利用导数求切线PPT课件
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5.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数 间的关系为yx′=___y_u′_·_u_x′_,即y对x的导数等于___y_对__u的 导数与_u_对__x_的导数的乘积.
【例1】 已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 解 (1)∵f′(x)=3x2-8x+5,∴f′(2)=1, 又f(2)=-2, ∴曲线在点(2,f(2))处的切线方程为y+2=x-2, 即x-y-4=0. (2)设曲线与经过点A(2,-2)的切线相切于点
(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过点B(2, 10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;过点C(0,2)存在1条直 线与曲线y=f(x)相切.
思考题: “直线与曲线只有一个公共点”是“直
线为曲线的切线”的什么条件?
课堂小结
[思想方法] 1.f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))′是函数值
利用导数求切线
本节ห้องสมุดไป่ตู้的目标
• 1.求曲线在某处的切线; • 2.求经过某点的曲线的切线; • 3.已知曲线的切线条数,求参数的范围; • 4.判断曲线切线的条数问题
知识梳理
1.导数与导函数的概念
(2)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数, 其导数值在(a,b)内构成一个新函数,这个函数称为函数 y=f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.
4. 导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 (1)[f(x)±g(x)]′=____f′_(x_)_±__g_′(_x_)___; (2)[f(x)·g(x)]′=___f′_(_x)_g_(_x_)+__f_(_x)_g_′_(x_)___; f′(x)g(x)-f(x)g′(x) (3)gf((xx))′=___________[g__(__x_)__]2__________ (g(x)≠0).
f(x)=ln x
f(x)=logax (a>0,a≠1)
导函数 f′(x)=__0_ f′(x)=__α_x_α_-_1__ f′(x)=_c_o_s__x_ f′(x)=__-__si_n_x__ f′(x)=__e_x_ f′(x)=___a_xl_n_a__
1 f′(x)=__x__
1 f′(x)=__x_ln__a_
f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0, 即(f(x0))′=0. 如活页T6 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原 则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别
线 y=f(x)相切”等价于“g(x)有 3 个不同零点”. g′(x)=12x2-12x=12x(x-1).
于是,当 x 变化时,g(x),g′(x)的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
g′(x)
+
0
-
0
+
g(x)
t+3
t+1
所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值;g(1)=t+1是g(x)的极小值. 当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上 分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.当g(1)=t+1≥0,即 t≥-1时,此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点, 所以g(x)至多有2个零点.当g(0)>0且g(1)<0,即-3<t<-1时,因 为g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分别在区间[-1,0), [0,1)和[1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞) 上单调,所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点.综 上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范 围是(-3,-1).
解 (1)由 f(x)=2x3-3x 得 f′(x)=6x2-3.令 f′(x)=0,得
x=- 22或 x= 22.
因为 f(-2)=-10,f
-
22=
2,f
22=-
2,
f(1)=-1,
所以 f(x)在区间[-2,1]上的最大值为 f
-
22=
2.
(2)设过点 P(1,t)的直线与曲线 y=f(x)相切于点(x0,y0),则 y0 =2x30-3x0,且切线斜率为 k=6x20-3,所以切线方程为 y-y0 =(6x20-3)(x-x0),因此 t-y0=(6x20-3)·(1-x0).整理得 4x30- 6x20+t+3=0. 设 g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲
P(x0,x30-4x20+5x0-4),∵f′(x0)=3x20-8x0+5, ∴切线方程为 y-(-2)=(3x20-8x0+5)(x-2),
又切线过点 P(x0,x30-4x20+5x0-4), ∴x30-4x20+5x0-2=(3x20-8x0+5)(x0-2),
整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或1, ∴经过A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0, 或y+2=0.
已知切线的条数求参数范围或判断切线的条数问题 【例2】 (2014·北京卷)已知函数f(x)=2x3-3x.
(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的 取值范围;
(3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直 线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)
2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x) 在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=_f′_(_x0_)__.
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xα(α∈Q*)
f(x)=sin x f(x)=cos x
f(x)=ex f(x)=ax(a>0,a≠1)
【例1】 已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 解 (1)∵f′(x)=3x2-8x+5,∴f′(2)=1, 又f(2)=-2, ∴曲线在点(2,f(2))处的切线方程为y+2=x-2, 即x-y-4=0. (2)设曲线与经过点A(2,-2)的切线相切于点
(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过点B(2, 10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;过点C(0,2)存在1条直 线与曲线y=f(x)相切.
思考题: “直线与曲线只有一个公共点”是“直
线为曲线的切线”的什么条件?
课堂小结
[思想方法] 1.f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))′是函数值
利用导数求切线
本节ห้องสมุดไป่ตู้的目标
• 1.求曲线在某处的切线; • 2.求经过某点的曲线的切线; • 3.已知曲线的切线条数,求参数的范围; • 4.判断曲线切线的条数问题
知识梳理
1.导数与导函数的概念
(2)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数, 其导数值在(a,b)内构成一个新函数,这个函数称为函数 y=f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.
4. 导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 (1)[f(x)±g(x)]′=____f′_(x_)_±__g_′(_x_)___; (2)[f(x)·g(x)]′=___f′_(_x)_g_(_x_)+__f_(_x)_g_′_(x_)___; f′(x)g(x)-f(x)g′(x) (3)gf((xx))′=___________[g__(__x_)__]2__________ (g(x)≠0).
f(x)=ln x
f(x)=logax (a>0,a≠1)
导函数 f′(x)=__0_ f′(x)=__α_x_α_-_1__ f′(x)=_c_o_s__x_ f′(x)=__-__si_n_x__ f′(x)=__e_x_ f′(x)=___a_xl_n_a__
1 f′(x)=__x__
1 f′(x)=__x_ln__a_
f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常量,其导数一定为0, 即(f(x0))′=0. 如活页T6 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原 则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别
线 y=f(x)相切”等价于“g(x)有 3 个不同零点”. g′(x)=12x2-12x=12x(x-1).
于是,当 x 变化时,g(x),g′(x)的变化情况如下表:
x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
g′(x)
+
0
-
0
+
g(x)
t+3
t+1
所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值;g(1)=t+1是g(x)的极小值. 当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上 分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点.当g(1)=t+1≥0,即 t≥-1时,此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点, 所以g(x)至多有2个零点.当g(0)>0且g(1)<0,即-3<t<-1时,因 为g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分别在区间[-1,0), [0,1)和[1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞) 上单调,所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点.综 上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范 围是(-3,-1).
解 (1)由 f(x)=2x3-3x 得 f′(x)=6x2-3.令 f′(x)=0,得
x=- 22或 x= 22.
因为 f(-2)=-10,f
-
22=
2,f
22=-
2,
f(1)=-1,
所以 f(x)在区间[-2,1]上的最大值为 f
-
22=
2.
(2)设过点 P(1,t)的直线与曲线 y=f(x)相切于点(x0,y0),则 y0 =2x30-3x0,且切线斜率为 k=6x20-3,所以切线方程为 y-y0 =(6x20-3)(x-x0),因此 t-y0=(6x20-3)·(1-x0).整理得 4x30- 6x20+t+3=0. 设 g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲
P(x0,x30-4x20+5x0-4),∵f′(x0)=3x20-8x0+5, ∴切线方程为 y-(-2)=(3x20-8x0+5)(x-2),
又切线过点 P(x0,x30-4x20+5x0-4), ∴x30-4x20+5x0-2=(3x20-8x0+5)(x0-2),
整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或1, ∴经过A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0, 或y+2=0.
已知切线的条数求参数范围或判断切线的条数问题 【例2】 (2014·北京卷)已知函数f(x)=2x3-3x.
(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的 取值范围;
(3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直 线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)
2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x) 在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k=_f′_(_x0_)__.
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xα(α∈Q*)
f(x)=sin x f(x)=cos x
f(x)=ex f(x)=ax(a>0,a≠1)