数学模型与实验报告习题

数学模型与实验报告

：王珂

班级：121111

学号：

指导老师：远彤

数学模型与实验

一、数学规划模型

某企业将铝加工成A,B两种铝型材，每5吨铝原料就能在甲设备上用12小时加工成3吨A型材，每吨A获利2400元，或者在乙设备上用8小时加工成4吨B型材，每吨B获利1600元。现在加工厂每天最多能得到250吨铝原料，每天工人的总工作时间不能超过为480小时，并且甲种设备每天至多能加工100吨A，乙设备的加工能力没有限制。

（1）请为该企业制定一个生产计划，使每天获利最大。

（2）若用1000元可买到1吨铝原料，是否应该做这项投资？若投资，每天最多购买多少吨铝原料？

（3）如果可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给工人的工资最多是每小时几元？

（4）如果每吨A型材的获利增加到3000元，应否改变生产计划？

题目分析：

每5吨原料可以有如下两种选择：

1、在甲机器上用12小时加工成3吨A每吨盈利2400元

2、在乙机器上用8小时加工成4吨B每吨盈利1600元

限制条件：

原料最多不可超过250吨，产品A不可超过100吨。工作时间不可超过480小时

线性规划模型：

设在甲设备上加工的材料为x1吨，在乙设备上加工的原材料为x2吨，获利为z，由题意易得约束条件有：

Max z = 7200x1/5 +6400x2/5

x1 + x2 ≦ 250

12x1/5 + 8x2/5 ≦ 480

0≦3x1/5 ≦ 100, x2 ≧ 0

用LINGO求解得：

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 100.000 0.000000

X2 150.000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAI PRICE

1 336000.0 1.000000

2 0.000000 960.0000

3 0.000000 40.00000

4 40.00000 0.000000

做敏感性分析为：

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COFF INCREASE DECREASE X1 1440.00 480.000 160.000 X2 1280.00 160.000 320.000 ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE

2 250.000 50.0000 33.3334

3 480.000 53.3332 80.0000

4 100.000 INFINITY 40.0000

1、可见最优解为x1=100，x2=150，MAXz=336000。因此最优解为在甲设备上用100吨原料生产A 产品，在乙设备上用150吨原料生产B 产品。最大盈利为336000.

2、由运算结果看约束条件1（原料）的影子价格是960，即每增加1吨原料可收入960，小于1000元，因此不购入。

3、同理可得，每小时的影子价格是40元，因此聘用员工的工资不可超过每小时40元。

4、由敏感性分析可得，在最优解不变的前提下，x1予许的变化围上限是1920，下限是1280。若每吨A 获利增加到3000，价值系数变为1800，在允许围，所以保持原计划不变。

二、微分方程模型

在鱼塘中投放n0尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加。设尾数n(t)的(相对)减少率为常数; 由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本省成正比。分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。

用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T 才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相

对减少量|/|n n

表示，记作E ，即单位时间捕获量是En(t)。问如何选择T 和E ，使从T 开始的捕获量最大。

基本假设：

1.鱼塘里的鱼无繁殖，且不会自然死亡。

2.鱼苗尾数相对减少率为常数。

3.由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与其表面积成正比；由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与本身重量成正比。

4.将鱼简化为椭球体，且其密度分布均匀，初始状态相同。

符号表示

模型的建立：

由基本假设：

鱼苗尾数 t n 相对减少率为常数，则可得以下微分方程：

t kn dt

t dn 1 由基本假设：

由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与其表面积成正比；由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比。可得以下微分方程：

t m k t s k dt

t dm 21 2 又因为要通过设定渔网网格面积来确定最大捕获量，而渔网网格面积由每尾鱼的最小横截面相关，又每尾鱼的横截面面积与鱼的表面积相关。由基本假设中鱼群

的表面积服从正态分布，即：

2

22

21

u t s e

t s f

3

其中u 为 t s 的均值，2 为 t s 的方差。 则在此条件下：

t n T s t s P T N 4

又由

t En t N 5

得：

T s t s P E 6

模型的求解：

关于鱼尾数随时间变化的微分方程组：

00dn t kn t dt

n n

可直接求解得：

kt

e n t n 0

7

又椭球体的体积为：

34abc V

8 表面积近似为：

3

24abc s

9 又

V

m

10 则可得：