辽宁省大连24中高一数学下学期期末考试卷

辽宁省大连24中高一数学下学期期末考试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的） 1．x x 2sin ,53)4sin(则=-π的值为 （ ）A ．2519B ．2516C ．2514D ．257 2．将函数)3,4(sin π-==a x y 按向量平移后的函数解析式为（ ）A ．3)4sin(+-=πx y B ．3)4sin(--=πx yC ．3)4sin(++=πx yD ．3)4sin(-+=πx y3．函数x x x f 52sin 52cos 3)(+=图像的相邻两条对称轴之间的距离是（ ）A ．45πB ．π5C ．52πD ．25π4．已知正数x ，y 满足yx y x 11,12+=+则的最小值为（ ）A ．24B ．221+C ．223+D ．45．要得到)42cos(π-=x y 的图像，只需将x y 2sin =的图像（ ）A ．向左平移8π单位 B ．向右平移8π单位C ．向左平移4π单位D ．向右平移4π单位6．命题p ：向量b a 与向量的夹角为钝角.命题q ：.0<⋅b a 则p 是q 的 （ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分与不必要条件7．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若三边a 、b 、c 成等比数列，则cot B 的取值范围是 （ ）A ．(]3,0B ．[)+∞,3 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,0 D ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,33 8．已知x 1，x 2是方程x x 3342-=+的两个实根，且21arctan ,arctan x x ==βα，则 βα+=（ ）A ．32π-B ．344ππ或C ．3πD ．332ππ或- 9．在直角△ABC 中，∠C 为直角，斜边为c ，两条直角边分别为a 、b ，则ba c+的取值范围为（ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡22,21B ．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛22,33D ．⎥⎦⎤⎝⎛33,42 10．设O 在△ABC 的内部，且OC OB OC OA 22--=+，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为（ ）A ．23B ．2C ．3D ．35 11．已知向量2|,|4||,,,),sin ,(cos ),,(λθθθ<⋅=∈==b a b a n m b n m a 则当若其中R 恒成立时实数λ的取值范围是（ ）A ．22-<>λλ或B ．22-<>λλ或C ．22<<-λD ．22<<-λ12．正实数x 1,x 2及函数)(,1)()(,)(1)(14)(2121x x f x f x f x f x f x f x+=+-+=则且满足的最小值为（ ）A ．45 B ．54C ．1D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上） 13．已知角α为第三象限的角，则∈-)2tan(α.14．等腰三角形的腰长为2,底边中点到腰的距离为23,则三角形外接圆的直径 为 .15．已知点||3||,),6,2(),3,2(PB AP AB P B A =-上在直线且点,则点P 的坐标 为 .16．不等式∈-+<--x x x xx则成立,|)12(log |)21(|)12(log )21(|2121 .三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知x x x x f ωωωωcos sin 3cos )(,202+=<<设（1）若)(x f 的周期为π2，求)(x f 的单调递增区间； （2）若函数)(x f 图像的一条对称轴为ωπ求,6=x 的值.18．（本小题满分12分）已知△ABC 的面积S 满足.,6,33θ的夹角为与且BC AB BC AB S =⋅≤≤ （1）求θ的取值范围；（2）求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的值域. 19．（本小题满分12分）已知向量)2cos ,2(,sin 1,sin 1x b x x a =⎪⎭⎫⎝⎛-= （1）若b a x 与试判断,2,0⎥⎦⎤⎝⎛∈π能否平行？为什么？ （2）若b a x f x ⋅=⎥⎦⎤⎝⎛∈)(,3,0求函数π的最小值.20．（本小题满分12分）如图：在一座山上要打一个涵洞，在山周围取四个点A 、B 、C 、D ，使AB ⊥BC ，又测得∠DAB = 120°，DA = 3km ，DC = 7km ， BC = 33km 求：涵洞DB 的长. 21．（本小题满分12分） 已知)sin 1(sin 4)(,2022αααπα-=<<f 函数的最大值为m ，设0>a ，解关于x 的不等式m x ax<-1log 2 22．（本小题满分14分）设b a ,是两个互相垂直的单位向量，已知向量)0(,,>+=+=k b k a n b a k m 且向量)(k f n m 的斜弦值为夹角与θ， （1）求)(k f 的表达式.（文理共做）（2）求)(k f 的值域及夹角k 时的60=θ值.（文理共做）（3）（本小题理科做，文科不做）在（1）的条件下解关于k 的不等式：).(,16)4(3)]([2422R a k k ka ak k f f ∈++++-<[参考答案]一、DCDCA BDABC BB 二、13．),1(+∞ 14．3344或 15．)215,4(),421,1( 16．⎥⎦⎤⎝⎛1,21 三、17．解：（1）21)62sin()(++=πωx x f …………3分由21)6sin()(21,2++===πωπx x f T 故得…………5分 所以)(x f 的单调递增区间为.],32,322[Z k k k ∈+-ππππ …………7分（2）6π=x 是函数图像的一条对称轴，Z k k k ∈+=+=+⨯∴,132662ωππππω即…………10分 又1,0,20==<<ωω时所以当k…………12分18．解：（1）因为6cos ||||=⋅⋅=⋅θBC AB BC AB )sin(||||21θπ-⋅⋅=BC AB S …………3分所以3tan 3333,tan 3≤≤≤≤=θθ得由S S即]4,6[,1tan 33ππθθθ∈≤≤所以的夹角与为又BC AB …………6分 （2）θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f )42sin(222cos 2sin 2πθθθ++=++=…………9分由⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+426,22)42sin(,43,12742πθπππθ得, …………11分 所以函数.253,3)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+的值域为θf…………12分19．解：（1）若02sin 12cos sin 1,=⨯--⨯xx x b a 则有平行与 …………3分1|2cos |22cos ,0sin ,2,0≤-=≠∴⎥⎦⎤⎝⎛∈x x x x 与π 矛盾，所以不平行 …………5分（2）xx x x x x x b a x f sin 1sin 2sin sin 21sin 2cos sin 2)(2+=+=-+=⋅=…………8分因为⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎥⎦⎤ ⎝⎛∈23,0sin ,3,0x x 所以π 于是22sin 1sin 22sin 1sin 2=⨯≥+xx x x , …………10分当且仅当422sin sin sin 2π==⇒1=x x x x 即时取等号 故函数.22)(的最小值为x f …………12分 20．解：设α=∠=ABD xkm DB ,…………2分由正弦定理得xx 233sin 120sin sin 3=⇒=αα…………5分由余弦定理得x x x x 36223324927sin 2cos 22-=⨯⨯-+==⎪⎭⎫⎝⎛-ααπ…………8分由km x xx x 7,36222332=-=得…………11分 答：涵洞的长为7km.…………12分21．解：已知)sin 1(sin 4)(,1sin 0,2022ααααπα-=<<<<f 则得αααα2222sin 1sin ,12sin 1sin 4-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤当且仅当 即1,4,21sin2===m 时即παα…………3分10001,210,11log 2><⎪⎩⎪⎨⎧>>-<-<∴<-∴x x a x axx ax x ax 或得由，…………5分由0)1](2)2[(122021<-+-⇒-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧><-x x a x x ax a x ax…………7分讨论：（1）当10,1,2><<=x x x a 或且得时（2）当10,122,2><<<-->x x x a a 或且得时 （3）当10,122,20><<-><<x x x ax a 或且或得时…………11分综上所述；当}0|{,2<=x x a 解集为时当}022|{,2<<-->x a x a 解集为时 当}022|{,20<-><<x ax x a 或解集为时…………12分22．解：（1）1||||,0===⋅∴⊥b a b a b a ，k b k b a k b a a k b k a b a k n m 2))((222=+⋅+⋅+=++=⋅ 2分（文3分） 222221||1||,1)(||k n k m k b a k m +=+=+=+=同理即…………4分 （文6分）)0(,12||||cos )(2>+=⋅⋅==∴k kkn m n m k f θ 6分（文8分） （2）因为1,212=≥+k k k 当且仅当等号成立 所以(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈∈2,0,1,0)(πθ夹角k f…………（文11分）当32,2112cos 602±==+==k kk 解得时θθ…………8分（文14分）（3）由（1）可得Ra k ak a k k a ak k k k a ak k k R a k k k a ak k k k k kk k kk f f ∈><-+⇔<-+⇔++-<+⇔∈++++-<+++=+++⨯=,0,0)4)((4100)34()4(344)(,16)4(31644)12(1122)]([22223242224322分,0,00,40,0><=><<-<>k k a k ak a k a 且解为时当且或解为时当 当0,04,0>-<<<<k a k ak a 且或解为时 …………13分综上所述：当}40|{,0ak k a <<>解集为时； 当Φ=解集为时,0a ；当}0|{,0a k k a -<<<解集为时 …………14分。