小波分析的基本理论

东北大学

研究生考试试卷

考试科目：状态监测与故障诊断

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考试日期：2013.12

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注意事项

1．考前研究生将上述项目填写清楚

2．字迹要清楚，保持卷面清洁

3．交卷时请将本试卷和题签一起上交

东北大学研究生院

小波分析的基本理论

小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力工具。经过大量学者不断探索研究，它是以局部化函数所形成的小波基作为基底而展开的。小波分析在保留傅里叶分析优点的基础上，具有许多特殊的性能和优点。而小波分析则是一种更合理的时频表示和子带多分辨分析方法。所以理论基础渐已扎实，理论体系逐步完善，在工程领域已得到广泛应用。

1 小波变换理论

1.1 连续小波变换

定义1.1 小波函数的定义：设ψ（x ）为一平方可积函数，也即ψ（x ）∈ L 2（R ），若其傅里叶变换ψ（ω）满足条件：

C ψ=∫|ψ̂（ω）|

|ω|

d ω<+∞+∞−∞

1-1

则称ψ（x ）是一个基本小波或小波母函数（Mother Wavelet ），并称上式为小

波函数的容许性条件。

由定义1.1可知，小波函数具有两个特点：

（1）小：它们在时域都具有紧支集或近似紧支集。由定义的条件知道任何满足可容许性条件的L 2（R ）空间的函数都可以作为小波母函数（包括实数函数或复数函数、紧支集或非紧支集函数等）。但是在一般的情况下，常常选取紧支集或近似紧支集的同时具有时域和频域的局部性实数或复数函数作为小波母函，让小波母函数在时域和频域都具有较好的局部特性，这样可以更好的完成实验。

（2）波动性：若设ψ̂（ω）在点ω=0连续,则由容许性条件得:

∫ψ(x )dx =ψ̂(0)=0+∞

−∞ 1-2

也即直流分量为零,同时也就说明ψ（x ）必是具有正负交替的波动性,这也是其 称为小波的原因。

定义1.2 连续小波基函数的定义:将小波母函数ψ（x ）进行伸缩和平移,设其收缩因子(即尺度因子)为a,平移因子为b,使其平移伸缩后的函数为ψa,b （x ）,则有:

ψa ，b (x )=|a |−

12

ψ(

x−b a

)，a >0，b ∈R 1-3

称ψa,b （x ）为依赖于参数a,b 的小波基函数。由于伸缩因子a,平移因子b 都是取连续变化的值,因此又称ψa,b （x ）为连续小波基函数。它们是一组函数系列,这组函数系列是由同一母函数ψ（x ）经伸缩和平移后得到的。

定义1.3 若f （x ）∈ L 2（R ）,函数f(x)在小波基下进行展开,则f(x)的连续小波变换(CWT)定义为:

W ψf(a ，b)={f (x )，ψa ，b (x )}=a f (x )ψ(x−b

a )̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅dx +∞−∞ 1-4

由定义1.3可知,小波基具有收缩因子a和平移因子b,若将函数在小波基下展开,就是把一个时间函数投影到二维的时间-尺度相平面上,把一个一维函数变换为一个二维函数,即连续小波变换Wψf（a,b）是f（x）在函数ψ

a,b

（x）上的“投影”。

小波函数若满足容许性条件(1-1),则存在其逆变换。由小波变换的系数可以重构信号,其重构公式为：

f(x)=1

Cψ∫∫Wψf(a，b)

+∞

−∞

+∞

−∞

ψ

a，b

(x)da

a

db 1-5

定理1 连续小波变换是一种线性变换,具有如下性质:

（1）叠加性: 设f（x）=k

1f

1

（x）+k

2

f

2

（x）,则:

Wψf（a,b）= k

1 Wψf

1

（a,b）+k

2

Wψf

2

（a,b） 1-6

（2）时移不变性: 设g（x）=f（x-c），则：

Wψg（a,b）= Wψf（a,b-c） 1-7 （3）尺度变换: 设g（x）=f（cx），则:

Wψg(a，b)=|c|−1

2Wψf(

a

c

，bc) 1-8

该性质说明，信号在连续小波变换的尺度a和位移b上做拉伸时，其信号也在时域拉伸，且能保持拉伸前后的形状不变。

（4）内积定理: 对于f（x）∈ L2（R），则有Wψf（a,b）∈ L2（R2），并且对f （x），g（x）∈ L2（R），会有：

{ Wψf（a,b），Wψg（a,b）}=Cψ{ f（x），g（x）} 1-9 （5）能量关系：当内积定理中的信号f（x）≡ g（x）时，内积定理变为：

∫1

a da

+∞0∫|Wψf(a，b)|2db=

+∞

−∞

Cψ∫|f（x）|2dx

+∞

−∞

1-10

同时称式1-10为能量关系。

性质（4）和性质（5）表明，信号的变换域内积和时域内积之间保持着一定的联系，小波变换系数的幅度平方在尺度位移平面内的积分实际上是在尺度位移域内能量的积累，它与原始信号的能量成正比。

1.2 离散小波变换

由前文定义的连续小波基函数：

ψ

a，b (x)=

√a

(x−b

a

) 2-11

式中a，b∈R，a≠0，ψ满足容许性条件，并且伸缩因子a,平移因子b是连续变化的。由于连续小波变换系数的信息量是冗余的虽然在有些情况下连续小波变换的冗余性是

有益的。例如，在图像降噪进行数据恢复及特征提取时，连续小波变换以牺牲计算量、存储量为代价来获得更好的结果。但是许多情况下需要考虑的是在数字处理中压缩数据和节约计算量，这样便希望可以再不丢失原信号的情况下，尽量减小小波变换的冗余度，为了解决这一问题，提出了将其离散化，最大程度地消除或降低冗余性，这才适合数字计算机处理。

离散小波变换是相对于连续小波变换的变换方法，本质上是对收缩因子a和平移因子b分别进行离散化处理。

（1）收缩因子离散化：将收缩因子按幂级数进行离散化，即取a=a

0-j，j∈Z，a

≠1，

这时离散后的函数ψ

a,b （x）变为a

j/2ψ（a

j（x-b）），j∈Z

（2）平移因子离散化：在尺度j下，平移因子均匀离散化，即使平移量以∆b=ka

0-j b