2.4.2 抛物线的几何性质

2.4.2抛物线的几何性质

班级__________姓名____________ ______年____月____日【教学目标】掌握抛物线的定义、标准方程和几何性质；培养学生分析问题、解决问题的能力．

【教学重点】能根据条件熟练地求出抛物线的标准方程．

【教学难点】抛物线的性质及简单应用．

【教学过程】

一、引入：

1．抛物线定义：平面内到一个定点F和一条定直线l（）的距离的点的轨迹叫做抛物线；

点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的．

2．标准方程、焦点、准线、图形（其中0

p>，表示焦点F到准线l的距离）

3．抛物线的几何性质：以22(0)

=>为例：

y px p

（1）范围：．（2）对称性：．

（3）顶点：．（4）开口方向：．

二、新授内容：

例1．根据下列条件求抛物线的标准方程．

（1）焦点在y轴上，通径的长等于4；（2）过点P(2，－4)；

（3）抛物线的焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5．

例2．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p => 的准线分

别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，AOB ∆的面积为3，则p = ．

【变式拓展】抛物线2

2(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22133

x y -=相交于,A B 两

点，若ABF ∆为等边三角形，则p = ．

例3．如图所示，已知抛物线2

2(0)y px p =>的焦点恰好是椭圆22221x y a b +=的右焦点F ，

且两条曲线的交点连线也过焦点F ，求该椭圆的离心率．

【变式拓展】（1）已知抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，点A （3，2），求PA +PF 的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．

*（2）已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A 、B 两点．

①求证：OA ⊥OB ； ②当△OAB 的面积等于10时，求k 的值． 反思：

x

y F y 2=2px O

三、课堂反馈：

1．若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ；准线方程为 ．

2．已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y px p =>的准线相切，则______p =．

3．抛物线顶点是双曲线22169144x y -=的中心，焦点是双曲线的左顶点，则抛物线的方程 ．

4．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．

*5．经过抛物线的焦点F 作一条直线与抛物线相交于1P ，2P 两点， 求证：以线段12P P 为直径的圆与抛物线的准线相切．

四、课后作业： 学生姓名：___________ 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程：

（1）顶点在原点，焦点为(0,5)-； （2）顶点在原点，准线方程为3x =．

2．对称轴为x 轴，焦点到准线的距离是4的抛物线的标准方程为 ．

3．抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，若其准线经过椭圆4x 2＋9y 2＝36的右焦点，则该抛物线方程为______________．

4．抛物线y ＝2ax 的准线方程是y －2＝0，则a 的值是 ．

5．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 ．

*6．若椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，线段12F F 被抛物线22y bx =的焦点F 分成

5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为 ．

7．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，求水面宽度．

8．若动圆与圆(x+3)2＋y2＝1外切，又与直线x＝2相切，求动圆圆心的轨迹方程．

*9．已知点A(－2,1)，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使PA＋PF取得最小值，求P点的坐标．

*10．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点(,3)

M m 到焦点的距离为5，求m的值、以及抛物线方程和准线方程．