弯矩图绘制方法汇总
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2020/3/20
第1页
§3-4 快速绘制弯矩图源自文库一些规律及示例
◆ 快速、准确绘制弯矩图的规律
一. 利用 q、Q、M 之间的微分关系以及一些推论
1.无荷载区段，M为直线
直线
2.受匀布荷载 q 作用时，M为抛物线，且凸向与 q 方向一致
ql 2 8 ql 2 8
2020/3/20
第2页
3. 受集中荷载P作用时，M为折线，折点在集中力作用点处，且
2020/3/20
21
静定结构总论
(Statically determinate structures general introduction)
基本性质 派生性质
零载法
2020/3/20
第22页
静定结构基本性质
满足全部平衡条件的解答是静定结构的唯 一解答
证明的思路：
静定结构是无多余联系的几何不变体系，用刚体虚位移原 理求反力或内力解除约束以“力”代替后，体系成为单自 由度系统，一定能发生与需求“力”对应的虚位移，因此 体系平衡时由主动力的总虚功等于零一定可以求得“力” 的唯一解答。
P
P
第10页
三根竖杆均为悬臂，
其M图可先绘出。
Pa
Pa
Pa
A
Pa B C Pa D E Pa G 属悬臂部分，响应的
M图为水平线。
两段的剪力相等铰处
的M为零，M图的坡
度（斜率）相等，两 条线平行。
铰处的M为零，响应 的M图为一斜直线。
2020/3/20
第11页
例4 试作图示刚架的弯矩图。各杆杆长均为l。
P
Pl
M=0
2Pl
P
2Pl
Q= P，M为一斜线
Q= 0，M为一直线 P
2020/3/20
第8页
例2 试作图示刚架的弯矩图。各杆杆长均为l = 4m。
20kN/m
80
80
40kN
40 80
40
2020/3/20
40
第9页
20
20
75
30
45 5kN
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例3 试作图示刚架的弯矩图。
P
P
2020/3/20
第15页
3-5 静定结构的特性
.1 静力解答的唯一性 静定结构的全部反力和内力均可由静力平衡条件求得，
且其解答是唯一的确定值。
.2 静定结构无自内力
C
C’ C’ t1(＞ t2)
A
B
C t2
A
B
B’
DBV
DBH
自内力，是指超静定结构在非荷载因素作用下一般会
产生的内力。
2020/3/20
m m
m
m m
在m作用点处M 有跳跃 （突变），跳跃量为m，
且左右直线均平行。
Q= 0，M为一直线
2020/3/20
例5 试作图示刚架的弯矩图。
2Pa
2Pa
3Pa P
2Pa P
第12页
铰处的M为零，且梁
上无集中荷载作用，
M图为一无斜率变化
的斜直线。
Q= P，M 为一斜线
Q= 0，M为一直线 3Pa
P
P
P P
平衡力系
2020/3/20
第6页
少求或不求反力绘制弯矩图
根
1.弯矩图的形状特征（微分关系） 2.刚结点力矩平衡
3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合)
据 4.特殊部分(悬臂部分,简支部分)
5.区段叠加法作弯矩图
2020/3/20
◆ 示例
第7页
例1 试作图示刚架的弯矩图。各杆杆长均为l。
P
D
FRAy =FP
M图
M图
2020/3/20
第17页
3-5 静定结构的特性
.4 荷载等效特性
当静定结构的内部几何 不变局部上的荷载作静 力等效变换时，只有该 部分的内力发生变化， 而其余部分的内力保持 不变。
A
C
‖FPa /2
FP/2
FP
D
B
FPa /2 FPa 原荷载 FP/2
A
C FP/2
FP/2 D
B
FP/2
FPa /2
FPa /2 等效代换荷载
FP/2
+
A
C
FP
D
B
FP/2
FPa /2
FP/2
0a
a
a
a0
局部平衡荷载
2020/3/20
第18页
3-5 静定结构的特性
利用这一特性，可得到在非结点荷载作用下桁架的计算方法：
FP/3
2FP/3
FP 2l/3 l/3
=
+
FP/3
FP 2FP/3
2020/3/20
第19页
3-5 静定结构的特性
构造变换特性
当静定结构的内部几何不变局部作等效构造变换时，仅被
替换部分的内力发生变化，而其余部分内力保持不变。
FP
FP
FP
FP
2020/3/20
第20页
3-5 静定结构的特性
静定结构的内力与刚度无关
静定结构的内力仅由静力平衡方程唯一确定，而不
涉及到结构的材料性质（包括拉压弹性模量E和剪 切弹性模量G）以及构件的截面尺寸（包括面积A 和惯性矩I）。因此，静定结构的内力与结构杆件的 抗弯、抗剪和抗拉压的刚度EI、GA和EA无关。
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第13页
例6 试作图示多跨静定梁的弯矩图。
4kN
4kN.m
1kN/m
4 8
2 4
铰处的M为零，且梁上无集中荷载作用，
M图为一无斜率变化的斜直线。
ql 2
4
2
22
2
ql 2 2
8
2
2
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例7 试作图示刚架弯矩图的形状。
ql 2
m
2m
mm
m Q= 0，M为一直线
P
第14页
P
M=0
P M=0
剪力Q为零时， M图为直线。
五. 剪力Q为常值时，
M图为斜线；剪力Q为零
P
时， M为常值， M图为
直线。
剪力Q为常值时， P
M图为斜线
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第5页
六. 平衡力系的影响
当由平衡力系组成的荷载作用在静定结构的某一本身
为几何不变的部分上时，则只有此部分受力，其余部分的
反力内力皆为零。
凸向与P方向一致。
P
P
4. 受集中力偶 m 作用时，在m作用点处M有跳跃（突变），跳 跃量为m，且左右直线均平行。
m
m
平行
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第3页
二. 铰处 M = 0
三. 刚结点力矩平衡
40
20
20
M 0
M=0
M =？0
10
30
20
M 0
20
2020/3/20
第4页
四. 集中力 P 与某些杆轴线重合时，M为零
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FP
第23页
静定结构
M
FP 解除约束,单
自由度体系
Mα
FP 体系发生虚 Δ 位移
刚体虚位移原理的虚功方程
FP Δ - M α=0 可唯一地求得 M= FP Δ/α
2020/3/20
第24页
静定结构派生性质
支座微小位移、温度改变不产生反力和内力
若取出的结构部分（不管其可变性）能够平衡外荷载，则 其他部分将不受力
第16页
3-5 静定结构的特性
.3 局部平衡特性
在荷载作用下，如仅有静定结构的某个局部（一般本身为几何不变部分）
就可与荷载保持平衡，则其余部分内力为零。
FP
FP
A
B
C
FP/2 FPa /2 FP/2 aa
D
M图
A
E FPa
FPa
a F
B
D
FPa
FPa
a
C
a
a
a
a
FPa MA =FPa A
a
FP B
C
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§3-4 快速绘制弯矩图源自文库一些规律及示例
◆ 快速、准确绘制弯矩图的规律
一. 利用 q、Q、M 之间的微分关系以及一些推论
1.无荷载区段，M为直线
直线
2.受匀布荷载 q 作用时，M为抛物线，且凸向与 q 方向一致
ql 2 8 ql 2 8
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第2页
3. 受集中荷载P作用时，M为折线，折点在集中力作用点处，且
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静定结构总论
(Statically determinate structures general introduction)
基本性质 派生性质
零载法
2020/3/20
第22页
静定结构基本性质
满足全部平衡条件的解答是静定结构的唯 一解答
证明的思路：
静定结构是无多余联系的几何不变体系，用刚体虚位移原 理求反力或内力解除约束以“力”代替后，体系成为单自 由度系统，一定能发生与需求“力”对应的虚位移，因此 体系平衡时由主动力的总虚功等于零一定可以求得“力” 的唯一解答。
P
P
第10页
三根竖杆均为悬臂，
其M图可先绘出。
Pa
Pa
Pa
A
Pa B C Pa D E Pa G 属悬臂部分，响应的
M图为水平线。
两段的剪力相等铰处
的M为零，M图的坡
度（斜率）相等，两 条线平行。
铰处的M为零，响应 的M图为一斜直线。
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第11页
例4 试作图示刚架的弯矩图。各杆杆长均为l。
P
Pl
M=0
2Pl
P
2Pl
Q= P，M为一斜线
Q= 0，M为一直线 P
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第8页
例2 试作图示刚架的弯矩图。各杆杆长均为l = 4m。
20kN/m
80
80
40kN
40 80
40
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40
第9页
20
20
75
30
45 5kN
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例3 试作图示刚架的弯矩图。
P
P
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第15页
3-5 静定结构的特性
.1 静力解答的唯一性 静定结构的全部反力和内力均可由静力平衡条件求得，
且其解答是唯一的确定值。
.2 静定结构无自内力
C
C’ C’ t1(＞ t2)
A
B
C t2
A
B
B’
DBV
DBH
自内力，是指超静定结构在非荷载因素作用下一般会
产生的内力。
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m m
m
m m
在m作用点处M 有跳跃 （突变），跳跃量为m，
且左右直线均平行。
Q= 0，M为一直线
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例5 试作图示刚架的弯矩图。
2Pa
2Pa
3Pa P
2Pa P
第12页
铰处的M为零，且梁
上无集中荷载作用，
M图为一无斜率变化
的斜直线。
Q= P，M 为一斜线
Q= 0，M为一直线 3Pa
P
P
P P
平衡力系
2020/3/20
第6页
少求或不求反力绘制弯矩图
根
1.弯矩图的形状特征（微分关系） 2.刚结点力矩平衡
3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合)
据 4.特殊部分(悬臂部分,简支部分)
5.区段叠加法作弯矩图
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◆ 示例
第7页
例1 试作图示刚架的弯矩图。各杆杆长均为l。
P
D
FRAy =FP
M图
M图
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第17页
3-5 静定结构的特性
.4 荷载等效特性
当静定结构的内部几何 不变局部上的荷载作静 力等效变换时，只有该 部分的内力发生变化， 而其余部分的内力保持 不变。
A
C
‖FPa /2
FP/2
FP
D
B
FPa /2 FPa 原荷载 FP/2
A
C FP/2
FP/2 D
B
FP/2
FPa /2
FPa /2 等效代换荷载
FP/2
+
A
C
FP
D
B
FP/2
FPa /2
FP/2
0a
a
a
a0
局部平衡荷载
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3-5 静定结构的特性
利用这一特性，可得到在非结点荷载作用下桁架的计算方法：
FP/3
2FP/3
FP 2l/3 l/3
=
+
FP/3
FP 2FP/3
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第19页
3-5 静定结构的特性
构造变换特性
当静定结构的内部几何不变局部作等效构造变换时，仅被
替换部分的内力发生变化，而其余部分内力保持不变。
FP
FP
FP
FP
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第20页
3-5 静定结构的特性
静定结构的内力与刚度无关
静定结构的内力仅由静力平衡方程唯一确定，而不
涉及到结构的材料性质（包括拉压弹性模量E和剪 切弹性模量G）以及构件的截面尺寸（包括面积A 和惯性矩I）。因此，静定结构的内力与结构杆件的 抗弯、抗剪和抗拉压的刚度EI、GA和EA无关。
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例6 试作图示多跨静定梁的弯矩图。
4kN
4kN.m
1kN/m
4 8
2 4
铰处的M为零，且梁上无集中荷载作用，
M图为一无斜率变化的斜直线。
ql 2
4
2
22
2
ql 2 2
8
2
2
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例7 试作图示刚架弯矩图的形状。
ql 2
m
2m
mm
m Q= 0，M为一直线
P
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P
M=0
P M=0
剪力Q为零时， M图为直线。
五. 剪力Q为常值时，
M图为斜线；剪力Q为零
P
时， M为常值， M图为
直线。
剪力Q为常值时， P
M图为斜线
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第5页
六. 平衡力系的影响
当由平衡力系组成的荷载作用在静定结构的某一本身
为几何不变的部分上时，则只有此部分受力，其余部分的
反力内力皆为零。
凸向与P方向一致。
P
P
4. 受集中力偶 m 作用时，在m作用点处M有跳跃（突变），跳 跃量为m，且左右直线均平行。
m
m
平行
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第3页
二. 铰处 M = 0
三. 刚结点力矩平衡
40
20
20
M 0
M=0
M =？0
10
30
20
M 0
20
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第4页
四. 集中力 P 与某些杆轴线重合时，M为零
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FP
第23页
静定结构
M
FP 解除约束,单
自由度体系
Mα
FP 体系发生虚 Δ 位移
刚体虚位移原理的虚功方程
FP Δ - M α=0 可唯一地求得 M= FP Δ/α
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静定结构派生性质
支座微小位移、温度改变不产生反力和内力
若取出的结构部分（不管其可变性）能够平衡外荷载，则 其他部分将不受力
第16页
3-5 静定结构的特性
.3 局部平衡特性
在荷载作用下，如仅有静定结构的某个局部（一般本身为几何不变部分）
就可与荷载保持平衡，则其余部分内力为零。
FP
FP
A
B
C
FP/2 FPa /2 FP/2 aa
D
M图
A
E FPa
FPa
a F
B
D
FPa
FPa
a
C
a
a
a
a
FPa MA =FPa A
a
FP B
C