奥数中的不变原则

不变原则---一个简单的数学思想

我们常常说“以不变应万变”，意思是指事物时常变化我们办事要注意观察其变化，

处变不惊。一旦掌握了其变化规律，便可以用统一的方法来分析问题，解决问题。

在奥数专题里没有这一讲，只偶尔在解题分析中看到过“差不变原则”的分析方法。

寒假给学生上课，讲计算，一并拓展了一下，加入了“和不变”、“积不变”和“商不

变”。这里简单给大家介绍一下这几个原则。

一、和不变原则

和不变原则指的是两个数相加，如果一个增大，一个减小，且增大和减小的是同样

的数，那么相加后的总和不变。

可能貌一听起来觉得好像没有什么用，但在具体做题的时候，还是很有用的。

请看这样两道题：① 98+165 ② 107+239

分析：低年级同学应该也能很快将两个正确答案给出来，其实掌握了方法，口算是非常快的。

①98+165，要想和不变，又想算得快，那么一个+2，一个-2，所以原来的算式

就变成了100+163=263；

② 107+239，要想和不变，那么一个减小7，一个增大7，所以原式变为：

100+246=346；

二、差不变原则

差不变原则自然就是说两个数相减，要想差不变，则被减数增大，减数也相应地增大，被减数减小，减数也跟着减小。这就好比我们平时讲年龄问题时所讲的年龄差不变，爸爸长大，宝宝也跟着长大，之间的差一直不变。下面看两个简单的例子：

①205-97 ②376-108

分析：平时孩子做①这一类题时，如果列算式，因为要连续借位，经常容易犯错，在奥

数学习中，我们在速算与巧算中经常讲用“凑整”法来做这些题，比较简单。掌握了差

不变原则的意思，这样的题直接口算就可写出答案。

①205-97，要想差不变，那么把两个同时增大3，就变成了208-100，差不变，答案

很快就出来了；

②同样，可以很快得到：376-108 = 368-100 = 268；

三、积不变原则

所谓积不变原则，是指两个数相乘，一个放大几倍，另一个缩小几倍，则积不变。

举例说明如下：

①15×6 ②16×5

这样两个简单的式子，在6年级同学中依然会经常犯错。虽然答案都是80和90，但常常写反。

那么用积不变原则如何去想这样两个式子？

我们平时算术中肯定都比较喜欢出现5这样的数，因为5×2末尾就成了0，在这里就充分利用一下5的这个特性。

①将15扩大2倍，将6缩小2倍，则15×6=30×3=90；

②将5扩大2倍，将16缩小2倍，则16×5=8×10=80；

四、商不变原则

商不变原则，指两个数相除，被除数扩大或缩小几倍，除数也跟着扩大或缩小几倍，商永远不变。这个对于高年级，学习过约分的方法后，非常好理解。

例如：①400÷25 ②120÷8

分析：①被除数与除数同时扩大4倍，则原式=1600÷100=16；②被除数与除数同时缩

小2倍，变为60÷4，再同时缩小2倍，变为30÷2=15。

五、不变原则的应用

以上为四则运算的不变原则，理解起来比较简单，在解计算题的时候能帮助我们节

省大量的时间，同时也能提高计算的准确率。下面我们来看看，在一些非计算题中这几

个原则的应用。

例题：如图，等腰直角三角形ABC的腰为10，以A为圆心，画一个八分之一圆，得到图中两个阴影部分的面积相等。求扇形所在的圆的面积。

分析：本题要求扇形所在圆的面积，只要知道扇形的面积，然后×8即可，那么目标自

然锁定在求扇形面积上。

但要想求出扇形的面积，根据公式，必须知道扇形的半径，而此处并不知道半径

为多少。

题目中给了我们一个条件，两个阴影部分的面积相等，貌似无关，细想下，却是

解题的关键。

扇形可以分为两部分，一白一黄，那么因为图中，两块黄色的面积相等，则运用“和不变原则”，将扇形右下角减小阴影那么多，将扇形左下角增大阴影那么多，即

可求得扇形面积就等于等腰直角三角形的面积，为10×10÷2=50。

此题若稍作修改，变为以下：

如图，等腰直角三角形ABC的腰为10，以A为圆心，画一个八分之一圆，得到图中

两个阴影部分的面积相差5。求扇形所在的圆的面积。

分析：改变后的题与刚才思路一样，只是这一次用的是差不变原则。

S2-S1=5，那么给S2和S1同时增大相同的数以后，差值应该依然为15，而图中S1+S3=10×10÷2=50，则S2+S3=55。

所以扇形所在圆的面积为55×8=110×4=440。得解。

不变原则在速算巧算、等量代换、直线型面积等等专题中均有应用，以后再慢慢与大家讨论。