备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题33多角度破解多变元范围问题

专题33 多角度破解多变元范围问题

【热点聚焦与扩展】

在近几年的高考题目中，有些多变元（量）确定范围问题，一般地可利用已知条件进行消元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得范围（最值），且消元的方法较多.另外，某些题目也可以利用数形结合法求解.本专题重点说明从消元、数形结合等角度解答此类问题. （一）消元法：

1、消元的目的：若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取值共同影响），所以如果题目条件能够提供减少变量的方式，则通常利用条件减少变量的个数，从而有利于求表达式的范围（或最值），消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式，进而可构造函数求得值域

2、常见消元的方法：

（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：

① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）

② 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担.例如选择t 为主元，且有(),x f t a x b =≤≤，则t 除了满足自身的范围外，还要满足()a f t b ≤≤（即解不等式） （2）换元：常见的换元有两种：

①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为

一元表达式，常见的如,y y x x -等，例如在x y u x y -=+中，可变形为11y

x u y x

-

=

+，设y t x =，则将问题转化为求11t

u t

-=+的值域问题

注：在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围

②三角换元：已知条件为关于,x y 的二次等式时，可联想到三角公式，从而将,x y 的表达式转化为三角函数表达式来求得范围.因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见的三角换元有：

平方和：联想到正余弦平方和等于1，从而有：2

2

cos 1sin x x y y θ

θ=⎧+=⇒⎨

=⎩

[),0,2θπ∈

推广：22

22cos 1sin x a x y y b a b θθ

=⎧+=⇒⎨=⎩[),0,2θπ∈

平方差：联想到正割（

1cos θ） 与正切（sin tan cos θ

θθ

=）的平方差为1，则有[)22

1sec cos 1,0,2sin tan cos x x y y θθθπθθθ⎧==⎪⎪-=⇒∈⎨⎪==

⎪⎩，

推广：[)2

2

22sec cos 1,0,2sin tan cos a x a x y b a b y b θθθπθ

θθ⎧

==⎪⎪-=⇒∈⎨

⎪==⎪⎩

注：若,x y 有限定范围时，要注意对θ取值的影响，一般地，若(),x y 的取值范围仅仅以象限为界，则可用对应象限角的取值刻画θ的范围 3、消元后一元表达式的范围求法：

（1）函数的值域——通过常见函数，或者利用导数分析函数的单调性，求得函数值域

（2）均值不等式：若表达式可构造出具备使用均值不等式（2a b ab +≥式快速得到最值. （3）三角函数：

① 形如sin cos a b θθ+的形式：则可利用公式转化为()sin A ωθϕ+的形式解得值域（或最值） ② 形如()sin f θ：则可通过换元sin t θ=将其转化为传统函数进行求解 ③ 形如：

sin cos a

b

θθ--，可联想到此式为点()cos ,sin θθ和定点(),a b 连线的斜率，其中()cos ,sin θθ为单位

圆上的点，通过数形结合即可解得分式范围 （二）放缩消元法

1、放缩法求最值的理论基础：

不等式的传递性：若()()(),,f x y g x g x m ≥≥，则(),f x y m ≥ 2、常见的放缩消元手段：

（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元

（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果

（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果

（4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果. 3、放缩消元过程中要注意的地方：

（1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的不等号为“≥”；若求最大值，则对应的不等号为“≤”.放缩的方向应与不等号的方向一致

（2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值.放缩法求最值的基础是不等式的传递性，所以在求最值时要满足其不等号的方向一致.若将关于,x y 的表达式(),f x y 进行放缩消去y ，得到()g x ，例如()(),f x y g x ≥，则下一步需要求出()g x 的最小值（记为m ）

，即()(),f x y g x m ≥≥，通过不等式的传递性即可得到(),f x y m ≥.同理，若放缩后得到：()(),f x y g x ≤，则需要求出()g x 的最大值（记为M ），即()(),f x y g x M ≤≤，然后通过不等式的传递性得到(),f x y M ≤

（3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式中等号能够一直传递下去 （三）数形结合法 1、数形结合的适用范围：

（1）题目条件中含有多个不等关系，经过分析后可得到关于两个变量的不等式组 （2）所求的表达式具备一定的几何意义（截距，斜率，距离等） 2、如果满足以上情况，则可以考虑利用数形结合的方式进行解决

3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与所求为双变量的一次表达式

4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理，这要看所给的不等条件（尤其是不等号方向）是否有利于进行放缩.

【经典例题】

例1. 已知函数()()1

,ln

22

x

x f x e g x ==+，对任意的a R ∈，存在()0,b ∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ ）

A. 21e

B. 2

1

2

e -

C. 2ln 2-

D. 2ln 2+ 【答案】D