通性通法：我们的常规武器

通性通法：我们的常规武器

高中数学学习主要是贯穿两条主线，即数学知识和数学思想方法。而通性通法蕴含着丰富的数学思想和方法，更贴近我们同学们的认知水平，符合大多数同学的思维习惯，同时还有利于培养我们的数学能力，因此，同学们在平时学习中时要熟练掌握通性通法，并能够灵活应用；对那些适用面窄，局限性大的特殊技巧性的方法应予以淡化，以免削弱对通性通法的复习和训练。

从高考数学试题中可以明显看出，高考重视对基础知识、基本技能和通性通法的考查。所谓通性通法，是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法。现在高考比较重视的就是这种具有普遍意义的方法和相关的知识,所以我们在平时的学习中更应该注重通性通法的总结和使用。下面以数列和解析几何两类题目为例，让同学们感受通性通法的重要性和适应性。

一、数列中通性通法的应用

等差和等比数列中基本量的运算就是等差和等比数列中常见的通性通法。等差和等比数列中有五个量n n s a q d n a ,),(,,1最基本的量是)(,1q d a ，在条件和结论一般不明显时,均可以用)(,1q d a 列方程组求解.在研究等差和等比数列的问题中,要确定基本量)(,1q d a 离不开方程思想.在具体求解时,特别在等比数列得到的方程往往是高次方程,因此,要注意优化和化简.另外在等比数列基本量的运算时,如果借助等差等比数列的性质解题,思路清晰,过程较为简捷.

例1、在等差数列{}n a 中，620,302010==s a .

(1)求n a ； （2）若n s n 求,242=.

解：方法1：（1）设{}n a 的公差为d ，则 ⎪⎩

⎪⎨⎧=⨯+=+620219202030911d a d a . 解得⎩⎨⎧==2121d a . 所以 ()10211+=-+=n d n a a n .

（2）由（1）得()n n n n n a a s n n 112)10212(221+=⋅++=⋅+=

. 所以 242112=+n n ，得)(2211舍或-==n n .

所以11=n .

方法2：设{}n a 的公差为d ，由62020=s ，得62010101921=+++++d a a a a ，即62010192

10191=+++d a a a ，故620102010=+d a ，解得2=d ，再求出1a ，下同方法1。

评注：基本量是相对的，方法2中，基本量是d a ,10，有时将定值作为基本量比较简捷，不一定都是选择d a ,1。这里选择基本量的优劣还不明显，请看下题。

例2、在等差数列{}n a 中，前n 项的和记为n s ，若10,10010010

==s s ，求110s . 思路一、利用公式()211d

n n na s n -+=，求出d a 和1,再求出110s 。

解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+102)1100(1001001002)110(101011d a d a 解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-==501110010991d a 所以 1102

)1110(1101101110-=-+=d a s 该题虽然用基本量法解运算量有点大，但是只要细心的算下去是完全可以算出来的。如果我们选择其他基本量，结果就大不一样。

思路二、注意到条件中的前n 项和中的n 都是10的整数倍，因此我们可以将此数列分段，由于分段后，每段和作为一项，按原来的顺序构成的数列，仍然是等差数列：令)1(10)1(2)1(1-+-+-++++=n n n n a a a b ，则原题就转化成：

已知数列{}n b 是等差数列，前n 项的和记为n T ，若10,100101==T T ，求11T . 显然转化后的问题解答过程就简单了，实际上这里有“换元”，即整体的意识。

思路三、 我们思路再转化一下，我们可以令bn an s n +=2，我们将b a ,看成基本量，再求解，就更直接，因此就比较简单。

从以上几种思路看，虽然下面两种思路看起来简单，但是书写起来难以规范，因此，一般情况之下，解答题我们一般还是用常用的基本量，填空和选择题，选择有变化了的基本量。 例3、等比数列{}n a 中，已知217463

,18,36==+=+m a a a a a ，求m 。 解：因为18,367463=+=+a a a a ，

所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+183661315121q a q a q a q a 解得⎪⎩

⎪⎨⎧==211281q a 而11-=n n q a a 所以12112821-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=m 解得：9=m

以上3个例题都是我们同学们在平时的学习中经常遇到的，通过介绍等差和等比数列几个基本量的求法,进而巩固和加深对等比数列通项公式和求和公式的应用,能够达到知三求二,灵活应用公式的目的。

例4、（2011江苏高考13题）

设6427531721,,,,,,1a a a q a a a a a a a 的等比数列，成公比为其中≤≤= 成公差为1的等差数列，则q 的最小值为

解析：由题意可知1≥q ，数列7654321,,,,,,a a a a a a a 可以写成32222,2,,1,,,1q a q a q a ++，所以可以得到以下不等式

⎪⎩

⎪⎨⎧+≥+≥≥≥21123222a q a q a q 恒成立，于是⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥32132q q q 所以33≥q

解决该题的关键抓住数列中的基本量，经过两次转化，首先将76543,,,,a a a a a 转化为基本量2a 和q ，再根据问题求q 的最小值，就可以将题目转化为上述不等式组，只要学生掌握数列中基本量法和转化思想，便可以顺利求解了。该题在当年的得分率并不高，主要是有很多同学看到题目后就考虑技巧性的方法，或者是随便找几个值代进去，结果都没有准确算出答案，虽然有些同学猜出来了，但成功率很小.这说明通性通法在解决问题中，有其一般性，因此也是我们应该掌握的方法。

二、解析几何中通性通法的应用

解析几何中最核心的思想是：利用代数的方法研究几何问题，即通过坐标的代数形式解决几何中的相关问题。例如，将直线方程和圆锥曲线方程联立，整理成一元二次方程，再利用判别式、求根公式、根与系数的关系解决．

例5、已知抛物线x y 22

=，直线AB 交抛物线于B A ,两点，交x 轴正半轴于点)0,(m M ，若00=⋅OB A ,则m 的值为 解析：因为00=⋅OB A 由于它的代数形式简单，所以想到设B A ,两点坐标

设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222121,2),,2(y y B y y A 由04,0212221=⋅+⋅=⋅y y y y OB OA 得 当直线AB 的斜率存在时，设为)0,0(>≠m k k ，方程为)(m x k y -=

由()

⎩⎨⎧-==m x k y x y 22 得0222=--km y ky

而0842>+=∆k 成立，所以满足条件.

又m y y 221-=⋅，所以02022===-m m m m 或则(舍得) 所以2=m

当直线AB 的斜率不存在时，则()()

m m B m m A 2,,2,- 由00=⋅OB A ，则022=-m m 所以2=m 或0=m （舍去）

所以2=m

综上所述 2=m

评注：坐标法处理解析几何问题是通性通法。这是因为，代数问题我们比较熟悉且有统一的方法，几何我们研究得不多且方法往往技巧性较高，因此我们常常用代数研究几何。这里要强调的是，引入直线AB 的方程我们采用的是常用的点斜式，我们如果采用这样的形式：