高等代数知识点归纳

1122,,

0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++

=⎨≠⎪⎩

=

=()mn A O A A O A B

O B

O B

B

O A A

A B B O B O

*

=

=*

*=-1

(1)2

1121

21

1211

1

()n n n

n

n n n n n n n a O

a a a a a a a O

a O

---*

==-1

范德蒙德行列式：

()12222

12

11

11

12

n i

j

n

j i n

n n n n

x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111

代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-

分块对角阵相乘：11

112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫

==

⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122n

n n A A A ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

分块矩阵的转置矩阵：T

T

T T

T A B A C C D B

D ⎛⎫

⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

()

11

21112222*

12n T

n ij

n

n

nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪

== ⎪ ⎪⎝⎭

，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 1

1A A --=.

分块对角阵的伴随矩阵：*

*

*A BA B AB ⎛⎫

⎛⎫=

⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

1

11A B B

A

---⎛

⎫⎛⎫= ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭ 1

2

3111

1

2

13a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

=

⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭

3

2

1

1

1

112

13a a a a a a -⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪

=

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

矩阵的秩的性质：

① ()A O r A ≠⇔≥1; ()0A O r A =⇔=;0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n

④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩

若若0的列向量全部是的解

⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B

⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.

⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O

A A

B A

C B C ο⨯⇔=⎧⎪

=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩

⎩ 只有零解

在矩阵乘法中有左消去律；

若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨

⎩

在矩阵乘法中有右消去律.

⑧ ()r

r

E O E O r A r A A O

O O

O ⎛⎫⎛⎫

=⇒

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B +

⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭

①

n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. ③

(,)0αβ=. 记为：αβ⊥

④

21

n

i i a α====∑⑤

1α==. 即长度为1的向量.

内积的性质：① 正定性② 对称性③ 线性性

12

n A λλλ= 1

n

i A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A 特征值与特征向量的求法

(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量. 设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,

,i

n r ξξξ- 其中()i i r r A E λ=-.

则A 对应于特征值

i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++

其中12,,

,i n r k k k -为任意不全为零的数.

3. ①1

P AP B -= （P

为可逆矩阵）

②1

P AP B -= （P 为正交矩阵）

③A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 7. 矩阵对角化的判定方法

① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1

P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：

1

2

1

n P AP λλλ-⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝

⎭

.