大小．思维启迪 (1)利用{a n }的前n 项确定通项公式(公差、首项)，{b n }的通项公式可分段给出； (2)先求T n ，归纳猜想T n 与2n 2＋n3的关系，再用数学归纳法证明．解 (1)设{a n }首项为a 1，公差为d ，在S 2n －1＝12a 2n 中，令n ＝1,2得⎩⎪⎨⎪⎧a 21＝2S 1，a 22＝2S 3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＝2a 1，a 1＋d 2＝23a 1＋3d ，解得a 1＝2，d ＝4，所以a n ＝4n －2.所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，2n －3，n 为偶数.(2)T 2n ＝1＋2×2－3＋22＋2×4－3＋24＋…＋22n －2＋2×2n －3＝1＋22＋24＋…＋22n －2＋4(1＋2＋…＋n )－3n ＝1－4n 1－4＋4·nn ＋12－3n ＝4n3－13＋2n 2－n .所以T 2n －(2n 2＋n 3)＝13(4n －4n －1)．当n ＝1时，13(4n －4n －1)＝－13<0，当n ＝2时，13(4n －4n －1)＝73>0，当n ＝3时，13(4n －4n －1)＝513>0，…猜想当n ≥2时，T 2n >2n 2＋n3，即n ≥2时，4n>4n ＋1. 下面用数学归纳法证明：①当n ＝2时，42＝16,4×2＋1＝9,16>9，成立； ②假设当n ＝k (k ≥2)时成立，即4k>4k ＋1. 则当n ＝k ＋1时，4k ＋1＝4·4k>4·(4k ＋1)＝16k ＋4>4k ＋5＝4(k ＋1)＋1，所以n ＝k ＋1时成立．由①②得，当n ≥2时，4n>4n ＋1成立．综上，当n ＝1时，T 2n <2n 2＋n3，当n ≥2时，T 2n >2n 2＋n3.思维升华在使用数学归纳法证明问题时，在归纳假设后，归纳假设就是证明n ＝k ＋1时的已知条件，把归纳假设当已知条件证明后续结论时，可以使用综合法、分析法、反证法．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n2，n ∈N *.(1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小关系； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．解 (1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)，当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118，所以f (2)<g (2)，当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216，所以f (3)<g (3)．(2)由(1)，猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明 ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立 ②假设当n ＝k (k ≥3)时不等式成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2，那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1k ＋13<32－12k 2＋1k ＋13，因为12k ＋12－(12k 2－1k ＋13)＝k ＋32k ＋13－12k2 ＝－3k －12k ＋13k2<0.所以f (k ＋1)<32－12k ＋12＝g (k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．1．合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．2．直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．3．数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，在遇到与正整数有关的数学命题时，要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明．(1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n＝k ＋1时要用上n＝k时的假设，其次要明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k ＋1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同，中间的计算过程千万不能省略．(2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切忌忘记归纳结论．真题感悟1．(2014·某某)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．答案 6解析由题意知①②③④中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数：(1)若①正确，即a＝1，则②③④都错误，即b＝1，c≠2，d＝4.其中a＝1与b＝1矛盾，显然此种情况不存在；(2)若②正确，即b≠1，则①③④都错误，即a≠1，c≠2，d＝4，则当b＝2时，有a＝3，c ＝1；当b＝3时，有a＝2，c＝1，此时有2种有序数组．(3)若③正确，即c＝2，则①②④都错误，即a≠1，b＝1，d＝4，则a＝3，即此种情况有1种有序数组．(4)若④正确，即d≠4，则①②③都错误，即a≠1，b＝1，c≠2，则当d＝2时，有a＝3，c ＝4或a＝4，c＝3，有2种有序数组；当d＝3时，有c＝4，a＝2，仅1种有序数组．综上可得，共有2＋1＋2＋1＝6(种)有序数组．2．(2014·某某)观察分析下表中的数据：多面体面数(F ) 顶点数(V )棱数(E ) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体6812猜想一般凸多面体中F ，V ，E 所满足的等式是____________．答案 F ＋V －E ＝2解析观察F ，V ，E 的变化得F ＋V －E ＝2. 押题精练1．圆周上2个点可连成1条弦，这条弦可将圆面划分成2部分；圆周上3个点可连成3条弦，这3条弦可将圆面划分成4部分；圆周上4个点可连成6条弦，这6条弦最多可将圆面划分成8部分．则n 个点连成的弦最多可把圆面分成________部分．( ) A ．2n －1B ．2nC ．2n ＋1D ．2n ＋2答案 A解析由已知条件得：圆周上的点数连成的弦数把圆面分成的部分数2 1＝2×122＝21＝22－13 3＝3×224＝22＝23－14 6＝4×328＝23＝24－15 10＝5×4216＝24＝25－1………由此可以归纳出，当点数为n 时，连成的弦数为n n －12；弦把圆面分成的部分数为2n －1，故选A.2．在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项，k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)·(n ＋2)”的结果为____________．答案 14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)解析类比k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，可得到k (k ＋1)(k ＋2)＝14[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，先逐项裂项，然后累加即得14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．(推荐时间：50分钟)一、选择题1．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．以上均不正确答案 B解析从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理． 2．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199 答案 C解析观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，…，第十项为123，即a 10＋b 10＝123. 3．已知x >0，观察不等式x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…，由此可得一般结论：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a 的值为( ) A ．n n B ．n 2C ．3nD ．2n 答案 A解析根据已知，续写一个不等式：x ＋33x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋33x 3≥44x 3·x 3·x 3·33x3＝4，由此可得a ＝n n .故选A. 4．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( ) A ．恒为正数 B ．恒为负数 C ．恒为0 D ．可正可负答案 A解析由已知得f (0)＝0，a 1＋a 5＝2a 3>0，所以a 1>－a 5.由于f (x )单调递增且为奇函数，所以f (a 1)＋f (a 5)>f (－a 5)＋f (a 5)＝0，又f (a 3)>0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)>0. 故选A.5．在平面内点O 是直线AB 外一点，点C 在直线AB 上，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝1；类似地，如果点O 是空间内任一点，点A ，B ，C ，D 中任意三点均不共线，并且这四点在同一平面内，若DO →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ＋y ＋z 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．±1 答案 B解析在平面内，由三角形法则，得AB →＝OB →－OA →，BC →＝OC →－OB →. 因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数t ，使AB →＝tBC →，即OB →－OA →＝t (OC →－OB →)，所以OC →＝－1t OA →＋(1t＋1)OB →.因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以λ＝－1t ，μ＝1t＋1，所以λ＋μ＝1.类似地，在空间内可得OD →＝λOA →＋μOB →＋ηOC →，λ＋μ＋η＝1. 因为DO →＝－OD →，所以x ＋y ＋z ＝－1.故选B. 6．已知f (n )＝32n ＋2－8n －9，存在正整数m ，使n ∈N *时，能使m 整除f (n )，则m 的最大值为( ) A ．24 B ．32 C ．48 D ．64 答案 D解析由f (1)＝64，f (2)＝704＝11×64，f (3)＝6 528＝102×64，所以f (1)，f (2)，f (3)均能被64整除，猜想f (n )能被64整除．下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，由上得证； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，f (k )＝32k ＋2－8k －9＝9k ＋1－8k －9能被64整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝9(k ＋1)＋1－8(k ＋1)－9＝9×9k ＋1－8k －17＝9f (k )＋64(k ＋1)．由归纳假设，f (k )是64的倍数，又64(k ＋1)是64的倍数，所以f (k ＋1)能被64整除，所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立．因为f (1)不能被大于64的数整除，所以所求m 的最大值等于64.故选D. 二、填空题7．如图所示的是由火柴棒拼成的一列图形，第n 个图形由n 个正方形组成，通过观察可以发现第4个图形中，火柴棒有________根；第n 个图形中，火柴棒有________根．答案 13,3n ＋1解析易得第四个图形中有13根火柴棒，通过观察可得，每增加一个正方形，需增加三根火柴棒，所以第n 个图形中的火柴棒为4＋3(n －1)＝3n ＋1.8．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为________．答案n 2＋n ＋22解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n n ＋12＝n 2＋n ＋22个区域．9．(2014·课标全国Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此判断乙去过的城市为________．答案 A解析由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过城市A ，由此可知，乙去过的城市为A.10．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎪⎨⎪⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m ＝________.答案 8解析由已知可观察出m 3可分裂为m 个连续奇数，最小的一个为(m －1)m ＋1.当m ＝8时，最小的数为57，第二个便是59.所以m ＝8. 三、解答题11．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b2＋1－2m ＝0.(1)求证：1a2＋4b2≥9a 2＋b 2； (2)求证：m ≥72.证明 (1)(分析法)要证1a 2＋4b2≥9a 2＋b 2成立，只需证(1a 2＋4b2)(a 2＋b 2)≥9，即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，即证b 2a 2＋4a 2b2≥4.根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2b2≥2b 2a 2·4a 2b 2＝4成立，所以原不等式成立．(2)(综合法)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b2＝2m －1，由(1)，知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0，解得m ≤－1或m ≥72.又∵a 2＋b 2＝m －2>0 ∴m >2,故m ≤－1舍去， ∴m ≥72.12．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解方法一当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a24，即2624>a24，所以a <26. 而a 是正整数，所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. ①当n ＝1时，已证得不等式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524. 则当n ＝k ＋1时，有1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋13k ＋1＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋[13k ＋2＋13k ＋4－23k ＋1]．因为13k ＋2＋13k ＋4－23k ＋1＝6k ＋13k ＋23k ＋4－23k ＋1＝18k ＋12－29k 2＋18k ＋83k ＋23k ＋43k ＋3＝23k ＋23k ＋43k ＋3>0，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由①②知，对一切正整数n ，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524，所以正整数a 的最大值为25. 方法二设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1 则f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋2＋13n ＋3＋13n ＋4－1n ＋1＝13n ＋2＋13n ＋4－23n ＋3＝23n ＋23n ＋43n ＋3>0，∴数列{f (n )}为递增数列， ∴f (n )min ＝f (1)＝12＋13＋14＝2624，∴1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立可转化为a 24<f (n )min ，∴a 24<2624，∴a <26.故正整数a 的最大值为25.。

【成才之路】2015届高考数学二轮复习专题6 第2讲推理与证明素能训练(文、理)

【成才之路】2015届高考数学二轮复习专题6 第2讲推理与证明素能训练（文、理）一、选择题1．(2013·某某市模拟)设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，且m 、n ⊂α，则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵m 、n ⊂α，α∥β⇒m ∥β且n ∥β；若m ∥β，n ∥β，m ⊂α，n ⊂α，则当m 与n 相交时，α∥β，否则α∥β不成立，故选A.2．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0[答案] A[解析] 本题主要考查了过圆内一点最短弦问题及点斜式方程的求法．两部分的面积之差最大是指直线与圆相交弦长最短时，此时直线与OP 垂直(如图所示)，k OP ＝1，则所求直线斜率为－1.故所求直线方程为y －1＝－(x －1)即x ＋y －2＝0.3．(文)(2014·某某中学模拟)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2011＋a 2012>0，a 2011·a 2012<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2011B ．2012C ．4022D ．4023 [答案] C[解析] ∵a 2011＋a 2012>0，a 2011·a 2012<0，a 1>0， ∴a 2011>0，a 2012<0，∴S 4022>0，S 4023<0，∴选C.(理)(2014·某某市质检)等差数列{a n }中的a 1、a 4027是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋12x ＋1的极值点，则log 2a 2014( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] A[解析] f ′(x )＝x 2－8x ＋12＝0则x 1＝2，x 2＝6，即a 1＝2，a 4027＝6或a 1＝6，a 4027＝2，a 2014＝a 1＋a 40272＝4∴log 2a 2014＝2，故选A.4．(2014·东北三省三校二模)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，则( )A ．f (ln2014)<2014f (0)B ．f (ln2014)＝2014f (0)C ．f (ln2014)>2014f (0)D ．f (ln2014)与2014f (0)的大小关系不确定 [答案] C [解析] 令g (x )＝f xe x，则 g ′(x )＝f ′x e x －e x ′f x e x 2＝f ′x －f xe x>0， ∴g (x )为增函数，∵ln2014>0，∴g (ln2014)>g (0)，即f ln2014e ln2014>f 0e 0，∴f (ln2014)>2014f (0)，故选C.5．将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是( )A ．第一列B ．第二列C ．第三列D ．第四列[答案] D[解析] 正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列． 6．观察下图：则第( )行的各数之和等于20112.( ) A ．2010 B ．2009 C ．1006 D ．1005[答案] C[解析] 由题设图知，第一行各数和为1；第二行各数和为9＝32；第三行各数和为25＝52；第四行各数和为49＝72；…，∴第n 行各数和为(2n －1)2，令2n －1＝2011，解得n ＝1006.[点评] 观察可见，第1行有1个数，第2行从2开始有3个数，第3行从3开始有5个数，第4行从4开始有7个数，…，第n 行从n 开始，有2n －1个数，因此第n 行各数的和为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝2n －1[n ＋3n －2]2＝(2n －1)2.二、填空题7．(文)(2013·眉山二诊)已知2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，若9＋b a＝92×b a(a 、b 为正整数)，则a ＋b ＝________.[答案] 89[解析] 观察前三式的特点可知，3＝22－1,8＝32－1,15＝42－1，故其一般规律为n ＋nn 2－1＝n 2×n n 2－1，此式显然对任意n ∈N ，n ≥2都成立，故当n ＝9时，此式为9＋980＝81×980，∴a ＝80，b ＝9，a ＋b ＝89.(理)(2013·某某理，14)观察下列等式 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……照此规律，第n 个等式可为________． [答案] 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n n ＋12(n ∈N *)[解析] 观察上述各式等号左边的规律发现，左边的项数每次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3…n ，指数都是2，符号成正负交替出现可以用(－1)n ＋1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(－1)n ＋1·n n ＋12，所以第n 个式子可为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n n ＋12(n ∈N *)．8．(2014·哈三中二模)对称数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等，显然2位对称数有9个；11,22,33，…，99,3位对称数有90个，101,111,121，…，191,202，…，999，则2n ＋1(n ∈N *)位对称数有________个．[答案] 9×10n[解析] 易知对称数的位数与个数如表：位数 2 3 4 5 … 个数99090900…∴2n ＋1倍对称数有9×10n个．9．(文)(2014·东北三省三校二模)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为______________．[答案] 13＋23＋…＋n 3＝n 2n ＋124[解析] 本题考查归纳推理，等式左边是连续n 个正整数的立方和，右边的数都是整数的平方，由于1＝1,1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，∴第n 个等式右边是(1＋2＋3＋…＋n )2，即[n n ＋12]2，故填13＋23＋…＋n 3＝n 2n ＋124.(理)(2014·某某模拟)已知数列{a n }：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，根据它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为________．[答案]11356[解析] 由前10项的构成规律知，分子分母和为n ＋1(n ∈N *)的共有n 项，从和为2到和为n ＋1的最后一项，共有1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12项，当n ＝13时，n n ＋12＝91，n ＝14时，n n ＋12＝105，因此a 99和a 100分别为和为15的第8项和第9项，∴a 99＋a 100＝78＋87＝11356. 三、解答题10．(文)已知函数f (x )＝a x＋ln x (a ∈R )，当x ＝1时，函数y ＝f (x )取得极小值． (1)求a 的值；(2)证明：若x ∈(0，12)，则f (x )>32－x .[解析] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax2.∵x ＝1时函数y ＝f (x )取得极小值， ∴f ′(1)＝0，∴a ＝1.当a ＝1时，在(0,1)内f ′(x )<0，在(1，＋∞)内f ′(x )>0， ∴x ＝1是函数y ＝f (x )的极小值点，满足题意． ∴a ＝1.(2)证明：f (x )>32－x 等价于：f (x )＋x >32令g (x )＝f (x )＋x ，则g ′(x )＝x －1x 2＋1＝x 2＋x －1x 2，令h (x )＝x 2＋x －1.∵h (0)＝－1<0，h (12)＝－14<0，∴0<x <12时，g ′(x )<0，∴g (x )在(0，12)上单调递减．∴g (x )>g (12)，即g (x )>2－ln2＋12＝32＋(1－ln2)>32，∴f (x )>32－x .(理)(2014·某某市质检)已知函数f (x )＝mx －sin x ，g (x )＝ax cos x －2sin x (a >0)． (1)若函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的单调递增函数，某某数m 的最小值； (2)若m ＝1，且对于任意x ∈[0，π2]，都有不等式f (x )≥g (x )成立，某某数a 的取值X围．[解析] (1)∵函数f (x )＝mx －sin x 在R 上单调递增， ∴f ′(x )≥0恒成立， ∵f ′(x )＝m －cos x ， ∴m ≥cos x ，∴m min ＝1.(2)∵m ＝1，∴函数f (x )＝x －sin x ， ∵f (x )≥g (x )，∴x ＋sin x －ax cos x ≥0，对于任意x ∈[0，π2]，令H (x )＝x ＋sin x －ax cos x ，则H ′(x )＝1＋cos x －a (cos x －x sin x )＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x . ①当1－a ≥0时，即0<a ≤1时，H ′(x )＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x >0，∴H (x )在[0，π2]上为单调增函数，∴H (x )≥H (0)＝0符合题意，∴0<a ≤1；②当1－a <0时，即a >1时，令h (x )＝1＋(1－a )cos x ＋ax sin x ，于是h ′(x )＝(2a －1)sin x ＋ax cos x ， ∵a >1，∴2a －1>0，∴h ′(x )≥0， ∴h (x )在[0，π2]上为单调增函数，∴h (0)≤h (x )≤h (π2)，即2－a ≤h (x )≤π2a ＋1，∴2－a ≤H ′(x )≤π2a ＋1.(ⅰ)当2－a ≥0，即1<a ≤2时，H ′(x )≥0，∴H (x )在[0，π2]上为单调增函数，于是H (x )≥H (0)＝0，符合题意，∴1<a ≤2；(ⅱ)当2－a <0，即a >2时，存在x 0∈(0，π2)，使得当x ∈(0，x 0)时，有H ′(x )<0，此时H (x )在(0，x 0)上为单调减函数，从而H (x )<H (0)＝0，不能使H (x )>0恒成立．综上所述，实数a 的取值X 围为0<a ≤2.一、选择题11．(文)(2013·某某理，6)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 [答案] A[解析] 因为a <b <c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由零点存在性定理知，选A.(理)(2014·某某理，4)用反证法证明命题“设a 、b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 [答案] A[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．12．(文)正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( )A.10232048a 2B.1023768a 2C.5111024a 2D.20474096a 2[答案] A[解析] 由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a 21＝(12a )2＝14a 2，第二段长度的平方为a 22＝(24a )2＝18a 2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a 21＝14a 2为首项，12为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S 10＝14a 2[1－1210]1－12＝1023a 22048. (理)对于大于1的自然数m 的三次幂可以用技术进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪⎧35，33＝⎩⎪⎨⎪⎧7911，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13151719，…，仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m ＝( )A ．7B ．8C ．9D ．10[答案] B[解析] 由23,33,43的“分裂”规律可知m 3的分裂共有m 项，它们都是连续的奇数，其第一个奇数为(m －2)(m ＋1)＋3，当m ＝8时，第一个奇数为57，故m ＝8，此时83＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71.13．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A ．正四面体的内切球的半径是其高的12B ．正四面体的内切球的半径是其高的13C ．正四面体的内切球的半径是其高的14D ．正四面体的内切球的半径是其高的15[答案] C[解析] 原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14，所以应选C.14．①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2，②已知a 、b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确 [答案] D[解析] 反证法的实质是命题的等价性，因为命题p 与命题的否定¬p 真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．故选D.15．(2014·某某市模拟)已知直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与函数y ＝|sin x |的图象恰有四个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)其中x 1<x 2<x 3<x 4，则有( )A ．sin x 4＝1B ．sin x 4＝(x 4＋1)cos x 4C ．sin x 4＝k cos x 4D ．sin x 4＝(x 4＋1)tan x 4[答案] B[解析] ∵直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与y ＝|sin x |图象恰有四个公共点，如图∴当x ∈(π，2π)时，函数y ＝|sin x |＝－sin x ，y ′＝－cos x . 依题意，切点为(x 4，y 4)，∴k ＝－cos x 4，又x ∈(π，2π)时，|sin x 4|＝－sin x 4∴y 4＝k (x 4＋1)，即－sin x 4＝(－cos x 4)·(x 4＋1)， ∴sin x 4＝(x 4＋1)cos x 4，故选B. 二、填空题16．(文)(2014·新课标Ⅰ理，14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为________． [答案] A[解析] 由于甲没去过B 城市，且比乙去过的城市多，因此甲最多去过两个城市，因此甲去过A 、C 城市，又乙没去过C 城市，三人去过同一城市，则该城市甲必去过，故只能是A 城市．(理)(2014·某某某某中学二调)椭圆中有如下结论：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上斜率为1的弦的中点在直线x a 2＋y b 2＝0上，类比上述结论：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)上斜率为1的弦的中点在直线________上．[答案]x a 2－yb 2＝0 [解析] 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)上斜率为1的弦的中点在直线x a 2＋yb 2＝0上．类比上述结论可知，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上斜率为1的弦的中点在直线x a 2－yb2＝0上．17．(文)(2013·某某质检)对于任意实数x ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数．例如：[1]＝1，[2.5]＝2.那么[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋[log 24]＋…＋[log 21024]＝________.[答案] 8204[解析] 依题意，当2k ≤n <2k ＋1(k ∈N )时，k ≤log 2n <k ＋1(k ∈N )，∴[log 2n ]＝k ，[log 22k]＋[log 2(2k ＋1)]＋…＋[log 2(2k ＋1－1)]＝k ·(2k ＋1－2k )＝k ·2k .因此所求的和等于1·21＋2·22＋3·23＋…＋9·29＋10；记S ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋9·29，①2S ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋9·210，②由①－②得－S ＝(2＋22＋23＋…＋29)－9×210＝－8×210－2，S ＝8×210＋2，故所求的和等于8×210＋2＋10＝8204.(理)平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n (n ≥3)维向量，n 维向量可用(x 1，x 2，x 3，…，x n )表示．设向量a ＝(a 1，a 2，a 3，…，a n )，b ＝(b 1，b 2，b 3，…，b n )，规定向量a 与b 的夹角θ的余弦为cos θ＝∑i ＝1na ib i∑i ＝1na 2i∑i ＝1nb 2i .当a ＝(1,1,1，…，1n 个1，b ＝(－1，－1，1,1，…，1n －2个1时，cos θ＝________.[答案]n －44[解析] 依据n 维向量的坐标表示及n 维向量a 与b 的夹角余弦公式得，当a ＝(1,1,1，…，1n 个，b ＝(－1，－1，1,1，…，1n －2个时，∑i ＝1na ib i ＝1×(－1)＋1×(－1)＋1×1＋…＋1×1＝n －4.∑i ＝1na 2i ＝12＋12＋…＋12＝n ， ∑i ＝1nb 2i ＝(－1)2＋(－1)2＋12＋…＋12＝n ， ∴cos θ＝n －4n ·n＝n －4n .三、解答题18．(2013·某某调研)设x 、y 为正实数，a ＝x 2＋xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y . (1)如果p ＝1，则是否存在以a 、b 、c 为三边长的三角形？请说明理由；(2)对任意的正实数x 、y ，试探索当存在以a 、b 、c 为三边长的三角形时p 的取值X 围． [解析] (1)存在以a 、b 、c 为三边长的三角形．当p ＝1时，b ＝xy .word 11 / 11 ∵c 2＝x 2＋y 2＋2xy >x 2＋y 2＋xy ＝a 2，∴c >a ，又a 2＝x 2＋xy ＋y 2>xy ＝b 2，∴a >b ，∴c >a >b ，∵x ＋y ＋x 2＋xy ＋y 2>xy 显然成立，∴xy x ＋y ＋x 2＋xy ＋y 2<1， ∴c －a ＝x ＋y －x 2＋xy ＋y 2＝xy x ＋y ＋x 2＋xy ＋y 2<xy ＝b ， ∴a ＋b >c . 即p ＝1时，存在以a 、b 、c 为三边长的三角形．(2)∵a <c ，∴若a 、b 、c 构成三角形，只需⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c >b ，c －a <b ，即⎩⎨⎧ x ＋y ＋x 2＋xy ＋y 2>p xy ，x ＋y －x 2＋xy ＋y 2<p xy .两边除以xy ，令x y ＝t ，得⎩⎪⎨⎪⎧ f t >p ，g t <p .这里f (t )＝t ＋1t ＋t ＋1t ＋1， g (t )＝t ＋1t －t ＋1t＋1. ∵x 、y 为正实数，∴t 为正数，令u ＝t ＋1t ，则u ≥2，t ＋1t ＝u 2－2， ∴g (t )＝u －u 2－1，令h (u )＝u －u 2－1(u ≥2)则h ′(u )＝1－u u 2－1<0， ∴h (u )在[2，＋∞)上单调递减，∴h (u )≥h (2)＝2－ 3.即g (t )≤2－ 3.又f (t )＝t ＋1t ＋t ＋1t ＋1≥2＋2＋1＝2＋3，当且仅当t ＝1时，f (t )取最小值2＋3，g (t )取最大值2－3，因此p 的取值X 围为2－3<p <2＋ 3.因此，当p 的取值X 围为2－3<p <2＋3时，以a 、b 、c 为三边的三角形总存在．。