1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则
10 由参数方程确定的函数的导数、高阶导数
6
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二、高阶导数
1、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度 问题:变速直线运动的加速度.
设 s = f (t ), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t )
Q 加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
∴ a ( t ) = v ′( t ) = [ f ′( t )]′ .
一 地 函 f ( x)的 −1 导 的 数 为 般 , 数 n 阶 数 导 称
数 n 导 , 作 函 f ( x)的 阶 数 记
dn y dn f ( x) f (n) ( x), y(n) , . 或 n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 高阶导数. 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数
(4) ( x α ) ( n ) = α(α − 1) L (α − n + 1) x α − n
(n)
(5) (ln x )
14
= ( −1)
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n −1
( n − 1)! xn
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1 (n) n n! ( ) = ( −1) n + 1 x x
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1 (5) , 求y . 2 x −1 1 1 1 1 解Qy= 2 ) = ( − x −1 2 x −1 x +1
例6 设 y =
∴y
(5)
1 − 5! − 5! ] = [ − 6 6 2 ( x − 1) ( x + 1) 1 1 ] = 60[ − 6 6 ( x + 1) ( x − 1)
15
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由参数方程确定的函数的求导方法
一、概述从高中开始学习数学，我们就被教导如何求解代数函数的导数。
但是在高等数学领域，我们还需要学会如何求解由参数方程确定的函数的导数。
参数方程在描述曲线、曲面等几何图形时具有独特的优势，因此求解由参数方程确定的函数的导数是十分重要的。
二、参数方程的定义参数方程是由参数对确定的函数，其自变量和因变量均为参数。
常见的参数方程形式可表示为$x=f(t)$，$y=g(t)$，其中$x$和$y$分别是$t$的函数。
参数方程的优点在于能够将几何问题转化为代数问题，简化问题的求解过程。
三、从参数方程求导的基本方法1. 链式法则当我们需要求解由参数方程确定的函数的导数时，可以利用链式法则。
设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。
根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$。
通过对参数$t$的求导，我们可以得到$y$关于$x$的导数。
2. 极限定义法我们也可以利用极限定义法来求解由参数方程确定的函数的导数。
设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。
我们可以将$\frac{dy}{dx}$表示为$\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$，其中$\Delta t$趋近于$0$。
通过极限的定义，我们可以求得函数$y$关于$x$的导数。
四、实例分析为了更好地理解从参数方程求导的方法，我们通过实例来进行分析。
假设有参数方程$x=2t$，$y=t^2$，我们需要求解函数$y$关于$x$的导数。
根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，代入参数方程得$\frac{dy}{dx}=\frac{2t}{2}=\frac{t}{1}=t$。
隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
2°若隐函数 y y( x) ( x D)可由F ( x, y) 0中
解出，则称此隐函数可显化；
如：
确定了一个隐函数：y = y(x)
可显化：y 3 1 x.
2021/4/22
2
3°有些隐函数不易显化，甚至不能显化.
例1 e y xy 0 确定了一个隐函数：
y
t
2
,
t x 2
y
t2
( x)2
2
x2 4
故
消去参数 t
y 1 x. 2
问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何
求函数的导数?
2021/4/22
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结论 (由参数方程所确定的函数的求导公式)
在
x y
(t) (t)
中，设
x
(t
)在某个区间上具有
单调且连续的反函数 t 1( x), 且能构成复合
5 y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
由原方程得 x = 0 时 y = 0 , 故
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例3-4 设 y x ex , 求其反函数的导数 . 解 (方法1)
(方法2) 等式两边同时对 y 求导
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f (x) 0 f (x) 0
当 f ( x) 0 时，y f ( x)
f (x)
y (ln x ) 1 ( x 0) x
当
f
(
x)
0
时，y
[
1 f(
x)]
[
f
(
x
隐函数及参数方程确定函数求导法则
解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
dx dt
v1
,
垂直分量为
dy dt
v2
gt
,
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): y
设 为切线倾角, 则
tan d y
dy dt
d x v2 gt
o
x
dx
dt
v1
抛射体轨迹的参数方程
x y
v1t v2t
12
gt2
速度的水平分量
dx dt
v1
,
垂直分量
dy dt
v2
gt ,
速度的方向 tan v2 gt
v1
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
(x2)/+(y2)/=（R2）/
2x 2 y dy 0 dx
dy x dx y
例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐
函数的导数 y
/ x
解 将方程的两边同时对 x 求导，得
yx/
sin
x
y
cos
x
1 y
yx/
0
整理得
yx/
y2 cos x
1 y sin x
例3. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
由参数方程所确定的函数的导数
由参数方程所确定的函数的导数要计算由参数方程确定的函数的导数，我们首先需要了解参数方程的概念和用法。
参数方程是一种常用于描述曲线或曲面的方程形式。
它使用一个参数来表示变量，通过改变参数的值可以得到曲线或曲面上的不同点。
常见的参数方程形式为：x=f(t)y=g(t)其中，t是参数，x和y是关于t的函数。
要计算由参数方程所确定的函数的导数，我们可以使用链式法则。
链式法则是微积分中的一个重要定理，用于计算复合函数的导数。
首先，我们将两个参数方程写成一个函数：f(t)=(x(t),y(t))然后使用链式法则将函数f(t)求导：f'(t)=(x'(t),y'(t))其中，'表示对变量t求导。
x'(t)和y'(t)分别表示x和y关于t的导数。
进一步，我们可以通过求解x(t)和y(t)关于t的导数来计算x'(t)和y'(t)：x'(t) = dx(t)/dty'(t) = dy(t)/dt具体的计算方法取决于参数方程的具体形式。
下面我们通过一些例子来演示如何计算由参数方程所确定的函数的导数：例1：考虑参数方程 x = cos(t)，y = sin(t)，我们将其表示为函数形式 f(t) = (cos(t), sin(t))。
求导得到：x'(t) = -sin(t)y'(t) = cos(t)所以函数f(t)的导数为 f'(t) = (-sin(t), cos(t))。
例2：考虑参数方程x=2t，y=t^2，我们将其表示为函数形式f(t)=(2t,t^2)。
求导得到：x'(t)=2y'(t)=2t所以函数f(t)的导数为f'(t)=(2,2t)。
通过以上例子，我们可以看到，对于参数方程确定的函数，其导数是一个向量函数，每个分量的导数都是各个参数的导数。
总结起来，计算由参数方程确定的函数的导数的步骤如下：1.将参数方程写为函数形式f(t)=(x(t),y(t))。
由参数方程所确定的函数的导数与导数的简单应用
⎧ x = ϕ (t ) 若函数 ⎨ 二阶可导 , ⎩ y = ψ (t )
d 2 y d dy = ( ) = d ⎛ ψ ′( t ) ⎞ dt ⎜ 2 ⎟ ⎜ ϕ ′( t ) ⎟ dx dx dx dx dt ⎝ ⎠
ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) 1 = ⋅ 2 ϕ ′ (t ) ϕ ′( t )
y
y=
3
x −1
0
1
x
在x = 1处不可导， 但此时有垂直切线x = 1.
例1 过M (3,8)作曲线 y = x 2 的切线, 写出切线方程. 解 易见点 M ( 3 ,8 )不在曲线 y = x 2 上 .
设曲线 y = x 2的过 M 点的切线的切点为 P ( x 0 , x 0 )
曲线在 P 点的切线的斜率为 f ′( x 0 ) = 2 x 0
l ( t ) = x ( t ) + 100
2 2
2
(1)
dl dx （2） (1)式两边对t求导得 2l = 2 x dt dt dx 又已知 = −3米 / 秒,（负号表示距离缩短!） dt dl x dx x dx ∴ = = dt x = 50 l dt x = 50 1002 + x 2 dt x = 50
y
y = f ( x)
f ′( x 0 )表示曲线 y = f ( x ) 在点 M ( x 0 , f ( x 0 ))处的 切线的斜率 , 即 f ′( x 0 ) = tan α , (α为倾角) o
α
T M
x0
x
切线方程为 y − y 0 = f ′( x 0 )( x − x 0 ). 1 ( x − x0 ) ( f ′( x0 ) ≠ 0). 法线方程为 y − y0 = − f ′( x 0 )
由参数方程所确定的函数的导数(精)
例如 方程xy310确定的隐函数为 y 3 1 x
把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程 中把隐函数的导数解出.
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高等数学
主讲人： 苏本堂
例1 求由方程eyxye0所 例2 求由方程y52yx3x70 确定的隐函数y的导数 所确定的隐函数yf(x)在 解 方程中每一项对x求导得 x0处的导数y|x0
d 1 dh sec d t 500 d t
2
h
sec 2 1 tan 2
dh 已知 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 d t 2 500
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二、由参数方程所确定的函数的导数
x j (t ) 设 y 与 x 的函数关系是由参数方程 确定的 y y (t ) 设xj(t)具有反函数tj-1(x) 且tj-1(x)与yy(t)构成 复合函数yy[j-1(x)] 若xj(t)和yy(t)都可导 则
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例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导 x 2 y y 0 8 9 3 9 x y x 2 x2 4 16 y 3 3 y 3 y 3
2 2
3 3 故切线方程为 y 3 ( x 2) 2 4
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例5 求yx sin x (x>0)的导数 解法一 两边取对数 得 ln ysin xln x
高等数学：第十一讲 由参数方程所确定的函数的导数
dy dt
1 dx
y(t ) )
例题：
已知摆线方程为
x a(t sin t),
y
a(1
cost)
(a 为常数，0 t 2π) ，求摆线在 t
3
处的切线方程 .
解
与
t
3
对应的曲线上的点为
P a
3
3 2
,
1 2
a
,
y′ (t)= asin t， x′(t)= a(1-cos t)，
由参数方程所 确定的函数的
导数
引例
已知摆线方程为
x y
a(t a(1
sin t ) ， (a
cos t)
为常数，0
t
2π
)
，求摆线在
t 处的切线方程 .
3
分析 切线方程
切点
斜率
导数
问题
一、这里的函数如何确定？ 二、如何求该函数的导数？
隐由函 参数方程确定的函数
定义
如果参数方程
x y
x(t), y(t)
所以
dy
sin t
dy ,
dx 1 cos t dx t π
3.
3
点
P
处的切线方程为
y
1a 2
3
x
3
a
3 2
a
.
谢谢
(
t
)
可确定y与x之间的函数
关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的
函数。
例如，参数方程
x
y
r cost, r sin t
(0
t
2
)
确定了y与x之间的函数
关系，即 x2 y2 r 2.
1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则
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5
二、典型例题
x a( t sin t ) 在t 处的切线方程 . 例1 求摆线 2 y a(1 cos t )
1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则
一、求导法则 二、典型例题 三、小结
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1
一、求导法则
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t , y t2,
d2y 例3 设 x a cos t，y b sin t，求 2 . dx
解
dy dy dt b cot t， dx dx a dt
d dy d 2 y dt dx 2 dx dx dt
b cot t b ( csc 2 t ) a a (a cos t ) a sin t
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4
d ( t ) d dy ( ) ( ) dt dx dt ( t ) dx ( t ) dt
( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 1 2 (t ) ( t )
所求切线方程为
y a x a( 1) 2
即
y x a (2
2
).
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隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
(1)xy exy ;(2)x y arctan y;
(3)e x ey arctan y 6;(4) arctan y ln x2 y2 ; x
(5) x y a (常数a>0）;(6)xy yx;
线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3 x2 3 y2 y 3 y 3xy
1. y ( 3,3) 22
y x2 y2 x
( 3,3 ) 22
所求切线方程为
y
3 2
( x
3) 2
即 x y 3 0.
法线方程为 y 3 x 3 即 y x,
例3 xy e y，确e定了y是x的函数，求 。y0
解：y xy e y，y 0
y，
x
y e
y
x 时 0
，y 1
y0 1
e
例4 设曲线C的方程为x3 y3 3xy,求过C上
点(3 , 3)的切线方程, 并证明曲线C在该点的法 22
已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或 常数与基本初等函数的和、差、积、商.
任何初等函数的导数都可以按常数和基本初 等函数的求导公式和上述求导法则求出.
关键: 正确分解初等函数的复合结构.
四、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;
对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导 法则求导;
参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
(2) 炮弹在 t0时刻沿 x, y轴方向的分速度为
vx
dx dt
t t0
(v0t cos )
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第三节
导数与微分
由参数方程确定的函数的导数、 高阶导数
主要内容：
一、由参数方程确定的函数的导数；
二、高阶导数.
1
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一、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y ( ( 1 )x 2) ( 1 ) ( 2 )x 3
y ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n ( n 1 )
若为自然 n,则 数
y(n) (xn)(n)n!,
y(n1) (n!) 0.
2
y c oxs(2 2)sinx(32)
y(n) sinx (n) 2
同理可得 (cx o)(n s)coxsn () 2
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（2） 高阶导数的运算法则:
设函 u和 v具 数n阶 有导 ,则数
(1 )(u v )(n ) u (n ) v (n ) (2)(C)u (n) C(n u )
f(x),
y,
d3y .
dx3
三阶导数的导数称为四阶导数,Βιβλιοθήκη f(4)(x), y(4),
d4y .
dx4
一般, 函 地数 f(x)的n1阶导数的导数
函数 f(x)的n阶导,记 数作
f(n)(x),y(n), dny或 dnf(x). dnx dnx
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应 ,f(x)称 地为零 ;f(x)阶 称导 为数 一 .
由参数方程所确定的函数的导数
由参数方程所确定的函数的导数参数方程是一种用参数表示的函数形式，其中自变量由一个或多个参数来决定。
因此，参数方程所确定的函数的导数可以通过链式法则来求解。
假设我们有一个参数方程：x=f(t)y=g(t)其中，x和y是关于t的函数。
我们要求的是函数 y 对 x 的导数，也就是 dy/dx。
根据链式法则，我们可以写出如下关系：dy/dx = dy/dt / dx/dt然后，我们可以分别求 dy/dt 和 dx/dt 的值，并将它们代入到上式中，进一步计算出 dy/dx。
假设函数f(t)和g(t)是可以被微分的，那么我们可以得到：dx/dt = f'(t)dy/dt = g'(t)其中，f'(t)和g'(t)表示f(t)和g(t)的导数。
将 dx/dt 和 dy/dt 的值带入到 dy/dx 的表达式中，我们可以得到：dy/dx = dy/dt / dx/dt = g'(t) / f'(t)这样，我们就得到了函数y对x的导数。
这个导数可以看作是一个对于参数t的函数。
需要注意的是，上述推导只适用于单变量的情况，也就是参数方程中只有一个参数t。
如果有多个参数，我们需要对每个参数分别求导，并做相应的处理。
现在，让我们来看一个具体的例子，以便更好地理解。
假设有一个参数方程：x = cos(t)y = sin(t)我们的目标是求 dy/dx。
首先，我们求 dx/dt 和 dy/dt：dx/dt = -sin(t)dy/dt = cos(t)然后，我们将 dx/dt 和 dy/dt 的值代入到 dy/dx 的表达式中：dy/dx = dy/dt / dx/dt = cos(t) / (-sin(t))因此，函数 y 对 x 的导数为 -cot(t)，也就是 -1/tan(t)。
通过上述计算，我们可以发现，导数 -cot(t) 是对参数 t 的函数，而不是对 x 的函数。
参数方程表示的函数的求导高阶导数.ppt
y(n) n!a0. 容易看出, 当k n时, y(k) 0.
例5 设 y sin x，求y(n).
解 求n阶导数时，通常的方法是先求出一阶、二阶、
2
22
2
所以 y(n) sin( x nπ) .
2
当然，我们也可以从：
y' cos x, y" sin x, y cos x, y(4) sin x,
中归纳出下面的规律：
cos x,
(sin
x)(n)
sin
x,
cos x,
sin x,
n 4k 1,
n 4k 2, k 0,1,2,
a dv d (ds),或a (s). dt dt dt
这种导数的导数，称为二阶导数，可以记为
d2s dt 2
或 s"
，即
d2s dt 2
d dt
(ds)或s" dt
(s).
一般地，若y=f(x)的导数 y f (x) 仍可导，则称
f
( x) 的导数为y=f(x)的二阶导数，记为
d2 dx
导数.分别为
d3 y dx3
,
d4 dx
y
4
,
,
dn dx
y
n
,
或
d3 f dx3
d4 f , dx4
,
,
dn dx
f
n
,
或
y，y(4) (x), , y(n) ,
或
f (x), f（4）(x), , f (n) (x).
浅谈隐函数及其应用
分类号：学校代码：11460学号：11201910南京晓庄学院本科生毕业论文浅谈隐函数及其应用On the implicit function and its application所属院(部)：信息工程学院学生姓名：王林林指导教师：马圣容研究起止日期：二○一四年十一月至二○一五年五月【摘要】本文从隐函数定理的内容、隐函数的概念、证明方法，以及隐函数定理的应用几个方面进行了简单的介绍。
首先从隐函数定理出发，介绍并证明隐函数组定理和反函数组定理。
通过这些推论，我们知道了隐函数定理的在很多方面都有着广泛的用途。
最后讨论了隐函数定理在计算偏导数和导数、几何应用这几个方面的应用并做了具体的论述.【关键词】隐函数定理；应用；导数；证明【Abstract】In this paper, the contents of the implicit function theorem, the concept of implicit function, the proof method, and the application of the implicit function theorem are briefly introduced.. From the implicit function theorem, we introduce and prove the implicit function theorem and inverse function group theorem.. Through these inferences, we know that the implicit function theorem is widely used in many aspects.. At last, the application of the implicit function theorem in the calculation of partial derivative and derivative, and its application in geometrical application are discussed.【Key words】implicit function theorem; Application; Optimization theory; proof目录摘要.................................................... 错误！未定义书签。
隐函数及参数方程所确定的函数的求导法
谢谢聆听
一、隐函数的导数
把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化．例如， 从方程3x＋y2＋5=0解出y=± √ -5-3x，就把隐函数化成显函 数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．例如， ey=y＋x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f （x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.
设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定的隐函数，则F（x， f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所 得到的复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导， 便可得到所求的导数．
我们通过几个例子来说明这种方法．
一、隐函数的导数
【例1】
求方程xy-ex＋ey=0所确定的隐函数y=f（x）的导数 ． 解 方程两端同时对x求导，并注意到y是x的函数，得
下面举几个例子.
一、隐函数的导数
【例4】
求函数y=xx（x>0）的导数． 解 这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数 公式，也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数，得
lny=xlnx， 两边对x求导，得
一、隐函数的导数
【例5】
二、由参数方程所确定的函数的导数
函数关系除了用显式和隐式表示外，还可以用参数 方程来表示．
一般的，如果参数方程x=φ（t）， 确定y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函 数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导，通常不需要由 参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求 导．
二、由参数方程所确定的函数的导数
如果函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t） 存在反函数t=φ-1（x），则y为x的复合函数．根据复合函数求 导法则，得
由参数方程所确定的函数的导数(精)
b a 4 2 y b sin b 2 切点的坐标为 x0 a cos a 0 4 2 4 2 2 b (x a 2 ) 切线方程为 y b 2 a 2 即 bxay 2 ab 0
ln x yx sin xe sin x·
y esinxln x (sin xln x) xsinx (cosxln x sin x ) x
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高等数学
主讲人： 苏本堂
(x 1)(x 2) 例 6 例 6 求函数 y 的导数 (x 3)(x 4)
例如 方程xy310确定的隐函数为 y 3 1 x
把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程 中把隐函数的导数解出.
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主讲人： 苏本堂
例1 求由方程eyxye0所 例2 求由方程y52yx3x70 确定的隐函数y的导数 所确定的隐函数yf(x)在 解 方程中每一项对x求导得 x0处的导数y|x0
于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为
2 (v gt)2 v [x(t)]2 [ y(t)]2 v1 2 再求速度的方向 设a是切线的倾角 则轨道的切线方向为 dy y(t) v2 gt tan 数学
主讲人： 苏本堂
dy y ( t ) [ a ( 1 cos t ) ] a sin t 解 dx x(t) [a(t sin t)] a(1 cost)
参数方程求导法则
参数方程求导法则的应用
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参数方程表示的曲线求导
参数方程求导法则
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1
参数方程求导法则概述
2
参数方程求导法则的应用
3
参数方程求导法则的注意事项
4
参数方程求导法则的实例分析
5
总结与展望
参数方程求导法则概述
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直线参数方程求导实例
对于直线参数方程 x=t, y=t+b，其中 t为参数，b为常数， 对参数t求导得到 dx/dt=1， dy/dt=1，即直线 的斜率为1。
直线参数方程的导数可以通过求参数t的导数得到。 总结词
详细描述
圆参数方程求导实例
总结词
圆参数方程的导数可以通过求参数θ的导数得到。
详细描述
参数方程的定义
参数方程
参数方程是由一个或多个参数变量和 自变量构成的方程组，用来描述曲线 或曲面上的点随参数变化而变化的规 律。
参数方程的一般形式
$x = f(t), y = g(t)$，其中$t$是参数变 量。
参数方程与直角坐标系的关系
参数方程与直角坐标系的关系是通过参数方程中的$x$ 和$y$与直角坐标系中的$x$和$y$相对应来建立的。 参数方程中的参数$t$可以对应直角坐标系中的时间或 其他物理量。
由参数方程所确定的函数的导数
dy dx
dy
dt dx
1
1
1 t
2
2t
t 2
dt 1 t2
d2y dx 2
1 2
dt dx
1 2
1 2t
1 t2
1 t2
4t
注意１：这里易犯
d2 y t 1 dx2 2 2
的错误。应
搞清
d2y dx 2
应该是
dy dx
t 2
对x
求导数，而不是
对 t 求导数。
4
dy b dx a
x 2a , y 2b
2
2
故切线方程为 y 2b b ( x 2a )
2a
2
整理一下：
bx ay 2ab 0
若函数 x (t), y (t)具有二阶连续导数, 且
(t) 0, 则y关于x二阶可导，且
d2y dx 2
(t)(t) (t)(t) ( (t ))2
dt dx
(
t
)
(t) (t ( (t ))3
)
(t
)
例２求参数方程
x ln(1 t 2 )
所确定
y t arctan t
的函数y = y (x)的二阶导数。
解
确定的函数.
观察粉笔头的运动轨迹，这是一条光滑 曲线，处处有切线。如何求切线斜率？
x v1t,
y
v2t
1 2
gt
2
,
x t
v1
消去参数 t y v2 x 1 g( x )2
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作业 习题1.4 习题 P59-61 A 组 13 (1) 、(3) ， 14
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17
所求切线方程为
y − a = x − a ( − 1) 2
即
y = x + a (2 −
π
π
2
).
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x = t 2 + 2t, (0 < ε < 1). 例2 设由方程 2 t − y + ε sin y = 1,
确定函数 y = y( x), 求 方程组两边对t求导 求导, 解 方程组两边对 求导, 得
d 2 y ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) . 即 = 2 3 dx ϕ′ (t )
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二、典型例题
x = a( t − sin t ) π 在t = 处的切线方程 . 例1 求 摆 线 2 y = a(1 − cos t )
x = ϕ (t), y =ψ (t),
(α < t < β )
确定的函数 y = f ( x ) ,可采用下述方法来求它的导数： 可采用下述方法来求它的导数：
首先根据微分形式不变性可得 首先根据微分形式不变性可得 dx = ϕ ′ ( t ) dt , dy = ψ ′ ( t ) dt , 然后根据导数是微商， 然后根据导数是微商，可得 根据导数是微商
例3
设
, 求
求导, 解 方程组两边同时对 t 求导, 得
dy ∴ dx
t =0
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注 参数方程所确定的函数的求导法则的另一种解释. 参数方程所确定的函数的求导法则的另一种解释 我们知道导数也叫微商， 我们知道导数也叫微商，因此对于参数方程 微商
d dy d 2 y dt dx = = 2 dx dx dt
b ′ − cot t − b ⋅ ( − csc 2 t ) a = a (a cos t )′ − a sin t
b = − 2 csc 3 t . a
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1 − sec 2 tdt . = = 4 3a cos 2 t ⋅ ( − sin t )dt 3a cos t ⋅ sin t
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11
x = arctan t , dy 所确定， 例 5 设 y = y( x ) 由 所确定，求 . 2 t dx 2 y − t y + e = 5.
dy ψ ′ ( t ) dt ψ ′ ( t ) . = = dx ϕ ′ ( t ) dt ϕ ′ ( t )
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例4
解
x = a cos 3 t , d2y dy 设 求 ， 2. dx dx y = a sin 3 t ,
dy 3a . 2 dx 3a cos t ⋅ ( − sin t )dt
dx = 2t + 2, dt dy dy 2t − = 0. +ε cos y dt dt
故
dx = 2(t + 1), dt dy 2t . = dt 1 − ε cos y
dy dy t . = dt dx = dx dt (t + 1)(1 − ε cos y)
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∴ y = ψ [ϕ ( x )]
−1
再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t )都可导, 且ϕ ′( t ) ≠ 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) dy dt ψ′ ( t ) = ⋅ = ⋅ = . 即 = = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dx dx ϕ′ ( t ) dt dt
分析 方法 一 由 x = arctan t 得 t = tan x ， 代入
2 y − t y + e = 5,
2 t
根据隐函数求导法则可求. 2 y − y 2 tan x + etan x = 5. 根据隐函数求导法则可求 得 根据参数方程求导法则可求. 方法 二 根据参数方程求导法则可求 答案为： 答案为：
dy a sin t sin t dy dt = = = dx dx a − a cos t 1 − cos t dt
解
dy ∴ dx
t=
π 2
π sin 2 = 1. = π 1 − cos 2
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当t =
π
2
时, x = a(
π
2
− 1), y = a .
三、小结 参数方程求导法: 参数方程求导法: 实质上利用复合函数求导法则. 实质上利用复合函数求导法则 求高阶导数时, 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
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14
思考题： 思考题： 在摆线的一拱
x = a ( t − sin t ), y = a ( t − cos t ),
(0 ≤ t ≤ 2π )
上求一点A， 平行， 上求一点 ，使该点处的切线与直线 y＝ 1-x平行， ＝ - 平行 并写出切线方程. 并写出切线方程
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15
解 摆线上任一点处切线的斜率为 dy dy dt t sin t = = cot , = dx dx 2 1 − cos t dt t 3 令 cot = −1, 得t = π，代入曲线方程，得切点 代入曲线方程， 2 2 3 x = a ( π + 1)， y = a. 2 3π + 1 , 即 所求切线为 y − a = − x − a 2 3π y = a( + 2) − x . 2
1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则
一、求导法则 二、典型例题 三、小结
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1
一、求导法则
x = ϕ(t ) 若参数方程 确定y与x间的函数关系 , y =ψ (t ) . 称此为由参数方程所确定的函数
例如
x = 2t , 2 y = t ,
2
x t= 2
2
消去参数 t
x 2 x ∴y=t =( ) = 2 4
1 ∴ y′ = x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导? 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
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x = ϕ (t ) 在方 程 中, y = ψ (t )
设函数x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ −1 ( x ),
dy ( y 2 − etan x )sec 2 x . = dx 2(1 − y tan x )
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d2y 例6 设 x = a cos t，y = b sin t，求 2 . dx
解
dy dy dt b = = − cot t， dx dx a dt
若要求二阶导数，则由下列参数方程 若要求二阶导数，
x = a cos 3 t , dy dx = − tan t ,
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x = a cos 3 t , dy dx = − tan t ,
可得
dy d 2 d y d dy dx = d ( − tan t ) = dx = dx 2 d (a cos 3 t ) dx dx
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x = ϕ (t ) 若 函数 二 阶可 导 , y = ψ (t )
d 2 y d dy d ψ ′( t ) dt = ( )= ( ) 2 dx dx dt ϕ′( t ) dx dx
ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) 1 = ⋅ 2 ϕ ′ (t ) ϕ ′( t )