两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案
成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、 在准确熟练地记住公式的基础上 ，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。
如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。
1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练 题型1给角求值 一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中 角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。
两角和与差及二倍角公式定理讲义,例题含规范标准答案
3.3 两角和与差及二倍角公式（答案）3.3 两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明.二、【知识回顾】1．两角和与差的三角函数sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ；2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。
sin2α= ；cos2α= = =tan 2α= 。
3．降幂公式2sin α= ； 2cos α= .注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用4．辅助角公式证明：)sin cos x x y x x +=+=sin sin cos )x x ϕϕ+)x ϕ+其中，cos ϕ=sin ϕ=，tan baϕ=且角ϕ终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。
5.公式的使用技巧（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++ （2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin 1,tan124ππ==（3）收缩代换：sin cos y x x =+=)x ϕ+，（其中,a b 不能同时为0） （4）公式的变形：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=---如：tan 95tan 3595tan 35-=oooo。
两角和与差、二倍角的公式(二)
05-03 两角和与差、二倍角的公式（二）点一点——明确目标掌握二倍角的三角函数公式，能熟练应用公式进行求值、化简、证明.做一做——热身适应1.若f （tan x ）=sin2x ，则f （－1）的值是 . 解析：f （－1）=f ［tan （－4π）］=－sin 2π=－1. 答案：-12.（2005年春季上海，13）若cos α=53，且α∈（0，2π），则tan 2α=____________. 解析一：由cos α=53，α∈（0，2π），得sin α=α2cos 1-=54， tan 2α=2cos 2sinαα=2cos2sin 22sin 22ααα=ααsin cos 1-=54531-=21. 解析二：tan 2α=ααcos cos 1+1-=531531+-=21. 答案：21 3.（2005年春季北京，11）已知sin 2θ+cos 2θ=332，那么sin θ的值为____________，cos2θ的值为____________.解析：由sin 2θ+cos 2θ=332，得1+sin θ=34，sin θ=31，cos2θ=1－2sin 2θ=1－2·91=97.答案：31 974.下列各式中，值为21的是A.sin15°cos15°B.2cos 212π－1C.230cos 1︒+ D.︒-︒5.22tan 15.22tan 2解析：︒-︒5.22tan 15.22tan 2=21tan45°=21. 答案：D 5.设a =sin14°+cos14°，b =sin16°+cos16°，c =66，则a 、b 、c 的大小关系是 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c解析：a =2sin59°，c =2sin60°，b =2sin61°，∴a ＜c ＜b . 答案：B理一理——疑难要点1.在公式S （α+β）、C （α+β）、T （α+β）中，当α=β时，就可得到公式S 2α、C 2α、T 2α，在公式S 2α、C 2α中角α没有限制在T 2α中，只有当α≠2πk +4π且α≠k π+2π时，公式才成立. 2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2α=cos 2α－sin 2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α.变形公式sin 2α=22cos 1α-，cos 2α=22cos 1α+.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用. 3.要重视对遇到的问题中角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性；三角变换中体现出的每一步化归过程，均应以“合乎情理”为原则.拨一拨——思路方法【例1】 试求函数y =sin x +cos x +2sin x cos x +2的最大值和最小值，若x ∈［0，2π］呢？ 剖析：注意sin x +cos x 与sin x ·cos x 之间的关系，进行换元可将原函数转化成一元二次函数来解.解：令t =sin x +cos x =2sin （x +4π）∈［－2，2］，则y =t 2+t +1∈［43，3+2］，即最大值为3+2，最小值为43.当x ∈［0，2π］时，则t ∈［1，2］，此时y 的最大值是3+2，而最小值是3.评述：此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围.【例2】 已知sin （x －4π3）cos （x －4π）=－41，求cos4x 的值. 剖析：4x 为2x 的二倍角，2x 为x 的二倍角. 解：由已知得sin （x －2π－4π）cos （x －4π）=－41， ∴cos 2（x －4π）=41. ∴sin2x =cos （2π－2x ）=2cos 2（4π－x ）－1=－87. ∴cos4x =1－2sin 22x =1－6498=－3217.【例3】 已知α为第二象限角，cos 2α+sin2α=－25，求sin 2α－cos 2α和sin2α+cos2α的值.解：由cos 2α+sin2α=－25平方得 1+2sin2αcos2α=45， 即sin α=41，cos α=－415.此时k π+4π＜2α＜k π+2π.∵cos2α+sin2α=－25＜0， sin 2αcos 2α=81＞0， ∴cos 2α＜0，sin2α＜0.∴2α为第三象限角.∴2k π+4π5＜2α＜2k π+2π3，k ∈Z . ∴sin2α＜cos2α， 即sin 2α－cos 2α＜0.∴sin2α－cos2α=－αsin 1-=－23， sin2α+cos2α=2sin αcos α+1－2sin 2α=8157-. 评述：由三角函数值判断2α的范围是关键.【例4】 （2004年东北三校高三第一次联考题）已知a =（cos 23x ，sin 23x ），b =（cos 2x ，－sin2x ），x ∈［0，2π］. （1）求a ·b 及|a +b |；（2）若f （x ）=a ·b －2λ|a +b |的最小值是－23，求λ的值. 解：（1）a ·b =cos23x cos 2x －sin 23x sin 2x=cos2x . |a +b |=222sin 23sin 2cos 23cos）（）（x x x x -++=2x 2cos =2cos x （∵x ∈［0，2π］）. （2）f （x ）=cos2x －4λcos x =2（cos x －λ）2－1－2λ2.∵x ∈［0，2π］，∴cos x ∈［0，1］. ①当λ＜0，cos x =0时，f （x ）min =－1，矛盾. ②当0≤λ≤1，cos x =λ时，f （x ）min =－1－2λ2，由－1－2λ2=－23，得λ=21. ③当λ＞1，cos x =1时，f （x ）min =1－4λ， 由1－4λ=－23，得λ=85＜1，矛盾. 综上，λ=21为所求. 练一练——巩固提高1.若8cos （4π+α）cos （4π－α）=1，则sin 4α+cos 4α=_______. 解析：由已知得8sin （4π－α）cos （4π－α）=1， ∴4sin （2π－2α）=1.∴cos2α=41. sin 4α+cos 4α=（sin 2α+cos 2α）2－2sin 2αcos 2α=1－21sin 22α=1－21（1－cos 22α） =1－21（1－161）=1－21×1615=3217. 答案：32172.若tan x =2，则xx x xcos sin 1sin 2cos 22+--=_______. 解析：原式=x x x x sin cos sin cos +-=x x tan 1tan 1+-=2121+-=1212--）（=22－3.答案：22－33.已知f （x ）=x -1，当θ∈（4π5，2π3）时，f （sin2θ）－f （－sin2θ）可化简为 A.2sin θB.－2cos θC.－2sin θD.2cos θ解析：f （sin2θ）－f （－sin2θ）=θ2sin 1-－θ2sin 1+=｜sin θ－cos θ｜－｜sin θ+cos θ｜.∵θ∈（4π5，2π3）， ∴－1＜sin θ＜－22＜cos θ＜0. ∴cos θ－sin θ＞0，cos θ+sin θ＜0.∴原式=cos θ－sin θ+cos θ+sin θ=2cos θ.答案：D 4.若sin αcos β=21，求cos αsin β的取值范围. 解：令t =cos αsin β，则21t =41sin2αsin2β. ∴t =21sin2αsin2β∈［－21，21］. 5.化简xx x x x 2sin 1cos sin 1cos sin ））（（+--+.解：原式=xxx x x 2sin 12sin 21sin 12sin 21sin 22））（（++---+=xxx xx x x x x cos 2cos 2sin 42sin 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 222））（（+- =xxxx x x x cos 2cos 2sin2sin 2cos 2sin 2cos ⋅+-））（（ =x x x x x cos 2cos 2sin 2sin 2cos 22⋅-）（=xx xx cos 2cos 2sincos ⋅⋅=tan 2x . 6.（2004年江苏，17）已知0＜α＜2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin （α－3π）的值. 解：由已知tan 2α+cot2α=αsin 2=25，得sin α=54. ∵0＜α＜2π，∴cos α=α2sin 1-=53. 从而sin （α－3π）=sin α·cos 3π－cos α·sin 3π=54×21－53×23=101（4－33）.7.已知f （x ）=2a sin 2x －22a sin x +a +b 的定义域是［0，2π］，值域是［－5，1］，求a 、b 的值.解：令sin x =t ，∵x ∈［0，2π］，∴t ∈［0，1］， f （x ）=g （t ）=2at 2－22at +a +b =2a （t －22）2+b .当a ＞0时，则⎩⎨⎧=+-=，，15b a b解之得a =6，b =－5. 当a ＜0时，则⎩⎨⎧-=+=，，51b a b解之得a =－6，b =1.8.（2004年湖北，17）已知6sin 2α+sin αcos α－2cos 2α=0，α∈［2π，π），求 sin （2α+3π）的值. 分析：本题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.解法一：由已知得（3sin α+2cos α）（2sin α－cos α）=0⇔3sin α+2cos α=0或2sin α－cos α=0.由已知条件可知cos α≠0，所以α≠2π，即α∈（2π，π）. 于是tan α＜0，∴tan α=－32. sin （2α+3π）=sin2αcos 3π+cos2αsin 3π =sin αcos α+23（cos 2α－sin 2α） =αααα22sin cos cos sin ++23×αααα2222sin cos sin cos +-=αα2tan tan +1+23×αα22tan tan 1+1-. 将tan α=32代入上式得 sin （2α+3π）=232132）（）（-+-+23×22321321）（）（-+--=－136+3265，即为所求. 解法二：由已知条件可知cos α≠0，则α≠2π， ∴原式可化为6tan 2α+tan α－2=0， 即（3tan α+2）（2tan α－1）=0.又∵α∈（2π，π）.∴tan α＜0，∴tan α=－32. 下同解法一. 想一想——拓展发散将一块圆心角为120°，半径为20 cm 的扇形铁片截成一块矩形，如图，有2种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA 上或让矩形一边与弦AB 平行，请问哪种裁法能得到最大面积的矩形，并求出这个最大值.A ABBMMO O 甲乙解：对图甲，设∠MOA =θ，则S 1=200sin2θ. ∴当θ=45°时，（S 1）max =200 cm 2.对图乙，设∠MOA =α， 则S 2=33800［cos （2α－60°）－cos60°］. 当α=30°时，（S 2）max =33400 cm 2. ∵33400＞200，∴用乙种方法好.。
两角和、差及倍角公式-高考数学复习
π
＋
4
sin β，则（
）
A. tan（α－β）＝1
B. tan（α＋β）＝1
C. tan（α－β）＝－1
D. tan（α＋β）＝－1
目录
高中总复习·数学
解析：由题意得 sin α cos β＋ sin β cos α＋ cos α cos β－ sin α sin β
＝2 2 ×
2
（
2
cos α－ sin α）·sin β，整理，得 sin α·cos β－ sin β
cos α＋ cos α·cos β＋ sin α sin β＝0，即 sin （α－β）＋ cos （α－
β）＝0，所以tan（α－β）＝－1，故选C.
目录
高中总复习·数学
2π
（2）（2024·济宁一模）若α＋β＝ ，则
两角和、差及倍角公式
目录
C O N T E N T S
1
2
考点 分类突破
课时 跟踪检测
课堂演练
考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
PART
1
目录
高中总复习·数学
公式的直接应用
【例1】 （1）（2021·全国乙卷6题） cos
解析：因为
cos
2 5π ＝
12
5π
cos ＝
12
cos
2 π
【例4】 （2024·舟山模拟）若 cos
＝（
解析：
π
4
（θ＋ ）＝ ，则
6
5
sin
π
（2θ－ ）
6
）
法一
π
（2θ＋ ）＝－
3
sin
两角和与差的正、余弦公式、正切公式、二倍角公式
1.已知tan 2α=，则tan 2α的值为 ． 【答案】43-【分析】222tan 224tan 21tan 123ααα⨯===---. 2．已知P （－3，4）为角α终边上的一点，则cos （π+α）= ．【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】35【分析】∵P （－3，4）为角α终边上的一点，∴x =－3，y =4，r =|OP |=5，∴cos （π+α）=－cos α=x r -=35--=35，故答案为35． 3．已知cos(α－β)=35，sin β=513-且α∈（0，π2），β∈（π2-，0），则sin α= ．【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．【答案】3365【分析】∵α∈（0，π2），β∈（π2-，0），∴α－β∈（0，π）， 又cos （α－β）=35，sin β=513-，∴sin （α－β）=21cos ()αβ--=45，cos β=21sin β-=1213，则sin α=sin[（α－β）+β]= sin （α－β）cos β+cos （α－β）sin β=45×1213+35×（513-）=3365．故答案为3365. 4.若0≤x ≤π2，则函数y =cos （x -π2）sin （x +π6）的最大值是 ．【考点】两角和与差的正余弦公式的应用．【答案】234+ 【分析】y =sin x （sin x 32⋅+12cos x ）=322sin x +12sin x cos x =()31cos 24x -+14sin2x =12sin （2x -π3）+34， ∵0≤x ≤π2，∴-π3≤2x -π3≤2π3，∴max y =12+34=234+. 5.已知过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），则tan （α+β）=________．【考点】平面的法向量． 【答案】1【分析】∵过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），∴－1－3tan β=0，12-tan α=－1．∴1tan 3β=-，tan α=2． ∴tan （α+β）=12tan tan 3111tan tan 123αβαβ-+==-+⨯，故答案为1． 6.在ABC △中，已知BC =8，AC =5，三角形面积为12，则cos2C = ．【考点】三角形面积公式，二倍角公式的应用． 【答案】725【分析】∵已知BC =8，AC =5，三角形面积为12， ∴12⋅BC ⋅AC sin C =12,∴sin C =35,∴cos2C =122sin C -=1-2×925=725. 7.某种波的传播是由曲线()()()sin 0f x A x A ωϕ=+>来实现的，我们把函数解析式()()sin f x A x ωϕ=+称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波()()11sin f x x ϕ=+与()()22sin f x x ϕ=+叠加后仍是“1类波”，求21ϕϕ-的值；（2）在“A 类波“中有一个是()1sin f x A x =，从 A 类波中再找出两个不同的波()()23,f x f x ，使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后()()()1230f x f x f x ++=，并说明理由．（3）在()2n n n ∈N,≥个“A 类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明． 【考点】两角和与差的正弦函数；归纳推理．【解】（1）()()()()1212sin sin f x f x x x ϕϕ+=+++ =1212(cos cos )sin (sin sin )cos x x ϕϕϕϕ+++，振幅是221212(cos cos )(sin sin )ϕϕϕϕ+++=()1222cos ϕϕ+-，则()1222cos ϕϕ+-=1，即()121cos 2ϕϕ-=-，所以122π2π,3k k ϕϕ-=±∈Z ． （2）设()()21sin f x A x ϕ=+，()()32sin f x A x ϕ=+， 则()()()()()12312sin sin sin f x f x f x A x A x A x ϕϕ++=++++=()()1212sin 1cos cos cos sin sin 0A x A x ϕϕϕϕ++++=恒成立， 则121cos cos 0ϕϕ++=且12sin sin 0ϕϕ+=， 即有：21cos cos 1ϕϕ=--且21sin sin ϕϕ=-，消去2ϕ可解得11cos 2ϕ=-， 若取12π3ϕ=，可取24π3ϕ=（或22π3ϕ=-等），此时，()22πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()34πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（或()32πsin 3f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭等）， 则()()()1231313sin sin cos sin cos 02222f x f x f x A x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+-++--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以是平波．（3）()1sin f x A x =，()22πsin f x A x n ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()34πsin f x A x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，…， ()()21πsin n n f x A x n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这n 个波叠加后是平波．8. (4分)已知sin α=3cos α，则cos 21sin 2αα=+ ________．【参考答案】 12-【测量目标】 运算能力/能根据法则准确的进行运算和变形. 【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦.【试题分析】 由已知先求tan α，因为sin α=3cos α，所以tan α=3，把所求的式子中的三角函数利用二倍角公式进行化简，然后化为正切形式，即可求值:222222cos 2cos sin 1tan 1911sin 2cos 2sin cos +sin 12tan tan 1692ααααααααααα---====-++++++.9.若tan （α－π4）=14，则tan α=______． 【参考答案】 53【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【考点】 两角和与差的正切函数.【试题分析】 ∵tan （α－π4）=14， ∴πtan tan4π1tan tan4αα-+=tan 11tan αα-+=14，解得tan α=53．故答案为53． 10.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos 4B =. (1)求2sin 2cos2A CB ++的值； (2)若3b =，求ABC △面积的最大值. 【考点】余弦定理，二倍角的正弦、余弦. 【解】(1)因为3cos 4B =,所以7sin 4B =, 又22π1sin 2cos2sin cos cos 2sin cos (1cos )222A CB B B B B B B +-+=+=+- =73113724488+⨯⨯+=. (2)由已知可得：2223cos 24a cb B ac +-==, 又因为3b =，所以22332a c ac +-=, 又因为223322a c ac ac +=+≥， 所以6ac ≤，当且仅当6a c ==时，ac 取得最大值.此时11737sin 62244ABC S ac B ==⨯⨯=△. 所以△ABC 的面积的最大值为374. 11.已知1sin 4θ=，则sin 2()4θπ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦__________. 【答案】78-【分析】27sin 2()cos 212sin 48θθθπ⎡⎤-=-=-+=-⎢⎥⎣⎦.12. 已知α为第二象限的角，sin α=35，则tan2α=_______________. 【答案】247-【分析】因为α为第二象限的角，又sin α=35，所以cos α=45-，tan α=sin cos αα=34-，tan2α=22tan 1tan αα-=247-.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 13.若△ABC 的内角A 满足sin2A =23，则sin A +cos A 等于（ ） A.153 B.153- C.53 D.53-【答案】A 【分析】∵0＜A ＜π，0＜2A ＜2π，又sin2A =23，即2sin A cos A =23，∴0＜A ＜π2, 2(sin cos )A A +=53，sin A +cos A =153，故选A. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 14.已知sin θ+cos θ=15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ的值是___________. 【答案】725-【分析】由已知sin θ+cos θ=15①，2sin θcos θ= 2425-，又π2≤θ≤3π4，∴cos θ＜0，sin θ＞0. 2(cos sin )θθ-=4925，则sin θ－cos θ=75②，由①②知cos2θ=22cossin θθ-=725-. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.15.已知0＜α＜π2，sin α=45.（1）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值；（2）求tan(α－5π4)的值.【解】∵0＜α＜π2，sin α=45，∴cos α=35，tan α=43.（1）22sin sin2cos cos2αααα++=222sin2sin cos2cos sinααααα+-=22tan2tan2tanααα+-=2244()23342()3+⨯-=20；（2）tan(α－5π4)=tan11tanαα-+=413413-+=17.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.16.已知x∈(π2-,0)，cos x=45，tan2x=（）A.724B.724- C.247D.247-【答案】D【分析】sin x=35-，tan x=34-，tan2x=22tan1tanxx-=247-，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.17.cos20cos351sin20︒︒-︒=（）A.1B. 2C.2D.3【答案】C【分析】cos20cos351sin20︒︒-︒=22cos10sin10cos35(cos10sin10)︒-︒︒︒-︒=cos10sin10cos35︒+︒︒=2sin55cos35︒︒=2，故选C.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.18.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c =62，则a、b、c大小关系是（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC. c＜b＜aD. a＜c＜b【答案】D【分析】由题意知，a =2sin59°，b =2sin61°，c =2sin60°，所以a＜c＜b，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.19.tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°=_____________.【答案】3【分析】tan60°= tan(20°+40°)=tan20+tan401tan20tan40︒︒-︒︒=3，∴3－3tan20°tan40°=tan20°+tan40°，移向即可得结果为3. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 20.已知sin2θ+cos 2θ=233，那么sin θ =______,cos2θ =___________. 【答案】13，79【分析】2(sin cos )22θθ+=1+ sin θ=43，sin θ=13，cos2θ=1－22sin θ=79. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 21.若1tan 1tan αα+-=2008，则1cos 2α+tan2α=_______________.【答案】2008【分析】1cos 2α+tan2α=1sin 2cos 2cos 2ααα+=1sin 2cos 2αα+=222(cos +sin )cos sin αααα-= cos +sin cos sin αααα-=1+tan 1tan αα-=2008.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 22.计算：sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=________.【答案】2+3【分析】sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=sin80cos15sin15cos10︒︒︒︒=cos15sin15︒︒=2+3．【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.23．求值：(1)sin6°sin42°sin66°sin78°;(2)22sin 20cos 50︒+︒+sin20°cos50°.【解】原式＝sin6°cos12°cos24°cos48°=sin 6cos 6cos12cos 24cos 48cos 6︒︒︒︒︒︒=1sin12cos12cos 24cos 482cos6︒︒︒︒︒=1sin 24cos 24cos 484cos6︒︒︒︒=1sin 48cos 488cos6︒︒︒=1sin 9616cos6︒︒=1cos616cos6︒︒=116; (2)原式＝1cos 401cos1001(sin 70sin 30)222-︒+︒++︒-︒ ＝1+111(cos100cos 40)sin 70224︒-︒+︒-=31sin 70sin 30sin 7042-︒⋅︒+︒=34.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 24.已知tan α、tan β是方程2x -5x +6=0的两个实根，求22sin ()αβ+-3sin ()αβ+cos ()αβ++2cos ()αβ+的值． 【解】由韦达定理得tan α+tan β=5，tan α·tan β=6，所以tan(α+β)=tan tan 1tan tan αβαβ+-⋅=－1.原式=[22sin ()αβ+－3sin(α+β)cos(α+β)+2cos ()αβ+]/[22sin ()cos ()αβαβ+++]=222tan ()3tan()1tan ()1αβαβαβ+-++++=213(1)111⨯-⨯-++=3.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.。
4.3两角和与差、二倍角公式(学案)
4.3两角和与差、二倍角公式（学案）知识归纳 1、两角和与差的三角函数公式 ()sin αβ±= ()c o s αβ±= ()tan αβ±=公式变形tan tan αβ+= t a n t a n αβ-= tan tan αβ⋅=2、二倍角公式sin 2α= c o s 2α=tan 2α=公式变形2sin α= 2c o s α= sin cos αα= sin cos a b αα+=3、常用的变形公式()()ααββαββ=+-=-+ ()()()βαβαβααααβ=+-=-+=-- ()()2ααβαβ=++- ()()2βαβαβ=+-- 典型例题例1、在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C =，则ABC ∆的形状一定是（ ）A 、等腰直角三角形B 、直角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形例2、化简()00001cos20cos40cos60cos80 ()34c o s 2c o s 4234c o s 2c o s 4αααα-+++ ()()00032sin50sin101⎡⎤+⎣⎦例3、在ABC ∆中，,,a b c 分别为角A B C 、、所对应的边，且)4,5,t a n a n 31t a n t a na b c A A B =+=+--，求A 的正弦值例4、已知310,tan cot 43παπαα<<+=- （1） 求tan α的值（2）求225sin 8sincos11cos 822224ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值例5、已知()113cos ,cos ,714ααβ=-=且02πβα<<< （1）求tan 2α的值 （2）求β堂清练习1、0002cos10sin 20sin 70-的值是（ ） A 、12 BCD2、已知05sin 2sin 2α=，则()()00tan 1tan 1αα+-的值是（ ）A 、2-B 、32-C 、32D 、2 3、若向量()sin ,2a θ= 与()cos ,1b θ= 共线，则1sin 4cos 41sin 4cos 4θθθθ++=+-（ ） A 、3- B 、3 C 、34- D 、344、函数cos sin tan sin cos tan x x xy x x x=++的值域是 5、已知1sin sin 01tan tan αααα+<+，则α所在的象限 6、若α是三角形的内角，且2sin cos 3αα+=，则三角形的形状为7、已知ABC ∆中，角A B C 、、所对边分别是,,a b c b a c <<且220cos3cot tan 244A A A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 求sin 2A 的值8、ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且3A C π-=，求222cos cos cos A B C ++的值9、已知角α的终边落在直线3y x =-上，求310sin cos αα+的值10、在ABC ∆中，若sin cos tan 0A B C ⋅⋅<，试判断ABC ∆的形状11、已知1tan 62πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求tan 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值（其中02πα<<）12、在ABC ∆中，若()()()sin 2A B A B πππ-=-=- 求ABC ∆的三个内角13、在ABC ∆中，若()()()sin sin 0,1A B C A B C aa a a +--+=>≠，试判断ABC ∆的形状。
和差倍角公式经典例题
和差倍角公式◆ 两角的和与差公式：()())()(S , S , βαβαβαβαβαβαβαβα-+-=-+=+Sin Cos Cos Sin Sin Sin Cos Cos Sin Sin()()()()()()(), C , C tan tan tan , T 1tan tan tan tan tan 1tan tan Cos Cos Cos Sin Sin Cos Cos Cos Sin Sin Cos Sin Cos Sin Cos Cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβββββββββαβαβαβαβαβαβ+-++=--=++-+-++=---=+，，，(), T αβ-变形： ()()()()为三角形的三个内角其中χβαχβαχβαβαβαβαβαβαβα,,t an t an t an t an t an t an t an t an 1t an t an t an t an t an 1t an t an t an =+++-=--+=+二倍角公式：ααααααααααα22222tan 1tan 22tan 2112222-=-=-=-==Sin Cos Sin Cos Cos Cos Sin Sin一、1．在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形2．2cos10°－sin20°sin70°的值是3．f(x)＝sinx cosx1＋sinx ＋cosx 的值域为( )A ．(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1)B ．[－2－12,―1] ∪(―1, 2－12)C ．(－3－12,3－12)D ．[－2－12,2－12]4．已知x ∈(－π2,0)，cosx ＝45，则tan2x 等于5.已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则下列不等关系中必定成立的是( )A ．tan θ2＜cot θ2，B ．tan θ2＞cot θ2，C ．sin θ2＜cos θ2，D ．sin θ2＞cos θ2．6．(04江苏)已知0＜α＜π2，tan α2＋cot α2＝52，则sin(α－π3)的值为7．等式sin α＋3cos α＝4m －64－m 有意义，则m 的取值范围是( )A ．(－1,73)B ．[－1,73]C ．[－1,73]D ．[―73,―1]8．在△ABC 中，tanA tanB ＞1是△ABC 为锐角三角形的 ( ) A ．充要条件 B ．仅充分条件 C ．仅必要条件D ．非充分非必要条件9．已知α.β是锐角，sin α＝x ，cos β＝y ，cos(α＋β)＝－35，则y 与x 的函数关系式为( )A ．y ＝―351―x 2＋45x (35＜x ＜1)B ．y ＝―351―x 2＋45x (0＜x ＜1) C ．y ＝―351―x 2―45x (0＜x ＜35＝D ．y ＝―351―x 2―45x (0＜x ＜1＝10．已知α∈(0,π)，且sin α＋cos α＝15，则tan α的值为11．(05全国)在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sinC ，则以下四个命题中正确的是( )(1)tanA ²cotB ＝1．(2)1＜sinA ＋sinB ≤2．(3)sin 2A ＋cos 2B ＝1．(4)cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C ． A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③ 12． 函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为13若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =14.110sin 的值是 15.“()tan 0αβ+=”是“tan tan 0αβ+=”的（ ）(A)充分必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件16.已知tan(α+β) =53 , tan(β－4π )=41 ,那么tan(α+4π)为 17.函数y=sinxcosx+3cos 2x －23 的最小正周期是二、填空题：18．(03上海)若x ＝π3是方程2cos(x ＋α)＝1的解，α∈(0,2π)，则α＝＿＿＿＿＿＿．19．已知cos θ＋cos 2θ＝1，则sin 2θ＋sin 6θ＋sin 8θ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
17 两角和与差及二倍角公式
【2012高考数学理科苏教版课时精品练】作业17第三节两角和与差及二倍角公式1．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ改编)已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝________. 解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin 2α)＝－(1－2×49)＝－19. 答案：－192．已知tan x －1tan x ＝32，则tan2x ＝________. 解析：由tan x －1tan x ＝32，可得tan x 1－tan 2x＝－23， ∴tan2x ＝2tan x 1－tan 2x＝－43. 答案：－433．满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12的锐角x ＝________. 解析： sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝sin π5sin x －cos π5cos x ＝－cos(x ＋π5)＝12，得x ＋π5＝2π3，即x ＝7π15. 答案：7π154．(2011年盐城市调研)已知函数f (x )＝12tan x ＋sin x 2cos x 22cos 2x 2－1，则f (π8)的值为________． 解析：f (x )＝cos x 2sin x ＋12sin x cos x ＝cos 2x ＋sin 2x 2sin x cos x ＝1sin2x， ∴f (π8)＝1sin π4＝ 2. 答案： 25．(2011年扬州质检)sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈(0，π2)，则α＋β＝________. 解析：法一：因为sin α＝cos β，α，β∈(0，π2)，所以α，β互余，即α＋β＝π2. 法二：因为sin α＝35，cos β＝35，所以cos α＝sin β＝45， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1225－1225＝0，又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π2. 答案：π26．已知f (α)＝1＋cos2α1tan α2－tan α2，α∈(0，π2)，则f (α)取得最大值时α的值是________． 解析：f (α)＝1＋cos2α1tan α2－tan α2＝2cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝2cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝sin αcos 2αcos α＝12sin2α， 当2α＝π2，即α＝π4时，函数f (α)取得最大值． 答案：π47．已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，则sin α＝________. 解析：∵β∈(－π2，0)，sin β＝－513，∴cos β＝1213. 又∵α－β∈(0，π)，cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365. 答案：33658．(2011年镇江调研)在等式cos(★)(1＋3tan10°)＝1的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是________． 解析：∵1＋3tan10°＝cos10°＋3sin10°cos10°＝2cos (10°－60°)cos10°＝2cos50°cos10°＝2sin40°sin80°＝2sin40°2sin40°cos40°＝1cos40°. ∴cos40°(1＋3tan10°)＝1.答案：40°9．已知sin x 2－2cos x 2＝0. (1)求tan x 的值；(2)求cos2x 2cos (π4＋x )sin x 的值． 解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x 2＝2， ∴tan x ＝2tan x 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)原式＝cos 2x －sin 2x 2(22cos x －22sin x )sin x ＝(cos x －sin x )(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )sin x ＝cos x ＋sin x sin x＝1tan x＋1 ＝(－34)＋1＝14. 10．已知向量a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈(3π2，2π)，且a ⊥b .(1)求tan α的值；(2)求cos(α2＋π3)的值． 解：(1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.而a ＝(3sin α，cos α)，b ＝(2sin α，5sin α－4cos α)，故a ·b ＝6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，由于cos α≠0，∴6tan 2α＋5tan α－4＝0，解得tan α＝－43，或tan α＝12.∵α∈(3π2，2π)， ∴tan α<0，故tan α＝－43. (2)∵α∈(3π2，2π)，∴α2∈(3π4，π)． 由tan α＝－43，求得tan α2＝－12(tan α2＝2舍去)． ∴sin α2＝55，cos α2＝－255， ∴cos(α2＋π3)＝cos α2cos π3－sin α2sin π3＝－255×12－55×32＝－25＋1510. 11．(探究选做)设向量a ＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))，b ＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a ＋b ＝(45，35)． (1)求tan α的值； (2)求2cos 2α2－3sin α－12sin (α＋π4)的值． 解：(1)∵a ＋b ＝(cos αcos β－sin αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β，sin αcos β＋cos αsin β＋sin αcos β－cos αsin β)＝(2cos αcos β，2sin αcos β)＝(45，35)， ∴2cos αcos β＝45，2sin αcos β＝35， ∴tan α＝34. (2)2cos 2α2－3sin α－12sin (α＋π4)＝cos α－3sin αcos α＋sin α ＝1－3tan α1＋tan α＝－57.。
两角和与差二倍角公式求值
两角和与差二倍角公式()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos =±()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=± （二）倍角公式βααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα22tan 1tan 2tan -= 例1、求值() 555sin 1 ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-125tan 2π 例2设,322sin ,912cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαβα,20,2πβπαπ<<<<().cos βα+求(二),公式逆用sin1630sin2230+sin2530sin3130例3 已知()(),43tan tan tan tan tan =+⋅--+βααβαβα且(),0cos >+βπ求()πβ3sin -(三).用用边角关系的公式解三角形例4、在三角形ABC 中,角A..B.C 对边a,b,c222sin():sin a b A B Cc --=证明(四)综合例5、(0,),sin sin sin 2cos cos cos ,παβγαγββγαβα++∈+=+=-求三角函数式的求值(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。
找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角例1、计算)310(tan 40sin 00-的值。
练习:（全国高考）tan20°+4sin20°“给值求值”例2、(上海高考)已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值练习:)6sin(,212tanπαα+=求已知例3、已知sin(-4πx)=135，0<x<4π，求)4cos(2cos x x +π的值。
4.3__两角和与差、二倍角的公式(二)(含答案版)
4.3 两角和与差、二倍角的公式（二）【知识点】 1.在公式S （α+β）、C （α+β）、T （α+β）中，当α=β时，就可得到公式S 2α、C 2α、T 2α，在公式S 2α、C 2α中角α没有限制在T 2α中，只有当α≠2πk +4π且α≠k π+2π时，公式才成立. 2.余弦二倍角公式有多种形式即cos2α=cos 2α－sin 2α=2cos 2α－1=1－2sin 2α.变形公式sin 2α=22cos 1α-，cos 2α=22cos 1α+.它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用. 【基础类题目】 1.下列各式中，值为21的是 A.sin15°cos15°B.2cos 212π－1C.230cos 1︒+ D.︒-︒5.22tan 15.22tan 2解析：︒-︒5.22tan 15.22tan 2=21tan45°=21. 答案：D2．已知sin2θ+cos 2θ=332，那么sin θ的值为____________，cos2θ的值为____________.解析：由sin 2θ+cos 2θ=332，得1+sin θ=34，sin θ=31，cos2θ=1－2sin 2θ=1－2·91=97.答案：31 973．已知f （x ）=x -1，当θ∈（4π5，2π3）时，f （sin2θ）－f （－sin2θ）可化简为A.2sin θB.－2cos θC.－2sin θD.2cos θ解析：f （sin2θ）－f （－sin2θ）=θ2sin 1-－θ2sin 1+=｜sin θ－cos θ｜－｜sin θ+ cos θ｜.∵θ∈（4π5，2π3）， ∴－1＜sin θ＜－22＜cos θ＜0. ∴cos θ－sin θ＞0，cos θ+sin θ＜0.∴原式=cos θ－sin θ+cos θ+sin θ=2cos θ. 答案：D 4．已知sin （x －4π3）cos （x －4π）=－41，求cos4x 的值.剖析：4x 为2x 的二倍角，2x 为x 的二倍角. 解：由已知得sin （x －2π－4π）cos （x －4π）=－41，∴cos 2（x －4π）=41.∴sin2x =cos （2π－2x ）=2cos 2（4π－x ）－1=－87.∴cos4x =1－2sin 22x =1－6498=－3217. 5．若8cos （4π+α）cos （4π－α）=1，则sin 4α+cos 4α=_______. 解析：由已知得8sin （4π－α）cos （4π－α）=1， ∴4sin （2π－2α）=1.∴cos2α=41.sin 4α+cos 4α=（sin 2α+cos 2α）2－2sin 2αcos 2α=1－21sin 22α=1－21（1－cos 22α） =1－21（1－161）=1－21×1615=3217. 答案：32176．已知α为第二象限角，cos 2α+sin2α=－25，求sin 2α－cos 2α和sin2α+cos2α的值. 解：由cos 2α+sin2α=－25平方得 1+2sin2αcos2α=45， 即sin α=41，cos α=－415.此时k π+4π＜2α＜k π+2π.∵cos2α+sin2α=－25＜0， sin 2αcos 2α=81＞0， ∴cos 2α＜0，sin2α＜0.∴2α为第三象限角.∴2k π+4π5＜2α＜2k π+2π3，k ∈Z . ∴sin2α＜cos2α， 即sin2α－cos2α＜0.∴sin2α－cos2α=－αsin 1-=－23， sin2α+cos2α=2sin αcos α+1－2sin 2α=8157-. 评述：由三角函数值判断2α的范围是关键.【提高类题目】7．若tan x =2，则xx x xcos sin 1sin 2cos 22+--=_______. 解析：原式=x x x x sin cos sin cos +-=x x tan 1tan 1+-=2121+-=1212--）（=22－3.答案：22－3 8．已知0＜α＜2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin （α－3π）的值. 解：由已知tan 2α+cot2α=αsin 2=25，得sin α=54.∵0＜α＜2π，∴cos α=α2sin 1-=53.从而sin （α－3π）=sin α·cos 3π－cos α·sin 3π=54×21－53×23=101（4－33）.9．设a =sin14°+cos14°，b =sin16°+cos16°，c =66，则a 、b 、c 的大小关系是 A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c解析：a =2sin59°，c =2sin60°，b =2sin61°，∴a ＜c ＜b . 答案：B10．若f （tan x ）=sin2x ，则f （－1）的值是 A.－sin2B.－1C.21 D.1解析：f （－1）=f ［tan （－4π）］=－sin 2π=－1. 答案：B11．化简xx x x x 2sin 1cos sin 1cos sin ））（（+--+.解：原式=xxx x x 2sin 12sin 21sin 12sin 21sin 22））（（++---+=xxx xx x x x x cos 2cos 2sin 42sin 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 222））（（+- =xxxx x x x cos 2cos 2sin2sin 2cos 2sin 2cos ⋅+-））（（ =x x x x x cos 2cos 2sin 2sin 2cos 22⋅-）（=xx xx cos 2cos 2sincos ⋅⋅=tan 2x . 12．化简8sin 1-=_________.解析：8sin 1-=24cos 4sin ）（-=|sin4－cos4|=sin4－cos4.答案：sin4－cos4 13．已知sin （4π－x ）=135，0＜x ＜4π，求）（x x +4cos 2cos 的值.分析：角之间的关系：（4π－x ）+（4π+x ）=2π及2π－2x =2（4π－x ），利用余角间的三角函数的关系便可求之.解：∵（4π－x ）+（4π+x ）=2π， ∴cos （4π+x ）=sin （4π－x ）. 又cos2x =sin （2π－2x ） =sin2（4π－x ）=2sin （4π－x ）cos （4π－x ）， ∴）（x x +4πcos 2cos =2cos （4π－x ）=2×1312=1324.14．已知sin2α=53，α∈（4π5，2π3）. （1）求cos α的值；（2）求满足sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－1010的锐角x . 解：（1）因为4π5＜α＜2π3， 所以2π5＜2α＜3π. 所以cos2α=－α2sin 12-=－54.由cos2α=2cos 2α－1，所以cos α=－1010. （2）因为sin （α－x ）－sin （α+x ）+2cos α=－1010， 所以2cos α（1－sin x ）=－1010. 所以sin x =21. 因为x 为锐角，所以x =6π. 15．已知tan （4π+α）=2，求： （1）tan α的值；（2）sin2α+sin 2α+cos 2α的值.（1）解：tan （4π+α）=ααtan tan 1-1+=2，∴tan α=31.（2）解法一：sin2α+sin 2α+cos2α=sin2α+sin 2α+cos 2α－sin 2α =2sin αcos α+cos 2α =1+ααα2cos cos sin 2=ααααα222cos sin cos cos sin 2++ =1+1+αα2tan tan 2=23.解法二：sin2α+sin 2α+cos2α=sin2α+sin 2α+cos 2α－sin 2α =2sin αcos α+cos 2α.①∵tan α=31，∴α为第一象限或第三象限角.当α为第一象限角时，sin α=101，cos α=103，代入①得2sin αcos α+cos 2α=23； 当α为第三象限角时，sin α=－101，cos α=－103，代入①得2sin αcos α+cos 2α=23. 综上所述sin2α+sin 2α+cos2α=23. 16．设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求cos （α+β）. 剖析：2βα+=（α－2β）－（2α－β）.依上述角之间的关系便可求之. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜α－2β＜π，－4π＜2α－β＜2π. 故由cos （α－2β）=－91，得sin （α－2β）=954.由sin （2α－β）=32，得cos （2α－β）=35.∴cos （2βα+）=cos ［（α－2β）－（2α－β）］=…=2757. ∴cos （α+β）=2cos 22βα+－1=…=－729239.评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换.17．tan15°+cot15°等于A.2B.2+3C.4D.334 解析一：tan15°+cot15°=︒︒15cos 15sin +︒︒15sin 15cos =︒︒︒+︒15sin 15cos 15cos 15sin 22=︒⋅30sin 211=4.解析二：由tan15°=tan （45°－30°）=︒︒+︒-︒30tan 45tan 130tan 45tan =331331+-=3333+-. ∴原式=3333+-+3333-+=4.答案：C【拓展类题目】 【万能公式】 18．若cos α=53，且α∈（0，2π），则tan 2α=____________. 解析一：由cos α=53，α∈（0，2π），得sin α=α2cos 1-=54， tan 2α=2cos2sinαα=2cos 2sin 22sin 22ααα=ααsin cos 1-=54531-=21. 解析二：tan 2α=ααcos cos 1+1-=531531+-=21. 答案：21 【技巧之“1”的用法】 19．已知6sin 2α+sin αcos α－2cos 2α=0，α∈［2π，π），求sin （2α+3π）的值. 分析：本题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能. 解法一：由已知得（3sin α+2cos α）（2sin α－cos α）=0⇔3sin α+2cos α=0或2sin α－cos α=0. 由已知条件可知cos α≠0，所以α≠2π，即α∈（2π，π）. 于是tan α＜0，∴tan α=－32. sin （2α+3π）=sin2αcos 3π+cos2αsin 3π =sin αcos α+23（cos 2α－sin 2α） =αααα22sin cos cos sin ++23×αααα2222sin cos sin cos +-=αα2tan tan +1+23×αα22tan tan 1+1-. 将tan α=32代入上式得 sin （2α+3π）=232132）（）（-+-+23×22321321）（）（-+--=－136+3265，即为所求. 解法二：由已知条件可知cos α≠0，则α≠2π， ∴原式可化为6tan 2α+tan α－2=0， 即（3tan α+2）（2tan α－1）=0.又∵α∈（2π，π）.∴tan α＜0，∴tan α=－32.下同解法一.。
高一-三角函数的和差公式与二倍角 含答案
课程主题： 三角函数的和差公式与二倍角教学内容知识精讲知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)()βαtan tan 1∙ ； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛±4πa .4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．例题精讲题型1：三角函数的给值求值例1.已知0β<<344παπ<<，335cos(),sin()45413παπβ-=+=，求的sin(α＋β)的值． 分析：比较所要求的角和已知角，可以发现3()()()442πππβααβ+--=++或由cos()sin 4πα-=()4πα+，再由3()()()44παπβπαβ+++=++求解. 解（一）：33,,0444424ππππαππαα<<∴-<-<--<-<，又34cos(),sin().4545ππαα-=∴-=-33353120,,sin(),cos()444413413πβππβππβπβ<<∴<+<+=∴+=-.sin(α＋β)=3cos[()]cos[()()]244ππαβπβα-++=-+--33cos()cos()sin()sin()4444πππβαπβα=+--+-1235456()()13513565=--⨯-⨯-=.解（二）：cos()sin 4πα-=()4πα+35=，4,cos()2445πππαπα<+<∴+=-.33353120,,sin(),cos()444413413πβππβππβπβ<<∴<+<+=∴+=-.sin(α＋β)333sin[()()][sin()cos()cos()sin()]444444πππαπβαπβαπβ=-+++=-+++++3124556[()()]51351365=-⨯-+-⨯=.解题思路：我们在计算、化简或证明一些三角函数式时，充分所求的角和已知角之间的联系，如：()()()αβαββαβαα-+=-++=,2，33ππαα-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，244παπαπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+，()⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+44πββαπα，这一点非常重要它可以有效的帮助我们解题，更重要的是它可以让许多问题变得非常简单.课堂检测如图，点P 是单位圆上的一个顶点，它从初始位置0P 开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（02πα<<）到达点1P ，然后继续沿单位圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为45-，则cos α的值等于 。
和差倍角公式经典例题
和差倍角公式◆ 两角的和与差公式：()())()(S , S , βαβαβαβαβαβαβαβα-+-=-+=+Sin Cos Cos Sin Sin Sin Cos Cos Sin Sin()()()()()()(), C , C tan tan tan , T 1tan tan tan tan tan 1tan tan Cos Cos Cos Sin Sin Cos Cos Cos Sin Sin Cos Sin Cos Sin Cos Cos αβαβαβαβαβαβαβαβαβββββββββαβαβαβαβαβαβ+-++=--=++-+-++=---=+，，，(), T αβ-变形： ()()()()为三角形的三个内角其中χβαχβαχβαβαβαβαβαβαβα,,tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan 1tan tan tan =+++-=--+=+ 二倍角公式：ααααααααααα22222tan 1tan 22tan 2112222-=-=-=-==Sin Cos Sin Cos Cos Cos Sin Sin 一、1．在△ABC 中，已知2sinAcosB ＝sinC ，则△ABC 一定是()A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形2．的值是 2cos10°－sin20°sin70°3．f(x)＝的值域为()sinx cosx1＋sinx ＋cosx A ．(――1,―1) ∪(―1, ―1)B ．[,―1] ∪(―1, )33C ．(,)D ．[,]4．已知x ∈(－,0)，cosx ＝，则tan2x 等于π2455.已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．tan ＜cot ，B ．tan ＞cot ，C ．sin ＜cos ，D ．sin ＞cos ．θ2θ2θ2θ2θ2θ2θ2θ26．(04江苏)已知0＜α＜，tan ＋cot ＝，则sin(α－)的值为π2α2α252π37．等式sin α＋cos α＝有意义，则m 的取值范围是( )34m －64－m A ．(－1,)B ．[－1,]C ．[－1,]D ．[―,―1]737373738．在△ABC 中，tanA tanB ＞1是△ABC 为锐角三角形的( )A ．充要条件B ．仅充分条件C ．仅必要条件D ．非充分非必要条件9．已知α.β是锐角，sin α＝x ，cos β＝y ，cos(α＋β)＝－，则y 与x 的函数关系式为( )35 A ．y ＝―＋x (＜x ＜1)B ．y ＝―＋x (0＜x ＜1) 351―x24535351―x245C ．y ＝――x (0＜x ＜＝D ．y ＝――x (0＜x ＜1＝351―x24535351―x24510．已知α∈(0,π)，且sin α＋cos α＝，则tan α的值为15 11．(05全国)在△ABC 中，已知tan ＝sinC ，则以下四个命题中正确的是( )A ＋B2(1)tanA ·cotB ＝1．(2)1＜sinA ＋sinB ≤．(3)sin 2A ＋cos 2B ＝1．(4)cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C ．2A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③12． 函数的最大值为)cos (sin sin 2x x x y +=13若，则= 316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos14.的值是110sin o 15.“”是“”的（ ）()tan 0αβ+=tan tan 0αβ+=(A)充分必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件16.已知tan(α+β) =, tan(β－ )= ,那么tan(α+ )为534π414π17.函数y=sinxcosx+cos 2x － 的最小正周期是323二、填空题：18．(03上海)若x ＝是方程2cos(x ＋α)＝1的解，α∈(0,2π)，则α＝＿＿＿＿＿＿．π319．已知cos θ＋cos 2θ＝1，则sin 2θ＋sin 6θ＋sin 8θ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
3.两角和与差的三角函数及二倍角公式
三角函数——3．两角和与差的三角函数及二倍角公式【知识要点】1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=- 如（1）下列各式中，值为12的是 （ ）A 、1515sin cosB 、221212cos sin ππ- C 、22251225tan .tan .- D； （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 （ ）A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件；（3）已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ ； （4）11080sin sin -的值是____ __； (5)已知0tan110a =，求0t an 50的值（用a 表示），乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ ;2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：看角度：已知与未知的角度是否有差异；看名称：所给与所求的函数名称是否有差异；看次数：条件与结论的次数是否统一；看结构：左边与右边的结构是否有差异；看常数：条件和结论的常数是否有差异.基本的技巧有:（1）角的分拆配凑（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，2αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）， 如（1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____ ；（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值；（3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______ ；(2)三角函数名互化(切弦转化)，如（1）求值sin50(13tan10)+； （2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值；(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
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：两角和与差及其二倍角公式知识点及典例
知识要点：
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝ ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； S(α－β)：sin(α－β)＝ ； T(α＋β)：tan(α＋β)＝ ； T(α－β)：tan(α－β)＝ ； 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式
2S α：sin2α＝ ； 2T α：tan2α＝ ；
2C α：cos2α＝ ＝ ＝ ；
3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。
如T(α±β)可变形为:
tan α±tan β=___________________； tan αtan β= = . 考点自测：
1、已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝( )
711
A 、 711
B 、-
7
13C 、 713D 、-
2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋ sin α＝4
5
3，则 sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C ．－45 D.45
3、在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝5
13
，则cos C 的值是( )
A.1665
B.5665
C.1665或5665 D ．－1665 4、若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )
A ．0
B ．±3
C ．0或 3
D ．0或
±3
5、三角式2cos55°
－3sin5°
cos5°
值为( )
A.3
2
B. 3 C ．2 D ．1 题型训练
题型1 给角求值
一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系（与特殊角的联系）化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.
变式1：化简求值：2cos10sin 20.cos 20
︒︒
︒
- 题型2给值求值
三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．如
()()ααββαββ=+-=-+，2()()
ααβαβ=++-，
2()()
αβαβα=+--，
22
αβαβ++=⋅
，()(
)
222αββ
ααβ+=--- 例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19
，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝2
3，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos(α＋β)．
变式2：π3π33π5
0π,cos(),sin(),4445413
βααβ<<
<<-=+=已知求sin(α+β)的值.
题型3给值求角
已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围；(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调)；（3）求出角。
例3已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7
，求2α－β的值．
变式3：已知tan α=
17，tan β= 1
3
，并且α,β 均为锐角,求α+2β的值.
题型4辅助角公式的应用
()
sin cos a x b x x θ+=+ (其中θ角所在的象限由a
, b 的符号确定，θ角的值由
tan b
a
θ=
确定) 在求最值、化简时起着重要作用。
例4求函数2
5f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间？
变式4
（1）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= ；
（2）若方程sin x x c -=有实数解，则c 的取值范围是___________. 题型5公式变形使用
二倍角公式的升幂降幂
tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±m tan tan tan tan 1tan()
αβ
αβαβ±=±m
例5（1）设ABC ∆中，33tan A tan B tan Atan B ++=，3
4
sin Acos A =，则此三角形是____三角形
（2）化简1-sin822cos8++
变式5已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝ ； 专题自测
1、下列各式中，值为
1
2
的是 （ ） A 、1515sin cos o
o
B 、2
2
1212cos sin
π
π
- C 、22251225tan .tan .-o o D 、1302
cos +o
2、命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，
则P 是Q 的 （ ） A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件
3、已知3sin 5α=
,tan 0α<则tan()4
π
α-= . 4、=︒+︒
-︒20sin 6420cos 120sin 32
2
2 5、2sin()2sin()3cos()333
x x x πππ
++---=______________.
6、0
cos(27)cos(18)sin(18)sin(27)x x x x +---+=
7、若25sin α=
,310
sin β=,,αβ都为锐角,则αβ+= 8、在△ABC 中，已知tan A 、tan B 是方程3x 2
＋8x －1＝0的两个根，则tan C 等于 9、
1310sin -o = ；
10、
︒
︒
-︒70sin 20sin 10cos 2=
11、(1tan 22)(1tan 23)︒︒
++=
12、)20tan 10(tan 320tan 10tan ︒+︒+︒︒=
13、（福建理17）在ABC △中，1tan 4A =，3
tan 5
B =． （Ⅰ）求角
C 的大小；
（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长．
14、（四川理17）已知0,14
13
)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,
(1)求α2tan 的值. （2）求β.
15、(2008·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点,已知A,B 两点的横坐标分别为225
,. (1)求tan(α+β)的值; (2)求α+2β的值.
答案：考点自测:1-5BCADD 变式1、3 2、
5665 3：4
π
4（1）－2 （2）[－2,2] 5、22-
专题自测：1、C 2、C 3、7- 4、32 5、0 6、22 7、3
4
π 8、2 9、4 10、3
3π4。