1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则

x = ϕ (t), y =ψ (t),
(α < t < β )
确定的函数 y = f ( x ) ,可采用下述方法来求它的导数： 可采用下述方法来求它的导数：
首先根据微分形式不变性可得 首先根据微分形式不变性可得 dx = ϕ ′ ( t ) dt , dy = ψ ′ ( t ) dt , 然后根据导数是微商， 然后根据导数是微商，可得 根据导数是微商
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作业 习题1.4 习题 P59-61 A 组 13 (1) 、(3) ， 14
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17
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x = ϕ (t ) 若 函数 二 阶可 导 , y = ψ (t )
d 2 y d dy d ψ ′( t ) dt = ( )= ( ) 2 dx dx dt ϕ′( t ) dx dx
ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) 1 = ⋅ 2 ϕ ′ (t ) ϕ ′( t )
dy ( y 2 − etan x )sec 2 x . = dx 2(1 − y tan x )
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d2y 例6 设 x = a cos t，y = b sin t，求 2 . dx
解
dy dy dt b = = − cot t， dx dx a dt
2
x t= 2
2
消去参数 t
x 2 x ∴y=t =( ) = 2 4
1 ∴ y′ = x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导? 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
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x = ϕ (t ) 在方 程 中, y = ψ (t )
设函数x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ −1 ( x ),
dx = 2t + 2, dt dy dy 2t − = 0. +ε cos y dt dt
故
dx = 2(t + 1), dt dy 2t . = dt 1 − ε cos y
dy dy t . = dt dx = dx dt (t + 1)(1 − ε cos y)
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(0 ≤ t ≤ 2π )
上求一点A， 平行， 上求一点 ，使该点处的切线与直线 y＝ 1-x平行， ＝ - 平行 并写出切线方程. 并写出切线方程
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解 摆线上任一点处切线的斜率为 dy dy dt t sin t = = cot , = dx dx 2 1 − cos t dt t 3 令 cot = −1, 得t = π，代入曲线方程，得切点 代入曲线方程， 2 2 3 x = a ( π + 1)， y = a. 2 3π + 1 , 即 所求切线为 y − a = − x − a 2 3π y = a( + 2) − x . 2
dy a sin t sin t dy dt = = = dx dx a − a cos t 1 − cos t dt
解
dy ∴ dx
t=
π 2
π sin 2 = 1. = π 1 − cos 2
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当t =
π
2
时, x = a(
π
2
− 1), y = a .
1 − sec 2 tdt . = = 4 3a cos 2 t ⋅ ( − sin t )dt 3a cos t ⋅ sin t
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x = arctan t , dy 所确定， 例 5 设 y = y( x ) 由 所确定，求 . 2 t dx 2 y − t y + e = 5.
分析 方法 一 由 x = arctan t 得 t = tan x ， 代入
2 y − t y + e = 5,
2 t
根据隐函数求导法则可求. 2 y − y 2 tan x + etan x = 5. 根据隐函数求导法则可求 得 根据参数方程求导法则可求. 方法 二 根据参数方程求导法则可求 答案为： 答案为：
所求切线方程为
y − a = x − a ( − 1) 2
即
y = x + a (2 −
π
π
2
).
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x = t 2 + 2t, (0 < ε < 1). 例2 设由方程 2 t − y + ε sin y = 1,
确定函数 y = y( x), 求 方程组两边对t求导 求导, 解 方程组两边对 求导, 得
d 2 y ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) . 即 = 2 3 dx ϕ′ (t )
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二、典型例题
x = a( t − sin t ) π 在t = 处的切线方程 . 例1 求 摆 线 2 y = a(1 − cos t )
1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则
一、求导法则 二、典型例题 三、小结
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1
一、求导法则
x = ϕ(t ) 若参数方程 确定y与x间的函数关系 , y =ψ (t ) . 称此为由参数方程所确定的函数
例如
x = 2t , 2 y = t ,
dy ψ ′ ( t ) dt ψ ′ ( t ) . = = dx ϕ ′ ( t ) dt ϕ ′ ( t )
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例4
解
x = a cos 3 t , d2y dy 设 求 ， 2. dx dx y = a sin 3 t ,
dy 3a sin 2 t ⋅ cos tdt = = − tan t . 2 dx 3a cos t ⋅ ( − sin t )dt
三、小结 参数方程求导法: 参数方程求导法: 实质上利用复合函数求导法则. 实质上利用复合函数求导法则 求高阶导数时, 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
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思考题： 思考题： 在摆线的一拱
x = a ( t − sin t ), y = a ( t − cos t ),
d dy d 2 y dt dx = = 2 dx dx dt
b ′ − cot t − b ⋅ ( − csc 2 t ) a = a (a cos t )′ − a sin t
b = − 2 csc 3 t . a
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若要求二阶导数，则由下列参数方程 若要求二阶导数，
x = a cos 3 t , dy dx = − tan t ,
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x = a cos 3 t , dy dx = − tan t ,
可得
dy d 2 d y d dy dx = d ( − tan t ) = dx = dx 2 d (a cos 3 t ) dx dx
例3
设
, 求
求导, 解 方程组两边同时对 t 求导, 得
dy ∴ dx
t =0
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注 参数方程所确定的函数的求导法则的另一种解释. 参数方程所确定的函数的求导法则的另一种解释 我们知道导数也叫微商， 我们知道导数也叫微商，因此对于参数方程 微商
∴ y = ψ [ϕ ( x )]
−1
再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t )都可导, 且ϕ ′( t ) ≠ 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) dy dt ψ′ ( t ) = ⋅ = ⋅ = . 即 = = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dx dx ϕ′ ( t ) dt dt