沪教版高中数学高二下册教案教学设计汇编
沪教版高中数学高二下册 - 11.1直线方程(1)-点方向式方程 教案
11.1直线方程（1）-点方向式方程一、教学目标：1、理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系；2、理解直线的方向向量的概念；3、能根据已知条件求出直线的点方向式方程；4、通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量可简化推导过程且有明确的几何意义。
二、教学重点：1、理解直线的方向向量的概念；2、能根据已知条件求出直线的点方向式方程。
教学难点：理解直线方程的解与直线上点坐标之间的关系。
三、教学过程：1、引入新课：确定直线的条件◼ 两点确定一条直线◼ 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
◼ 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
问：已知直线l 过定点 ，且与向量 平行，这样的直线是否唯一？ 引例：在直角坐标系中，点 ， 非零向量 ，直线l 经过点P 且与 平行，求直线l 的方程。
解：设Q （x,y ）是直线上任意一点，则 直线l 上的所有的点的坐标（x,y ）都满足方程（1）反之，如果 是方程（1）的任意一个解，即那么把坐标为 的点 作为终点，把P 作为起点，可知向量 ，即点 在直线l 上。
以方程的所有解（x,y ）作为坐标的点都在直线l 上方程（1）叫做直线l 的方程,直线l 是方程（1）的图形， 叫做直线l 的一个方向向量。
(注：方向向量有无数个)2、提出概念：1、当u 、v 都不为零时，（1）化为我们把（2）叫做直线l 的点方向式方程。
2、当 时，（1）化为 表示经过点P ，且平行于y 轴的直线。
3、当 时，（1）化为 表示经过点P ，且平行于x 轴的直线。
00(,)PQ x x y y =−−||,||l d PQ d 即00()()(1)x x v y y u ∴−=−P 1010()()x x v y y u ∴−=−00()()(1)x x v y y u −=−00()()(2)x x y y u v −−=00(,)P x y (,)d u v =00(,)P x y d 11(,)x y 11(,)x y 1||PQ d 1Q 1Q(,)d u v =0,0u v =≠0,0u v ≠=00x x −=00y y −=3、例题分析例1：已知A （4，6）、B （-3，-1）、C （4、-5）三点，求经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程。
高二数学下册(抛物线的性质)教案 沪教版 教案
上海理工大学附属中学高二数学下册《抛物线的性质》教案 沪教版一、教学内容分析本小节的难点是应用抛物线的性质解决一些与抛物线有关的问题，如已知抛物线的某些性质，求抛物线的方程；以及求抛物线的焦点弦长等. 二、教学目标设计1．根据抛物线方程)0(22>=p px y 来研究抛物线的性质，进一步体会用方程研究曲线的基本方法； 2．研究另外三种标准位置的抛物线的性质，学会类比；3．应用抛物线的性质解决一些与抛物线有关的问题，体会数形结合和方程的思想. 三、教学重点及难点抛物线的对称性、顶点、范围、焦点坐标和准线方程；求抛物线的标准方程，应用抛物线定义解决一些与焦点弦长有关的问题. 四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习回顾 思考并回答下列问题 1、抛物线的定义； 2、四种标准方程形式；3、抛物线方程)0(22>=p px y 中参数p 的含义. 二、讲授新课我们根据抛物线的标准方程)0(22>=p px y 来研究抛物线的性质. 1、对称性在方程px y 22=中，以y -换y ，方程不变，这表明：如果点),(y x P 在抛物线px y 22=上，那么点P 关于x 轴对称的点),('y x P -也在该抛物线上，即抛物线px y 22=关于x 轴对称，是轴对称图形.请学生讨论抛物线px y 22=是否为中心对称图形？ 2、顶点抛物线与对称轴的交点称为抛物线的顶点.抛物线px y 22=的顶点为坐标原点)0,0(. 3、范围课堂小结并布置作业抛物线的对称性、运用与深化(例题解析、巩固练习)px y 22=（0>p ）抛物线四种标准形问题驱动在方程px y 22=中，因为0>p ，所以0≥x ，这表明除了顶点，抛物线的图像全部落在y 轴的右侧.在第一象限，随着x 的增大，抛物线的图像向右上方无限延伸；在第四象限，随着x 的增大，抛物线的图像向右下方无限延伸.⏹ 请学生讨论抛物线px y 22=在第一象限内向右上方无限延伸时是否存在渐近线？ 4、焦点和准线抛物线px y 22=的焦点在x 轴上，其坐标为)0,2(pF .抛物线px y 22=的准线平行于y 轴，其方程为2p x -=. ⏹ 请学生分别写出抛物线)0(22>-=p px y 、)0(22>=p py x 、 )0(22>-=p py x 的焦点坐标和准线方程.5、例题解析 例1 求抛物线231x y =的焦点坐标和准线方程. [说明]本例考查抛物线的标准方程和性质.先让学生说出抛物线231x y =的标准形式，进而求出焦点坐标和准线方程.解：抛物线231x y =的标准方程为y x 32=，23=p ，于是焦点为)43,0(F ，准线方程为43-=y . 例2 教材上P66例1.[说明] 本例考查抛物线的四种标准位置.按照焦点在x 轴上或在y 轴上分情况讨论，培养学生严谨的思维习惯.例3 教材上P67例2.[说明] 本例培养学生的方程思想，将图像的交点个数问题转化为方程的解的个数问题；①既要考虑斜率存在的直线，也要考虑斜率不存在的直线；②形如02=++c bx ax 的方程有惟一解的条件：⎩⎨⎧≠=0,0b a 或⎩⎨⎧=∆≠.0,0a例4 教材上P67例3.[说明]本例培养学生应用抛物线的方程和性质解决一些简单的实际问题.①如何建立直角坐标系？②如何根据条件确定抛物线的方程？三、巩固练习1、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点)1,(-m M 到焦点的距离是3，求抛物线的方程、准线方程、焦点坐标以及m 的值.[说明]根据点M 的纵坐标为负值可以确定抛物线开口向下，进 而确定抛物线的方程形式.解：设抛物线方程为)0(22>-=p py x ，其准线方程为2p y =. 根据抛物线的定义，有312=+p，所以4=p . 抛物线的方程为y x 82-=，准线方程为2=y ，焦点坐标为)2,0(-F ，将点)1,(-m M 的坐标代入方程y x 82-=，算得22±=m .2、已知),(00y x P 是抛物线px y 22=上的点，F 是该抛物线的焦点，求证：2||0p x PF +=. [说明]利用抛物线的定义，将点P 到焦点的距离转化为到准线的距离，||PF 称为抛物线的焦半径. 证明：过点),(00y x P 作准线2:p x l -=的垂线，垂足为Q ，则),2(0y pQ -.根据抛物线的定义，2)2(||||00px p x PQ PF +=--==.3、若抛物线x y 42=的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程. [说明]根据焦半径公式，焦点弦长可以用两个端点的横坐标之和来表示. 解：抛物线的焦点为)0,1(F .设焦点弦的两个端点分别为),(11y x A 、),(22y x B .由条件，52)2()2(||||||2121=++=+++=+=x x px p x BF AF AB ，所以321=+x x . 如果直线AB 平行于y 轴，那么121==x x ，这与321=+x x 矛盾，所以直线AB 不平行于y 轴. 设焦点弦所在直线方程为)1(-=x k y ，联立方程⎩⎨⎧=-=,4),1(2x y x k y 消去y ，得到0)2(22222=++-k x k x k ， 根据韦达定理，3)2(22221=+=+kk x x ，求出2±=k ，于是焦点弦所在直线AB 的方程为022=-±y x . 四、课堂小结1、抛物线)0(22>=p px y 的对称轴，顶点，范围，焦点坐标以及准线方程.2、求抛物线方程时，先判断本题中的抛物线属于四种标准方程形式中的哪一种，然后根据条件确定p 的值.3、如果问题与焦点弦长有关，那么可以用焦半径公式表出弦长，然后应用韦达定理加以解决. 五、课后作业注重对抛物线性质的推导过程，以问题驱动的形式促使学生对抛物线的性质进行较为深入地思考，在讲解对称性时抛出问题“抛物线是中心对称图形吗，为什么？”，让学生从几何图形上判断结果，并从代数方程上进行推导.在讲解抛物线的范围时，引导学生和双曲线进行比较“抛物线有渐近线吗，为什么？”，让学生去讨论.例1考查抛物线的标准方程和性质，例2考查抛物线的四种标准位置，例3培养学生的方程思想，例4培养学生应用抛物线的方程和性质解决一些简单的实际问题.紧扣抛物线的定义，引导学生灵活解决与焦点弦有关的问题，并以此为素材，激发学生发现。
沪教版高中数学高二下册-12.4(2) 椭圆的性质 教案设计
教案 椭圆性质 教学目标：（1）了解和掌握椭圆的重要性质；（2）了解和尝试类比猜想思想方法发现和论证命题； （3）进一步学习和体会方程思想. 教学难点：类比和猜想命题；用代数方法论证命题. 教学重点：与圆的性质进行类比和猜想课时安排：2课时 内容分析：学生对圆的性质有一定的了解和掌握，在这基础上与圆的性质进行类比猜想，导出椭圆的重要性质，让学生初步体会圆与椭圆的关系，并进一步学习如何运用方程思想方法处理几何问题. 教学过程：问题1 已知动点P 与两定点()130A -，、()230A ，连线的斜率乘积为49-，求点P 的轨迹方程.进一步提问 你能否从上述问题中，进一步提出新的问题或命题？问题2 已知动点P 与两定点()10A a -，、()20A a ，（0a >）连线的斜率乘积为m ，求点P 的轨迹方程.问题3 在椭圆22221x y a b+=（0a b >>），设P 是除顶点()10A a -，、()20A a ，外的椭圆上任意一点，求证：12A P A P k k ⋅为定值.椭圆性质1 在椭圆22221x y a b+=（0a b >>），设P 是除顶点()10A a -，、()20A a ，外的椭圆上任意一点，则1222A P A P bk k a ⋅=-. （观察）根据问题3中的结论，请联系所学的知识？圆性质1 在圆222x y a +=（0a >），设P 是除顶点()10A a-，、()20A a ，外的圆上任意一点，则121A P A P k k ⋅=-.（进一步联想）根据圆性质1，进一步可以得到圆的性质2 直径所对的圆周角是直角AB 是圆222x y a +=（0a >）的一条直角，P 是除A 、B外的圆上任意一点，如果直线AP 、BP 的斜率存在，那么1AP BP k k ⋅=-.（类比猜想）根据圆的性质2 ，猜想椭圆上的情况问题4 设AB 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）过中心的一条弦，P 是除A 、B 外的椭圆上任意一点，如果直线AP 、BP 的斜率存在，那么AP BP k k ⋅是否为定值？ （求解证明）椭圆性质2 AB 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）过中心的一条弦，P 是除A 、B 外的椭圆上任意一点，如果直线AP 、BP 的斜率存在，那么22AP BP b k k a⋅=-（进一步联想）根据圆性质2，进一步可以联想到圆的垂经定理 圆的性质3 AP 是圆222x y a +=（0a >）的一条弦，M 是AP 中点，如果直线AP 、OM 的斜率存在，那么1AP OM k k ⋅=-.（类比猜想）根据圆的性质3 ，猜想椭圆上的情况问题5 设AP 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的一条弦，M 是AP 中点，如果直线AP 、OM 的斜率存在，那么AP OM k k ⋅=？. （求解证明）椭圆性质3 AP 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的一条弦，M 是AP 中点，如果直线AP 、OM 的斜率存在，那么22AP OMb k k a⋅=-.问题6 （圆的切线性质）设AP 是圆222x y a +=（0a >）的一条切线，M 是切点，如果直线AP 、OM 的斜率存在，那么1AP OM k k ⋅=-.类似的，设AP 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的一条切线，M 是切点，如果直线AP 、OM 的斜率存在，那么AP OM k k ⋅=？椭圆性质4 AP 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的一条切线，M 是切点，如果直线AP 、OM 的斜率存在，那么22AP OMb k k a⋅=-.例 1 用代数方法证明 椭圆性质3 ：AP 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的一条弦，M是AP 中点，如果直线AP 、OM 的斜率存在，那么22AP OM b k k a⋅=-.例 2 椭圆Γ的方程为()222210x y a b a b +=>>，直线11l y k x p =+：交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22l y k x =：于点E ．若2122b k k a⋅=-，证明：E 为CD 的中点.例 3 过点()0,2A 的直线l 与椭圆22:13x C y +=相交于不同的两点E 、F ，且12EM EF =u u u u r u u u r，若()0N 9，，且//OM AN u u u u r u u u r ，求点M 坐标.例 4 如图，过坐标原点的直线交椭圆22142x y +=于P 、A 点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，求证：PA PB ⊥.。
沪教版(上海)数学高二下册-11.3 两条直线平行和垂直 教案
§11.3两条直线平行和垂直（第1课时）教学目标: 1．掌握两条直线平行的条件2．掌握两条直线垂直的条件 教学重点: 两条直线的平行和垂直 教学难点：两条直线平行和垂直的条件 教学方法：讲解法，练习法． 教学过程： 一、引入平面几何里已研究过两条直线的位置关系，本节课将用斜率来进一步研究 二、新课两条不重合的直线12,l l 平行的情形。
如果12//l l ，它们的倾斜角相等，即12αα=：（1）当01290αα=≠时，12tg tg αα=即它们的斜率1k 与2k 相等；（2）当 9021==αα时，它们的斜率都不存在。
反过来，如果1l 和2l 的斜率1k 和2k 相等，即12tg tg αα=，因为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈πππαα,22,0,21 ，所以12αα=，于是12//l l ；如果1l 和2l 的斜率都不存在，那么它们的倾斜角都是90，于是12//l l 。
因此，两条不重合的直线互相平行的充要条件是它们的斜率相等或斜率都不存在。
即1212//l l k k ⇔=或斜率都不存在。
三、例题讲解例1、求证：顺次连接()()()72,3,5,,2,3,4,42A B C D ⎛⎫--- ⎪⎝⎭四点的四边形是梯形。
证明：因为直线AB 的斜率6125)3(271-=----=k ，直线CD 的斜率6124342-=---=k ，所以21k k =。
又因ABCD 是四边形，因此AB ∥CD 。
因为直线BC 的斜率61352)27(33-=---=k ，直线DA 的斜率434,67)4(243k k k ≠-=----=，所以BC 与DA不平行，因此四边形ABCD 是梯形。
巩固练习：课本8P 1例2、在ABC ∆中，已知,D E 分别是,CA CB 的中点，用坐标法证明：//DE AB 且12DE AB =。
证明：以点A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系。
设),(),0,(h a C b B ，那么根据线段中点公式可得点D 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛2,2h a ，点E 的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛+2,2h b a 。
沪教版高中数学高二下册第十二章12.7抛物线及其标准方程教案设计
抛物线及其标准方程教课目的：知识目标：1、掌握抛物线的定义和标准方程。
2、能依据抛物线的标准方程，写出它的焦点坐标和准线方程。
能力目标：能依据简单的条件求抛物线的标准方程。
感情目标：能依据老师的指引踊跃探究问题的规律。
教课要点：分清抛物线四种标准方程、焦点坐标和准线方程。
教课难点：利用抛物线的定义探究解决一些新问题。
教课方法及手段：启迪指引教课过程：一、课程引入1、平面内与两个定点的距离相等的点的轨迹是什么？2、与两条订交直线的距离相等的点的轨迹是什么？问：与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是什么？(学生探究)教师flash课件演示〔解说原理〕二、新课分析1、定义：〔板书课题〕平面内与一个定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹是抛物线。
焦点。
直线L叫抛物线的准线生活中的抛物线有哪些？太阳灶，抛射物体的运转轨道，二次函数的图象等。
点F叫做抛物线的但在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、张口向上或张口向下两种情况．假如抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不可以作为二次函数的图象来研究了．今天，我们打破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．2、推导抛物线的标准方程：〔先复习求轨迹方程的方法和步骤；怎样建系〕以下列图，成立直角坐标系系，设|KF|=p〔p>0〕,那么焦点F的y坐标为(p,0)，准线l的方程为xp，D M22K OFp )2(1 )设抛物线上的点M〔x,y〕，那么有(xy2|x p|22化简方程得y22pxp03、抛物线标准方程：方程y22px p 0叫做抛物线的标准方程它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是〔F p,0〕，它的准线方程是x p2 2说明：抛物线，因为它在座标系的地点不一样，方程也不一样，有四种不一样的状况。
这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程以下图形yyylOxFOF x F Oxll lO x方y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)程焦(p,0)(p,0)(0,p)(0,p)点2222准p p py p线x x y2222同样点：(1)抛物线都过原点；对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上对于原点对称 p 是焦点到准线的距离不一样点：标准方程中一次项的变量决定焦点在哪条轴上，系数的〞＋〞，〞－〞决定焦点在正半轴仍是负半轴（三、例题精讲（例1：（抛物线标准方程是y26x，求它的焦点坐标和准线方程;2〕抛物线的方程是y=－6x2，求它的焦点坐标和准线方程；3〕抛物线的焦点坐标是F〔0，－2〕，求它的标准方程。
沪教版高中数学高二下册：12.1(1)(2)曲线与方程 教案设计
12.1曲线与方程12.1(1)（2）曲线与方程【教学目标】知识与技能：理解曲线和方程的概念，以简单的几何轨迹问题为例，学会求曲线方程的一般方法和步骤，能根据所给条件，选择适当坐标系求曲线方程.过程与方法：通过积极参与、亲身经历曲线方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性，渗透数形结合的数学思想.会在简单的情况下画方程的曲线和求两条曲线的交点.情感、态度与价值观：通过自主探索、合作交流，学生历经从“特殊——一般——特殊”的认知模式，深化对求曲线方程本质的理解，完善认知结构.【教学重点及难点】重点是理解曲线方程概念和掌握求曲线方程方法，领悟坐标法和解析几何的思想.难点是曲线方程的概念和求曲线方程的方法.【教学过程】12．1（1）曲线方程的概念一、复习回顾思考并回答下列问题1、l 是过点)1,0(且斜率为2的直线，能否说方程)0(12≥+=x x y 是直线l 的方程？为什么？（复习直线方程的概念）.2、在上一章我们是怎样研究两条直线的位置关系的？答：借助直线方程研究直线的位置关系.[说明] 曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，教学中应从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系.二、讲授新课1、概念引入（1）以定点A （1，0）为圆心以1为的圆是否可以用某个方程来表示？ 设原上任意一点M 的坐标为),(y x ，则x 和y 应当满足1)1(22=+-y x平方后整理得0222=-+x y x ①问：能否用方程①来表示圆A ？为什么？用方程22x x y -=②与方程①中的哪一个来表示圆A 比较好？[说明] 通过对上述问题的讨论启发学生概括出曲线方程的概念.2、概念形成曲线方程的定义一般地，如果曲线C 与方程0),(=y x F 之间有以下两个关系：①曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x F 的解；②以方程0),(=y x F 的解为坐标的点都是曲线C 上的点.此时，把方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程0),(=y x F 的曲线.[说明] 利用集合与对应的观点可以更清楚、更深刻地理解曲线方程的概念.设)}(|{M P M P =表示曲线C 上适合某种条件的点M 的集合； }0),(|),{(==y x F y x Q 表示二元方程的解对应的点的坐标的集合.于是，方程0),(=y x F 叫做曲线C 的方程等价于⎭⎬⎫⊆⊆P Q Q P ，即 Q P =. 3、概念深化例 1 已知两点A （-1，1）和B （3，-1），求证线段AB 的垂直平分线l 的方程是022=--y x .（课本P31例1）证明：（略）例2（1）已知点A （1，0）、B （0，1），问线段AB 的方程是不是01=-+y x ，为什么？（课本P31例1）（2）到两坐标轴距离相等的点的轨迹C 的方程是不是0=-y x ，为什么？ 解：（略）[说明] 曲线与方程对应关系的基础是点与坐标的对应关系.教学中应紧扣概念，注意强调曲线方程的完备性和纯粹性.三、巩固练习课本P33练习12.1（1）（练习3告诉我们可以借助充要条件的概念来理解曲线的方程的概念）四、课堂小结（1）曲线方程的概念（曲线上的点与以方程的解为坐标的对应关系怎样？）.（2）如何理解曲线的方程的概念？（利用充要条件的概念理解曲线的方程的概念、利用集合的观点理解曲线的方程的概念）五、作业布置习题册P17 A 组 第1、2、3题； P19 B 组 第2题12.1（2）求曲线的方程一、复习回顾思考并回答下列问题1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．（学生思考并回答．教师强调）2．回顾与思考：坐标法和解析几何的意义、基本问题.对于一个几何问题，在建立直角坐标系的基础上，用坐标表示点、用方程表示曲线，并通过研究方程的性质来间接地研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门学科称为解析几何.解析几何的两大基本问题就是：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．（2）通过方程，研究平面曲线的性质．[说明]通过对上面两个问题的思考，进一步明确解析几何的学习目标和本节教学内容的学习目标.二、学习新课如何根据已知条件，求出曲线的方程？例1 已知两定点)0,1(1-P 和)0,3(2P ，求到点1P 和2P 的距离的平方和是16的点的轨迹方程.（课本P33例3）例2 动点M 与距离为4的两个定点A 、B 满足5M =⋅MB A ，建立适当的坐标系，并求动点M 的轨迹方程.（课本P34例4）[说明]分析上面两个例题的求解过程，总结出求解曲线方程的大体步骤：首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正.然后结合课本归纳出以下五个步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为),(y x ；（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；（4）用坐标y x 、表示这个等式，并化简；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明.例3 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点)2,0(A 的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程（补充）. 答案：)0(812≠=x x y [说明]一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.在本教材中证明不作要求，特殊情况要说明.因此上述五个步骤又可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；修正.例4 已知定点)0,4(A 和曲线122=+y x 上的动点B ，求线段AB 的中点P 的轨迹方程.（课本P34例5）[说明] 例题中用到的求轨迹方程的方法通常叫做“代入法”，这类求轨迹方程的问题的特点是：问题中一般含有两个（或两个以上）的相关联的动点，其中一个动点在已知曲线上运动，所以“代入法”又叫做相关点法.三、巩固练习课本P35练习12.1（2）第3、4题 四、课堂小结（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？（2）如何求曲线的方程？（求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x,y ）横纵坐标间的等量关系）（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价.各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？五、作业布置习题册P17-18 A 组 第4、5、6题； P19 B 组 第4题【教学反思】曲线方程的概念是解析几何的核心概念，也是基础概念，它既是直线与方程的自然延伸，又是学习圆锥曲线乃至其它平面曲线的理论基础，是解析几何中承上启下的关键章节.对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这是解析几何的基本思想.因此，解析几何面临两大基本问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程.（2）通过方程，研究平面曲线的性质.事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题.因此，在本节的教学中应该从直线方程概念和轨迹概念入手，通过简单的实例引出曲线的点集与方程的解集之间的对应关系，说明曲线与方程的对应关系.由于曲线方程的概念和求曲线方程的问题又有内在的逻辑顺序，所以教材安排先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线.在学习求曲线方程的方法时，应从具体实例出发，引导学生从曲线的几何条件，一步步地、自然而然地过渡到代数方程(曲线的方程)，这个过渡是一个从几何向代数不断转化的过程，在这个过程中提醒学生注意转化是否为等价的，这将决定第五步如何做.同时不要生硬地给出或总结出求解步骤，应在充分分析实例的基础上让学生自然地获得.曲线方程就是产生曲线的几何条件的一种表现形式，这个形式的特点是“含动点坐标的代数方程”.求曲线方程实质上就是求曲线上任意一点（x,y）横纵坐标间的等量关系.求曲线方程的问题是解析几何中一个基本的问题和长期的任务，不是一下子就彻底解决的，求解的方法是在不断的学习中掌握的，学习过程具有较强的探究性，因此，教学中要注意把握好“度”.所选例题和习题都不宜太难.同时，应注重思维过程的严谨性，无论是判断、证明，还是求解曲线的方程，都要紧扣曲线方程的概念，即始终以是否满足概念中的两条为准则.。
沪教版(上海)数学高二下册-13.6 实系数一元二次方程(1) 教案
13.6 实系数一元二次方程（1）一、教学内容分析本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善。
为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。
那么实系数一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac ∆=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究。
因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题。
二、教学目标1.理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；2.会在复数集中解实系数一元二次方程；3.会在复数范围内对二次三项式进行因式分解。
三、教学重点及难点重点：在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解； 难点：系数含字母的实系数一元二次方程根的讨论，培养学生分类讨论的数学思想。
四、教学过程设计（一）复习引入问题1：在初中，怎样解一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠？有哪几种方法？其中，求根公式是怎么表述的？你能推导吗？前提条件是什么？ 因为0a ≠，所以原方程可变形为2b c x x a a +=-， 配方得22()()22b b c x a a a +=-，即2224()24b b ac x a a-+=，当240b ac ∆=->时，原方程有两个不相等的实数根22b x a a =-±；当240bac ∆=-=时，原方程有两个相等的实数根2b x a =-； 当240b ac ∆=-<时，原方程没有实数根。
问题2：在复数集中，负实数a 的平方根是什么？ 问题3：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=？说明：问题1让学生明白初中时学的求根公式须满足0∆≥这一前提，从而自然引出0∆<的情况；问题2为后面实系数一元二次方程当0∆<时负数开平方作铺垫；问题3是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程。
沪教版高二下册数学高二下册教案抛物线及其标准方程
第二章圆锥曲线与方程2.2.1 抛物线及其标准方程一、复习与引入过程回忆平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，那么当e=1时，它又是什么曲线？二、简单实验如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．三、新课讲授过程（i）由上面的探究过程得出抛物线的定义《板书》平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.(ii) 抛物线标准方程的推导过程引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为2y；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为2x．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(iii)例题讲解与引申例1、(1)已知抛物线的标准方程是2y=6x，求它的焦点坐标和准线方程(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程解 (1)因为p=3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2,0）准线方程是x=-3/2(2)因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，且p/2=2，p=4，所以抛物线的标准方程是2x=-8y例2一种卫星接收天线的轴截面如图所示。
沪教版(上海)数学高二下册-11.4 《点到直线的距离公式》 教案
《点到直线的距离公式》案例摘要:本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算。
对本节的研究，既是两点间距离公式的继续,又为两条平行直线的距离的推导以及后面直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有承上启下的重要作用。
本文通过一个“求点到直线的距离”的问题，学生围绕这个问题，自主学习、合作探究、亲自尝试接受问题的挑战，充分展示自己的观点和见解，提高学生利用以学知识去主动获取知识的能力。
组织学生参与“提出问题——探索解决——实践练习——拓展升华——总结转新”的学习活动过程，利用多媒体演示、变式练习等激发学生的学习兴趣和求知欲望，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神，有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识能力。
关键词：点到直线的距离自学预习实践能力多媒体变式训练一、案例1.做好铺垫，知识准备，提出问题，诱发思考复习向量的数量积与直线的法向量之后师：同学们好，今天我们来学习《点到直线的距离》。
我们初中已经学过有关“点到直线的距离”的定义，哪位同学回答一下？生：“点到直线的距离”的定义：过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q 点，线段PQ 的长度叫做点P 到直线l 的距离．师：非常好，回答的很准确，请坐。
那么，如图，我们该如何求如何求点)1,2(0P 到直线10x y -+=的距离？同学们相互讨论一下，你将打算怎么办？（学生进入热烈的讨论中，几分钟后）2. 探索解决，分组探究。
师：大家有思路了么？哪位同学回答一下?生： 过P 作l PQ ⊥于Q 点，根据点斜式写出直线PQ 方程，由PQ 与l 联立方程组解得Q 点坐标，然后利用两点距离公式求得．①直线AB 的法向量（1，-1），带入点P ，求出直线PQ 的方程x+y-3=0②联立方程组求交点Q 的坐标（1，2）③最后计算PQ 的长：PQ=22(12)(21)-+- = 2。
沪教版高中数学高二下册教案教学设计汇编
沪教版高中数学高二下册教案目录课题4.4 对数的概念及运算（1）——对数的概念 (1)4.4（2）对数的运算 (6)4.4（3）对数的概念及运算—— (11)反函数 (20)4.6对数函数的图像与性质（1） (25)4.6对数函数的图像与性质 (31)4.6对数函数的图像与性质（1） (34)4.6对数函数 (44)反函数、指、对数函数 (47)基本初等函数 (53)数学：第4章《幂函数、指数函数和对数函数（下）》单元练习（2） (58)4.7简单的指数方程 (66)4.7 简单的指数方程 (68)4.8简单的对数方程 (74)4.8 简单的对数方程 (76)4.8 简单的对数方程 (78)课题4.4 对数的概念及运算（1）——对数的概念一、教学内容分析为了解决“已知底数和幂的值，求指数的问题”，我们引入了新的知识——对数。
本节课是对数问题的第一课时，考虑到学生在接受新知识时可能存在的疑惑，因此要在对数概念的形成上重点讲解，和学生共同经历由指数式提出对数概念的过程。
由于指对数之间存在着互相转化的关系，所以我们可以结合指数的性质特点考察对数中对于底数、真数以及对数的取值范围的要求。
二、教学目标设计1．理解对数的意义，掌握底数、真数、对数的允许值范围；2．掌握对数式与指数式的互化，理解对数式中的底数、真数、对数与指数式中底数、幂、指数之间的对应关系；3．知道特殊对数的表示方法，会利用计算器计算常用对数值；4. 经历由指数式提出对数概念的过程；5. 养成类比、转化的思维习惯；三、教学重点及难点对数式与指数式的互化四、教学用具准备多媒体课件五、教学流程设计六、教学过程设计 一、 情景引入假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长%8，那么经过多少年国民生产总值是2002年时的2倍？解：设经过x 年国民生产总值为2002年时的2倍，根据题意有a a x2%)81(=+，即208.1=x.问题：已知底数和幂的值，求指数？该如何描述？二、学习新课1．概念辨析：一般地，如果)1,0(≠>a a a 的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做底数，N 叫做真数。
沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程-直线 方程的应用 教案设计
课题：直线方程的应用一、教学目标1．认知目标⑴掌握直线方程的各种形式及其相关的知识点。
⑵综合运用直线方程解决有关的实际问题。
2．智能目标⑴通过多样化的题型，培养学生思维的灵活性。
⑵通过运用多个知识点和多种技能（如：在教学中渗透对称，建模等多种数学思想），使学生分析、综合的思维能力得到提高。
3．情感目标通过教师对课堂教学情境的创设和积极引导，提高学生对数学学习的兴趣，培养学生的数学意识，形成严谨求学，敢于创新的治学精神，提高学生的数学素养。
二、教学重点、难点1．重点：直线方程的应用2．难点：综合运用直线方程解决实际问题三、教学手段1．对教材作切合学生实际的处理，以设计有思考价值、有助于培养学生思维灵活的问题为先导。
2．以列举生活中的现象，创造让学生提问、思辨和解决问题的情境。
3．利用计算机进行辅助教学。
由于计算机的动态模拟可以把形与数有机地结合起来，把运动和变化有机地结合起来，因此，教学设计中采用多媒体教学手段，使学生对抽象、概括的数学公式原理从感性的角度去加深理解。
四、教学方法课堂教学过程中，减少传统的传授和操练法，教师以探索、尝试的情境创设体现引导作用，从而达到师生共同探求问题、解决问题的效果。
[教学过程]直线方程有多种形式，在解决各类问题时，应通过分析，根据不同的条件，确定解决问题的步骤，将一个较复杂的问题，逐步转化为若干个较简单的问题。
例1 当a 为何值时，三条直线l l ：x-3y=0；l 2：4x+3y-5=0；l 3：ax-3y-1=0不能构成三角形。
学生分析：三条直线如果两两相交于三个不同的交点，则能构成三角形。
因此， 如果三条直线不能构成三角形，则三条直线没有三个不同的交点， 即三条直线只有一个交点或三条直线中至少有两条平行或重合。
学生演算得出结论：当三条直线交于一点时，a=2；当l 1与l 3或l 2与l 3平行时， a=1或a=-4。
选例说明：本例是寻找直线满足某种几何特征条件的问题，实质是由“形”求 “数”，除了必须要用到数形结合的数学思想外，解题过程中还运用 了等价转换的数学思想。
沪教版高中数学高二下册：12.1(1) 曲线和方程 教案
12.1(1) 曲线与方程教学目标：1.理解曲线和方程的概念，能根据概念进行简单的判断和证明。
2.经历曲线的方程和方程的曲线概念的探索过程，体会数形结合的思想方法，发展数学思维能力。
教学重点: 理解曲线与方程的概念教学难点：对曲线的方程和方程的曲线间的对应关系的理解。
教学过程设计一、复习引入(1)直线l 经过点)1,0()0,1(B A 和-，写出直线l 的方程.(2)上面问题中的直线与方程之间有怎样的关系？说明：从直线和方程的关系入手，引导学生思考一般曲线和方程的关系。
二、概念探究1. 观察下列曲线和方程，思考曲线上点的坐标是否是方程的解？以方程的解为坐标的点是否在曲线上？（1（)1,0(),0,1(,B A AB -线段）（2）方程：0=-y x曲线： （第一象限的角平分线（包括原点））（3）方程：2x曲线： (到两坐标轴距离相等的点的轨迹)2. 一般地，如果有一条曲线C 和一个方程0),(=y x F ，当它们之间具备怎样的关系时方程0),(=y x F 可以表示曲线C ？3. 曲线的方程和方程的曲线的概念（略）说明：在具体的问题中体会曲线的方程和方程的曲线的定义需具备的两个条件，促进学生对概念的理解，引导学生尝试归纳出概念。
三、概念应用例1. 判断下列点是否在方程922=+y x 的曲线上 (1) )22,1(-M (2) )3,2(P (3) )sin 3,cos 3(θθM例2. (1) ??33为什么是不是的点所组成的直线方程轴的距离等于到=y x(2) 曲线C(如图，以原点为圆心，半径为1的圆在x 轴上方的部分）的方程是不是122=+y x ？为什么？例3. 求证：以点)0,1(A 为圆心, 半径为1的圆的方程是0222=-+x y x . 说明：运用概念解决问题，进一步加深对概念的理解。
四、反馈练习：._____________052),1(.12==-+a y xy x a P 上，则在曲线若点 所表示的曲线出方程在平面直角坐标系中画0.2=-y x3. 到直线x=3的距离等于2的点所组成的直线的方程是x=5吗？为什么？4. 以原点为圆心，半径为1的圆的方程是21x y -=吗？为什么？五、课堂小结1数学知识：曲线方程的概念2数学思想: 数形结合3.研究方法: 特殊 —— 一般说明：教师引导学生从数学知识、思想方法、研究方法三个方面进行回顾和总结，让学生提高认识，理解数学。
沪教版高中数学高二下册-第十二章12.3 椭圆的标准方程 教案
§12.3 椭圆的标准方程教学内容分析《椭圆的标准方程》的重点是椭圆的概念，只要结合图形，抓住概念中的关键句“距离之和等于常数（大于两定点的距离）”，理解它并不困难。
结合“距离之和等于常数（等于两定点的距离）”，“距离之和等于常数（小于两定点的距离）”来研究图形，加强对概念的理解。
本小节的难点是椭圆标准方程的推导，在推导过程中应注意以下两点：1、所谓“标准”的两层含义①椭圆的两个焦点均在坐标轴上，②这两个焦点的中点（即中心）与原点重合，也就是说椭圆的标准方程是椭圆在最有利于问题解决的特殊位置的直角坐标系中的方程。
2、化简方程时，应注意两次平方时的等价性。
学情分析及教学设计思路《椭圆的标准方程》是学生学习了直线和圆有关知识后学习的第二种圆锥曲线，因此这一节的教学既可以是对前面所学知识情况进行检查，又为以后进一步学习其它两种圆锥曲线打好基础，所以学好本节课内容具有承上启下的重要意义。
在教学中采用实验探索法，讲授发现法等教学法，具体做法如下：（1）通过图形由圆变化到椭圆的过程中蕴含着运动变化的思想，由学生通过观察、实践、猜想，从而使学生参与知识的获取、抽象、归纳的全过程，得到了椭圆的定义及其应注意条件，提高学生的综合分析能力。
（2）由动手画图和几何画板演示两个直观的感受出发，问题思考→研究讨论→点拔引导→抽象概括，推导椭圆标准方程。
教师边演示边提出问题，充分调动学生学习自主性和积极性，并从中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦。
说明：本节课容量很大，有学生探究和体验推导，耗时会很长，所以时间把控会很难。
教学目标（一）知识与技能1、理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念；2、经历椭圆标准方程的推导过程；3、掌握椭圆的标准方程及a、b、c之间的关系，能根据条件解决一些简单的求椭圆方程问题。
（二）过程与方法经历椭圆的形成过程，提高观察和归纳问题的能力；通过椭圆标准方程的推导，体会数学的求简意识及分类讨论的思想方法。
沪教版(上海)数学高二下册-11.2 直线的斜率 教案
直线的斜率一、教材分析解析几何是数学的一个重要分支，它联系了数学中的数和形。
在数学中，数和形是两个重要的知识，它们关系密切，甚至在一定条件下，可以相互转化，可以灵活运用。
平面解析几何研究的问题就是借助坐标系，把几何问题代数化，用代数的知识去解决几何问题。
本节主讲的内容是位于普通高中课程标准实验教科书数学人教版A版必修二第三章第一节。
在这一节，把数和形结合起来，研究直线的倾斜角和斜率，使内容更直观形象，同时也使这一节的几何内容得到更好的代数表示。
为后续内容的学习更好地做准备。
二、学情分析学生对直线已有一定的认识，但平面几何知识用代数知识研究和代数知识用平面几何知识来呈现还存在很大的难度。
在初中，已知道两点可以确定一条直线，这节的知识将在初中知识的基础上补充和升华。
二、教学目标1、知识技能：(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念；(2)掌握由直线的倾斜角求斜率公式及应用；(3)掌握过两点的直线的斜率公式及应用。
2、过程与方法：（1）培养学生的观察，理解，应用及转化能力；（2）使学生尝试并初步应用数形结合、分类讨论的数学思想方法。
3、情感、态度、与价值观：（1）通过对直线倾斜角和斜率的学习，体验用代数知识描述直线倾斜程度的过程；（2）通过小组合作，培养学生观察、联系、对应、讨论、转化的思维；（3）激发学生对数学的感情。
三、教学重难点重点：直线的倾斜角和斜率的概念，直线的斜率公式。
难点：斜率概念的学习，直线上两点坐标求斜率公式的推导。
四、学法与教法：（1）本节采用的是问题式导学、学生动手操作、积极观察、小组讨论的教学方法。
（2）教学用具：多媒体，直尺。
五、教学基本流程：引出课题--------自主探究--------师生互动--------小组合作探究讨论--------知识应用（闯关练习）----------回顾总结六、教学设计过程：（一）引出课题让学生过坐标系中的一个定点画直线，引出课题---------直线的倾斜角与斜率（二）自主思考，探究，教师引导，获得知识探究一：在平面直角坐标系中，一条直线的位置可以由一个点和什么确定？设计意图：知识的获取来自疑问的产生，教师提出问题，激发学生的思考，同时给于恰当的引导。
沪教版(上海)高中数学高二第二学期第十二章12.4 椭圆的几何方程教案
椭圆的几何性质【教学内容解析】1.平面解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”概念，并借助坐标在平面上的点和有序数对（x,y）之间建立一一对应的关系.于是，平面上的一条曲线就可以由带两个变量的一个代数方程来表示.这样，我们就可以利用方程来研究几何2.圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的核心内容，也是一类重要的数学模型，其研究方法充分体现了解析几何的基本思想，在天文、物理等其它学科技术领域中占有重要地位，在生产或生活实际中有着大量应用.3.椭圆的几何性质是在学生学习了椭圆的定义和标准方程之后，第一次真正意义上感受解析几何的基本思想——从方程出发研究椭圆的几何性质.是继必修二第二章《平面解析几何初步》之后，进一步渗透并应用这种思想，是后续学习双曲线、抛物线的知识铺垫、能力基础和方法指导，是数形结合的数学思想方法的典范，也是进一步完善学生的知识结构、深化数学思想方法、提升多种数学素养的重要载体. 在本章中起着承上启下、完善建构、形成范例的作用.4.能根据椭圆的标准方程获得椭圆的几何性质，发现椭圆方程与椭圆几何性质的关系，揭示椭圆几何性质的形成过程是本节课的教学重点.【教学目标设置】1．能根据椭圆方程初步理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质；能解释椭圆标准方程中,,a b c的几何意义；2．在探究椭圆性质的活动中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型；3．在这过程中，进一步感受数形结合、函数与方程、类比归纳等数学思想方法的丰富内涵.4. 树立严谨求实的理性精神，获得自主探究的成功和喜悦，提高数学学习兴趣.【学生学情分析】（1）学生已有的认知基础本节课的授课对象是四星级高中高二年级的学生，已经知道了直线和圆的相关知识、椭圆的定义和标准方程；理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用，初步感知了解析几何的基本任务，具有一定的图形分析和代数推理能力.同时在函数和不等式的学习过程中已经积累了利用等量关系寻找不等关系、图像的对称性等研究函数性质的基本经验.这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备.（2）达成目标所需要的认知基础要达成本节课的目标，这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺，但这毕竟是他们第一次利用代数方程研究曲线的几何性质，经验缺乏，研究目标不明确，抽象建立离心率模型的素养不够.所以还需要具备观察、概括、抽象、推理等能力，能运用数形结合、类比归纳等数学思想，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.（3）教学难点与突破策略基于达成目标的认知困难，本节课的教学难点是：1.发现和揭示椭圆方程与椭圆几何性质的关系，搭建“数”与“形”的桥梁；2.椭圆离心率的发现与探究,突破“定性”到“定量”的转化；突破难点的相应策略如下：1.通过画图、辨图，不断制造认知冲突，从解决问题需要出发，建立学生通过曲线方程研究几何性质的直接经验；2.引导学生经过操作确认、思辨论证的过程初步建立ba与椭圆圆扁程度的对应关系，再利用ba与ca的等量关系，建立离心率的模型，并结合几何画板动态演示，丰富学生的直观感悟与经历；3.发动学生通过问题串进行交流、汇报，展示思维过程，相互启发.【教学策略分析】1.精心设置问题系列自然驱动从明确解析几何的基本任务入手，精心设置问题串，引导学生操作、观察、比较、猜想、推理，解构教材，学习知识，形成能力，发展认识.2.充分开展学生活动自主探究站在学生的角度，从学生已有的认知出发，给学生提供了课堂参与的机会和自我领悟的空间，让学生在动手操作、观察比较、类比辨析、交流合作中理解知识，掌握研究方法.3.适时提炼思想方法自觉升华在利用方程探究几何性质的过程中，教师在适当的时候对过程方法实时总结或迁移，由形到数，再以数释形，数形结合始终贯穿其中并逐层递进，帮助学生在交流和反思中领悟数学思想方法在数学学习中的指导作用.【教学过程分析】引言：美国数学教育家莫里斯·克莱茵说：解析几何彻底改变了数学的研究方法，即通过坐标系，把几何问题代数化.而建立曲线方程，便是代数化的手段之一.前面两节课，利用椭圆的定义（是什么？），我们画出了椭圆的形状，推导出了椭圆的标准方程（是什么？）.【学生活动】回忆、思考、口答.【设计意图】通过复习回顾，激活作为本节课逻辑起点的基础知识；通过对解析几何本质的揭示，初步明确本节课的研究内容.一、情境引入，明确方向问题1除了利用定义，你能根据椭圆方程2212516x y+=画出它的简图吗？【学生活动】学生在坐标纸上尝试画出椭圆，展台展示学生的作品，引导学生欣赏，点评，交流.【设计意图】中学数学教育的首要任务是培养数学直观.通过画图辨图，与学生已有的椭圆印象对比，让学生发现问题，进而关注椭圆的一些重要特性，从而明确研究椭圆几何性质的主要内容；通过“为什么”的追问，自然引导学生从方程本身的角度去考虑，从而明确研究的主要方法. 二、问题驱动 合作探究问题2 一般地，以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例，你准备研究它的哪些性质？如何研究？【学生活动】学生自主探究，感知“几何性质”研究的方向和方法，得出结论，说明理由.探究1：我们能否从椭圆方程本身来探讨椭圆的范围呢？ 方法提炼：通过观察方程形式特点，由方程构造不等式，体现了研究几何问题的“代数”方法，其实质是：已知22221(0)x y a b a b+=>>，求y x ,的取值范围.探究2：椭圆具有怎样的对称性？能否用代数法说明？ 方法提炼： 图形对称的本质是点的对称：对于曲线上任意一点(,) (,)y P x y P x y '−−−→-轴也在曲线上⇒图形关于y 轴对称. 探究3：研究曲线上的某些关键点，可以确定曲线的位置和变化趋势.你觉得该椭圆上会有哪些关键点？方法提炼：分析四点的特性，形成顶点的概念.顶点是曲线与对称轴的交点，而不是曲线与坐标轴的交点.类比迁移二次函数图像的顶点.二次函数2(2)1y x =--【设计意图】自主思考，相互交流，探究结论.教师适当点拨引导，深化认识.范围和对称性的探究，经历了由直观（图形）、推理（数量）、抽象（性质）的思维过程；顶点概念的建立，则是先直观、后类比、再建模，体现了研究问题的方法论思想.例1：椭圆221259x y+=的长轴长为_______，短轴长为_________，顶点坐标是__________，_________.【学生活动】准确计算，熟练回答.【设计意图】由方程得性质，体现了本节课重要知识点和研究方法的基本应用，以及练习的反馈和诊断功能.探究4请在刚才的坐标纸上较精确地画出第二个椭圆221 259x y+=.【学生活动】列表描点，结合性质，精画椭圆.【设计意图】再画椭圆，让学生体验利用性质画图的必要性和有效性，另一方面也是离心率概念形成的自然过渡.问题3 观察所画椭圆2212516x y+=和221259x y+=，它们在形状上有什么显著不同？问题3.1 这两个椭圆的圆扁不同是由方程中的哪个量的变化引起的？问题3.2 你能说出两个比221259x y+=更“扁”的椭圆吗？问题3.3 是不是方程中的,a b都改变，椭圆的圆扁程度一定发生变化？问题3.4 你认为可以用怎样的一个关系式来定量刻画椭圆的“圆”和“扁”？问题3.5 利用基本量,,a b c之间的关系，还有其他类似的关系式来刻画吗？借助几何画板演示一系列动态变化的椭圆，提供直观支持.【学生活动】直观观察，小组讨论，合作交流，形成结论：离心率的定义、范围、大小对圆扁程度的影响.经历了形状变化（观察）、原因剖析（推理）、数学刻画（对应）、建立模型（抽象）的思维活动过程.并在探究过程中阐明以下事实：（Ⅰ）可行性：用比值ca和ba都可以刻画椭圆“圆扁”程度；离心率形同的椭圆均相似.（Ⅱ）一致性：c a =； （Ⅲ）选择性：与椭圆定义相对应；后面研究圆锥曲线统一定义的背景. 【设计意图】明确开放的问题，使学生体会到引入离心率的目的；由b a 到ca符合学生的认知特点；教师利用几何画板动态演示，使学生对离心率刻画椭圆的圆扁程度的理解更为形象直观.整个探究过程体现了实物直观、数学抽象、建立模型、形成概念的核心素养. 三、引导建构 完善认知问题4 请你写出焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，并完成下列表格.【学生活动】类比研究椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的方向、方法，自主归纳出了焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，并体会到椭圆图形本身的性质与坐标系的选择无关.【设计意图】通过填表，一方面让学生有条理地梳理、巩固刚学过得椭圆的几何性质，将离散的知识系统化，便于对比理解；另一方面，通过类比已有知识和方法，归纳得出焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，发展了学生的思维能力. 四、典例剖析，深化理解例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1） 经过点(3,0)P -，(0,2)Q -； （2）长轴长为4，离心率为2；【学生活动】学生口答（1），教师板演，强调书写的逻辑性和规范性；学生板演（2），加深对椭圆几何性质的应用和理解.【设计意图】由性质求方程，让学生进一步体会曲线与方程之间的关系，“形”与“数”的关系．五、总结提升 形成体系结合所学知识和知识的探究过程谈谈本节课你有什么收获？ （1）知识：椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率； （2（3）思想：数形结合、特殊到一般、类比归纳等. （4）经验：研究圆锥曲线性质的一般方法经验. 六、目标检测 及时反馈1. 椭圆22132y x +=的范围是_______________，顶点坐标为______________， 离心率为___________.2. 已知椭圆的长轴长为，焦距为，则该椭圆的标准方程为___________.3. 椭圆2212x y +=与22143x y +=哪一个更“扁”一些？ 4. 试判断曲线2222=+-y xy x 的对称性.课后作业：1．阅读课本，完整体验利用椭圆方程研究几何性质的思想方法； 2．必做题：课本P37 习题2.2（2）1,2,4,5,8；3．选做题：已知)0(12222>>=+b a by a x ，求22y x +的最大值，并解释该结论的几何意义.。
沪教版高中数学高二下册第十二章12.1.1 曲线和方程 教案
12.1.1 曲线和方程【知识再现】1.一般地，如果曲线C 与方程(,)0F x y =之间有以下两个关系：(书P31)① ； ② .就把方程(),0F x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(),0F x y =的曲线.2.借助于 方法研究平面上图形性质的学科称为平面解析几何.3.求曲线的方程，一般的五个步骤为：建系、设点、列式、化简和证明，请根据书P34，写出列式与化简的详细内容：；.【基础训练】1.已知动点C 到点(2,0)A 的距离是它到点(8,0)B 的距离的一半，则点C 的轨迹方程是 . (所得方程要求化简，下同)2.(1)下列各组方程中表示相同曲线的是( ) A. x y =与33x y = B. 2lg x y =与x y lg 2= C. x y =与2x y =D. 022=+y x 与0=xyA.B. (3)画出下列方程的曲线的图像.① 220x y -= ② 22230x xy y +-=3.判断下列轨迹方程是否正确，如果不正确，请写出正确的轨迹方程：(1)到原点距离等于3的动点的轨迹方程是y =， .(2)已知等腰三角形底边的两个端点的坐标分别是(4,2),(2,0)B C -，则第三个顶点A 的轨迹方程是340x y +-=， .4.“曲线C 的方程不是(,)0F x y =”，那么下列正确的判断是( )A.曲线C 上所有点的坐标都不满足方程(,)0F x y =；B.曲线C 上至少有一个点的坐标不满足方程(,)0F x y =；C.方程(,)0F x y =的所有解中，至少有一个解所表示的点不在曲线C 上；D.曲线C 上点的坐标可能都满足方程(,)0F x y =. x y O x y O5.已知,A B 两点的坐标是(1,0),(1,0)-，异于,A B 两点的动点M 满足MA MB ⊥，求动点M 的轨迹方程.6.已知定点(2,4),(2,4)A B -，异于,A B 两点的动点P 与,A B 两点连线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，且124k k =+，求点P 的轨迹方程.7.(1)定长为4的线段AB 两端分别在两条互相垂直的直线上滑动，求AB 的中点M 的轨迹方程.(2)已知两个定点,A B 的距离为6，动点M 满足条件21MA MB ⋅=-u u u r u u u r ，求点M 的轨迹方程.【巩固提高】8.若点P 到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，求点P 的轨迹方程.【知识再现答案】1.曲线C 上点的坐标都是方程(,)0F x y =的解；以方程(,)0F x y =解为坐标的点都在曲线C 上.2.平面坐标系用代数3.写出曲线上的点满足的等式；用坐标,x y 表示这个等式(方程)，列出方程并化简.【习题答案】1.2216x y +=2.(1)C;(2)C;(3)如右图3.(1)错，229x y +=；(2)错，340(1)x y x +-=≠4.D5.221(1)x y x +=≠±6.20,(2)x y x -=≠±7.(1)以这两条直线为坐标轴建立坐标系，224x y +=(2)以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，2222170x y +-= 8.216y x =1|(5)||5|1x x =--=+-当4x ≥-22224(4)(4)16x x y x y x =+⇔-+=+⇔=；当6x ≤-22226(4)(6)2020x x y x y x =--⇔-+=--⇔=+. 显然方程22020,6y x x =+≤-的解集是空集，因此轨迹方程为216y x =(注：4x ≥-写了没用，可以略去) x y O。
沪教版高中数学高二下册 -11.1(1) 直线的方程 教案设计
11．1 直线方程教学目标设计知识与技能：理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；过程与方法：加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；情感态度价值观：体验探究新事物的过程，树立学好数学的信心.教学重点及难点直线的方程的概念、直线的点方向式方程；理解直线方程以及点方向式方程的推导.教学过程设计一、解析几何发展史解析几何的主要思想：用坐标表示点，用方程表示曲线，把几何图形代数化，并能够参与代数运算.二、讲授新课（一）直线方程定义：对于坐标平面内的一条直线l，如果存在一个方程(,)0f x y=，满足（1）直线l上的点的坐标(,)f x y=；（2）以方程(,)0f x y=的x y都满足方程(,)0解(,)f x y=叫做直线l的方程.x y为坐标的点都在直线l上.那么我们把方程(,)0从上述定义可见，满足（1）、（2），直线l上的点的集合与方程(,)0f x y=的解的集合就建立了对应关系，点与其坐标之间的一一对应关系.（二）点方向式方程1、概念引入在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个不重合的点（不重合的两点确定一条直线），又如一个点和一个平行方向（原因是过已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条）等等.我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程.若此方程满足直线方程定义中的（1）、（2），就找到了直线的方程.2、概念形成1）直线的点方向式方程的定义在平面上过一已知点P ，且与某一方向平行的直线l 是惟一确定的，我们在直角坐标平面中求该直线的方程． 2）直线的点方向式方程的推导建立平面直角坐标系，设P 的坐标是00(,)x y ，方向用非零向量(,)d u v =r表示. 设直线l 上任意一点Q 的坐标为(,)x y ，由直线平行于非零向量d r ，故//PQ d u u u r r .根据//PQ d u u u r r的充要条件，得00()()v x x u y y -=-①；反之，若11(,)x y 为方程①的任意一解，即1010()()v x x u y y -=-，记11(,)x y 为坐标的点为1Q ，可知1//PQ d u u u u r r，即1Q 在直线l 上.综上，根据直线方程的定义知，方程①是直线l 的方程.当00u v ≠≠且时，方程①可化为00x x y y u v--=②.值得注意的是：方程②不能表示过00(,)P x y 且与坐标轴垂直的直线．事实上当0u =时0v ≠，方程①可化为00x x -=③，表示过00(,)P x y 且与x 轴垂直的直线；当0v =时0u ≠，方程①可化为00y y -=④，表示过00(,)P x y 且与y 轴垂直的直线.我们把方程00x x y y u v--=叫做直线l 的点方向式方程，非零向量d r 叫做直线l 的方向向量.3、概念深化从上面的推导看，方向向量d r是不唯一的，与直线平行的非零向量都可以作为方向向量.由点方向式易得，过不同的两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线的方程是0))(())((112112=-----y y x x x x y y .4、例题解析例1、观察下列直线方程，并指出各直线必过的点和它的一个方向向量. ①4533+=-y x ; ② ()()6744-=--y x ; ③1=x ; ④2-=y .解 ①经过点()5,3-，它的一个方向向量是()4,3=→d ；②化简得到：4674--=-y x ，从中可见该直线经过点()6,4，一个方向向量是()4,7-=→d ；③经过点()0,1，它的一个方向向量是()1,0=→d ； ④经过点()2,1-，它的一个方向向量是()1,0d →=．[说明]通过直线的点方向式方程，可以判断一条直线经过的一个点和它的方向向量.例2、已知点()()1364--，，，B A 和()54-，C ，求经过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程？ 解：()4,7-=→--BC ，所以过点A 且与BC 平行的直线l 的点方向式方程是4674--=-y x ． 变式1：求经过点B 、C 两点的直线l 的点方向式方程.解： ()4,7-=→--BC ，4173-+=+y x ． 思考：有没有别的表达方式？4574-+=-y x 是否一样呢 ？ 不妨化简，得到的都是：01974=++y x变式2：在ABC ∆中，求平行于BC 边的中位线MN 所在直线的点方向方程.解： AB 的中点为⎪⎭⎫ ⎝⎛25,21M ，AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛21,4N ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=→---2,27MN ，所以MN 所在直线的点方向方程是2252721--=-y x ． [说明]这些题目的解法关键在于找点和方向向量！ 三、巩固练习：练习11.1（1） 四、课堂小结 五、课后作业。
高二数学下册(合情推理)教案 沪教版 教案
某某省桃江县第一中学高二数学下册《合情推理》教案沪教版一．教材分析1．教材的地位和作用推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系，但是作为一章内容出现在高中数学教材某某属首次。
《推理与证明》是新课标教材的亮点之一，本章内容将归纳与推理的一般方法进行了必要的总结和归纳，同时也对后继知识的学习起到引领的作用.教材的设计还原了数学的本源、本质，是对“观察发现、归纳类比、抽象概括、演绎证明”等数学思维方法的总结与归纳，使已学过的数学知识和思想方法系统化、明晰化，操作化.紧密地结合了已学过的数学实例和生活实例，避免空泛地讲数学思想方法，以变分散为集中，变隐性为显性的方式学习了推理和证明，是知识、方法、思维和情感的融合与促进，能让学生充分体会数学的发生、发展.2．课时划分《合情推理》的教学分两个课时完成：第一课时内容为归纳推理;第二课时内容为类比推理.二、教学目标1．知识技能目标理解归纳推理的概念，了解归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进行一些简单的归纳推理.2．过程方法目标学生通过积极主动地参与课堂活动，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义;通过欣赏一些伟大猜想的产生过程，体会并认识利用归纳推理能猜测和发现一些新事实、得出新结论的作用并明确归纳推理的一般步骤；通过具体解题，感受归纳推理探索和提供解决问题的思路和方向的作用；通过自主学习归纳推理的一般方法，建构归纳推理的思维方式.3．情感态度，价值观目标学生通过主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强了数学应用意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度.三、教学重点、难点重点：归纳推理的含义与作用难点：利用归纳法进行简单的合情推理四、教法与教具选择教学方法：启发发现法、课堂讨论法。
教具：多媒体、黑板、圆规、三角板。
理论根据：启发发现法就是利用归纳法基本步骤开展教学，即在教学过程中利用合适的资源启发学生主动自我发现，自我猜想，自我归纳.因为学生拥有自己的知识、经验、灵感，是主动和富有创造性的，所以采用启发发现法，往往能使学生在课堂活动中表现出浓厚的学习兴趣.而学生之间的讨论，师生之间的讨论不仅能培养学生的合作团队意识，对于发现新结论也是非常重要的，因此在教学过程中要倡导学生参与到课堂活动中来，形成生生互动，师生互动的局面。
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沪教版高中数学高二下册教案目录课题4.4 对数的概念及运算（1）——对数的概念 (1)4.4（2）对数的运算 (6)4.4（3）对数的概念及运算—— (11)反函数 (20)4.6对数函数的图像与性质（1） (25)4.6对数函数的图像与性质 (31)4.6对数函数的图像与性质（1） (34)4.6对数函数 (44)反函数、指、对数函数 (47)基本初等函数 (53)数学：第4章《幂函数、指数函数和对数函数（下）》单元练习（2） (58)4.7简单的指数方程 (66)4.7 简单的指数方程 (68)4.8简单的对数方程 (74)4.8 简单的对数方程 (76)4.8 简单的对数方程 (78)课题4.4 对数的概念及运算（1）——对数的概念一、教学内容分析为了解决“已知底数和幂的值，求指数的问题”，我们引入了新的知识——对数。
本节课是对数问题的第一课时，考虑到学生在接受新知识时可能存在的疑惑，因此要在对数概念的形成上重点讲解，和学生共同经历由指数式提出对数概念的过程。
由于指对数之间存在着互相转化的关系，所以我们可以结合指数的性质特点考察对数中对于底数、真数以及对数的取值范围的要求。
二、教学目标设计1．理解对数的意义，掌握底数、真数、对数的允许值范围；2．掌握对数式与指数式的互化，理解对数式中的底数、真数、对数与指数式中底数、幂、指数之间的对应关系；3．知道特殊对数的表示方法，会利用计算器计算常用对数值；4. 经历由指数式提出对数概念的过程；5. 养成类比、转化的思维习惯；三、教学重点及难点对数式与指数式的互化四、教学用具准备多媒体课件五、教学流程设计六、教学过程设计 一、 情景引入假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长%8，那么经过多少年国民生产总值是2002年时的2倍？解：设经过x 年国民生产总值为2002年时的2倍， 根据题意有a a x 2%)81(=+，即208.1=x.问题：已知底数和幂的值，求指数？该如何描述？二、学习新课1．概念辨析：一般地，如果)1,0(≠>a a a 的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做底数，N 叫做真数。
[说明]结合指数的性质特点，以及指对数之间的互化关系发现：N a b = ⇔ b N a =log （R b N a a ∈>≠>,0,1,0）（1）对数的底数必须大于0且不等于1；（2）对数的真数必须大于0，也即负数与0没有对数；（3）对数的值可以为一切实数，也即对数值可正、可负、可为零；（4）通常以10为底的对数，叫做常用对数。
为了简便，N 的常用对数N 10log ，简记作N lg ； （5）将以无理数 7182.2=e 为底的对数叫做自然对数。
为了简便，N 的自然对数N e log 简记作N ln2．例题分析例1、将下列指数式化为对数式 ① 62554=； ② 32125=-； ③813=a； ④73.5)31(=m例2、将下列对数式化为指数式： ① 416log 21-=； ② 71281log 2-=； ③ 201.0log 10-=； ④ 303.210ln =；例3、求下列各式的值：① 49log 7；② 21log 8； ③ 1log a （1,0≠>a a ）；④ 243log 271； ⑤ a a log （1,0≠>a a ）；3．问题拓展问题1、（1）用计算器计算下列各数的值（结果精确到0.01）24.5lg lg 348 lg 0.02 lg 82lg 2.83 lg 0.3（2）猜想真数为何值时，对数为正或者为负； （3）用指数函数的性质解释你的结论. [说明]1．通过本例养成观察、思考的习惯；锻炼归纳问题的能力。
2．你能否模仿此例研究自然对数，从而得到你的结论？问题2、证明：N a Na =log （0,1,0>≠>N a a ）,并利用结论求出下列各式的值：① 2log 1010； ② 4log 133+； ③ 15log 322-； ④ 2log 32327+；⑤ Nb b a a log log ⋅（0,1,0,1,0>≠>≠>N b b a a ）三、巩固练习1．把下列指数式写成对数式： （1）325=； （2）6414=-x； （3）x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-323； （4）10=π；2．把下列对数式写成指数式： （1）24log 2=；（2）3001.0lg -=；（3）1log 1-=e e（4）x e =3ln ；（5）31log =x a （1,0≠>a a ）；3．利用计算器求值探索规律，并用指数函数性质解释你的结论： （1）2.1lg ；（2）lg 23.8； （3）54.0lg ； （4）lg 10； （5）lg 108四、课堂小结1.对数的基本概念、自然对数、常用对数； 2．指数式与对数式的互相转化。
五、作业布置练习册4.4（A ）组：1、2、3七、教学设计说明1．本节课是对数问题的第一课时。
考虑到学生在学习对数概念时可能遇到的“理解难、认知难、记忆难”等问题，因此在教学过程中选择从解指数方程，也即“已知底数和幂的值求指数”这一角度入手，与学生共同经历从指数式转化成对数式的过程，期望通过实践加深学生对于对数产生的认识，使学生体会到学习对数的实际意义。
2．在处理指、对数式之间的转化时，从一个具体的指数方程208.1=xx =⇔2log 08.1出发推广到一般的形式N a b =b N a =⇔log ，结合指数函数的性质，由学生自己归纳出对数式b N a =log 中各字母的含义与其取值范围的要求。
籍此过程中，将定义中的难点加以分散从而为下面让学生熟练应用指对数式之间的转化打下坚实的基础，并锻炼了学生的概括能力。
整个过程，让学生经历了由特殊——一般——特殊的思维过程。
3．在学生掌握指对数式之间的转化后。
利用计算器计算常用对数值并从中探索规律，结合指数函数的性质解释所得结论，调动学生参与讨论的积极性，锻炼学生的分析问题能力，树立学生类比的数学思想，并且为下一阶段对数函数的学习了打下基础。
4.4（2）对数的运算一、教学内容分析对数这一内容本身就是学生第一次学习，因而掌握对数的运算非常重要.一方面，对数的运算要为后面学习对数函数以及对数的方程起到铺垫的作用；另一方面，对数的运算和实数的运算有很大的区别.所以为了加深学生对运算性质的记忆和理解，主要采用让学生自己发现性质的方法，并进一步判断辨别容易出错的问题.这一部分里证明性质时强调了与指数运算的结合，为后面讲解反函数作铺垫.当然在这个内容中运算法则的熟练运用尤为重要，因而需要学生进行较多的练习强化，理解记忆也是必要的，这是这部分内容的重点.二、教学目标设计（1）掌握对数的运算性质及其证明；（2）学会利用对数的运算性质求对数式的值；（3）体会数学知识在自然现象中的应用.三、教学重点及难点掌握对数的运算法则及用对数的运算法则进行简单的计算，并能解决简单的实际问题.四、教学用具准备多媒体课件五、教学流程设计六、教学过程设计一、 情景引入 1．观察完成下表，观察结果：M N10log ()MN 10log M N1010log log M N + 1010log log M N -2001 1449 2008 3.2 2.36 10.89 0.076.82．思考猜测：log ()log log a a a MN M N =+； log log log aa a MM N N=-； 3．讨论等式中各字母的范围：0a >且1a ≠；0M >；0N >； 是否对所有的数都成立？ 二、学习新课1．运算性质1）log ()log log a aa MN M N =+（0a >且1a ≠；0M >；0N >）2）log log log aa a MM N N=-（0a >且1a ≠；0M >；0N >） 在猜测的基础上，能否再给出一些特例？ 提示：当M N =时，得到：2log log log 2log a a a a M M M M =+=推广：log log log log k aa a a M M N k M =++= k N ∈；再设问：推广中，k 的范围能否再拓展一些？3）log log na a Mn M =（0a >且1a ≠；0M >）证明：对数由指数而来，回归思想； 2．例题分析例1：判断下列各式是否成立，如果成立，请给出证明；若不成立，请给出反例.（0a >且1a ≠；0M >；0N >）① N M N M a a a log log )(log +=+； ② N M MN a a a log log )(log ⋅=； ③ NMN M a a a log log )(log =-；④ k a k a M M )(log log =； 例2：计算：① 01.0lg ；② 42log (2；③ 5lg 2lg +；④ 3332726log log log 535+-；⑤ 142log 2112log 487log 222--+； ⑥ 25lg 50lg 2lg )2(lg 2+⋅+例3：已知m a =18log ，n a =24log ，（0a >且1a ≠），求5.1log a ？ 3．问题拓展科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级量度r 可定义为2lg 23r I =+，试比较6.9级和7.8级地震的相对能量的比值.（精确到个位）[说明]让学生初步了解对数的运算在实际问题中的简单应用，并能知道地震级数的差异是地震能量指数之间的差异，不是地震能量本身的差异.三、巩固练习 计算：（1）lg14-21g18lg 7lg 37-+； （2）9lg 243lg ； （3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+．四、课堂小结 运算性质1）log ()log log a aa MN M N =+（0a >且1a ≠；0M >；0N >）2）log log log aa a MM N N=-（0a >且1a ≠；0M >；0N >） 3）log log na a M n M =（0a >且1a ≠；0M >）五、作业布置书后练习1、2、3、4做在书上，5做在练习本上.练习册第1页第4、5题做在练习本上.七、教学设计说明1、本节课设计用具体的计算引入，形象直观，便于学生自己发现对数的运算性质，培养了学生自己观察归纳的能力.2、本节课设计从指数与对数的关系及指数的运算法则入手，让学生从联系的观点出发，探究对数的运算法则，注重了知识的整体建构.3、在巩固对数的运算法则时，设计了一些实际问题，纠正学生初学时容易产生的一些错误，（而产生这些错误的主要原因就是将积、商、幂的对数与对数的积、商、幂混淆了）加深了学生的认识.4、本设计给学生创设了大量的尝试、思考、交流、讨论、表述的机会，有利于学生创造思维的培养；注重了类比、归纳思想的渗透.5、结合实际的地震能量的问题，让学生了解对数的运算性质在实际问题中的简单应用，并借此对学生进行生命安全教育.4.4（3）对数的概念及运算——换底公式二、教学内容分析为了解决不同底数的对数式之间的运算，引入了换底公式.本节课是对数的第三课时，考虑到学生已经具备了对数的概念以及在底数相同情况下的对数式运算，因此要在将对数不同底数转化为相同底数的运算上重点讲解，和学生共同经历由不同底数转化到相同底数的过程.二、教学目标设计1．掌握换底公式及其应用；2．形成归纳、猜想的能力.三、教学重点及难点重点：换底公式及其应用；难点：应用换底公式求对数值和证明对数恒等式.四、教学用具准备多媒体课件五、教学流程设计六、教学过程设计 一、 情景引入1．利用计算器，计算5lg 、24lg 、4log 06.1； 问题：已知常用对数，当底数不为10时，该如何求解？ 2．已知a =3log 2，b =7log 3，试用a 、b 表示56log 42；问题：对数运算注重同底，现在底数不统一，如何解决？解决问题的关键是什么？ 二、学习新课引入：如何求解206.1=x中的x ? 分析：206.1=x⇒ 2log 06.1=x ；206.1=x ⇒ 2log 06.1log 1010=x ⇒ 2log 06.1log 1010=⋅x⇒06.1log 2log 1010=x ；∴06.1log 2log 2log 101006.1=猜测：bNN a a b log log log = （0a >且1a ≠，0>b 且1≠b ，0>N ）证明：（略）特例：a N =时，bb a a a a a b log 1log log log ==； b b a a log log αββα=； 2．例题分析例1：计算下列各式的值：① 32log 3log 94⋅； ② 6log 18log )3(log 2626+；③3log 13log 15.132+； ④ 10log 5lg 10log 2lg 550+； 例2：已知a =3log 2，b =7log 3，试用a 、b 表示56log 42.（31ab a ab+++）例3：已知k =27log 12，试用k 表示16log 6.（34()3kk-+） 3．问题拓展例4：已知正数x 、y 、z 满足：zy x 643==，① 求证：yx z 2111=-； ② 比较：x 3、y 4、z 6的大小. 三、巩固练习1．求值：()()3log 3log 2log 2log 8493+⋅+=_________. 2．已知5log log 248=+b a ，且7log log 248=+a b ，那么ab 4log =______.3．已知31log 131log 15121+=x ，则x 的值属于区间-------------( )(A) )1,2(--； (B) )2,1(； (C) )2,3(--； (D) )3,2(；4．若a =9log 18，518=b，则=45log 36________（用a 、b 表示）.5．若a 、b 是方程01lg lg 242=+-x x 的两个实根，求()a b ab b a log log )lg(+⋅的值. 四、课堂小结1．对数的换底公式；2．不同底数的对数式之间的互相转化. 五、作业布置 练习4.4（3） 七、教学设计说明1．本节课是对数问题的第三课时.考虑到学生已经具备了对数概念以及同底前提下对数的运算，因此本堂课的关键在于将不同底的对数化为同底.选择从特值入手，借助指对互化，与学生共同经历换底公式的推导，并在特值情况下进行一定的猜测、推广，期望通过实践加深学生对于换底公式的认识和记忆，同时培养学生的归纳、猜测、探索能力.2．在处理同底的转化时，以谁为底是一个可供选择的注意点，原则上，只要有利于对数的化简、计算，同时又能满足对数对于底数的要求即可.3．在教学中要适当控制教学难度，选择的问题要适度.4.5反函数的概念一、教学内容分析“反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用.二、教学目标设计（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情.三、教学重点与难点：反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定.四、教学流程设计五、教学过程设计1、设置情境，引出概念引例：在两种温度度量制摄氏度(C )和华氏度（F ）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？C 0 20 35 100 115F 32 68 95 212 239教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号)(1x f y -=；了解)(1x f -表示反函数的符号，1-f表示对应法则.2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件.例1（1）2x y =（R x ∈）的反函数是 （2）2x y =（0≥x ）的反函数是 （3）2x y =（0<x ）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题） 例2．求下列函数的反函数：（1）24+=x y （2）13+=x y （3）)0(12≥+=x x y（4）)21,(2413-≠∈++=x R x x x y[说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1） 变形:解方程，)(x f y =得)(1y fx -=； （2） 互换:互换y x ,的位置，得)(1x fy -=；（3）写出定义域:注明反函数的定义域.③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.例3：在同一坐标下，画出例2中的函数及其反函数的图像.（在几何画板中显示）教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定义，探讨函数及其反函数之间的关系.学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系. ①从函数角度看：若函数)(x f y =有反函数)(1x fy -=，则)(1x f y -= 的反函数是)(x f y =，即)(x f y =和)(1x f y -=互为反函数.反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.②从函数图像看：原函数和反函数图像关于x y =对称.③从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性. 3、例题分析，巩固方法： （1）课本练习4.5 （2）补充练习：1、给出下列几个函数：①)21(12>-=x x y ；② ⎩⎨⎧≥==)2(2)1(4x x x y ③)(23R x x y ∈+= ④)0()2(≥-=x x x y 其中不存在反函数的函数序号是 ②、④2、若指数函数)(x f y =的反函数的图像经过点（２，－１），则此指数函数为 ( A )（A ） xy )21(= （B ）x y 2= （C ）x y 3= （Ｄ）x y 10=3、设)1(22)(≤--=x x x f ，则)(1x f- （ D ）（A ）在（),∞+∞-上是增函数 （B ）在（),∞+∞-上是减函数 （C ）在),0[∞+上是减函数 （Ｄ）在（]0,∞-上是增函数4、若函数)(x f 是函数()10222≤≤--=x x y 的反函数，则)(x f 的图像为 （ B ）A B C D5、)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是 （ B ）（A ）)11( 112≤≤--+=x x y （B ）)10( 112≤≤-+=x x y （C ）)11( 112≤≤---=x x y（D ）)10( 112≤≤--=x x y6、若)0(≠+=a b ax y 有反函数且它的反函数就是b ax y +=本身，求b a ,应满足的条件.解：由b ax y +=，得b y ax -=.由0≠a ，知aby a x -=1. 所以函数b ax y +=的反函数为a by a x -=1. 由于函数b ax y +=的反函数aby a x -=1就是函数b ax y +=本身，即有xxxyyyya a =1，且b ab=-. 于是，解得1=a ，0=b 或1-=a ，b 为任意实数.教师点拨：提出两个问题：①什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？②除了一次函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本身?(11),0(-+=≠=x x y k x k y 等) 4、课堂小结①反函数的概念及求法； ②函数及其反函数的关系； 5、作业布置 练习册4.5 A 组 六、教学设计说明1．反函数概念比较抽象，不能简单地从形式上来定义. 在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同，得到两个函数关系式和图像完全不同的函数.在此基础上指出这两个函数互为反函数，这样使学生对反函数有一个初步的认识.2．在此基础上，引出反函数的一般概念，使得较抽象的概念能被学生逐步理解.然后再进一步强调函数),)((A y D x x f y ∈∈=的反函数存在的条件——“对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定的x 值与它对应”.3．通过学生对课本例题的练习，发现学生在解题过程中存在的问题.通过对课堂练习的点评，让学生了解并总结出求反函数的步骤. 同时让学生认识到若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，则)(1x f y -=的反函数是)(x f y =，即)(x f y =和)(1x f y -=互为反函数，并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域.4．通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像，让学生掌握y x ,互换的几何意义，了解原函数和反函数图像关于x y =对称，从而巩固对反函数概念的理解.反函数一、知识回顾：1、反函数的定义 设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=2、 函数y=f （x ）有反函数的条件是__________________________.3、 求反函数的步骤： ① . ② . ③ .4、互为反函数间的关系： ①从函数角度看： ②从函数图象看： ○3单调性的关系： 二、基本训练：1、给出下列几个函数：①)21(12>-=x x y ；② ⎩⎨⎧≥==)2(2)1(4x x x y ③)(23R x x y ∈+= ④)1(3)1lg(2>+-=x x y ⑤)0()2(≥-=x x x y 其中不存在反函数的函数序号是变题：函数223y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是 （ ） A 、(],1a ∈-∞ B 、[)2,a ∈+∞ C 、[1,2]a ∈ D 、(],1a ∈-∞ [)2,+∞ 2、函数)1(12<+=x y x 的反函数是 （ ）A ．)3,1(),1(log 2∈-=x x yB ．)3,1(,log 12∈+-=x x yC ．]3,1(),1(log 2∈-=x x yD ．]3,1(,log 12∈+-=x x y3．（05江苏卷）函数123()xy x R -=+∈的反函数的解析表达式为( )（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x=-4. （05全国卷Ⅰ）)21( 22≤≤-=x x x y 反函数是（ ）（A ）)11( 112≤≤--+=x x y（B ）)10( 112≤≤-+=x x y（C ）)11( 112≤≤---=x x y （D ）)10( 112≤≤--=x x y5. （05天津卷）设)(1x f-是函数)1( )(21)(>-=-a a a x f x x的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为（ ）A ．),21(2+∞-a aB ． )21,(2a a --∞C ． ),21(2a aa - D ． ),[+∞a 6. （05湖南卷）设函数f (x )的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f －1(x )，f (4)＝0，则f －1(4)＝ .7、已知函数b a x f x +=)(的图象过点（１，７），又其反函数的图象经过点（４，０），则)(x f 的表达式为_____________.三、例题分析：１、①若函数)(x f 是函数()10222≤≤--=x x y 的反函数，则)(x f 的图象为 （ ）A B C D②已知函数)(x f 的图象过点（0，1），则函数)4(-x f 的反函数的图象必过定点（ ）A 、（1，－4）B 、（1，4）C 、（1，0）D 、（4，1）xxxyyyy③ 若函数f （x ）的图象与xy )21(=的图象关于直线y=x 对称，则函数)2(2x x f -的单调减区间是 （ ） A 、（1，+∞） B 、（-∞，1] C 、（0，1] D 、[1，2）２、①函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤-=)01()10(122x xx x y 的反函数是②、已知R x x f xx∈+=,212)(，则=-)31(1f ___ . ③、已知函数x x f 3)(=的反函数是)(1x f-,且2)18(1+=-a f ,则函数])1,0[(3∈=x y ax 的值域为______________.3、已知函数132)(-+=x x x f ，若函数y=g （x ）与)1(1+=-x f y 的图象关于直线x y =对称，求g （3）的值．４、给定实数a ，a ≠0且a ≠1，设函数)1(11ax R x ax x y ≠∈--=且，证明这个函数的图象关于直线y=x 对称。