量子力学-含时间的微扰论-量子跃迁 Ⅱ. 微扰引起的跃迁 Ⅲ. 磁共振 Ⅳ. 绝热近似

(r, t) n(r)eiE(k0)t k (r, t)
即微扰不存在时，体系处于定态 k(r, t)上.
当微扰存在时，特别是与 t 有关时，
则体系处于 Hˆ 0的各本征态（或定态）的概 率将可能随时间发生变化。
设：
Hˆ Hˆ 0 Vr, t
i Hˆ t
当然， 仍可按 Hˆ 0 的定态 n 展开。 但由于 n 不是 Hˆ 的定态，所以展开系数
(0) lk
(
' a (0) k(1) l' l'l
'
a (0) (1) lk ' k 'k
)
l'
k'
2(
' a (0) k(2) l' l'l
'
a (0) (2) lk ' k 'k
)
l'
k'
应注意二点：
ⓐ 求和 ' 不包括 k1, k 2 k'
ⓑ 显然
Hˆ E (0)
(0)
e2E02 2
nlm x 100 2
0 e(in1 )tdt
e(in1 )tdt 2
0
e2E02 2
2
nlm x 100 2 1 1 in1 in1
e2E02 2
nlm x 100 2
4 2 2 n21 2
② 求 P(mnlamx)
P
0
(2
8 2n1)2
163 (2 2n1)3
eibsz
2
,b1
2tdt
Hˆ ˆ B gB0(sˆx cost sˆy sin t)
g
B0 2
(ˆ eit
ˆ eit
)
(
)
0 1
0 0
0 1 ( ) 0 0
Hˆ 仅与自旋相关，所以其它量子数应不
变
b b，而
t0 0 时处于
1 0
，所以仅
这时假设：
E(0) l
(l10)
(0) l2
(lf0l)
E(1) l1
E(1) l2
E(1) lfl
若其中
E(1) lk1
E(1) lk2
，而我们正是要处理这二
个仍简并的态
((lk0l)
,
(0) lk2
)
时，则零级波函数
应取
l(k0) i21(lk0)i aki (0)
于是有
lk l(k0) l(k1) 2l(k2)
第二十五讲回顾
Ⅰ. 定态微扰论 D. 简并能级微扰的进一步讨论
Ⅱ. 变分法 A. 定理 B. Ritz 变分法
D. 简并能级微扰的进一步讨论 1．一级微扰仅解除部分简并 当一级微扰并未把简并完全解除。如
氢原子置于均匀电场中，对 n 2 能级
E(31) E(41) 0
(203) 211
(204) 211
m 1,0
Pn11
e2E02 2
2 3
(2
2 n21 )2
n1 r 10 2
当 γ 很大（即微扰时间很短），
Pn11 0
所以氢原子受扰动后仍处于基态 （Sudden 近似）;
当 γ 很小（微扰缓慢加上），
Pn11 0
所以氢原子经扰动后仍处于基态（非简并 态） (Adiabatic 近似）。
(
E(0) n
E(0) n'
)
（ n 为 Hˆ 0 的本征态）
an(t) 是 t 时刻，以 Hˆ 描述的体系，处于
Hˆ 0 的本征态 n 上的概率振幅。实际上， 上式是薛定谔方程在 H0 表象中的矩阵表
示，这方程的解依赖初态和 Vr, t 。
假设 Vr,t 很小，可看作一微扰，则可
通过逐级近似求解。
当然，如果要求第 m条能级的近似本
征值和本征函数，则要求知道第一条（基
态） 第 m 1条能级的波函数，设
1, 2 ,m1 已归一化。取试探波函数 ψm，然后处理一
下，给出新的近似波函数
m1
m (1,2 , ) m i i m i1
则
H
m Hˆ m
Ei i m' 2 im i m' 2
于等于体系基态能量。
因此，当我们用一试探波函数去找能 量平均值时，一般总比基态能量大。再通 过求变分，以得尽可能小的平均值及相应 波函数，使之较为接近真值。
B. Ritz 变分法 现可利用变分原理到具体问题上，以 求体系的近似本征能量和本征函数。 基本思想：根据物理上的考虑给出含 一组参量的试探波函数
所处的位势随时间发生变化时，或变化
后，体系所处状态发生的变化。
Ⅰ. 含时间的微扰论： Hˆ 与 t 有关，体系
的哈密顿量原为 Hˆ 0(r, Pˆ )，随 t 有一微扰
V(r, t)
i Hˆ (t) t
Hˆ (t) Hˆ 0 V(r, t)
因 Hˆ 0 不显含 t ，则
的通解为
i
t
Hˆ 0
lkl 1 lk'
(1) lk1 k1k
Hˆ E (0)
(0)
lk2 1 lk"
(1) lk2 k 2k
E E (1)
(1)
lk1
lk2
即
Hˆ 1 对
(0) lkl
,
(0) lk2
对角且相等。
以 (0) lki
标积
2 方程两边，得
2
j1
l'
'
(0) lk i
Hˆ 1
(0)
(0)
a( 2) n
n'
)
则有
i
d dt
a(n0)
(
t)
0
i
d dt
a
(1) n
(
t
)
n'
Vnn
'einn'
ta
(0) n'
(t)
i
d dt
a
(2) n
(t)
n'
Vnn
'einn'
ta
(1) n'
(
t
)
于是有解 a(n0)(t) An ，它 与 t 无关。
由初条件 t t0 时，体系处于 Hˆ 0 的定
Vnn1
einn1
ta
k (1) n1
(t)
akn(2)(t)
1 i
n1
t t0
dt
2
Vnn1
(t
2
)einn1t2
akn1(1)
(t
2
)
(
1 i
)2
n1
t t0
dt
2
t2dt
t0
1Vnn1
(t
2
)einn1
t
2
Vn1k
(t1
)ein1kt1
由此类推
akn(m)(t)
(
1 i
)m
态
k (r, t0 ) k (r)eiE(k0) t0
即得 从而有
a(n0)(t) An nk
i
d dt
ak(1) n
n'
V e V e inn't
nn '
n'k
inkt nk
a
k(1) n
(t)
1 i
tt0
Vnk
( t1 )eink t1 dt1
又由
i
d dt
a
k(2) n
(t)
n1
l'
l'
E(0) l
E(0) l'
Hˆ 1
(0) lk j
E(lk2)ij akj (0) 0
由这解出
E(2) lki
。
若 E(lk21) E(lk2)2 ，则可唯一地确定简并
态
(
(0) lk l
,
(0) lk 2
)
的零级波函数。由这样求出
的
E(2) lki
,
(0) lki
才是正确的能量二级修正及
是与 t 有关。
(t)
n'(r,t)an'(t)
(r)eiE(n0') t n'
an' (t )
n'
n'
代入薛定谔方程
i
n
n
r,t
d dt
an
(t)
En(0 )n
n
r,t
an (t )
E(0 n
)n
r, t an (t)
V r, tn r, t an'(t)
n
n'
得
显然，这时体系的能量不是运动常数 ，其状态并不处于定态（即使 Hˆ 1在一段 时间中不变），在 Hˆ 0 的各定态中的概率
并不是常数，而是随时间 t 变化的。也就
是说，体系可以从 Hˆ 0 一个态以一定概率 跃迁到另一态。这称为量子跃迁。处理这
样的问题就需要利用含时间的微扰论。
总之，含时间的微扰论就是处理体系
可，则
a
k(1) n
(t)
1 i
tt0
Vnk
( t1 )eiω nk t1
dt1
这表明，体系在 t0 时刻处于 Hˆ 0定态
k (r, t0)。在 t 时刻，体系可处于 Hˆ 0 的
定态
n (r, t)
， 而其概率幅为
a
k(1) n
(t)
（ n k ）。
因此，我们在 t 时刻，测量发现体系处于
这一态的概率为
Pkn
akn(1) (t) 2
1 2
tt0 Vnk (t1)einkt1dt1 2
例1 处于基态（ t ）的氢原
子，受位势
V(t) e x E0e t
（ 0 为实参数）扰动,
① 求 t 时，处于态 nlm 的
概率
Pnlm
1 2
eE0 nlm x 100 e t ei(EnE1)t dt 2
令
an an(0) a(n1) a(n2)
i
d dt
a1 a2
(t) (t)
V11 V ei21t
21
V ei12t 12 V22
V33
a1 a2
(t) (t)
i
d dt
(a(n0)
a(1) n
a( 2) n
)
V einn t nn '
(a(n0 )
a(1) n
(r, 1, 2 ,)
ⓐ 求能量平均值，以1, 2, 表示，
H(1,2,)
Hˆ
ⓑ 对 1, 2, 求极值，从而确定
H 0 H 0
1
2
10 , 02 ,
H(α1,α2,)
ψ Hˆ ψ ψψ
ⓑ 对 1, 2, 求极值，从而确定
, H 0 H 0
1
2
10 , 02 ,
显然， H(10,02,) E0 （基态能量）
i
n
n
r,
t
d dt
an
(t)
n'
V r, tn r, t an'(t)
与 n (r, t) 标积，得
于是有
i
d
dt
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(
t)
n'
V ei(E(n0) E(n0' ) )t nn '
an'(t)
Vnn'einn'tan'(t)
n'
Vnn' *n (r)V(r, t)n'(r)dr
nn'
例2．将自旋为 ，磁矩为 ˆ gsˆ 的
2
粒子置于转动磁场中
Bx B0 cos t By B0 sint
B0为常数
Bz 0
t t 0
论跃迁随
时，粒子处于 的变化情况
sz
2
的状态，讨
解：设 t 0 时，粒子处于
1 b
2
，
末态为 bsz
ab1 2bsz
1 i
t 0
Hˆ bsz
,b1
k1
Aˆ (ln0) An(ln0)
以
u(0) lk
标积方程两边，得
fl
(
u(0) lk
Aˆ
u(0) lk
A n kk )alnk(0) 0
k1
u(0) lk
Aˆ
u(0) lk
Ankk 0
从而求出 An
和
(0) ln
若
An' An
则有
n' n
0l'n' Hˆ 1 0ln 0 n n （ l 任意）
不会直接求解，而利用
Hˆ 0
P2 2m
V0
有解析解，并且 Hˆ 1 V V0 较小，通过微
扰法求解方程
Hˆ (r, pˆ )(r) E(r)
，得近似结果或通过变分法，利用试探波 函数，来获得所求能级的能量上限。
现在要处理的问题是：体系原处于 Hˆ 0 的本征态（或本征态的叠加态）上，而有
一与 t 有关的微扰 Hˆ 1(t) 作用到该体系。
所以，如选 Hˆ 0 ，Aˆ 的共同本征态作 为零级波函数，(ln0)，则有
0l'n' Hˆ 1 0ln 0 n n （ l任意）
这时简并态
(ln0（)
n
n ）对
(0) ln
没有影
响。因此，可用非简并微扰方法处理。
所以，在处理简并能级微扰时
选取正确的零级波函数 判断能否用非简并微扰论去求解的问 题要仔细。 Ⅱ. 变分法： A. 定理：体系的哈密顿量在某一满 足物理要求的试探波函数上的平均值必大
n1n2nm1
t
t0 dtm
tm t0
dt
m1
t2dt
t0
1
V (t )e V (t )e innm1tm nnm1 m
nm 1nm 2
m1
inm1nm2 tm1
Vn1k (t1 )ein1kt1
于是
akn (t) akn(i) (t) i1
nk
Ⅱ. 微扰引起的跃迁：若 Vnk 很小， 即跃迁概率很小。我们只要取一级近似即
2 2n1
P(mnlamx )
e2E02 2
1 n21
nlm x 100 2
③ 选择定则：由
2 x r 3 (Y11 Y11)
nlm x 100 2
nl r 10 2 2 3
lm Y11 Y11 00 2
nl
r 10
2 2 3
1 4
2
l1m,1 l1m,1
对 r 选择定则为：
l 1
(r,t)
e a iE(n0) t
n
n
n
n (r, t)an
n
n (r, t) n (r)eiE(n0) t
而 Hˆ 0n(r) E(n0)n(r) ，a n 是常数
an (n(r,t),(r,t)) (n(r),(r,0))
而当 an nk时，即 t 0 时，处于 k (r)
零级波函数。
2. 简并态可用非简并微扰论处理的条件
如 Hˆ 0与 Aˆ 对易，Hˆ 1 也与 Aˆ 对易。则 可选非微扰态为 (Hˆ 0, Aˆ )的共同本征态 。
若
Hˆ 0u(lk0)
E u (0) (0) l lk
k 1,2,fl
则设 使
fl
(0) ln
u a (0) n(0) lk lk
Em
im
所以，是第 m 条能级的上限。
9.9 9.10 9.11
第二十六讲
第十章 含时间的微扰论-量子跃迁 Ⅰ. 含时间的微扰论 Ⅱ. 微扰引起的跃迁 A. 常微扰下的跃迁率 B．周期性微扰下的跃迁率 C．辐射场下原子的跃迁率
第十章 含时间的微扰论-量子跃迁
前面，我们解决的是 Hˆ 与 t 无关，但