2017年全国初中数学联赛初二卷与详解

2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷

第一试

一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）

1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则3

2

b c

a b

+

+

的值为（）.

A.2

B.1

C.0

D.-1

2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，

111

135

a b c

++=

+++

，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.

A.125

B.120

C.100

D.81

3.若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.

A.4

B.3

C.2

D.1

4.已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.

A.424

B.430

C.441

D.460

5.梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.

C. D.

6.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，点E在AB上，若AE=42，BE=28，BC=70，∠DCE=45°，则DE的值为（）.

A.56

B.58

C.60

D.62

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

7.=a的值为________.

8.已知△ABC的三个内角满足A＜B＜C＜100°.用θ表示100°-C,C-B,B-A中的最小者，则θ的最大值为

________.

9.设a,b是两个互质的正整数，且

3

8ab

p

a b

=

+

为质数.则p的值为________.

10.20个都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于7，则这20个数之和的最小值为________.

第二试

一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平方数，求A的值.

二、（本题满分25分）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点.证明：EF=2PD.

三、（本题满分25分）已知a,b,c为有理数，求

222

a b c

a b c

++

++

的最小值.

2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷参考答案

第一试

一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）

1.已知实数a,b,c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则3

2

b c

a b

+

+

的值为（）.

A.2

B.1

C.0

D.-1

答案：B

对应讲次：

所属知识点：方程

思路：因为所求分式的特点可以想到把a+2b，3b+c看成一个整体变量求解方程.

解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90，3(a+2b)+(3b+c)=72，解得a+2b=18，3b+c=18，所以3

1

2

b c

a b

+

=

+

.

2.已知实数a,b,c满足a+b+c=1，

111

135

a b c

++=

+++

，则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2的值为（）.

A.125

B.120

C.100

D.81答案：C

对应讲次：

所属知识点：方程

思路：可以想到换元法.

解析：设x=a+1，y=b+3，z=c+5，则x+y+z=10，111

x y z

++=，

∴xy+xz+yz=0，由x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+xz+yz)=100.

则(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 =100.

3. 若正整数a,b,c满足a≤b≤c且abc=2(a+b+c)，则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为（）.

A.4

B.3

C.2

D.1

答案：B

对应讲次：

所属知识点：数论

思路：先通过a≤b≤c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可能的种类，再通过枚举法一一验证. 解析：若(a,b,c)为好数组，则abc=2(a+b+c)≤6c，即ab≤6，显然a=1或2.

若a=1，则bc=2(1+b+c)，即(b-2)(c-2)=6，可得(a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5)，共2个好数组.

若a=2，则b=2或3，可得b=2,c=4；b=3,c=5

2

，不是整数舍去，共1个好数组.

共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).

4. 已知正整数a,b,c满足a2-6b-3c+9=0，-6a+b2+c=0，则a2+b2+c2的值为（）.

A.424

B.430

C.441

D.460

答案：C

对应讲次：

所属知识点：方程

思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确定结果.

解析：联立方程可得(a-9)2+3(b-1)2=75，则3(b-1)2≤75，即1≤b≤6.

当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a；

当b=6时，a=9，符合要求，此时c=18，代入验证满足原方程.

因此，a=9，b=6，c=18，则a2+b2+c2=441.

5. 梯形ABCD中，AD∥BC，AB=3，BC=4，CD=2，AD=1，则梯形的面积为（）.

C. D.

答案：A

对应讲次：

所属知识点：平面几何

思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形中来.

解析：作AE∥DC，AH⊥BC，则ADCE是平行四边形，则BE=BC-CE=BC-AD=3=AB，