高等数学同步练习

+
1 xn
，n
=
0,1, 2, 3" ， x0
>
0 ，证明：数列{xn} 的极限
存在并求极限
lim
n→∞
xn
。
3
6.已知数列 a1
=
2，
a2
=
2
+
1 2
， a3
=
2
+
1 2+
1
，" ，证明：数列{an} 的极限存在
2
并求
lim
n→∞
an
。
7.设 0 < x1 < 3 ， xn+1 =
xn
(3
−
xn
x→∞ x3 + 5x +1
4.设 f (x) = ( x −1)x ，则 lim f (x +1) = __________.
x +1
x→∞
5.求极限
1
(1) lim x x−1 x→1
(2) lim x( x2 +1 − x) x→+∞
(3) lim 1+ cos x x→π sin x
(4) lim arctan[x − cos(x ln x)] x→+∞
(2) lim ln2 x ln(1 x )
x0
ln x
(3) lim ( 3 x3 3x2 4 x4 2x3 ) x
(4) lim 1 tan x 1 sin x
x0
x(1 cos x)
(5) lim 4x2 x 1 x 1
x
x2 cos x
=
0
或
lim
n→∞
yn
=0
(D)
若
lim
n→∞
xn
yn
=
0
，且
lim
n→∞
xn
=
l
≠
0
，则
lim
n→∞
yn
=0
2.设 f (x) = lim n 1+ xn + ( x2 )n ，则 f (x) = _____________.
n→∞
2
3.设函数
f
(x)
=
ax
，a
>
0 ，则 lim n→∞
1 n2
ln [
x→
x→
(B) α (x) 为 x → 时的无穷小量，且 lim α (x) = a ≠ 0 ，则 lim β (x) = 0 。
x→ β (x)
x→
(C) α (x) 为 x → 时的无穷大量，且 lim[α (x)β (x)] = a ，则 lim β (x) = 0 。
x→
x→
(D) α (x) 为无界函数，且 lim[ f (x)α (x)] = 0 ，则 lim f (x) = 0 。
(x)

x a
sin
1 x
,
x

0 连续，试确定 a
的取值范围。
0, x 0
7.设 f (x) 为0,1 上非负连续函数， f (0) f (1) ，证明：存在 (0,1) ，使得
f ( ) f ( l) ，其中， 0 l 1 。
8. f (x) 为a,b 上连续函数， x1, x2,, xn a,b ，证明：存在 a,b ，使得
(6)
lim(1
n
1 n

1 n2
)n
(7) lim tann ( 2)
n
4n
高等数学同步练习 1
1.求定义域 y = ln(2 + x) 。 x(x − 4)
2.设 f (x) = x ，求 f ( f (x)) ， x ≠ 0 。 1− x
3.设
g(x)
=
⎧2
⎨ ⎩
x
− +
x, x 2, x
≤ >
0， 0
f
(x)
=
⎧x2, x ⎨⎩−x, x
< ≥
0 0
，则
g(
f
( x))
=
____________
4.已知 f (ex +1) = e2x + ex +1，求 f (x) 的表达式。
5.求反函数 y = 1+ x 。 1− x
6.判断奇偶性
(1) f (x) = 2x + 2−x
(2) f (x) = ln(x + x2 +1)
(3) f (x) = sin(cos x) x
x→
x→
4.求极限
(1) lim x sin 1
x→0
x
(2) lim x sin 1
x→∞
x
(3) lim sin x x→0 x
(4) lim sin x x→∞ x
(5) lim x sin x x→0
(6) lim x sin x x→∞
(7)
x2 −1 1
lim(
x→∞
x
+
2
sin
x2
cos
7
高等数学同步练习 5
1.设函数
f
(x)

ex , x 0
a

x

2,
x

0
在
x

0
连续，则 a
(
)
（A）0
(B) 2
（C） 1
(D) 1
2. x 是函数 f (x) sin(tan x) tan(sin x) 的( ) 2
(A) 连读点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)第二类间断点
x)
(8) lim( 3 x3 + 3x2 − 4 x4 − 2x3 ) x→∞
(9) lim 4x2 + x −1 + x +1
x→−∞
x2 + cos x
(10) lim 1+ tan x − 1+ sin x
x→0
x(1− cos x)
6
(11)
sin [sin(sin x)]
lim
x→0
tan x
(A) 2
（B）3
(C)4
(D)5
2.当
x
→
0
时，变量
1 x2
sin
1 x
是(
(A) 无穷小量
) (B) 无穷大量
(C) 有界的但不是无穷小量
(D) 无界的但不是无穷大量
3.下列命题正确的是( )
(A) f (x) 为有界函数，且 lim[α (x) f (x)] = 0 ，则 limα (x) = 0 。
=
2 ，求
f
(x) 。
⎧1+ x, x < 2
7.已知 f (x) = ⎪⎨0, x = 2 ， g(x) = ex +1 ，则 lim f (g(x)) 是否存在？
⎩⎪x −1, x > 2
x→0
5
高等数学同步练习 4
1.当 x → 0 时， sin 2x − 2sin x 是 x 的( )阶无穷小量。
(B) x 0, x 1都是 f (x) 的第二类间断点
(C) x 0 是 f (x) 的第一类间断点， x 1 是 f (x) 的第二类间断点
(D) x 0 是 f (x) 的第二类间断点， x 1 是 f (x) 的第一类间断点
5.设 f (x) ( x 1)x ，则 lim f (x 1) __________
9. f (x) = x sin x ecosx (- −∞ < x < +∞ )是( ) (A) 有界函数 (B) 周期函数 (C) 单调函数 (D) 偶函数 10.在 f (x) = ln x − 3 的定义域内，求方程 f (ex2 ) − 2x = 0 的根。 11.设 f (x) 定义域关于原点对称，证明： f (x) 可以唯一地写成一个奇函数和偶函 数的和。
4.设 lim x2 − x + a = b ，求常数 a 和 b 。 x→2 x − 2
5.设 lim( x2 +1 − ax − b) = 0 ，求 a 和 b 的值。 x→∞ x +1
6.设
f (x) 是多项式，且满足 lim x→∞
f (x) − 5x3 x2
= 3 ， lim x→0
f (x) x
f
( )

1 n
n k 1
f
(xk ) 。
9.设 f (x) 为0,1 上的连续函数，0 f (x) 1，证明：存在 0,1，使得 f ( ) 。
10.设 f (x) 在0, a ( a 0 )连续，且 f (0) f (a) ，证明： f (x) f (x a ) 在 (0, a )
x 1
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x
6.
lim
x0
ex excos x x ln(1 x2 )

____________
7.
lim(
x
x2 1 sin x2
1 x2
cos
x)

__________________
8.已知
f
(x)
在点
x0
处连续，则
lim
x x0
y
______________
9
9.函数 f (x) ex b 有无穷间断点 x 0 ，有可去间断点 x 1 ，则 (x a)(x 1)
(4) f (x) = x3 sin x + arccos x x
7.
f
(x)
=
sin
x
，
x∈
⎡⎢⎣−
π 2
,π 2
⎤ ⎥⎦
，
f
[ϕ(x)]
=1−
x2
，则 ϕ ( x)
=
_________，定义域为
__________
8.设函数 F (x) 的定义域为{x x ∈ R, x ≠ 0且x ≠ 1} ，且满足 F (x) + F ( x −1) = x +1， x 则 F (x) = __________
(A) f (x) 与 x 是等价无穷小量
(B) f (x) 与 x 是同阶但非等价无穷小量
(C) f (x) 是比 x 较高阶的等价无穷小量
(D) f (x) 是比 x 较低阶的等价无穷小量
2.函数
f
(x)

x sin(x 2) x(x 1)(x 2)2
在下列哪个区间有界(
)
(A) (1, 0)
a __________， b __________
1
10.函数 f (x) sin x e x1 的间断点的个数为_________________ x 1 x
11.函数 y ln(arcsin x) 的连续区间为______________
12.求极限
(1) lim arcsin( x2 x x) x
x→0 x
x
(B) lim sin x arctan 1
x→0 x
x
(C) lim sin x arctan 1
x→0 x
x
(D) lim sin x arctan 1
x→0 x
x
3.若 lim axn + 2x2 + 3 = 2 ，则 a = __________， n = __________.
2
2
内有根。
11.设
f
(x)
在
(, )
有定义，且 lim
f
(x)

a
，g(x)


f
( 1 ), x
x

0
，问： g ( x)
在
x
0, x 0
x 0 是否连续，若不连续，判断间断点类型。
8
高等数学第一章综合练习
1.设 f (x) 2x 3x 2 ，当 x 0 时( )
3. x 2 是 f (x) ln 1 的( ) x2
(A) 连读点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)第二类间断点
4.求函数 f (x) ln x sin x 的间断点并确定其类型。 x 1
5.
f
(x)

1 x
lim
n
1

x2n
，求
f
(x)
的间断点并判断其类型。
6.
f
12.设 0 < a < b ， n > 1，证明： nan−1(b − a) < bn − an < nbn−1(b − a) 。
1
13.证明： arcsin x + arccos x = π ， −1 ≤ x ≤ 1； arctan x + arc cot x = π ， x ∈ R ；
2
2
arctan
x
+
arctan
1 x
=
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩−π2π2, x,
>0 x<
0
。
2
高等数学同步练习 2
1.下列命题正确的是( )
(A)
若
lim
n→∞
un
=
a
，则
li m
n→∞
un
=a
(B)
设
{xn}
为任意数列，
lim
n→∞
yn
=
0
，则
lim
n→∞
xn
yn
=0
(C)
若
lim
n→∞
xn
yn
=
0
，则
lim
n→∞
xn
n→∞
x2n +1
(5)
lim
n→∞
2n 2n+1
+ +
3n 3n+1
(6) lim( n )(−1)n n→∞ n +1
(7) lim n( n2 +1 − n) n→∞
(8) lim( 1
+
22
+"+
n2 )
n→∞ n6 + n n6 + 2n
n6 + n2
5.设数列{xn} 满足
xn+1
=
xn 2
)
，证明：
lim
n→∞
xn
存在，并求其值。
4
高等数学同步练习 3
⎧2x −1, x > 0
1.设 f (x) = ⎪⎨0, x = 0 ，则 lim f (x) 为( )
⎪ ⎩
x2
+
1,
x
<
0
x→0
(A)不存在
(B)-1
（C）0
2.下列极限存在的是( )
(D)1
(A) lim sin x arctan 1
(B) (0,1)
(C) (1, 2)
(D) (2,3)
3.
x

1 n
(
n

1, 2,3, )是函数
f
(x)

x
1 x

的(
为取整函数)(
)
(A) 无穷间断点 (B)跳跃间断点 (C)可去间断点 (D)连续点
4.设函数 f (x)
1
x
，则(
)
e x1 1
(A) x 0, x 1都是 f (x) 的第一类间断点
f
(1)
f
(2)"
f
(n)]
=
______________.
4.求数列极限
∑ (1)
lim
n→∞
n k =1
1+
2
1 +"
+
k
(2)
lim
n→∞
1+
22
+
32 +" + n3
n2
(3)
lim 1+ a + a2 n→∞ 1+ b + b2
+"+ an +"+ bn
（
a
,
b
<1）
(4)
lim x2n−1 + ax2 + bx