理论力学部分习题ppt课件

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a v vr vr v v 0
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例5：
假定一飞机从A处向东飞到B处，而后又向西飞回原处
，飞机相对空气的速度为 v' ，而空气相对地面的速度 则为v0，A与B之间的距离为l，飞机相对于空气的速度v'
保持不变。
(a)假定v0＝0，即空气相对于地面是静止的v' ，试证来回
飞行的总时间为
t0
解得：h
1 2gk 2
ln(1
k 2v02 )
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下落时：
••
m y mg mk 2 gv2
dv g(1 k 2v2 ) dv dy v dv
dt
dy dt dy
vl 0
1
v k 2v2
dv
0
gdy
h
解得：h
1 2gk
2
ln(1
k
2vl 2
)
1 2gk 2
ln(1
k 2v02 )
y
a(1
cos
2
)
a
dv dt
an
v2
7
mg sin ma mg cos Fn man
dv ds dv
v2
a ds dt v ds , an
g sin v dv ,
ds
g (sin ds) vdv，y gdy
v
vdv,
0
0
gy 1 v2 , v2 2gy 2
8
dy
r
则cos (x a2 y2 ) / r sin2 cos2 1,
整理：4x2(a2 y2) (x2 3y2 a2 r2)2
2
•
x
rw
sin
rw
cos
sin
2 cos
•
y
rw cos
,
w
•
2
r sin 2a sin
•
对两边求导：
rwcos
,
2a cos
• •
v x2 y2
P
P
0
2
t
23
设F kt,则
p
dF k
2
dt, k
2
p
0
0
24
25
26
v
p
m
2
t
2, (0
t
)
2
v p ( 2 4t 2t 2 ), ( t )
2m
2
w 1 p2 2
8m
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例9： 重为 W 的小球，不受摩擦而沿半长轴为 a 、半短轴为 b 的椭圆弧滑下，此椭圆的 短轴是竖直的。 如小球自长轴的端点开始 运动时 ， 其初速度为零 ， 试求小球在到 达椭圆的最低点时它对椭圆的压力。
2e 1
10
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例4： 质点作平面运动，其速率保持常数，试证
其速度矢量与加速度矢量正交。
平面极坐标
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证明：
v vri v j
速率为常数：vr 2 v 2 c,
•
•
两边同时微分：2vr vr 2v v 0,
a
dv dt
•
vr
i
vr
•
i
•
v
j v
•
j
•
•
•
•
(vr v )i (vr v ) j,
-
1 2gk 2
ln(1 k 2v2 )，vl
v0 1 k 2v02
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例7:
根据汤川核力理论，中子与质子间的引力具有如下
形式的势能
V
Kear , K 0
(r)
r
试求：⑴中子与质子间的引力表达式；
⑵求质量为m的粒子作半径为a的圆运动的动量矩J及
能量E。
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（1）F
- dvr dr
ker (1 r)
dy
yx
dy dx
d
dx
sin 2 1 cos 2
tan ，yx
dy dx
d
dx
1 4a cos4
d
d
3
（1 y2）2 4a cos，
y
Fn
mg
cos
m
v2
mg
cos
m
2g
a1 cos
4a cos
2mg cos
9
补充：在上题中，若圆滚线不是光滑 的，且质点自尖 端自由下滑，到达最低点时停止运动， 证摩擦系数：
2l v'
(b)假定空气速度为向东(或向西)，试证来回飞行的总
时间为
tB
t0 1 v02 / v'2
(c)假定空气速度为向北(或向南)，试证来回飞行的总
时间为
tN
t0 1 v02 / v'2
14
15
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例6：
将质量为m的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度
平方成正比， R mk 2 gv。2 如上掷时的速度为 v0，试证此质点
例1： 曲柄OA=r，以匀角速ω绕定点转动。此曲柄接连杆 AB。使滑块B沿直线OX运动，求连杆C点的轨道方 程及速度。设AC=CB=φ，∠AOB= ∠ ABO=ψ.
y
A a
C
a
B
φ
ψ
O
x
1
设C(x, y),则有：x rcos acos , y a sin
正弦定理：2a r ,
sin sin 得sin 2 y
A
B
28
mgb
1 2
mv 2
N
mg
m
v2
,
y
b
1
x2 a2
y a2
bx
1
x2 a2
ห้องสมุดไป่ตู้
, y
b a2
1
3
1
x2 a2
2
,
3
(1 y) 2
y
b a2
,N
mg
2mgb b
w(1
2b 2 a2
)
a2
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例10. 在可绕固定水平轴转动的滑轮上悬一轻绳，绳 的下端到滑轮轴的竖直距离分别为l及l’。两个质量分 别为m及m’的人抓着绳子的两端同时开始向上爬，且 同时到达滑轮。假定滑轮的质量可略去不计，且所有 阻力均不考虑，试求二人上爬所需的时间T。
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滑轮半径为r，A速度为v, B为v, 对滑轮中心水平轴动量矩为：J mvr mvr, 外力mg和mg对同轴的力矩：M mgr mgr
又落至投掷点的速度为
v1
v0 1 k 2v02
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上掷时：速度方向为正
••
m y mg - mkgv2
dv g(1 k 2v2 ) dv dy v dv
dt
dy dt dy
1
v k 2v2
dv
gdy,
0 v
v0 1 k 2v2
h
gdy
0
1 2k 2
ln(1
k 2v02 )
gh
5
方法二：
•
•
v vri v j r i r j
(d sec tan )i （d sec）j,
v d sec2
6
例3：
一质量为m的质点自光滑圆滚线的尖端无初速地下滑。试证
在任何一点的压力为 2mg cos，式中θ为水平线和质点运动
方向的夹角。已知圆滚线方程为：
x a(2 sin 2 )
r2
v2
Fa
(2)F m , v
a
m
J r p r mv makea (1 a)
(3)E
Ek
Ep
1 2
mv2
vr
kea (1 a)
2a
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例8：
质量为m的物体为一锤所击。设锤所加之力，是均匀增减的。
当在冲击时间τ的一半时，力增至极大值P，以后又均匀减小
至零。求物体在时刻 t 的速率以及压力所作的总功。
r cos2 4sin cos sin( )
cos
3
例2： 细杆OL绕O点以匀角速转动，并推动小环C在固定 的钢丝AB上滑动，图中的d为一已知常数，试求小 环的速度及加速度的量值。
L
A
xC
ω
dθ
B
O
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方法一：分解速度（沿杆，垂直杆）
v v cos r,
r d ,
cos v d sec2