1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则

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作业习题1.4 习题 P59-61 A 组 13 (1) 、(3) ， 14
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17
所求切线方程为
y − a = x − a ( − 1) 2
即
y = x + a (2 −
π
π
2
).
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x = t 2 + 2t, (0 < ε < 1). 例2 设由方程 2 t − y + ε sin y = 1,
确定函数 y = y( x), 求方程组两边对t求导求导, 解方程组两边对求导, 得
d 2 y ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) . 即 = 2 3 dx ϕ′ (t )
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二、典型例题
x = a( t − sin t ) π 在t = 处的切线方程 . 例1 求摆线 2 y = a(1 − cos t )
x = ϕ (t), y =ψ (t),
(α < t < β )
确定的函数 y = f ( x ) ,可采用下述方法来求它的导数：可采用下述方法来求它的导数：
首先根据微分形式不变性可得首先根据微分形式不变性可得 dx = ϕ ′ ( t ) dt , dy = ψ ′ ( t ) dt , 然后根据导数是微商，然后根据导数是微商，可得根据导数是微商
例3
设
, 求
求导, 解方程组两边同时对 t 求导, 得
dy ∴ dx
t =0
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注参数方程所确定的函数的求导法则的另一种解释. 参数方程所确定的函数的求导法则的另一种解释我们知道导数也叫微商，我们知道导数也叫微商，因此对于参数方程微商
d dy d 2 y dt dx = = 2 dx dx dt
b ′ − cot t − b ⋅ ( − csc 2 t ) a = a (a cos t )′ − a sin t
b = − 2 csc 3 t . a
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1 − sec 2 tdt . = = 4 3a cos 2 t ⋅ ( − sin t )dt 3a cos t ⋅ sin t
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11
x = arctan t , dy 所确定，例 5 设 y = y( x ) 由所确定，求 . 2 t dx 2 y − t y + e = 5.
dy ψ ′ ( t ) dt ψ ′ ( t ) . = = dx ϕ ′ ( t ) dt ϕ ′ ( t )
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例4
解
x = a cos 3 t , d2y dy 设求， 2. dx dx y = a sin 3 t ,
dy 3a . 2 dx 3a cos t ⋅ ( − sin t )dt
dx = 2t + 2, dt dy dy 2t − = 0. +ε cos y dt dt
故
dx = 2(t + 1), dt dy 2t . = dt 1 − ε cos y
dy dy t . = dt dx = dx dt (t + 1)(1 − ε cos y)
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∴ y = ψ [ϕ ( x )]
−1
再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t )都可导, 且ϕ ′( t ) ≠ 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) dy dt ψ′ ( t ) = ⋅ = ⋅ = . 即 = = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dx dx ϕ′ ( t ) dt dt
分析方法一由 x = arctan t 得 t = tan x ，代入
2 y − t y + e = 5,
2 t
根据隐函数求导法则可求. 2 y − y 2 tan x + etan x = 5. 根据隐函数求导法则可求得根据参数方程求导法则可求. 方法二根据参数方程求导法则可求答案为：答案为：
dy a sin t sin t dy dt = = = dx dx a − a cos t 1 − cos t dt
解
dy ∴ dx
t=
π 2
π sin 2 = 1. = π 1 − cos 2
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当t =
π
2
时, x = a(
π
2
− 1), y = a .
三、小结参数方程求导法: 参数方程求导法: 实质上利用复合函数求导法则. 实质上利用复合函数求导法则求高阶导数时, 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
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14
思考题：思考题：在摆线的一拱
x = a ( t − sin t ), y = a ( t − cos t ),
(0 ≤ t ≤ 2π )
上求一点A，平行，上求一点，使该点处的切线与直线 y＝ 1-x平行，＝ - 平行并写出切线方程. 并写出切线方程
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解摆线上任一点处切线的斜率为 dy dy dt t sin t = = cot , = dx dx 2 1 − cos t dt t 3 令 cot = −1, 得t = π，代入曲线方程，得切点代入曲线方程， 2 2 3 x = a ( π + 1)， y = a. 2 3π + 1 , 即所求切线为 y − a = − x − a 2 3π y = a( + 2) − x . 2
1.4.4 由参数方程所确定的函数的求导法则
一、求导法则二、典型例题三、小结
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1
一、求导法则
x = ϕ(t ) 若参数方程确定y与x间的函数关系 , y =ψ (t ) . 称此为由参数方程所确定的函数
例如
x = 2t , 2 y = t ,
2
x t= 2
2
消去参数 t
x 2 x ∴y=t =( ) = 2 4
1 ∴ y′ = x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导? 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
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x = ϕ (t ) 在方程中, y = ψ (t )
设函数x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ −1 ( x ),
dy ( y 2 − etan x )sec 2 x . = dx 2(1 − y tan x )
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d2y 例6 设 x = a cos t，y = b sin t，求 2 . dx
解
dy dy dt b = = − cot t， dx dx a dt
若要求二阶导数，则由下列参数方程若要求二阶导数，
x = a cos 3 t , dy dx = − tan t ,
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x = a cos 3 t , dy dx = − tan t ,
可得
dy d 2 d y d dy dx = d ( − tan t ) = dx = dx 2 d (a cos 3 t ) dx dx
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x = ϕ (t ) 若函数二阶可导 , y = ψ (t )
d 2 y d dy d ψ ′( t ) dt = ( )= ( ) 2 dx dx dt ϕ′( t ) dx dx
ψ ′′( t )ϕ ′( t ) − ψ ′( t )ϕ ′′( t ) 1 = ⋅ 2 ϕ ′ (t ) ϕ ′( t )