复变函数与积分变换修订版-复旦大学课后的习题答案
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习题 七
1.证明：如果f (t )满足傅里叶变换的条件，当f (t )为奇函数时，则有
⎰+∞
⋅=0
d sin )()(ωωωt b t f
其中()⎰+∞
⋅=0
tdt sin π2)(ωωt f b 当
f (t )
为
偶
函
数
时
，
则
有
⎰+∞⋅=0
cos )()(ωωtd w a t f
其中⎰
+∞
⋅=0
2
tdt c f(t))(ωωπ
os a
证明：
因为ωωωd G t f t i ⎰+∞
∞
-=e )(π21)(其中)(ωG 为f (t )的傅里叶变换
()()()(cos sin )i t
G f t e
dt f t t i t dt ωωωω+∞
+∞
--∞-∞
==⋅-⎰
⎰
()cos ()sin f t tdt i f t tdt ωω+∞
+∞
-∞
-∞
=⋅-⋅⎰
⎰
当f (t )为奇函数时，t cos f(t)ω⋅为奇函数，从而
⎰
+∞
∞
-=⋅0tdt cos f(t)ω
t sin f(t)ω⋅为偶函数，从而
⎰
⎰+∞
∞
-+∞
⋅=⋅0
.sin f(t)2tdt sin f(t)tdt ωω
故.sin f(t)2)(0
tdt i
G ωω⋅-=⎰
+∞
有
)()(ωωG G -=-为奇数。
ωωωωπ
ωωπ
ωd t i t G d e G t f t i )sin (cos )(21)(21)(+⋅=
⋅=
⎰
⎰
+∞
∞
-+∞
∞
-
=0
1()sin d ()sin d 2ππi G i t G t ωωωωωω+∞
+∞
-∞⋅=⋅⎰⎰
所以，当f(t)为奇函数时，有
00
2()b()sin d .b()=
()sin dt.πf t t f t t ωωωωω+∞
+∞
=⋅⋅⎰⎰其中同理，当f(t)为偶函数时，有
()()cos d f t a t ωωω+∞
=⋅⎰.其中
02()()cos π
a f t tdt ωω+∞
=
⋅⎰ 2.在上一题中，设()f t =21,
0,
1
t t t ⎧<⎪⎨
≥⎪⎩.计算()a ω的
值.
解:
12001
11
2200
12
01
20
11
200222()()cos d cos d 0cos d πππ221cos d d(sin )ππ122sin sin 2d 0ππ2sin 4(cos )π2sin 4cos cos π2sin 4co a f t t t t t t t t t t t t t t t t t t
t d t t t tdt ωωωωωωωωωωωωωωπωωωωωπωωπω+∞+∞
=
⋅=⋅+⋅=⋅=⋅=⋅⋅-⋅=
⋅+⋅⎡⎤
=+⋅-⎢⎥⎣
⎦=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰23s 4sin ωωπωπω
-
3.计算函数sin ,6π
()0,6πt t f t t ⎧≤⎪=⎨
≥⎪⎩的傅里叶变换. 解:
[]6π
6π
6π
6π
6π0
2()()d sin d sin (cos sin )d 2sin sin d sin 6ππ(1)
i t i t F f f t e t t e t
t t i t t
i t t t i ωωωωωωω
ω+∞
---∞
--=⋅=⋅=⋅-=-⋅=-⎰
⎰
⎰
⎰
4.求下列函数的傅里叶变换 (1)()t
f t e -=
解： []||(||)0(1)(1)2
F f ()()d d d 2
d d 1i t t i t t i t t i t i f t
e t e e t e t
e t e t ωωωωωωω+∞+∞+∞
----+-∞
-∞
-∞
+∞--+-∞
==⋅==+=
+⎰
⎰⎰⎰⎰
(2)
2
()t f t t e
-=⋅
解：因为
2
2
222
/4
F[].()(2)2.t t t t e e
e e t t e ω-
----==⋅-=-⋅而
所以根据傅里叶变换的微分性质可
得
2
2
4()F()t
G t e e ωω--=⋅=
(3)2
sin π()1t
f t t =- 解：