华南理工大学概率论与数理统计课件 (21)

x 0, x 0.
由于在 H 0 中参数 未具体给出 故先估计 . , 2231 ˆ 由最大似然估计法得 x 13.77, 162 X 为连续型随机变量,
将 X 可能取值区间[0 , ) 分为 k 9 个互不重叠 的子区间[ai , ai 1 ), i 1, 2,, 9. (见下页表)
X Y 0 4 5 9 10 14 15 19 20 24 25 29 30 34 35 39 40 50 31 26 17 10 8 6 6 8
试检验相继两次地震间隔天数 X 服从指数分布.
解
所求问题为: 在水平 0.05下检验假设
x 1 e , H0 : X 的概率密度 f ( x ) 0,
故在水平 0.05 下接受 H0 , 认为样本服从指数分布.
例4 下面列出了84个依特拉斯坎人男子的头颅 的最大宽度(mm), 试验证这些数据是否来自正 ( 0.1) 态总体? 141 148 132 138 154 142 150 146 155 158 150 140 147 148 144 150 149 145 149 158 143 141 144 144 126 140 144 142 141 140 145 135 147 146 141 136 140 146 142 137 148 154 137 139 143 140 131 143 141 149 148 135 148 152 143 144 141 143 147 146 150 132 142 142 143 153 149 146 149 138 142 149 142 137 134 144 146 147 140 142 140 137 152 145
查 (5)表得 0.05
2 2
2 20.16 11.07, 11.07,
所以拒绝 H0, 认为这颗骰子的六个面不是匀称的.
例2 在一试验中, 每隔一定时间观察一次由某种铀所放射的到达
计数器上的 粒子数, 共观察了100次, 得结果如下表:
i fi Ai 0 1 A0 1 5 A1 2 3 16 17 A2 A3 4 5 26 11 A4 A5 6 9 A6 7 9 A7 8 2 A8 9 1 A9 10 2 A10 11 12 1 0 A11 A12

ˆ pi

0.015 0.063 0.078 0.132 0.185 0.194 0.163 0.114 0.069 0.036 0.017 0.007 0.003 0.065 0.002


1.5 6.3 13.2 18.5 19.4 16.3 11.4 6.9 3.6 1.7 0.7 0.3 0.2
取 i { i } , ( i 1, 2,,6 )
则事件Ai X i { X i } (i 1,2,,6) 为 互不相容事件 .
1 在 H0 为真的前提下, pi P ( Ai ) , ( i 1, 2,,6) 1 2 6 1 2 2 ( 40 300 ) k (70 300 ) ( f i npi ) 2 6 6 1 npi 1 i 1 300 300 6 16 1 2 1 2 (52 300 )2 ( 30 300 1 )2 (48 300 ) (60 300 ) 6 6 6 6 , 1 1 1 1 300 300 300 300 6 6 6 6 2 20.16, 自由度为6 1 5 ,
由于在 H 0 中参数 未具体给出 故先估计 . , 由最大似然估计法得 x 4.2, 根据题目中已知表格, P{ X i }有估计
e4.2 4.2i ˆ ˆ pi PX i , i 0,1, 2,, i! ˆ ˆ 如 p0 PX 0 e4.2 0.015, e4.2 4.23 ˆ ˆ p3 PX 3 0.185, 3!
7.3 分布拟合检验
Chi-square test
1. 检验法的定义 2 2. 检验法的基本思想
2
3. 皮尔逊定理 4.小结
课堂作业
• P161 16
1. 2检验法的定义
这是在总体的分布未知 的情况下, 根据样本 X 1 , X 2 , , X n 来检验关于总体分布的 假设 H 0 : 总体 X 的分布函数为F ( x), H1 : 总体 X 的分布函数不是F ( x), 的一种方法 .
ˆ ˆ ˆ p12 PX 12 1 pi 0.002,
i 1 11
具体计算结果见下页表 ,
2 例2的 拟合检验计算表
Ai A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12
fi
1 5 6 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1 6 0
说明 (1)在这里备择假设H1可以不必写出.
( 2) 若总体 X 为离散型: 则上述假设相当于
H 0 : 总体 X 的分布律为 { X xi } pi , i 1,2,. P
(3) 若总体X 为连续型 则上述假设相当于 : H 0 : 总体 X 的概率密度为 f ( x ).
(4) 在使用 2检验法检验假设H 0 时, 若 F ( x) 的形式已知 但其参 , 数值未知 需要先用最大似然估计 , 法估计参数 然后作检验 , .
3.皮尔逊定理
设检验假设 0的统计量为 H
最常用
2
i 1
k
定理
2 k fi n fi 2 n pi 或 pi n i 1 npi 2
若 n 充分大( 50),则当 H 0 为真时(不论 H 0 中的分布属什么
分布), 上统计量总是近似地服 从自由度为k r 1的 2 分布, 其中, r是被估计的参数的个数.
ˆ npi
ˆ fi 2 / npi
4.615
19.394 15.622 34.845 7.423 7.105 11.739
5.538
=106.281
ˆ 其中有些npi 5的组予以合并使得每组均有 , npi 5, 如表中第 列花括号所示 3 .
并组后 k 8, 故 的自由度为8 1 1 6,

x ˆ ( x ) 1 e 13.77 , x 0, X 的分布函数的估计为 F 0, x 0. 概率 pi P ( Ai )有估计 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ pi P ( Ai ) P{ai X ai 1 } F (ai 1 ) F (ai ), ˆ ˆ ˆ 如 p2 P ( A2 ) P{4.5 X 0.5}
pi P i 1 X i
（5）构造统计量
( f i npi ) 2 2 npi i 1
m
2分布 对于大样本，上述统计量近似服从自由度为k-r-1的 （r是分布函数概率密度函数中观测值估计的参数个数）。
2 （6）在给定显著水平α下查出 分布表中的 临界值 2 (m r 1). ,
( f i npi )2 2 2 ( k r 1), 于是, 如果在假设 H 0 下, npi i 1
k
则在显著性水平 下拒绝H 0 , 否则就接受H 0 .
注意
在使用 2 检验法时, n要足够大, npi 不太小. 根据实践, 一般 n 50, 或每一个npi 5.
用 2 检验法进行检验，具体步骤如下： （1）求出F0(x)或f0(x)中未知参数的估计值（一般用 最大似然估计值），从而写出F0(x)或f0(x)的具体表达式。 （2）按第二章的分组方法，把样本值分成m个区间 （a0,a1）,(a1,a2),…(ai-1,ai),…,(am-1,am)。 （3）求出样本观测值在每个区间(ai-1,ai)内的频数fi （4）根据已写出的F0(x)或f0(x)，计算出总体X在每 个区间(ai-1,ai)中的概率值pi。
若 2 2 (m r 1) ,则拒绝原假设H0。
若 2 2 (m r 1) ,则接受原假设H0。
例1 把一颗骰子重复抛掷 300 次, 结果如下: 出现的点数 1 2 3 4 5 6
出现的频数 40 Biblioteka Baidu0 48 60 52 30
试检验这颗骰子的六个面是否匀称? (取 0.05 ) 解 根据题意需要检验假设H0: 这颗骰子的六个面是匀称的. 1 (或 H 0 : P{ X i } ( i 1,2, ,6)) 6 其中 X 表示抛掷这骰子一次所出现的点数 (可能值只有 6 个),
8
在 H0 为真的前提下,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p9 F ( A9 ) 1 F ( Ai ) 0.0568, F (9.5) F (4.5) i 1 0.2196, 2 k 8, r 1, 163.5633 162 1.5633, 2 ( k r 1) 02.05 (6) 12.592 1.5633,
2
2 ( k r 1) 02.05 (6) 12.592 6.2815,
故接受 H0, 认为样本来自泊松分布总体.
例3 自1965年1月1日至1971年2月9日共2231天中, 全世界记录到里氏震级4级和4级以上地震共162次, ( 0.05) 统计如下: (X 表示相继两次地震间隔天数, Y 表示出现的频数)
ˆ pi
0.2788 0.2196 0.1527 0.1062 0.0739 0.0514 0.0358 0.0248 0.0568
ˆ npi
ˆ fi 2 / npi
A7 : 29.5 x 34.5 A8 : 34.5 x 39.5 A9 : 39.5 x


45.1656 55.3519 35.5752 27.0132 24.7374 27.3270 17.2044 16.7980 11.9718 8.3530 8.3268 7.6860 5.7996 6.2073 4.0176 14.8269 9.2016 13.2192 =163.5633
2 拟合检验计算表 例3的
Ai
A1 : 0 x 4.5 A2 : 4.5 x 9.5 A3 : 9.5 x 14.5 A4 : 14.5 x 19.5 A5 : 19.5 x 24.5 A6 : 24.5 x 29.5
fi
50 31 26 17 10 8 6 6 8
2. 2检验法的基本思想
将 随 机 试 验 可 能 结 果 全 体 分 为k 个 互 不 相 容 的 事 件 的 A1 , A2 , , An ( Ai , Ai A j , i j , i , j 1, 2, , k ). 于 是 在
i 1 k
ˆ ˆ 假 设 H 0 下, 我 们 可 以 计 算 pi P ( Ai ) (或 pi P ( Ai )), i 1, 2, , k . fi ˆ 在 n 次 试 验 中 事 件 Ai 出 现 的 频 率 与 pi (或 pi ) 往 往 有 差 异 , , n 但 一 般 来 说 若 H 0 为 真, 且 试 验 次 数 又 多 时 种 差 异 不 应 很 大 , ,这 .
其中 f i 是观察到有 i 个 粒子的次数. 从理论上 e i 考虑 X 应服从泊松分布 P X i , i 0,1,2,, i! i e 问 PX i 是否符合实际? ( 0.05) i! 解 所求问题为: 在水平 0.05 下检验假设 e i , i 0, 1, 2,, H 0 : 总体 X 服从泊松分布 PX i i!