第五讲 平面问题(二)——离散化、三角形单元分析
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5 三节点三角形单元解平面问题
5.1 平面问题离散化
• 结构离散化过程 连续体结构 网格剖分 有限大小单元的结合体 （单元+节点）
平面问题用x-y 坐标系下的一个 二维区域表示
代替原连续体
可用不同形状 的单元，单元 只在节点处相 互连接（铰接）
• 离散化系统的描述 连续体结构离散化以后，转变为有限个小单元组成的离散结构—— “有限单元”概念的由来； 问题的基本未知量从未知场函数（位移）转变为离散节点上的未知 位移分量。平面问题离散结构中某节点i有2个位移分量，表示为：
•
根据其数学形式，可推出简单三角形单元形函数的几何意义 由形函数表达式和性质1可画出下列形函数几何图形，并验证性质3。
根据位移模式表达式及其形函数的性质，可以推断出两个相邻 三角形单元上位移分布形状和公共边界上位移的情况：
u = Nl ul + Nmum + Nnun v = Nl vl + Nmvm + Nnvn
两个单元上位移线性连续分布，各单 元在公共边界上位移线性分布，数值 相同——边界位移协调！
由图形几何性质可以推断简单三角形单元形函数的下列结论： 1）三角形形心上：
1 Nl = Nm = Nn = 3
2）形函数在边界上的积分：
1 ∫ Nl ds = l∫ Nmds = 2llm llm lm
3）形函数在单元上的积分：
a4 坐标取节点值 vl 1 xl v = [1 x y]a5 vm = 1 xm a v 1 x 6 n n
分别解出6个待定系数：
由第一组方程求解 a1
ul 1 xl um = 1 xm u 1 x n n
∂Ni ∂x [Bi ] = 0 ∂N i ∂y
该式建立了用单元节点位移表 达单元上应变分布的关系。
[B] 称为应变矩阵，其一个子块的计算式为：
0 ∂Ni (i = l, m, n) ∂y ∂Ni ∂x
•
对简单三角形单元，应变矩阵为：
∂ 0 ∂x ∂ u = 0 v ∂y ∂ ∂ ∂x ∂y
0 ∂ Nl ∂y 0 ∂ ∂x
0 Nl
Nm 0
0 Nm
Nn 0
0 e {δ } Nn
∂Nl ∂x = 0 ∂N l ∂y
[N]称为单元的形函数矩阵，是对单元节点位移进行插值得到单
元位移分布函数的转换矩阵。 • 用节点位移插值表示单元位移模式是有限元法中除了离散化 之外最具代表性，最重要的步骤。
三、形函数及其性质 对于单元位移模式：
u = Nl ul + Nmum + Nnun v = Nl vl + Nmvm + Nnvn
yl ym yn
am an ul u bm bn m cm cn un
1 xl 其中： 2∆ = Λ = 1 xm 1 xn
∆为三角形面积
节点坐标行列式
ak , bk , ck分别是节点坐标行列式Λ的第k(k = l，m，n)行第 ，3个 1 2， 元素的代数余子式，均为常数。
假设：
Ni =
Baidu Nhomakorabea
1 ( a i + bi x + c i y ) 2∆
ul = 1 um = un = 0
（ i = l， m ， n ）
得到：u(x, y) = Nl
Nl是l节点发生单位位移，m, n节点固定不动时单元的位移分布， 所以称为l节点的形状函数，简称形函数。单元每个节点对应一个 形函数。
[
pyl
pxm
pym
pxn
pyn
]
T
•
我们要研究的问题是该三角形薄片弹性体在保持平衡时所受节 点力和节点位移的关系。
二、单元位移模式 • 按弹性力学位移法求近似解的思路，位移作为基本未知量时，需 要对单元上位移的分布作出假设，即构造含待定参量的简单位移 函数——位移模式。 通常用多项式函数作位移模式，对三节点三角形单元，有6个待定 节点位移分量，所以单元上的位移函数只能是含6个待定系数的完 全一次多项式：
•
把单元应变代入平面问题物理方程，即得到单元应力：
{ε} = [B]{δ }e
σ x {σ } = σ y = [D]{ε } = [D][B]{δ }e = [S ]{δ }e τ xy
{σ } = [S]{δ }e
[S] = [D][B] —单元应力矩阵 [D] —平面问题弹性矩阵
v = Nl vl + Nmvm + Nnvn =
i =l ,m, n
∑N v
i i
至此，单元位移模式已转换为节点位移的插值形式。
上式中：
1 Ni = (ai + bi x + ci y) （i = l，m，n） 2∆
是位移插值基函数，称为单元的形状函数——简称形函数
u和v合并后用矩阵表示为： u Nl = v 0 0 Nl Nm 0 0 Nm Nn 0 0 {δ } = [N]{δ }e Nn
•
1) 如何进行离散结构的求解？ 2) 如何得到小单元（小弹性块）的刚度特性？这种小单元与杆 梁单元有什么区别？ 3) 如何保证离散化的有限元结构能正确模拟原连续结构？ 4) 如何保证离散化结构的解能作为原连续问题的近似解？ 研究上述问题就涉及到弹性力学有限元法的基本原理和基本理论， 核心是单元分析的理论。
• 显然，形函数决定了单元上位移分布的形态。事实上，单元位移 模式就是所有形函数的线性组合。 一个单元的位移模式决定了该单元描述局部位移场的能力，决定 求解的精度、收敛性等，而形函数是最重要的因素。
•
• 针对三节点三角形单元，可以导出单元形函数的下列性质。
性质1：单元上某节点的形函数在该节点的值为1，在其它节点 的值为零。
A ∫∫ Ni (x, y)dxdy = 3 ∆
(i = l, m, n)
四、单元应变和应力（用节点位移表示单元应变、应力 • 已知位移插值形式的单元位移模式：
u e = [N]{δ } v
• 代入平面问题几何方程（应变~位移关系）得到单元应变：
∂ ε x ∂x {ε} = ε y = 0 γ xy ∂ ∂y
•
u(x, y) = a1 + a2 x + a3 y v(x, y) = a4 + a5 x + a6 y
a1 ~ a6
•
为待定系数，称为广义坐标。
由于有限元法中未知量是节点位移，所以上面单元位移模式需要 转换为以节点位移分量为待定参量的形式。过程如下。
位移多项式写成矩阵形式：
代入各节点坐标取值后：
yl ym yn
−1
vl al 1 vm = bl v 2∆ c n l
am an vl v bm bn m cm cn vn
ak , bk , ck分别是节点坐标行列式Λ的第k(k = l，m，n)行第 ，3个 1 2， 元素的代数余子式，均为常数。
5.2 三节点三角形（简单三角形）单元的特性分析
• 按前面结构矩阵位移法分析思想，要 求解平面问题的有限元离散结构，需 要知道单元（三角形薄片）在节点自 由度上受力时的弹性特性或刚度特性。 这是一个新问题，一个特殊的弹性力 学问题。 下面研究有限元法中特有的求解该特 殊弹性力学问题的方法。
•
一、单元作为分析对象 • • 有限元离散结构受力平衡后，取出一个典型三节点三角形单元e。 三角形顶点设为节点，其局部编号为l，m，n（逆时针）。每节 点有总体坐标x，y方向两个待求位移分量：u，v。单元共有6个 位移分量——6个自由度，单元节点位移列阵为：
{δ }e
δl = δ m = [ul δ n
vl
um
vm
un
vn ]
T
•
单元平衡时要在节点处受到节点力（节点对单元的作用力）， 每节点有2个节点力分量，单元有6个节点力分量。单元节点力 列阵为：
pl {p}e = pm = pxl p n
上面求出的待定系数 a1
~ a6 代回位移多项式，得到：
am an ul u bm bn m cm cn un
a1 al 1 u = [1 x y]a2 = [1 x y] bl 2∆ a cl 3
ul 1 [al + bl x + cl y am + bm x + cm y an + bn x + cn y]um = 2∆ u n ul = [Nl Nm Nn ]um = Nl ul + Nmum + Nnun = ∑ Niui i =l ,m,n u n
应力矩阵的分块形式：
[S] = [D][Bl
Bm Bn ] = [Sl
Sm Sn ]
[Si ] = [D][Bi ]
(i = l, m, n)
对于平面应力问题，应力矩阵的子块为：
µci bi E µb [Si ] = ci i 2 2∆(1− µ ) 1− µ 1− µ ci bi 2 2
~ a3 : yl a1 a ym 2 yn a3
−1
a1 1 xl a2 = 1 xm a 1 x n 3
yl ym yn
al ul 1 um = bl u 2∆ c n l
0 ∂Nl ∂y ∂Nl ∂x
∂Nm ∂x 0 ∂Nm ∂y
0 ∂Nm ∂y ∂Nm ∂x
∂Nn ∂x 0 ∂Nn ∂y
0 ∂Nn e {δ } = [Bl ∂y ∂Nn ∂x
Bm
Bn ]{δ } = [B]{δ }
e
e
•
上式简写为：
{ε } = [B]{δ }e
a1 坐标取节点值 u = [1 x y]a2 a 3
ul 1 xl um = 1 xm u 1 x n n
yl a1 a ym 2 yn a3
yl a4 a ym 5 yn a6
bl [B] = 1 0 2∆ cl
0 cl bl
bm 0 cm
0 cm bm
bn 0 cn
0 cn bn
量纲？
由于上式中∆、bi、ci (i = l, m, n)均为与单元节点坐标有关的常数， 所以该单元的应变矩阵是常数矩阵，该单元的应变在单元上是 常数，故该单元又称为常应变三角形单元。
由第二组方程求解 a4
~ a6 :
vl 1 xl vm = 1 xm v 1 x n n
a4 1 xl a5 = 1 xm a 1 x n 6
yl a4 ym a5 yn a6
Nl (xl , yl ) = 1 Nl (xm, ym ) = 0 Nl (xn , yn ) = 0
(l，m，n)
性质2：单元上所有形函数之和处处等于1。
Nl + Nm + Nn = 1
（表明简单三角形单元的形函数只有2个独立）
性质3（推论）：简单三角形单元的形函数在边界上的性质。 某节点的形函数在该点邻边上呈线性分布，取值在0~1之间，在 该点对边上值恒为零。
ui {δi } = vi
离散化系统中的载荷只有节点载荷（集中力），原来的分布载荷 和非节点位置上的集中力都要近似等效到节点上。离散结构某节 点i的载荷表示为：
X i {Qi } = Yi
离散化系统的位移边界条件只施加在节点上。
•
上述包括结构、未知量、边界条件的离散化过程称为问题的离 散化。这里采用了直观的、按物理观点的理解，也称为物理 （模型）离散化。 离散化后要解决的问题：
5.1 平面问题离散化
• 结构离散化过程 连续体结构 网格剖分 有限大小单元的结合体 （单元+节点）
平面问题用x-y 坐标系下的一个 二维区域表示
代替原连续体
可用不同形状 的单元，单元 只在节点处相 互连接（铰接）
• 离散化系统的描述 连续体结构离散化以后，转变为有限个小单元组成的离散结构—— “有限单元”概念的由来； 问题的基本未知量从未知场函数（位移）转变为离散节点上的未知 位移分量。平面问题离散结构中某节点i有2个位移分量，表示为：
•
根据其数学形式，可推出简单三角形单元形函数的几何意义 由形函数表达式和性质1可画出下列形函数几何图形，并验证性质3。
根据位移模式表达式及其形函数的性质，可以推断出两个相邻 三角形单元上位移分布形状和公共边界上位移的情况：
u = Nl ul + Nmum + Nnun v = Nl vl + Nmvm + Nnvn
两个单元上位移线性连续分布，各单 元在公共边界上位移线性分布，数值 相同——边界位移协调！
由图形几何性质可以推断简单三角形单元形函数的下列结论： 1）三角形形心上：
1 Nl = Nm = Nn = 3
2）形函数在边界上的积分：
1 ∫ Nl ds = l∫ Nmds = 2llm llm lm
3）形函数在单元上的积分：
a4 坐标取节点值 vl 1 xl v = [1 x y]a5 vm = 1 xm a v 1 x 6 n n
分别解出6个待定系数：
由第一组方程求解 a1
ul 1 xl um = 1 xm u 1 x n n
∂Ni ∂x [Bi ] = 0 ∂N i ∂y
该式建立了用单元节点位移表 达单元上应变分布的关系。
[B] 称为应变矩阵，其一个子块的计算式为：
0 ∂Ni (i = l, m, n) ∂y ∂Ni ∂x
•
对简单三角形单元，应变矩阵为：
∂ 0 ∂x ∂ u = 0 v ∂y ∂ ∂ ∂x ∂y
0 ∂ Nl ∂y 0 ∂ ∂x
0 Nl
Nm 0
0 Nm
Nn 0
0 e {δ } Nn
∂Nl ∂x = 0 ∂N l ∂y
[N]称为单元的形函数矩阵，是对单元节点位移进行插值得到单
元位移分布函数的转换矩阵。 • 用节点位移插值表示单元位移模式是有限元法中除了离散化 之外最具代表性，最重要的步骤。
三、形函数及其性质 对于单元位移模式：
u = Nl ul + Nmum + Nnun v = Nl vl + Nmvm + Nnvn
yl ym yn
am an ul u bm bn m cm cn un
1 xl 其中： 2∆ = Λ = 1 xm 1 xn
∆为三角形面积
节点坐标行列式
ak , bk , ck分别是节点坐标行列式Λ的第k(k = l，m，n)行第 ，3个 1 2， 元素的代数余子式，均为常数。
假设：
Ni =
Baidu Nhomakorabea
1 ( a i + bi x + c i y ) 2∆
ul = 1 um = un = 0
（ i = l， m ， n ）
得到：u(x, y) = Nl
Nl是l节点发生单位位移，m, n节点固定不动时单元的位移分布， 所以称为l节点的形状函数，简称形函数。单元每个节点对应一个 形函数。
[
pyl
pxm
pym
pxn
pyn
]
T
•
我们要研究的问题是该三角形薄片弹性体在保持平衡时所受节 点力和节点位移的关系。
二、单元位移模式 • 按弹性力学位移法求近似解的思路，位移作为基本未知量时，需 要对单元上位移的分布作出假设，即构造含待定参量的简单位移 函数——位移模式。 通常用多项式函数作位移模式，对三节点三角形单元，有6个待定 节点位移分量，所以单元上的位移函数只能是含6个待定系数的完 全一次多项式：
•
把单元应变代入平面问题物理方程，即得到单元应力：
{ε} = [B]{δ }e
σ x {σ } = σ y = [D]{ε } = [D][B]{δ }e = [S ]{δ }e τ xy
{σ } = [S]{δ }e
[S] = [D][B] —单元应力矩阵 [D] —平面问题弹性矩阵
v = Nl vl + Nmvm + Nnvn =
i =l ,m, n
∑N v
i i
至此，单元位移模式已转换为节点位移的插值形式。
上式中：
1 Ni = (ai + bi x + ci y) （i = l，m，n） 2∆
是位移插值基函数，称为单元的形状函数——简称形函数
u和v合并后用矩阵表示为： u Nl = v 0 0 Nl Nm 0 0 Nm Nn 0 0 {δ } = [N]{δ }e Nn
•
1) 如何进行离散结构的求解？ 2) 如何得到小单元（小弹性块）的刚度特性？这种小单元与杆 梁单元有什么区别？ 3) 如何保证离散化的有限元结构能正确模拟原连续结构？ 4) 如何保证离散化结构的解能作为原连续问题的近似解？ 研究上述问题就涉及到弹性力学有限元法的基本原理和基本理论， 核心是单元分析的理论。
• 显然，形函数决定了单元上位移分布的形态。事实上，单元位移 模式就是所有形函数的线性组合。 一个单元的位移模式决定了该单元描述局部位移场的能力，决定 求解的精度、收敛性等，而形函数是最重要的因素。
•
• 针对三节点三角形单元，可以导出单元形函数的下列性质。
性质1：单元上某节点的形函数在该节点的值为1，在其它节点 的值为零。
A ∫∫ Ni (x, y)dxdy = 3 ∆
(i = l, m, n)
四、单元应变和应力（用节点位移表示单元应变、应力 • 已知位移插值形式的单元位移模式：
u e = [N]{δ } v
• 代入平面问题几何方程（应变~位移关系）得到单元应变：
∂ ε x ∂x {ε} = ε y = 0 γ xy ∂ ∂y
•
u(x, y) = a1 + a2 x + a3 y v(x, y) = a4 + a5 x + a6 y
a1 ~ a6
•
为待定系数，称为广义坐标。
由于有限元法中未知量是节点位移，所以上面单元位移模式需要 转换为以节点位移分量为待定参量的形式。过程如下。
位移多项式写成矩阵形式：
代入各节点坐标取值后：
yl ym yn
−1
vl al 1 vm = bl v 2∆ c n l
am an vl v bm bn m cm cn vn
ak , bk , ck分别是节点坐标行列式Λ的第k(k = l，m，n)行第 ，3个 1 2， 元素的代数余子式，均为常数。
5.2 三节点三角形（简单三角形）单元的特性分析
• 按前面结构矩阵位移法分析思想，要 求解平面问题的有限元离散结构，需 要知道单元（三角形薄片）在节点自 由度上受力时的弹性特性或刚度特性。 这是一个新问题，一个特殊的弹性力 学问题。 下面研究有限元法中特有的求解该特 殊弹性力学问题的方法。
•
一、单元作为分析对象 • • 有限元离散结构受力平衡后，取出一个典型三节点三角形单元e。 三角形顶点设为节点，其局部编号为l，m，n（逆时针）。每节 点有总体坐标x，y方向两个待求位移分量：u，v。单元共有6个 位移分量——6个自由度，单元节点位移列阵为：
{δ }e
δl = δ m = [ul δ n
vl
um
vm
un
vn ]
T
•
单元平衡时要在节点处受到节点力（节点对单元的作用力）， 每节点有2个节点力分量，单元有6个节点力分量。单元节点力 列阵为：
pl {p}e = pm = pxl p n
上面求出的待定系数 a1
~ a6 代回位移多项式，得到：
am an ul u bm bn m cm cn un
a1 al 1 u = [1 x y]a2 = [1 x y] bl 2∆ a cl 3
ul 1 [al + bl x + cl y am + bm x + cm y an + bn x + cn y]um = 2∆ u n ul = [Nl Nm Nn ]um = Nl ul + Nmum + Nnun = ∑ Niui i =l ,m,n u n
应力矩阵的分块形式：
[S] = [D][Bl
Bm Bn ] = [Sl
Sm Sn ]
[Si ] = [D][Bi ]
(i = l, m, n)
对于平面应力问题，应力矩阵的子块为：
µci bi E µb [Si ] = ci i 2 2∆(1− µ ) 1− µ 1− µ ci bi 2 2
~ a3 : yl a1 a ym 2 yn a3
−1
a1 1 xl a2 = 1 xm a 1 x n 3
yl ym yn
al ul 1 um = bl u 2∆ c n l
0 ∂Nl ∂y ∂Nl ∂x
∂Nm ∂x 0 ∂Nm ∂y
0 ∂Nm ∂y ∂Nm ∂x
∂Nn ∂x 0 ∂Nn ∂y
0 ∂Nn e {δ } = [Bl ∂y ∂Nn ∂x
Bm
Bn ]{δ } = [B]{δ }
e
e
•
上式简写为：
{ε } = [B]{δ }e
a1 坐标取节点值 u = [1 x y]a2 a 3
ul 1 xl um = 1 xm u 1 x n n
yl a1 a ym 2 yn a3
yl a4 a ym 5 yn a6
bl [B] = 1 0 2∆ cl
0 cl bl
bm 0 cm
0 cm bm
bn 0 cn
0 cn bn
量纲？
由于上式中∆、bi、ci (i = l, m, n)均为与单元节点坐标有关的常数， 所以该单元的应变矩阵是常数矩阵，该单元的应变在单元上是 常数，故该单元又称为常应变三角形单元。
由第二组方程求解 a4
~ a6 :
vl 1 xl vm = 1 xm v 1 x n n
a4 1 xl a5 = 1 xm a 1 x n 6
yl a4 ym a5 yn a6
Nl (xl , yl ) = 1 Nl (xm, ym ) = 0 Nl (xn , yn ) = 0
(l，m，n)
性质2：单元上所有形函数之和处处等于1。
Nl + Nm + Nn = 1
（表明简单三角形单元的形函数只有2个独立）
性质3（推论）：简单三角形单元的形函数在边界上的性质。 某节点的形函数在该点邻边上呈线性分布，取值在0~1之间，在 该点对边上值恒为零。
ui {δi } = vi
离散化系统中的载荷只有节点载荷（集中力），原来的分布载荷 和非节点位置上的集中力都要近似等效到节点上。离散结构某节 点i的载荷表示为：
X i {Qi } = Yi
离散化系统的位移边界条件只施加在节点上。
•
上述包括结构、未知量、边界条件的离散化过程称为问题的离 散化。这里采用了直观的、按物理观点的理解，也称为物理 （模型）离散化。 离散化后要解决的问题：