2016南通一模数学含答案

(
2016届高三年级第一次模拟考试(九)
数学本试卷包含填空题(共14题)、解答题(共6题)，满分为160分，考试时间为120
分钟．
参考公式：锥体的体积V＝1
3Sh，其中S为锥体的底面积，h为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{－1，0，1}，则A∩B＝________．
2. 若复数z＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)满足|z|＝3，则a的值为________．
3. 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是________．
4. 根据下图所示的伪代码，可知输出的结果S为________．
5. 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10 000户家庭的月消费金额(单位：元)，所有数据均在区间[0，4 500]上，其频率分布直方图如下图所示，则被调查的10 000户家庭中，有________户月消费额在1 000元以下．
(第4题)
(第5题)
6. 设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝3，S4＝15，则S6的值为________．
7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0，b>0)过点P (1，1)，其一条
渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的方程为________．
8. 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 是棱B 1B 的中点，则三棱锥B 1ADE 的体积为________．
9. 若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x （x －b ）， x ≥0，
ax （x ＋2）， x<0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．
10. 已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1
3，则sin ⎝⎛⎭⎫x －5π6＋sin 2⎝⎛⎭
⎫π3－x 的值为________．
11. 在平面直角坐标系xOy 中，点A (1，0)，B (4，0)．若直线x －y ＋m ＝0上存在点P 使得P A ＝1
2
PB ，则实数m 的取值范围是________．
12. 已知边长为6的正三角形ABC ，BD →＝12BC →，AE →＝13AC →，AD 与BE 交于点P ，则PB →·PD
→
的值为________．
13. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x >0)和y ＝x 3(x >0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，则x 1
x 2
的值为________．
14. 已知函数f (x )＝2ax 2＋3b (a ，b ∈R )．若对于任意x ∈[－1，1]，都有|f (x )|≤1成立，则ab 的最大值是________．
二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab. (1) 求角C 的大小；
(2) 若c ＝2a cos B ，b ＝2，求△ABC 的面积．
16. (本小题满分14分)
如图，在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，点E 是A 1C 1的中点． 求证：(1) BE ⊥AC ； (2) BE ∥平面ACD 1.
(第16题)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点A (2，1)，离心率为3
2.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于B ，C 两点(异于点A )，线段BC 被y 轴平分，且AB ⊥AC ，求直线l 的方程．
(第17题)
如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1 km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直．现计划修建一条与半圆相切的公路PQ(点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上)，T为切点．
(1)按下列要求建立函数关系：
①设∠OPQ＝α(rad)，将△OPQ的面积S表示为α的函数；
②设OQ＝t(km)，将△OPQ的面积S表示为t的函数．
(2)请你选用(1)中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．
(第18题)
已知函数f(x)＝a＋xlnx(a∈R)．
(1) 求f(x)的单调区间；
(2) 试求f(x)的零点个数，并证明你的结论．
若数列{a n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a n}为“等比源数列”．
(1) 已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝2a n－1.
①求{a n}的通项公式；
②试判断{a n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．
(2) 已知数列{a n}为等差数列，且a1≠0，a n∈Z(n∈N*)．
求证：{a n}为“等比源数列”．
(这是边文，请据需要手工删加)
2016届高三年级第一次模拟考试(九)
数学附加题 本试卷为非选择题(第21～23题)．本卷满分为40分，考试时间为30分
钟．
21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，．并作答．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4-1：几何证明选讲](本小题满分10分)
如图，圆O 的直径AB ＝10，C 为圆上一点，BC ＝6，过C 作圆O 的切线l ，AD ⊥l 于点D ，且交圆O 于点E ，求DE 的长．
(第21-A 题)
B. [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)
已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1022，求逆矩阵M －1的特征值．
C. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎫2，π
4，圆C 的方程为ρ＝42sin θ(圆心为点C)，求直线AC
的极坐标方程．
D. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)
已知a ≥0，b ≥0，求证：a 6＋b 6≥ab(a 4＋b 4)．
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
如图，在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，AB ＝1，AD ＝AS ＝2，P 是棱SD 上一点，且SP ＝1
2
PD.
(1) 求直线AB 与CP 所成角的余弦值； (2) 求二面角APCD 的余弦值．
(第22题)
23. (本小题满分10分)
已知函数f 0(x )＝x (sinx ＋cosx )，设f n (x )为f n －1(x )的导数，n ∈N *. (1) 求f 1(x )，f 2(x )的表达式；
(2) 写出f n (x )的表达式，并用数学归纳法证明．
2016届高三年级第一次模拟考试(九)(南通市)
数学参考答案
1. {0，1}
2. ±5
3. 5
6 4. 14 5. 750 6. 63
7. 2x 2－y 2＝1 8.
112 9. －1 10. 59
11. [－22，22] 12.
274 13. 43 14. 1
24
15. 解：(1) 在△ABC 中，由(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，得a 2＋b 2－c 22ab ＝－1
2，即cos C ＝－
1
2
.(3分) 因为0<C<π，所以C ＝2π
3
.(6分)
(2) (法一)因为c ＝2a cos B ，由正弦定理，得 sin C ＝2sin A cos B ，(8分)
因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin (A ＋B)，
所以sin (A ＋B)＝2sin A cos B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin (A －B)＝0，(10分) 又－π3<A －B<π3
，
所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2.(12分)
所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝1
2×2×2×sin 2π3＝ 3.(14分)
(法二)由c ＝2a cos B 及余弦定理，得c ＝2a ×a 2＋c 2－b 2
2ac ，(8分)
化简得a ＝b ，(12分)
所以，△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝1
2×2×2×sin 2π3
＝ 3.(14分)
16. 证明：(1) 在直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，
连接BD 交AC 于点F ，连接B 1D 1交A 1C 1于点E. 因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC. 因为ABCDA 1B 1C 1D 1为直棱柱．
所以BB 1⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ， 所以，BB 1⊥AC.(3分)
又BD ∩BB 1＝B ，BD ⊂平面B 1BDD 1，BB 1⊂平面B 1BDD 1， 所以AC ⊥平面B 1BDD 1.(5分)
而BE ⊂平面B 1BDD 1，所以BE ⊥AC.(7分)
(通过证明等腰三角形A 1BC 1，得BE ⊥A 1C 1，再由AC ∥A 1C 1得BE ⊥AC ，可得7分) (2) 连接D 1F ，因为四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1为直棱柱， 所以四边形B 1BDD 1为矩形．
又E ，F 分别是B 1D 1，BD 的中点，
所以BF ＝D 1E ，且BF ∥D 1E.(9分) 所以四边形BED 1F 是平行四边形． 所以BE ∥D 1F.(11分)
又D 1F ⊂平面ACD 1，BE ⊄平面ACD 1， 所以BE ∥平面ACD 1.(14分)
17. 解：(1) 由条件知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)离心率为e ＝c a ＝3
2，
所以b 2＝a 2－c 2＝1
4
a 2.
又点A(2，1)在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)上，
所以4a 2＋1
b
2＝1，(2分)
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2.
所以，所求椭圆的方程为x 28＋y 2
2
＝1.(4分)
(2) 将y ＝kx ＋m(k ≠0)代入椭圆方程，得x 2＋4(kx ＋m)2－8＝0， 整理，得(1＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4m 2－8＝0. ① 由线段BC 被y 轴平分，得x B ＋x C ＝－8mk
1＋4k 2
＝0，
因为k ≠0，所以m ＝0.(8分)
因为当m ＝0时，B ，C 关于原点对称，设B(x ，kx)，C(－x ，－kx)， 由方程①，得x 2＝8
1＋4k 2，
又因为AB ⊥AC ，A(2，1)，
所以AB →·AC →＝(x －2)(－x －2)＋(kx －1)(－kx －1)＝5－(1＋k 2)x 2
＝5－8（1＋k 2）1＋4k 2＝0，
所以k ＝±1
2
.(12分)
由于k ＝12时，直线y ＝12x 过点A(2，1)，故k ＝1
2不符合题设．
所以，此时直线l 的方程为y ＝－1
2x.(14分)
18. 解：(1) ①由题设知，在Rt △O 1PT 中， ∠OPT ＝α，O 1T ＝1， 所以O 1P ＝1
sin α
.
又OO 1＝1，所以OP ＝1
sin α＋1.
在Rt △OPQ 中，
OQ ＝OP tan α＝⎝⎛⎭⎫1＋1sin αtan α＝1＋sin α
cos α
.(3分)
所以，Rt △OPQ 的面积为
S ＝12OP ·OQ ＝1
2⎝⎛⎭⎫1＋1sin α1＋sin αcos α
＝（1＋sin α）22sin αcos α＝（1＋sin α）2sin 2α
⎝⎛⎭⎫0<α<π2.(5分)
(取值范围不写或不正确扣1分)
②由题设知，OQ ＝QT ＝t ，O 1T ＝1，且Rt △POQ ∽Rt △PTO 1， 所以OP OQ ＝TP TO 1，即OP
t ＝t 2＋OP 2－t 1，
化简，得OP ＝2t 2
t 2－1(t>1)．(8分)
所以，Rt △OPQ 的面积为
S ＝12OQ ·OP ＝12t ·2t 2t 2－1＝t 3
t 2－1(t>1)．(10分)
(取值范围不写或不正确扣1分)
(2) 选用(1)中①的函数关系S ＝（1＋sin α）2sin 2α⎝⎛⎭⎫0<α<π2.
S ′＝2（1＋sin α）cos αsin 2α－（1＋sin α）22cos 2α
（sin 2α）2
＝
2（1＋sin α）[cos αsin 2α－（1＋sin α）cos 2α]
（sin 2α）2
＝2（1＋sin α）[sin （2α－α）－（1－2sin 2α）]（sin 2α）2
＝2（1＋sin α）2（2sin α－1）（sin 2α）
2
⎝⎛⎭⎫0<α<π2.(13分) 由S′＝2（1＋sin α）2（2sin α－1）（sin 2α）2＝0⎝⎛⎫
0<α<π2，得α＝π6. 列表
所以，当α＝π6时，△OPQ 的面积S 的最小值为⎝
⎛⎭⎫
1＋sin π62
sin ⎝
⎛⎭⎫2×
π6＝332(km 2)．(16分)
(2) 选用(1)中②的函数关系S ＝t 3
t 2－1(t>1)．
S ′＝3t 2（t 2－1）－t 3·2t （t 2－1）2
＝t 2（t ＋3）（t －3）（t 2－1）2
(t>1)(13分)
由S′＝t 2（t ＋3）（t －3）
（t 2－1）2
＝0(t>1)，得t ＝ 3.
列表
所以，当t (16分) 19. 解：(1) 由函数f(x)＝a ＋x ln x(a ∈R )，得f ′(x )＝1
2x (ln x ＋2)．(2分)
令f ′(x )＝0，得x ＝e －
2，列表如下：
因此，函数f (x )的单调增区间为(e ，＋∞)，单调减区间为(0，e )．(5分)
(2) 由(1)可知，f min (x )＝f (e －2)＝a －2e －
1.(6分)
(i) 当a >2e －1时，由f (x )≥f (e －2)＝a －2e －
1>0，得函数f (x )的零点个数为0.(8分)
(ii) 当a ＝2e －1时，因f (x )在(e －2，＋∞)上是单调增，在(0，e －
2)上单调减，
故x ∈(0，e －2)∪(e －2，＋∞)时，f (x )>f (e －
2)＝0. 此时，函数f (x )的零点个数为1.(10分)
(iii) 当a <2e －1时，f min (x )＝f (e －2)＝a －2e －
1<0. ①a ≤0时，
因为当x ∈(0，e －
2]时，f (x )＝a ＋x ln x <a ≤0，
所以，函数f (x )在区间(0，e －
2]上无零点；
另一方面，因为f (x )在[e －2，＋∞)单调递增，且f (e －2)＝a －2e －
1<0，
又e －2a ∈(e －2，＋∞)，且f (e －2a )＝a (1－2e －
a )>0，
此时，函数f (x )在(e －
2，＋∞)上有且只有一个零点． 所以，当a ≤0时，函数f (x )零点个数为1.(13分)
②0<a <2e －
1时，
因为f (x )在[e －2，＋∞)上单调递增，且f (1)＝a >0，f (e －2)＝a －2e －
1<0，
所以，函数f (x )在区间(e －
2，＋∞)有且只有1个零点；
另一方面，因为f (x )在(0，e －2]上是单调递减，且f (e －2)＝a －2e －
1<0.
又e －4a ∈(0，e －2)，且f ⎝⎛⎭⎫e －4a ＝a －4a e 2a
>a －4a ⎝⎛⎭⎫
2a 2＝0，(当x >0时，e x >x 2成立) 此时，函数f (x )在(0，e －
2)上有且只有1个零点．
所以，当0<a <2e －
1时，函数f (x )零点个数为2.
综上所述，当a >2e －1时，f (x )的零点个数为0；当a ＝2e －
1，或a ≤0时，f (x )的零点个数
为1；当0<a <2e －
1时，f (x )的零点个数为2.(16分)
20. 解：(1) ①由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＋1－1＝2(a n －1)，且a 1－1＝1， 所以数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列．(2分)
所以a n －1＝2n －
1.
所以，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －
1＋1.(4分)
②数列{a n }不是“等比源数列”，用反证法证明如下：
假设数列{a n }是“等比源数列”，则存在三项a m ，a n ，a k (m<n<k)按一定次序排列构成等比数列．
因为a n ＝2n －
1＋1，所以a m <a n <a k .(7分)
所以a 2n ＝a m ·a k ，得(2
n －1
＋1)2＝(2m －1＋1)(2k －1＋1)，即22n －m －1＋2n －m ＋1－2k －1－2k －m ＝1. 又m<n<k ，m ，n ，k ∈N *，
所以2n －m －1≥1，n －m ＋1≥1，k －1≥1，k －m ≥1.
所以22n －m －1＋2n －m ＋1－2k －1－2k －m 为偶数，与22n －m ＋1＋2n －m ＋1－2k －1－2k －
m ＝1矛盾． 所以，数列{a n }中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列． 综上可得，数列{a n }不是“等比源数列”．(10分) (2) 不妨设等差数列{a n }的公差d ≥0.
当d ＝0时，等差数列{a n }为非零常数数列，数列{a n }为“等比源数列”． 当d >0时，因为a n ∈Z ，则d ≥1，且d ∈Z ，所以数列{a n }中必有一项a m >0. 为了使得{a n }为“等比源数列”，
只需要{a n }中存在第n 项，第k 项(m <n <k )，使得a 2
n ＝a m a k 成立，
即[a m ＋(n －m )d ]2＝a m [a m ＋(k －m )d ]，即(n －m )[2a m ＋(n －m )d ]＝a m (k －m )成立．(13分) 当n ＝a m ＋m ，k ＝2a m ＋a m d ＋m 时，上式成立．所以{a n }中存在a m ，a n ，a k 成等比数列， 所以，数列{a n }为“等比源数列”．(16分) 附加题
21. A. 解：因为圆O 的直径为AB ，C 为圆上一点，
所以∠ACB ＝90°，AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8. 因为直线l 为圆O 的切线， 所以∠DCA ＝∠CBA .
所以Rt △ABC ∽Rt △ACD ， 所以AB AC ＝AC AD ＝BC
DC .(5分)
又因为AB ＝10，BC ＝6，
所以AD ＝AC 2AB ＝32
5，DC ＝AC ·BC AB ＝245
.
由DC 2
＝DE ·DA ，得DE ＝DC 2DA ＝⎝⎛⎭
⎫2452
325
＝18
5
.(10分)
B. 解：设M －1
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则MM －1
＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1 02 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00
1，
所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2a ＋2c 2b ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 00 1，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝0，2a ＋2
c ＝0，
2b ＋2d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝0，
c ＝－1，
d ＝12.
所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
10－112.(5分)
M －1的特征多项式f (λ)＝⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－1 01 λ－12＝(λ－1)⎝⎛⎭⎫λ－12＝0，所以λ＝1或12. 所以矩阵M 的逆矩阵M
－1
的特征值为1或1
2
.(10分)
C. 解法一：以极点为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .
圆C 的平面直角坐标方程为x 2＋y 2＝42y ，即x 2＋(y －22)2＝8，圆心C (0，22)． A 的直角坐标为(2，2)．(4分)
直线AC 的斜率k AC ＝22－2
0－2＝－1.
所以，直线AC 的直角坐标方程为y ＝－x ＋22，(8分) 极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝22， 即ρsin ⎝
⎛⎭⎫θ＋π
4＝2.(10分)
解法二：在直线AC 上任取一点M (ρ，θ)，不妨设点M 在线段AC 上． 由于圆心为C ⎝
⎛⎭⎫22，π
2，S △OAC ＝S △OCM ＋S △OAM ，(4分)
所以12×22×2sin π4＝12×2×ρsin(θ－π4)＋1
2×ρ×22sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ，
即ρ(cos θ＋sin θ)＝2 2
化简，得直线AC 的极坐标方程为ρsin(θ＋π
4
)＝2.(10分)
D. 证明：∵ a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4) ＝a 5(a －b )－(a －b )b 5(2分) ＝(a －b )(a 5－b 5)(4分)
＝(a －b )2(a 4＋a 3b ＋a 2b 2＋ab 3＋b 4)(8分)
又a ≥0，b ≥0，所以a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4)≥0， 即a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4)．(10分)
22. 解：(1) 如图，分别以AB ，AD ，AS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系． 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)． 设P(x 0，y 0，z 0)，由SP →＝13SD →
，得(x 0，y 0，z 0－2)＝13(0，2，－2)，
∴ x 0＝0，y 0＝23，z 0＝43，点P 坐标为(0，23，4
3)．
CP →＝⎝⎛⎭⎫－1，－43，43，AB →
＝(1，0，0)，(2分) 设直线AB 与CP 所成的角为α，
则cos α＝
⎪
⎪⎪⎪
－1×1＋⎝⎛⎭⎫－43×0＋43×01＋⎝⎛⎭⎫－432＋⎝⎛⎭⎫432×1
＝
34141
.(4分)
(2) 设平面APC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ·
AC →＝x 1＋2y 1＝0，m ·
AP →＝2
3y 1＋43z 1＝0. 令y 1＝－2，则x 1＝4，z 1＝1，m ＝(4，－2，1)．(6分)
设平面SCD 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由于DC →＝(1，0，0)，DS →
＝(0，－2，2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·
DC →＝x 2＝0，n ·
DS →＝－2y 2＋2z 2＝0，令y 2＝1，则z 2＝1，n ＝(0，1，1)．(8分)
设二面角APCD 的大小为θ，由于cos 〈m ，n 〉＝0×4＋1×（－2）＋1×12×21＝－42
42，
所以，由向量m ，n 的方向，得cos θ＝－cos 〈m ，n 〉＝42
42
.(10分) 23. 解：(1) 因为f n (x)为f n －1(x)的导数，
所以f 1(x)＝f′0(x)＝(sin x ＋cos x)＋x(cos x －sin x) ＝(x ＋1)cos x ＋(x －1)(－sin x)，(2分)
同理，f 2(x)＝－(x ＋2)sin x －(x －2)cos x ．(4分)
(2) 由(1)得f 3(x)＝f′2(x)＝－(x ＋3)cos x ＋(x －3)sin x ，(5分) 把f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)分别改写为
f 1(x)＝(x ＋1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π
2＋(x －1)cos (x ＋π2)，
f 2(x)＝(x ＋2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π
2＋(x －2)cos (x ＋2π2)，
f 3(x)＝(x ＋3)sin ⎝
⎛⎭⎫x ＋3π
2＋(x －3)cos (x ＋3π2)，
猜测f n (x)＝(x ＋n)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋n π
2＋(x －n)cos (x ＋n π2) (*)．(7分)
下面用数学归纳法证明上述等式．
(i ) 当n ＝1时，由(1)知，等式(*)成立；
(ii ) 假设当n ＝k 时，等式(*)成立，即f k (x)＝(x ＋k)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x －k)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π
2.
则当n ＝k ＋1时，
f k ＋1(x)＝f′k (x)
＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋(x ＋k)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋cos (x ＋k π2)＋(x －k)⎣⎡⎦⎤－sin ⎝
⎛⎭⎫x ＋k π
2
＝(x ＋k ＋1)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋k π2＋[x －(k ＋1)]⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π
2
＝[x ＋(k ＋1)]sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k ＋12π＋[x －(k ＋1)]cos ⎝⎛⎭⎫
x ＋k ＋12π
即当n ＝k ＋1时，等式(*)成立．
综上所述，当n ∈N *时，f n (x )＝(x ＋n )sin(x ＋n π2)＋(x －n )cos ⎝⎛⎭⎫x ＋n π
2成立．(10分)。