泊松分布及其在实际中的应用共18页文档
泊松分布在排队论中的应用（可编辑）
泊松分布在排队论中的应用本科毕业论文(设计)2013 届泊松分布在排队论中的应用院系数学系专业统计学姓名指导教师职称讲师等级泊松分布在排队论中的应用摘要日常生活中存在着大量有形和无形的排队和拥挤现象,小到如旅客购票排队,市内电话占线银行服务系统,高速公路收费系统,大到国防武器作战效能.排队论的产生与发展来自实际的需要,实际的需要也必将影响今后的发展.已有的理论知识对日常生活中涉及排队论知识的实际问题建立了经典的模型,在这个基础上,对采集的数据进行相关的的分析,将分析的结果和分析得出的数据回带到模型中,进行数学推演,得出数量指标的统计规律,然后根据这些指标为涉及排队论服务系统的改进提供有价值的参考. 本文先从排队论的相关基本知识入手,简单介绍排队论的内容,排队论的模型和模型需要用到的指标,从而引出对泊松分布的介绍,最后再运用泊松分布的相关知识对实际周边生活的排队服务系统进行拟合计算其指标.从而得出模型最后的结论.关键词:泊松分布排队论排队模型模型结论ABSTRACTThere are a lot of tangible and intangible queuing and congestion phenomena in our daily life, such as passenger ticket queue, local telephone online, banking service system, the highway toll system. From a large perspective, it involves with the Defense Weapon Combat effectiveness. The emergence and development of queuing theory come from the actual demand that will also affect the future development. The existing theoretical knowledge is helpful to establish typical models involved with queuing theory in daily life. Based on that, we can make analysis of the collected data, the result of the analysis can be taken into the model. Through mathematical deduction, the statistical regularity of the quantity index can be produced. With those indexes, some valuable reference for the improvement related to the Queuing service system. This paper starts with the basic knowledge related to the queuing theory, then makes a brief introduction of queuing theory, queuing model and the required index, thus leads to a introduction of the Poisson distribution. Finally, the related knowledge of Poisson queue servicesystem is applied to engage a fitting calculation of the indicators on the practical life. And the model conclusion can be obtained.Keywords: Poisson distributionqueuing theory queuing model the model conclusion.目录摘要IABSTRACT II1 引言 42 排队论的基本理论 42.1 排队论简介42.2 判断服务系统优劣的指标 53 排队论模型中的相关分布 63.1 时间间隔的分布 63.2 服务时间的分布74 具体模型74.1 模型一:////(顾客源无限,系统容量不限) 74.2 模型二: ////系统容量有限95 具体实例分析106 小结14引言泊松分布(poisson distribution是一种统计与概率学中最常见的离散型概率分布,由法国数学家西莫恩?德尼?泊松(siméon-Denis poisson)于1838年提出,近些年来,随着自然科学的不断发展,泊松分布的重要性日益彰显.在泊松随机变量概念的基础上,加以推广便得到了泊松过程的概念.泊松过程属于早期的和简单的点过程理论研究.但泊松分布的相关概念在自然科学中却有着不可替代的位置.泊松过程可以拟合现实生活中很大一部分的实际问题,比如保险理赔问题和排队论问题.排队论的基本思想是丹麦电话工程师 A.K.埃尔郎在解决自动电话问题时开始形成发展的一个随机服务系统理论.通过对服务对象及服务时间的统计研究,得出数量指标(等待时间,排队长度等)的统计规律,然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象使得服务系统既能满足服务对象的需要,又能使机构的费用最经济或某些指标最优.本文将要介绍的现实中的排队服务问题,此外,泊松分布在诸如管理科学、交通运输、生物学、物理学、医学等很多涉及排队论问题的领域有着大量成功运用的实例.2 排队论的基本理论由于排队可以归属为一种随机现象,因此在研究有关排队现象的时候,主要采取概率论的相关知识作为其主要的工具.泊松分布作为概率论中最常见的分布在有关排队论问题中的应用非常广泛.我们把排队论所要研究的对象(要求服务的人或事物)称为顾客,把为顾客服务的人或事物称作服务机构,将顾客排队等待的整个过程称作服务系统或排队系统.由于顾客的到达时间和接受服务的时间到服务结束的时间一般说来都是随机的.所以我们又称服务系统为随机服务系统.排队论简介各种随机服务系统一般由三个部分组成,排队的一般过程就是顾客由顾客源出发,到达服务机构(服务员或服务台)等待服务,接受服务,完成服务后离开的过程.一般可以下三个构成部分:(1)输入系统;各类型的顾客以怎样的规律到达服务系统,主要是顾客到达时间的间隔分布;(2)排队规则;顾客到达服务系统后以怎样的次序方式接受服务,即如果全部的服务台都有顾客正在接受服务,则离开(损失制),或者是排队等待服务(等待制).还有系统的有限性和无限性即顾客源的有限或无限也是有差别的.(3)服务机构:相同的时刻有多少可以提供服务的设备可以为顾客提供服务,单个顾客的服务时间是多少.判断服务系统优劣的指标①队长:服务系统总的顾客数,记其期望值为;②排队长:服务系统中正在等待接收服务的顾客,记其期望值为;通常情况下或越大,系统的服务质量越差,反之,则越好;③逗留时间:某一顾客在服务系统中总的停留时间,记其期望值为;④等待时间:指某一顾客在服务系统中排队过程所费总时间;⑤忙期:指从某一顾客到达空闲服务机构至该机构再次空闲的时间间隔长度,是服务质量和强度的指标.用表示从初始时刻(时刻)到时刻(时间区间用表示)到达服务台的顾客数,用表示在时间区间()内共有个顾客到达服务台的概率,即:下面本文将通过泊松分布及泊松过程的有关定理探求的概率分布.首先引入泊松分布及泊松过程的有关定义和概念:定义2.1对于随机变量所有可能取值为满足以下两个条件时;⑴…⑵;则称这个分布服从参数为泊松分布,记为.泊松过程作为一种累计的随机事件发生次数的最基本的独立增量过程,排队问题中的计数过程需满足下面三个条件:i. 独立增量性:在没有重叠区间的时间间隔内到达服务系统的顾客数相互独立;ii. 平稳性:对充分小的,在时间区间内有一个顾客到达的概率与无关,而约与成正比.即:(为大于零的常数)iii.普通性:对充分小的,在时间区间内有个或个以上顾客到达的概率极小,以至于可以忽略不计,即:由上述条件(i)取即从时刻算起,并记为;再由条件(ii)(iii)可得在内无顾客到达的概率为:因为(即将拆分)由全概率公式有:………①将①式两边同时除以可得: ………②(是初值条件)当时可将②式改写为: ………③其中的现实意义是时刻无人到达的概率为1.对于初值问题③,在分离出的基础上,通过递推公式于是可得到:,…它的数学期望为, 方差.至此我们可以得出这样的结论:上面这种顾客到达的计数过程是服从参数为的泊松分布.排队论模型中的相关分布时间间隔的分布当寻求某种服务的顾客流入服务系统的过程是一个参数为的泊松过程时,那么,两个顾客相继到达的时间间隔服从参数为的负指数分布,并且两者是等价的.下面将就此结论进行简单的证明.设为的分布函数,那么:由分布函数求密度函数即对关于求导,可得:由指数分布的性质可知其期望,其现实意义为,若来客的平均到达率为,则他们的平均到达时间间隔为,二者的意义是互通的.服务时间的分布对于服务时间的分布一般说来也服从负指数分布,推理过程与上面时间间隔的分布类似,这里不再重述.下面只给出的分布函数和它的密度函数.,其中为平均服务率,其现实意义是单位时间内能被服务完的来客数目.下面就泊松分布在几种常见的排队论模型中的应用进行实例介绍.具体模型模型一:////(顾客源无限,系统容量不限)该模型的具体条件有:输入过程的顾客源是无限的,彼此间的到来独立不相关,到达的顾客流服从泊松分布,并且到达的过程是平稳的.排队服从单队形规则并且先到者优先接受服务,对队伍长度没有限制,只有一个服务台,来客接受服务的时间相互独立且都服从同一个负指数分布.下面就泊松分布的知识对该模型的相关指标进行计算.在顾客到达服从泊松分布(参数为)且服务时间服从指数分布(参数为)的前提,可知在的时间区间内,有一个来客到达的概率为,那么,它的对立事件即没有一个来客到达的概率为,同理,1个来客被服务完离开的概率为,其对立事件来客没有被服务完的概率为,有两个或两个以上来客到达或离开的概率为.再次运用全概率公式:上式整理后得:;移项并在等式两边同时除以后得:;故有: ………①上式是对于的情况,当时,①式可以改写为:………②联立①②并求其稳态条件下的解(此时与无关,可以改写为);得到关于的差分方程:………③由③式可得;由概率的知识规定:.于是, ; ………④④式是系统状态为的概率,由此计算出的该模型的几个主要指标有:a.顾客的平均数排队长度的期望:;b.正在队列中等待的顾客数平均(队列长的期望):;c.单个来客在服务系统中的停留时间的平均值:,即服从参数为的指数分布:d.排队等待所费时间的期望:;针对运用泊松分布计算出的上排队论模型的各指标参数,下面将其运用到具体的生活实例中.模型二: ////系统容量有限该模型与上一个比较,只是系统容量的不同,故上一模型的差分方程在当时,在此模型中仍适用,在这里只要考虑的情况,仍然运用全概率公式得:求导可得:得该模型的稳态条件下的差分方程为: ………①仍旧有,解方程组①得: ………②由②可得模型二的若干指标:a.顾客的平均数排队长度的期望:b.正在队列中等待的顾客数平均(队列长的期望):c.单个来客在服务系统中的停留时间的平均值:此时,当系统人满时,则到达率为,故要求出有效的到达率.正在被服务的顾客的期望为:但是当系统容量无限时有:,………③当服务系统容量为时,③式仍旧成立.由此得:d.排队等待所费时间的期望:针对运用泊松分布计算出的排队论模型二的各指标参数,下面将模型二的计算指标再次运用到具体的生活实例中,探究模型的实际应用功能.具体实例分析例 1 到某一公共电话亭打电话的人可以认为是以泊松流到达,没人到达的时间的间隔平均为分钟,每次打电话从开始到结束的时间为分钟,求:⑴该公共电话亭的平均排队的人数;⑵每人等待时间的期望值是多少;⑶某人到达后必须排队等待的概率是多大?⑷若电信公司在确定人到达后至少等待的时间为分钟的情况下,就会在相邻的地方安装另一部电话机,试问,平均到达率上升到多少时电信公司会安装另一部电话?例题分析:由泊松分布的知识可知:平均到达率人/分钟平均服务率人/分钟⑴人;⑵分钟;⑶ ;⑷现在假设平均的到达率由上升到时,此时某人到达后至少需要等待分钟,这时电信局需要在旁边安装另一部电话机.则,解得.其中⑷的解对实际问题的指导意义,即每两个人到达的时间间隔为时,安装另一部电话机可增加社会的经济效益.例2 针对合肥师范学院校园理发店的案例分析:到达位于浴室旁边的校园理发店寻求理发服务的学生群可以认为是以泊松流到达,该理发店内有六张座椅接待前来排队等待理发的学生,学生的大众心理规则如下,当到达理发店门口发现里面的张座椅全都坐满时,随即离去,到校外理发店寻求服务,经观察,本校学生的平均到达率为人/小时,整个理发过称平均为分钟/人.根据以上的观测信息计算以下几个问题:⑴某一学生已到达就能接受理发服务的概率;⑵需要排队等待接受理发的学生人数的期望值;⑶实际有效的的到达率为多少?⑷某一学生在该理发店逗留的时间的期望;⑸求在可能到来的学生中有多少人不等待就选择离开?分析:由实际情况知该校园理发店的服务系统的最大顾客容量为,因为学生的到来是一个泊松过程,由泊松分布的相关知识可得其参数为;平均到达率:人/小时;平均服务率:人/小时.⑴该情况等价于校园理发店内没有顾客,故其概率为:;⑵排队等待的期望值为:,.⑶有效的到达率为:人/小时.⑷某个学生在该理发店内停留时间的期望为:小时;⑸这个问题等同于校园理发店里有个学生的概率,%;以上的第五个问题的现实意义就是本校理发店的损失率.例3 针对某小区7月-12月访客到达的数据(如表1所示)运用SPSS统计软件单样本K-S检验方法检验,将得到的检验结果(见表2,3)结合前面分析的泊松分布的有关知识进行运算,最终得出指导实际的参数指标.表1、某小区7月-12月的每日客流量表2、单样本检验One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test来客量N183Most Extreme Differences Mean 172.37Absolute 0.370Positive 0.364Negative -0.370Kolmogorov-Smirnov Z5.007Asymp. Sig. 2-tailed0.532由统计结果得故可认为该来客流量过程服从泊松分布,由描述性统计结果(表3)可知来客流量的均值为,即,结合前面分析的泊松分布在排队论模型中参数的知识计算得系统中来客的数学期望,方差,服务时间期望,方差表3、描述性统计根据以上的运算结果可知,该小区在管理上提供的人次数为,服务时间为,从而该小区每天接待的平均来客量为人,上下波动人.对每一来客平均服务时间为天,上下波动天.因此,该小区的服务人员数量应确定为人之间,可根据季节变动调整服务人数,达到最优的人员配置,对实际的物业管理具有一定的指导意义.小结评价和优化随机服务系统需要一定的数量指标来完反映.这些数量指标包括:队长和排队长,逗留时间和等待时间,忙期和闲期,顾客损失率,服务强度.排队论就是通过研究主要数量指标的概率规律性,然后进行统计推测研究,最后使实际问题最优化.本篇论文在对已有的泊松分布和排队论的相关知识的简单介绍的基础上,引出两个最常见的排队论模型,运用泊松定理分析模型中顾客在服务系统中的各项指标参数.最后将本文所介绍的理论知识结合数学软件的数据分析运用到实例中,解决身边真实存在的涉及排队论的问题,具有很强的现实经济意义.参考文献[1] 韩中庚. 实用运筹学[M].北京:清华大学出版社,2007.[2] 陆传赉. 排队论[M].北京:北京邮电大学出版社,2009.[3] 魏宗舒. 概率论与数理统计[M]北京: 高等教育出版社, 1983.[4] 唐应辉,唐小我排队论基础与分析技术.[M].北京.科学出版社,2006.[5] 孟玉柯,排队论基础及应用.[M].上海.同济大学出版社,1989.10.[6] 吴振奎,王金文. 运筹学.[M].北京,中国人民大学出版社,2006.02.[7] //.ler, Computation of steady-state Probability of M/M/1 priority Queues[J], Operation Research 1993.[8] 队论和泊松过程在小区物业管理中的应用[J].青岛建筑工程学院学报,2004.11[9] 何选森,随机过程与排队论[M].湖南:湖南大学出版社,2010.08。
卫生统计学Poisson分布及其应用
卫生统计学Poisson分布及其应用在卫生统计学中，Poisson 分布是一种重要的概率分布，它在许多领域都有着广泛的应用。
Poisson 分布主要用于描述在一定时间、空间或其他单位内，随机事件发生的次数。
Poisson 分布的定义和特点Poisson 分布是以法国数学家 Siméon Denis Poisson 命名的。
它的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝（e^（λ) λ^k) ／ k! （其中 k 表示事件发生的次数，λ 是单位时间或空间内事件发生的平均次数，e 是自然常数）Poisson 分布具有以下几个重要特点：1、独立性：每个事件的发生是相互独立的，不受之前事件发生情况的影响。
2、稀有性：事件发生的概率通常较小。
3、平稳性：在一定的时间或空间范围内，事件发生的平均速率是恒定的。
Poisson 分布的应用场景Poisson 分布在卫生领域的应用非常广泛。
疾病发生的频率例如，在一定地区、一定时间内某种罕见疾病的发病例数就可以用Poisson 分布来描述。
假设某地区在一年内某种罕见病的平均发病数为5 例，那么可以用Poisson 分布来计算发病0 例、1 例、2 例等的概率，从而帮助卫生部门了解疾病的流行情况，制定相应的防控措施。
医疗服务需求在医院管理中，Poisson 分布可以用于预测一段时间内医院急诊室的就诊人数、手术室的使用次数等。
这有助于医院合理安排医疗资源，提高服务效率。
环境污染监测对于空气中污染物颗粒的计数、水中细菌的数量等，也可以假设其服从 Poisson 分布。
通过对样本的检测和分析，结合 Poisson 分布的特点，可以评估环境污染的程度和变化趋势。
职业暴露与健康风险评估在某些职业环境中，工人接触有害物质的次数或剂量也可能符合Poisson 分布。
这有助于评估职业暴露对健康的潜在风险，为制定职业防护标准提供依据。
Poisson 分布与其他分布的关系Poisson 分布与二项分布有着密切的联系。
泊松分布的现实意义
泊松分布的现实意义泊松分布（Poisson distribution）是一种用于描述单位时间内事件发生次数的概率分布。
它适用于在一段固定时间或空间内，事件以固定的平均速率独立地发生的情况。
泊松分布的现实意义广泛存在于各个领域，如人类行为、自然现象、工业生产以及金融风险管理等方面。
在人类行为领域，泊松分布可以用来研究一定时间内的事件发生次数，从而帮助我们更好地理解人类活动的规律性。
例如，在交通管理中，我们可以使用泊松分布来预测其中一路段上的交通事故数目，从而制定相应的交通安全措施。
此外，在疫情监测中，泊松分布也可以用来描述其中一地区的疾病传播情况，帮助疫情防控工作。
在自然科学领域，泊松分布的现实意义同样重要。
例如，在地质学中，我们可以使用泊松分布来描述地震发生的频率，从而预测地震活动带来的可能危害。
在生态学中，泊松分布可以用来分析种群数量的变化和生物事件（如繁殖、猎食等）的发生频率，进而帮助我们了解生态系统的结构和演变。
在工业生产方面，泊松分布的应用也十分广泛。
例如，在质量控制中，我们可以使用泊松分布来研究一段时间内出现的次品数量，以保证产品质量。
此外，在生产线上，泊松分布还可以用来研究设备故障的发生频率，以制定维护计划和提高生产效率。
在金融风险管理领域，泊松分布也具有实际意义。
例如，在保险业中，我们可以使用泊松分布来研究一定时间内发生保险事故的次数，进而制定保险费率和理赔政策。
在金融投资方面，泊松分布可以用来研究市场价格的波动性，从而量化金融风险和制定投资策略。
总之，泊松分布在现实生活和各个学科中都有广泛的应用。
它可以用来研究事件发生的概率、频率和分布规律。
通过对泊松分布的研究和应用，我们可以更好地了解和预测现实世界中的各种事件，从而帮助我们做出科学决策和制定有效的管理策略。
服从泊松分布的随机变量的实例
服从泊松分布的随机变量的实例泊松分布在现实世界中的应用泊松分布是一种描述事件在特定间隔内发生次数的概率分布。
其特点是事件发生的平均率保持恒定，而发生次数在不同间隔内独立变化。
以下是一些符合泊松分布的随机变量的实例：顾客到达速率：一家商店在特定时间段内接收顾客的速率。
顾客的到达是随机的，平均到达率是每小时固定数量的顾客。
电话呼叫量：呼叫中心的电话呼叫量。
呼叫之间的间隔时间是随机的，但平均呼叫率在特定时间段内是恒定的。
缺陷产品数量：在生产线上生产的产品中，缺陷产品的数量。
缺陷的发生是随机的，平均缺陷率是每生产一定数量的产品就出现一个缺陷。
交通事故次数：在特定道路上发生交通事故的次数。
事故发生的频率是随机的，但平均发生率是特定时间段内发生一定数量的事故。
生物事件：诸如细菌繁殖、放射性衰变和自然灾害等生物事件通常也符合泊松分布。
这些事件的发生频率往往具有随机性，但它们的平均发生率在特定的时间段或条件下保持相对稳定。
统计分析中的应用：泊松分布广泛应用于各种统计分析中，例如：假设检验：检验观测到的事件次数是否与特定泊松分布假设一致。
参数估计：估计泊松分布的平均率参数。
建模和预测：使用泊松分布对未来事件发生的次数进行建模和预测。
其他实际应用：除了上述例子外，泊松分布还用于广泛的实际应用中，例如：保险精算：预估保险索赔的次数和严重程度。
库存管理：优化库存水平，以最大限度地减少存货过剩或短缺。
质量控制：确定制造过程中的缺陷率。
可靠性工程：评估组件或系统的故障率。
流行病学：研究疾病暴发的模式和频率。
泊松分布是一种强大的统计工具，用于建模和分析各种随机事件。
通过理解泊松分布及其特性，我们可以更好地理解和预测特定现象的发生模式。
泊松分布在运动学领域的应用
泊松分布在运动学领域的应用泊松分布是一种离散概率分布，常用于描述单位时间内事件发生的次数。
它在运动学领域有广泛的应用，用以分析和预测各种随机事件发生的概率。
本文将介绍泊松分布在运动学中的几个重要应用。
1. 粒子碰撞模型中的应用在粒子碰撞模型中，泊松分布被用来描述单位面积或单位体积内粒子碰撞事件的发生频率。
通过观测碰撞事件发生的次数，可以使用泊松分布来推断碰撞事件的概率。
2. 车辆交通流量的预测泊松分布在交通流量的研究中也有着重要的应用。
通过观测某一路段上车辆通过的次数，可以使用泊松分布来估计未来某一时间段内车辆通过该路段的概率。
这对于交通规划和道路设计具有重要意义。
3. 随机游走模型随机游走是指物体在随机时间和随机方向下的运动。
泊松分布被广泛用于建立随机游走模型。
在这个模型中，物体以固定的时间间隔随机移动一定距离。
通过模拟多次随机移动，可以用泊松分布来估计物体最终位置的概率分布。
4. 事件发生的时间间隔分析除了事件的发生次数，泊松分布还可以用于分析事件发生的时间间隔。
例如，在统计学中，泊松分布被用来估计两个连续事件之间的等待时间。
在运动学中，泊松分布可以用来分析运动物体之间的碰撞间隔。
5. 马尔可夫链模型马尔可夫链是指具有无记忆性的随机过程。
泊松分布可以作为马尔可夫链模型中的等待时间分布。
通过对马尔可夫链的建模和分析，可以在运动学中描述和预测物体的运动轨迹和行为。
综上所述，泊松分布在运动学领域有着广泛的应用。
无论是在粒子碰撞模型中、车辆交通流量的预测、随机游走模型、事件发生的时间间隔分析还是马尔可夫链模型中，泊松分布都扮演着重要的角色。
对于研究人员和工程师来说，了解和掌握泊松分布的应用是十分重要的，它可以帮助他们更好地分析和预测各种运动学问题。
关于泊松分布及其应用
关于泊松分布及其应用揭秘泊松分布：从理论到应用的奇妙之旅在概率论的海洋中，泊松分布以其独特的形态和广泛的应用吸引了众多学者的。
本文将带大家领略泊松分布的魅力，从其概念、历史背景到实际应用，一探究竟。
泊松分布小传泊松分布是一种离散概率分布，描述了在给定时间间隔内随机事件发生的次数的概率分布形态。
其概率函数的形式为：P(X=k) = (λ^k / k!) * e^-λ其中，X表示随机事件发生的次数，λ表示单位时间（或单位空间）内事件发生的平均次数。
泊松分布的历史背景泊松分布由法国数学家西蒙·德尼·泊松于1837年提出。
泊松分布的起源可以追溯到一些概率模型的早期研究，例如放射性衰变和呼叫等随机过程的研究。
在泊松分布的假设下，这些随机过程可以被有效地建模和分析。
泊松分布的应用泊松分布在多个领域都有广泛的应用。
例如，在生物学中，泊松分布被用来描述生物个体在给定空间内出现的概率分布；在物理学中，泊松分布被用来描述光子在给定时间内的发射概率；在工程学中，泊松分布被用来描述故障或异常事件在给定时间内的发生概率。
此外，泊松分布还在金融、医学、社会科学等多个领域发挥着作用。
例如，在金融领域，泊松分布被用来描述资产价格变动的概率分布；在医学领域，泊松分布被用来描述疾病发生的概率分布；在社会科学领域，泊松分布被用来描述事件发生的概率分布。
总结泊松分布是概率论中重要的一环，具有广泛的应用价值。
通过对其概念、历史背景和应用领域的了解，我们可以更好地理解和应用这一分布在各个领域的模型和方法。
未来，随着科学技术的发展，泊松分布的应用前景将更加广阔，我们期待其在更多领域中发挥重要作用。
引言在统计学中，泊松分布和卡方检验法都是非常重要的方法，它们在数据分析中有着广泛的应用。
泊松分布是一种描述稀有事件发生次数的概率分布，而卡方检验法则是一种用于比较实际观测值和理论期望值之间的差异是否显著的统计方法。
本文将介绍如何使用函数和图表工具来描述和分析基于泊松分布卡方检验法的数据，并阐述其在实际应用中的效果和意义。
关于泊松分布及其应用
关于泊松分布及其应用论文提要：作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。
服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。
在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。
并且在某些函数关系起着一种重要作用。
例如线性的、指数的、三角函数的等等。
同样, 在为观察现象构造确定性模型时, 某些概率分布也经常出现。
泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。
为此本文讲述了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。
摘要泊松分布做为概率论中的一种重要分布,在管理科学、运筹学及自然科学的某些实际问题中都有着广泛的应用。
本文对泊松分布产生的过程、定义和性质做了简单的介绍,分析了泊松分布在生物学研究中的应用。
关键词泊松过程泊松分布应用摘要：泊松分布作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布的数学模型, 它具有很多性质。
研究了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。
关键词：泊松分布; 定义；定理；应用；例题；指数失效律; 数学期望; 方差一、 泊松分布的概念：定义1 设随机变量X 的可能取值为,,2,1,0 且{}0,,2,1,0,!>===-λλk e k x k X P k 为常数。
则称X 服从参数为λ的泊松分布,记作X ～ D(λ) 。
定义2 设ε是任意一个随机变量,称 )t (- e t)(it +∞<<∞=Φε是ε的特征函数。
主要结论：定理1 如果X 是一个具有以λ为参数的泊松分布,则E( X) = λ且D ( X) =λ。
证明 设X 是一随机变量,若 ] X) E( - X [ E{2}存在,则称它为X 的方差,记作D( X) ,即 ] X) E( - X [ E{ X) D(2}=。
设X 服从泊松分布D ( X) ,即有: 0 , , ,2 ,1 0 k ,!k} X P{>===-λλλ e k k则()()λλλλλλλλλ=⋅=-==-∞=--∞=-∑∑e e k ek e k X E k k k k110!1!从而()()()λλλλλλλλ+=-+-==-∞=-∞=--∞=∑∑∑212222!1!2!e k e k ek kXE k kk k k k故λλλλ - X) E( - ) X E( X) D(2222=+==定理2 设随机变量) , ,2 1 n ( x n =服从二项分布,其分布律为{}n k p p C k x P k n n kn k n n ,,2,1,0,)1( =-==-。
二项分布与泊松分布详解
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第1章绪论7章 二项分布与泊松分
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布
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图7-1 二项分布示意图
第1章绪论7章 二项分布与泊松分
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布
4.二项分布的数字特征
① 这里的数字特征主要指总体均数、方差、标 准差等参数。
② 随机变量X的数学期望 E（X）＝μ。
二项分布与泊松分布详解演示文稿
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第1章绪论7章 二项分布与泊松分布
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（优选）二项分布与泊松分布
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第1章绪论7章 二项分布与泊松分布
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程琮教授简介
医学统计学教授，硕士生导师。男，1959年6月出生。汉族，无党派。1982 年12月，山东医学院公共卫生专业五年本科毕业，获医学学士学位。1994年7月，上 海医科大学公共卫生学院研究生毕业，获医学硕士学位。2003年12月晋升教授。现任预防 医学教研室副主任。主要从事《医学统计学》、《预防医学》，《医学人口统计学》等 课程的教学及科研工作，每年听课学生600-1000人。自2000年起连续10年，为硕士 研究生开设《医学统计学》、《SPSS统计分析教程》、《卫生经济学》等课程，同 时指导研究生的科研设计、开题报告及科研资料的统计处理与分析。发表医学统 计学及预防医学的科研论文50多篇。代表作有“锌对乳癌细胞生长、增殖与基因表达的 影响”，，“行列相关的测度” 等。主编、副主编各类教材及专著10部，代表作有 《医学统计学》、《SPSS统计分析教程》。获得院级科研论文及科技进步奖8项，院
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第1章绪论7章 二项分布与泊松分布
泊松分布
P( X 3) e6 63 0.089 3!
例：如果某地居民脑血管疾病的患病率为150/10万， 那么调查该地1000名居民中有2人患脑血管疾病的概 率有多大？
n 1000 0.0015 1.5
P( X 2) e1.5 1.52 0.251 2!
u
x1 x2
或u
x1 x2
x1 / n1 x2 / n2
x1 / n12 x2 / n22
当两样本的观察单位（时间、面积、容积） 不相同时：
X1＋x2≥20 5＜X1＋x2 ＜ 20
u X1 X2
X1 n12
X2 n22
u X1 X2 1
X1 n12
X2 n22
n
2
( xi x )
i1
2
x
这一检验和上面介绍的泊松分布配合适度检验都可用 于检验某一样本是否来自泊松分布，或检验某事件 （或颗粒）之间是否独立或是否有聚集性。
例
在室内不同位置放置6个平皿，隔一定时间后进行培 养，得葡萄球菌落数分别为21，26，22，18，19， 32，问细菌在室内不同位置的分布是否随机?
x 23
2 5.91
61 5
2 0.05(5)
11.07
2
2 0.05(5)
,
p
0.05
则接受这一分布属于泊 松分布的假设，说明菌 落分布是随机的，没有 聚集性。
小结
在总体比例很小时，样本含量n趋 向于无穷大时，二项分布也就趋 向于泊松分布
泊松分布可看作是单位时间、单 位面积或单位容积中颗粒数或某 罕见事件发生数的概率分布
泊松分布以及在什么情况下使用它
泊松分布以及在什么情况下使用它一个故事：你已经做了10年的自由职业者了。
到目前为止，你的平均年收入约为8万美元。
今年，你觉得自己陷入了困境，决定要达到6位数。
要做到这一点，你需要先计算这一令人兴奋的成就发生的概率，但你不知道怎么做。
在世界上有许多场景，其中存在某个随机事件的已知概率，企业希望发现该事件在未来发生的概率大于或小于这个概率。
例如，已经知道自己平均销售额的零售商所有者会试图猜测他们在黑色星期五或双十一等特殊日子能多赚多少钱。
这将帮助他们储存更多的产品，并相应地管理他们的员工。
在这篇文章中，我们将讨论用于模拟上述情况的泊松分布背后的理论，如何理解和使用它的公式，以及如何使用Python代码来模拟它。
离散型概率分布这篇文章假设你对概率有一个基本的了解。
在我们开始真正的文章之前，我们将建立一些对离散概率分布的理解。
首先，让我们定义离散的含义。
在描述统计学中，离散数据是通过计数记录或收集的任何数据，即整数。
例如考试分数、停车场里的汽车数量、医院里的分娩数量等。
然后，有一些随机实验会产生离散的结果。
例如，抛硬币有两种结果:正面和反面(1和0)，掷骰子有6种离散结果，以此类推。
如果用一个随机变量X来存储离散实验的可能结果，那么它将具有离散概率分布。
概率分布记录了随机实验的所有可能结果。
作为一个简单的例子，让我们来构建一次抛硬币的分布:这很容易。
如果我们想以编程的方式记录这个分布，它应该是Python列表或Numpy数组的形式:然而，你可以想象，对于有许多可能结果的大型实验，用这种方法建立分布并找到概率是不可能的。
值得庆幸的是，每个概率分布都有自己的公式来计算任何结果的概率。
对于离散概率分布，这些函数称为概率质量函数(PMF)。
泊松分布我们将通过一个案例来开始理解泊松分布。
假如你真的很喜欢在医院里看新生儿。
根据你的观察和报告，你知道医院平均每小时出生6个新生儿。
你发现你明天要出差，所以在去机场之前，你想最后一次去医院。
Poisson泊松分布及应用
P(0) e 8 80 3.354 10 4 0!
P(1) e8 81 2.684 10 3 1!
Poisson分布可视为观察例数n很大，发生 的概率π很小时二项分布B（ n,π）的极限 情形。
当n很大时，二项分布概率的计算相当复杂， 利用二项分布的Poisson近似这一性质，当 n很大且π(π≤0.01)很小时，可以用 Poisson分布的概率计算近似代替二项分布 的概率计算。
6 2
P X 3 P X 0.062
X 0
0! X 0
0!
1!
2!
该培养皿中菌落数大于1个的概率
PX 1 1 PX 0 PX 1 1 e 6 6 0 e 6 6 1 0.983
0! 1!
三、 Poisson分布的正态近似法
当λ≥20时，依据Poisson分布近似正态分布的原理，可以对其总体 均数进行推断。
二、 Poisson分布的特征
（1） Poisson分布的总体均数与总体方差相等，均为λ。 若从该河中随机抽取无数个1毫升水，显然1毫升水中的细菌
数X各不相同，这些细菌数X的总体均数即Poisson分布的参数λ， 而且这些细菌数X的总体方差也等于此参数λ。
（2） Possion分布的观察结果有可加性。若从
至多有4人患先天性心脏病的概率为
P(X
4)
4
P( X )
4
e 0.96
0.96X
X 0
X 0
X!
e 0.96 0.960 e 0.96 0.961 e 0.96 0.962
0!
1!
2!
e 0.96 0.963 e 0.96 0.964
0.997
3!
4!
讲解最清楚的泊松分布
讲解最清楚的泊松分布
一、泊松分布
日常生活中，大量事件是有固定频率的。
-某医院平均每小时出生3个婴儿
-某公司平均每10分钟接到1个电话
-某超市平均每天销售4包xx牌奶粉
-某网站平均每分钟有2次访问
它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。
已知
平均每小时出生3个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？
有可能一下子出生6个，也有可能一个都不出生。
这是我们没法知道的。
泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。
上面就是泊松分布的公式。
等号的左边，P表示概率，N表示某种函数关系，t表示时间，n表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为P(N(1) = 3)。
等号的右边，久表示事件的频率。
接下来两个小时，一个婴儿都不出生的概率是0.25%，基本不可能发生。
P 网2)=。
)"心2
0! 牝
0.0025
P(N(t) =n)= (Xt)n e~xt
nl
接下来一个小时，至少出生两个婴儿的概率是80%。
小都不太可能。
每小时出生3个婴儿，这是最可能的结果，出生得越多或越少，就越不可能。