分形理论简介ppt

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《分形理论及其应用》课件

《分形理论及其应用》课件

群算法等,这些算法在人工智能领域有重要的应用价值。
03
分形在机器学习中的应用
分形理论在机器学习中也有一定的应用价值,如分形神经网络、分形特
征提取等,这些方法有助于提高机器学习的性能和效率。
05
分形理论的未来展望
分形理论与其他学科的交叉研究
物理学
分形理论在物理学的多个领域,如混沌理论、量子力学和统计物理中有着广泛的应用。通过与其他学科的交叉研究, 可以进一步揭示分形现象的本质和规律。
分形在时间序列分析中的应用
时间序列数据中往往存在分形现象,利用分形理论可以更准确地预测和分析时间序列数据 的未来趋势。
分形在人工智能领域的应用
01
分形在计算机图形中的应用
分形理论在计算机图形学中有着广泛的应用,如分形图像的生成、分形
自然现象的模拟等。
02
分形优化算法
分形理论为优化算法的设计提供了新的思路和方法,如遗传算法、粒子
在规律。
迭代函数系统由一组压缩映射和 转移函数组成,通过迭代地应用 这些函数,可以生成复杂的分形
图形。
分数布朗运动
分数布朗运动是一种随机过程,其轨 迹具有分形结构。
分数布朗运动通过随机游走的方式, 在时间和空间上呈现出连续但非光滑 的轨迹,具有长期依赖性和自相似性 等特征。
它模拟了布朗运动的特性,但适用于 描述具有非整数维度的分形现象。
分形理论在解决实际问题中的应用前景
图像处理
增强等方面具有优异的表现。 随着数字图像处理技术的发展 ,分形理论在图像处理领域的 应用前景将更加广阔。
分形理论在处理非线性数据和 预测复杂系统行为方面具有独 特的优势。在金融、气象、交 通等领域,分形理论可以帮助 我们更好地理解和预测数据的 内在规律和趋势。

分形理论的详细介绍PPT36页

分形理论的详细介绍PPT36页
分形理论的详细介绍
11、用道德的示范来造就一个人,显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的,对谁都一视同仁。在每件事上,她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由,因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样,法律和法律都是相互依存的。——伯克
25、学习是劳动,是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢!
21、要知道对好事的称颂过于夸大,也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤,荒于嬉;行成于思,毁于随。——韩愈
23、一切节省,归根到底决心到最后会全部推倒。——莎士比亚

分形理论简介ppt

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进一步对形成的9条子线段作分割和“日” 字型折线框形构造,便形成81条子折线,而 每条折线的长度为1/9; 如此分割构造下去便得到了皮亚诺曲线。
分割次数越多,得到的皮亚诺曲线就越密。



由于皮亚诺曲线最终可以穿行(遍历)一个 平面上的每一个点,因此它也被称作空间填 充曲线。
例子6:谢尔宾斯基三角垫
Nr A 1/ r d
则称d为A的盒计数维数

盒维数为d,当且仅当存在一个正数k使得 lim r 0
lim log Nr A d log r log k
r 0
N r A k 1 rd
d lim
log k log N r A log N r A lim r 0 r 0 log r log r


自仿射性

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自仿射性是自相似性的一种拓展和延伸,如果局部到整体在各个方向上的变换比率是相同的, 那么就是自相似性变换;而当局部到整体在不同方向上的变换比率不一定相同时,就称为自仿 射性变换。自相似性变换是自仿射性变换的特例。
分形几何与欧氏几何的区别
11
两种几何学 欧氏几何
描述对象 人类创造的简单标 准物体(连续、光 滑、规则、可微) 大自然创造的复杂 的真实物体(不连 续、粗糙、不规则、 不可微)


N×r3=1
小正方体的测量数目为N(r)=r -3
分形维数:相似维数
14

线、面、体的维数为1、2、3,归纳为 N (r ) r D
两边取对数 D
log N r 1 log r


相似维数的定义:如果一个分形对象 A(整体)可以划分为 N(A,r) 个 同等大小的子集(局部单元),每个子集以相似比 r 与原集合相似, 则分形集 A 的相似维数 Ds 定义为

分形科普教学课件(一)

分形科普教学课件(一)

分形科普教学课件(一)分形科普教学教学内容•什么是分形•分形的特点和应用•分形的种类和形式教学准备•实物展示:分形图案的打印件或示意图•教学演示软件:例如Fractal Explorer等•白板或投影仪教学目标1.理解分形的概念和特点2.掌握分形的常见种类和形式3.了解分形在科学、艺术、建筑等领域的应用设计说明本节课采用展示、讲解和操作的方式进行分形科普教学。

首先通过实物展示和讲解引入分形的概念和特点,然后通过教学演示软件展示分形的种类和形式,最后讲解分形在各个领域的应用。

教学过程1.引入(5分钟)–展示分形图案的实物或示意图,引起学生的兴趣和好奇心。

–提问:你们是否见过这样的图案?它们有什么特点?2.讲解概念(10分钟)–讲解分形的定义:图形的某个部分与整体具有相似之处,即自相似性。

–引导学生理解自相似性的概念:无论放大还是缩小,图形的细节都保持相似。

–举例说明分形的概念:如科赛雪花、谢尔宾斯基三角形等。

3.展示种类和形式(15分钟)–使用教学演示软件展示常见的分形种类和形式,如曼德布罗集合、茱利亚集合等。

–讲解每种分形的生成原理和特点,与学生进行互动讨论。

4.应用展示(10分钟)–分享分形在科学、艺术、建筑等领域的应用案例,如分形在生物学中的应用、分形艺术品欣赏等。

–引导学生思考:为什么分形在各个领域都有广泛的应用?5.总结和拓展(5分钟)–概括分形的概念、特点和应用。

–提醒学生可以自己通过软件或其他方式制作分形图案,并进行拓展和创新。

课后反思本节课通过实物展示、讲解和教学演示软件的方式,引导学生了解分形的概念、特点和应用。

学生们对分形产生了浓厚的兴趣,积极参与讨论和互动。

但在教学过程中有些学生存在一定的理解困难,下次可以适当增加示意图和例子的数量,加强概念的理解和掌握。

鼓励学生进行拓展和创新,提高课后作业的引导性,促使学生自主学习和实践。

分形科普教学(续)教学内容•什么是分形•分形的特点和应用•分形的种类和形式教学准备•实物展示:分形图案的打印件或示意图•教学演示软件:例如Fractal Explorer等•白板或投影仪教学目标1.理解分形的概念和特点2.掌握分形的常见种类和形式3.了解分形在科学、艺术、建筑等领域的应用设计说明本节课采用展示、讲解和操作的方式进行分形科普教学。

《小波与分形理论》课件

《小波与分形理论》课件

分形在小波分析中的应用
分形理论可以用于理解和描述小波变换 的性质和行为,例如小波变换的分形维
数和小波变换的局部性等。
分形结构可以作为小波基函数,用于构 造具有特定性质的小波,例如具有特定 分形维数的小波或具有特定局部性特征
的小波。
分形理论还可以用于分析和理解小波变 换在处理复杂信号和图像时的性能和特 点,例如小波变换在处理具有分形特征
信号处理与分析
信号降噪
小波变换能够将信号分解成不同频率 的子信号,从而实现对信号的降噪处 理。通过对低频子信号进行阈值处理 ,可以去除信号中的噪声,提高信号 的信噪比。
信号特征提取
分形理论在信号特征提取方面也有应 用。通过计算信号的分形维数,可以 提取出信号中的特征信息,从而用于 信号分类、识别和预测等任务。
小波变换与量子计算
量子计算技术的发展为小波变换提供了新的计算平台,有望加速小波变 换的计算速度,提高算法的实时性。
当前研究的热点问题
小波变换在医学影像处理中的应用
医学影像数据具有高维度和复杂的空间结构,小波变换在医学影像处理中具有广泛的应用 前景,如图像压缩、特征提取和疾病诊断等。
分形理论在金融市场中的应用
计算机图形学与艺术
计算机动画
小波变换可以用于计算机动画的制 作。通过小波变换,可以将复杂的动 画场景分解成简单的子场景,从而实 现动画的分层制作和细节控制。
数字艺术创作
分形理论在数字艺术创作方面也有应 用。通过分形算法,可以生成具有自 相似性的艺术图案,从而用于数字艺 术作品的创作和设计。
05
未来展望与研究方向
的信号和图像时的优势和局限性。
04
小波与分形理论的实际应用
图像压缩与处理

分形PPT作业

分形PPT作业

Julia集
Julia 集是由法国数学家 Gaston Julia 和 Pierre Faton 在发展了复变函数迭代的基础理论后获得 的。Julia 集也是一个典型的分形,只是在表达上 相当复杂,难以用古典的数学方法描述。 Julia 集Julia 集由一个复变函数。尽管这个复变函数看 起来很简单,然而它却能够生成很复杂的分形图 形。
基本意义
上世纪80年代初开始的“分形热”经久不息。分形作为一 种新的概念和方法,正在许多领域开展应用探索。美国物 理学大师约翰· 惠勒说过:今后谁不熟悉分形,谁就不能 被称为科学上的文化人。由此可见分形的重要性。 中国 著名学者周海中教授认为:分形几何不仅展示了数学之美, 也揭示了世界的本质,还改变了人们理解自然奥秘的方式; 可以说分形几何是真正描述大自然的几何学,对它的研究 也极大地拓展了人类的认知疆域。 分形几何学作为当今 世界十分风靡和活跃的新理论、新学科,它的出现,使人 们重新审视这个世界:世界是非线性的,分形无处不在。 分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合,数学与 艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义。
Байду номын сангаас
分形艺术
分形艺术的英文表述:fractal art,不规则几何元素 Fractal,是由IBM研究室的数学家曼德布洛特 (Benoit.Mandelbrot,1924-2010)提出。其维度并 非整数的几何图形,而是在越来越细微的尺度上 不断自我重复,是一项研究不规则性的科学。 中文名称:分形艺术 外文名称:fractal art 提出者:曼德布洛特 提出时间:不详
基本特征
分形艺术作品具有以下基本特征: 一、自相似性 如果一个几何对象的某个局部放大后,与其整体相似,这 种性质就叫做自相似性。 二、无限精细 任意小尺度下依然有精细的结构。随着图像的放大,不但 不会丢失细节,相反会看到越来越精细的细节。 三、极不规则 很多有分形特征的事物不能用简单的几何图形去描述。

分形ppt

分形ppt
i
ln(1/ r)
多重分维的定义包含了各种分维的定义(具体见书
本)。多重分形式定义了无穷多种维数,它依赖一
个参数q ,当q=0,1,3时,Dq分别等于Hausdorff维 数,信息维D1和关联维数D2。当然q不必限于正整数, 它可以取从-∞到+∞的一切实数值。
§14.2 应用实例之一: 甘肃城镇体系的分形研究
分形的基本属性是自相似性。表现为,当 把尺度r变换为λr时,其自相似结构不变, 只不过是原来的放大和缩小,λ称为标度因 子,这种尺度变换的不变性也称为标度不 变性,是分行的一个普适规律。有
N (r) 1 D0 N (r) (r) D0
海岸线分形,如果考虑其长度随测量尺度的变化,
L(r) rN (r) 1D0 r N (r) L(r)
同的线条集合,它们构成单分形子集合。对每一个
单分形子集合,其标度指数为α,分维为f(α)。
最后每段线条的质量相当于二项式 (P1 P2 )n展开中的
一项,n 。因此可以用P1的q阶矩i Piq 取代单分形
中的盒子数N,多重分维Dq可以定义为
Dq

lim 1 r0 1 q
ln Piq
§14.1 分形理论简介
分形的概念 分形维数的定义和测算 标度律与多重分形
分形的有关概念
(1)分形,是指其组成部分以某种方式与整体相似的 几何形态(Shape),或者是指在很宽的尺度范围内, 无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分 形是一种复杂的几何形体,唯有具备自相似结构的那 些几何形体才是分形。 (2)特征尺度 ,是指某一事物在空间,或时间方面具 有特定的数量级,而特定的量级就要用恰当的尺子去 量测。凡是具有自相似结构的现象都没有特征尺度, 分形的一个突出特点是无特征尺度。在无特征尺度区, 用来表征的特征量是分形维数 。

《分形几何学》课件

《分形几何学》课件

分形风险管理:评 估和管理金融市场 的风险
分形投资策略:基 于分形理论的投资 策略,如分形交易 策略、分形投资组 合管理等
分形在物理学中的应用
分形几何学的未来 展望
分形几何学的发展趋势
应用领域:分形几何学在计算机图形学、图像处理、生物医学等领域的应用将越来越广泛
理论研究:分形几何学的理论研究将更加深入,包括分形维数的计算、分形几何的拓扑性质等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
特点:具有自相似性,即无论放大 或缩小,其形状保持不变
性质:具有无限长度,但面积却为 零,是一种典型的分形图形
分形几何学的应用 实例
分形在图像压缩中的应用
分形压缩算法:基于分形几何学的图像压缩算法 压缩效果:提高压缩比,降低图像质量损失 应用场景:适用于图像传输、存储和显示等领域 技术挑战:如何平衡压缩比和图像质量损失,提高压缩算法的效率和稳定性
发展:1977年,数学家哈肯提出分形几何学的基本理论
应用:分形几何学在物理学、生物学、经济学等领域得到广泛应用 现状:分形几何学已成为现代数学的一个重要分支,对科学研究和实际应 用具有重要意义
分形几何学的应用领域
分形几何学的基本 概念
自相似性
定义:在任意 尺度下,具有 相同或相似的
结构或模式
特点:自相似 性是分形几何 学的核心概念
科赫曲线的生成过程: 将一条线段分为三等份, 去掉中间一段,然后将 剩下的两段分别替换为 两个新的科赫曲线
科赫曲线的应用:在计 算机图形学、动画制作 等领域有广泛应用
科赫曲线的性质:具有 自相似性、无限长度和 面积、分形维数等性质
皮亚诺曲线
定义:由意大利数学家皮亚诺提出 的一种分形图形

江苏省泰州中学高中数学选修课课件:数学史选讲-分形概述 (共55张PPT)

江苏省泰州中学高中数学选修课课件:数学史选讲-分形概述 (共55张PPT)
强 对 《 财 政 违法行 为处罚 处分条 例》和 纪律、 政策、 廉洁从 政等有 关法律 法规的 学 习 。 认 真 学习新 《党章 》,严格 执行《 预算法 》、《 会计法 》和《 会计基础工作 规 范 》 以 及 乡党委 、政府 做出的 关于财 政财务 的有关 批示和 决定,搞 好会计档案管
理 工 作 等 。 现从三 方面对 2008年 的工 作情况 如下: 一 、 一 年 来 所做的 工作
江苏省泰州中学数学选修课
Email:deyinsong@
图3 谢尔宾斯基三角形 江苏省泰州中学数学选修课
Email:deyinsong@
分形
将分形看作具有如下性质的集合:
1.F具有精细结构,即在任意小的比例尺度内包含 整体。
2.F是不规则的,以致于不能用传统的几何语言来 描述。
康托尔集F的自相似维数
由于康托尔集F中点的数目为∞,而长度为 0,因此F的维数既不是0,也不是1,而是 一个介于0与1之间的分数。
科赫曲线F的自相似维数为
dim F
ln 2 ln 3
江苏省泰州中学数学选修课
Email:deyinsong@
谢尔宾斯基地毯
波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916 年期间构造了几个典型的例子, 这些怪物 常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢 氏海绵” 。如今,讲分形都要提到。它们 不但有趣,而且有助于形象地理解分形。
江苏省泰州中数学选修课
Email:deyinsong@
Koch曲线的生成过程 —第4步
江苏省泰州中学数学选修课
Email:deyinsong@
Koch曲线与雪花曲线
—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线
江苏省泰州中学数学选修课

分形几何课件

分形几何课件
稳定的固态型或象树枝状。
21
分形几何
22
分形几何
❖ 分形的获取 1. 关于复数
由于承认“负数也能开平方”将会带来很多幽雅 和便利的结论,因此我们发明了虚数,用 i 来表 示 -1 的平方根(即虚数单位),并把实数扩展为 复数(即一切形如 a + b i 的数)。
23
分形几何
❖ 正如实数可以用数轴上的点来表示一样,复数可 以用平面直角坐标系上的点来表示。令 x 轴表示 复数的实数部分,令 y 轴表示复数的虚数部分, 则 a + b i 就对应了平面上的点 (a, b) 。我们把这 个平面直角坐标系叫做“复平面”。
27
❖ f(z) = |z2|
分形几何
28
分形几何 ❖可以看到,这一操作让模的变化更剧烈了,
等高线变得更加密集了。外面浩瀚的蓝色空 间,就对应着那些模已经相当大了的复数。
29
分形几何
❖如果对上图中的每个点再加上某个数,比如 0.3 , 那么整个图会怎样变化呢?
❖对于模相同的复数来说,给实数部分加上 0.3 , 这对实数部分本来就较大的数影响会更大一些。 因此,上图将会变得更扁,整个图形会在水平方 向上拉伸。这也就是 f(z) = |z2 + 0.3| 的等高线地 形图。见下图(为便于观察,对图像进行了旋 转)。
❖ 可以看到,此时得到的点集已经非常接近之前给出的 z → z2 - 1 的 Julia 集了。
56
分形几何
❖ 右图则是反推 12 次后的 结果,它基本上可以看作 是 z → z2 - 1 的 Julia 集了。
57
分形几何
❖ 我们再来看一个无法构 成连通区域的 Julia 集的 例子。取 c = - 1 - 0.9 i , 让我们来看看逆推的过 程。还是先画出半径为 2 的圆盘。

分形理论ppt课件

分形理论ppt课件
X
分形理论在图象压缩中的应用
为什么分形理论能用于图象压缩
图象压缩:指在没有明显失真的前提下,将图象的
位图信息转变成另外一种能将数据量缩减的表达形 式。 首先,尽管图象中数据量很大,但数据之间不是完 全独立的,图象中存在着各种各样的相关性或冗余 信息。即一部分数据可以由另一部分数据完全推算 出来。 其次,大部分图象视频信号的最终接收者都是人眼, 人眼对图象中的不同部分的敏感程度是不同的。
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大;-- -说明了分形的复杂性
(4)许多情况下,分形集是非常简单的,或者是递归的。- --说明了分形的生成机制 ---自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
X
分形理论简介
五、分形的应用范围
分形观念的引入并非仅是一个描述手法上的改变,
(2)部分与整体以某种形式相似的形,称为分形
X
分形理论简介
四、分形的特点
(1)分形的最基本特征是所谓的“自相似性”。如图1
(2)该集有精细结构,即在任意小的比例尺度内包含整体。 如图2
(3)通常分形集的“分形维数”比它的拓扑维数要大;-- -说明了分形的复杂性
(4)许多情况下,分形集是非常简单的,或者是递归的。- --说明了分形的生成机制 ---自相似性是分形的灵魂 它使得分形的任何一个片段都包含了整个分形的信息
分形理论
X
X
分形理论简介
一、什么是分形? 1、问题的引入 --英国的海岸线有多长
2、欧氏几何的局限性 --欧氏几何主要是基于中小尺度上的点、线、面 之间的关系
3、分形----自然几何
X
分形理论简介
二、分形的发展
萌芽:1919年以前

高考数学选修课课件:数学史选讲 分形概述 (共55张PPT)

高考数学选修课课件:数学史选讲 分形概述 (共55张PPT)
数学史选讲-分形概述
分形(fractal)
分形几何理论诞生于20世纪70年代中期, 创始人是美国数学家---曼德布罗特 (B.B.Mandelbrot),他1982年出 版的 《大自然的分形几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作。
分形(fractal)是20多年来科学前沿领域提出的 一个非常重要的概念,
科赫曲线F的自相似维数为
ln 2 dimF ln 3
波兰著名数学家谢尔宾斯基在1915-1916 年期间构造了几个典型的例子, 这些怪物
常称作“谢氏地毯”、“谢氏三角”、“谢 氏海绵” 。如今,讲分形都要提到。它们 不但有趣,而且有助于形象地理解分形。
图3 谢尔宾斯基三角形
分形
将分形看作具有如下性质的集合: 1.F具有精细结构,即在任意小的比例尺度内包含
分形理论已经对方法论和自然观产生强烈影响,从 分形的观点看世界,我们发现,这个世界是以分形 的方式存在和演化着的世界。
分形的特性
英国数学家Falconer在《分形几何的数学基 础及应用》一书中认为:
分形的定义应该以生物学家给出“生命”定 义的类似方法给出,即不寻求分形的确切简 明的定义,而是寻求分形的特性,将分形看 作具有某些性质的集合。
分形几何的历史(续)
发展期:二十世纪八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形与自相似. 给出了自相似集合的数学理论基础. 2. Mandelbrot, 1982, 《自然界的分形几何》. 3. Barnsley, 1988, 《Fractal everywhere》. 4. Falconer, 1990, 《分形几何——数学基础 及其应用》.

分形理论PPT课件

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分形理论非线性科学三大理论前沿乊一前言一非线性复杂系统一什么是分形fractal二自相似性三标度丌变性二非欧氏几何学分形几何学三分形理论的应用结束语自然界大部分丌是有序的平衡的稳定的呾确定性的而是处亍无序的丌稳定的非平衡的呾随机的状态乊中它存在着无数的非线性过程如流体中的湍流就是其中一个例子
分形理论
球等简单形状加以组合,就能很好地与其构造近似。
二、非欧氏几何学(分形几何学)
欧几里德几何学(简称欧氏几何学),是一门具有
2000多年历史的数学分支,它是以规整几何图形为研
究图象。所谓规整几何图形就是我们熟悉的点、直线与
线段;平面与平面上的正方形、矩形、梯形、菱形、各
种三角形以及正多边形等。空间中的正方体、长方体、
人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。 在历史上,科学技术的发展与几何学的进步始终是密切 相关的。在生产实践和科学研究中,人们用以描述客观 世界的几何学是欧几里德几何学,以及解析几何、射影 几何、微分几何等,它们能有效地描述三维世界的许多 现象,如各种工业产品的现状,建筑的外形和结构等。 但是,自然界大多数的图形都是十分复杂而且不规则的。 例如:海岸线、山形、河川、岩石、树木、森林、云团、 闪电、海浪等等,例如图1.1、图1.2和图1.3所示。用欧 几里德几何学是无能为力的。
精品ppt
6
图1.1 布达拉宫中藏族壁画中的云的形状
图1.2 日本传统精绘品画ppt中对海浪的描述
7
图1.3 山脉的复杂形态
另外,在科学研究中,对许多非规则性对象建模分 析,如星系分布、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对 象,都需要 一种新的几何学来描述。
所以, 一般地可把“分形”看作大小碎片聚集的状态, 是没有特征长度的图形和构造以及现象的总称。描述分 形的几何,称为分形几何精,品又ppt称为描述大自然的几何。 8

分形科普教学课件

分形科普教学课件

分形科普教学课件分形是一种数学形态,展现了自相似的特性。

它们可以在自然界中广泛观察到,如树木的分支结构、云朵的形状和山脉的地形等。

本次科普教学课件将详细介绍分形的概念、特点和应用,并提供相应的例子进行示范。

课件整体流程如下:第一部分:引言和概述1. 引入分形的概念和定义2. 提出分形的重要性和应用领域3. 激发学生对分形的兴趣,引入下一部分第二部分:分形的基本特征与性质1. 自相似性:解释分形的核心特性2. 尺度不变性:解释分形的尺度特性和其意义3. 分形维度:定义分形维度及其计算方法4. 分形的几种经典形状及其描述第三部分:分形的生成方法1. 德国麦德尔布洛特集(Mandelbrot Set):使用数学公式生成著名分形图形2. 迭代函数系统(IFS):介绍IFS的原理和应用3. 分形的递归构造方法第四部分:分形的应用领域1. 自然界中的分形:通过例子展示分形在自然界中的存在2. 艺术与设计中的分形:介绍分形在艺术、设计和建筑中的应用3. 数据压缩与编码:解释分形编码的原理和优势4. 分形的科学研究和计算机模拟:介绍分形在科学研究和计算机模拟中的应用第五部分:分形实践与探索1. 分形图形的绘制与生成:教授学生如何使用矢量绘图软件生成分形图形2. 程序编写与交互设计:指导学生使用编程语言编写分形生成程序,并实现交互性设计3. 学生展示与分享:让学生展示他们自己制作的分形图形,并分享经验和感悟第六部分:总结与展望3. 展望分形在未来的发展和应用前景每个环节中会有详细描述,包括相关公式的解释、图形的展示和实例的说明。

可以加入一些交互式环节,如让学生亲自操作生成分形图形或设计分形应用。

这样的教学课件能够帮助学生更好地理解分形的概念和应用,激发他们对数学和科学的兴趣。

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分形的“定义”
8

分形( Fractal )的原意是不规则的、分数的、支离破碎的,它是一种具有自相似特性 的图形、现象或者物理过程等。
但是,对于什么是分形,到目前为止,还没有人能给出其确切的定义。 芒德勃罗特( Mandelbrot )的定义


定义1:如果一个集合在欧氏空间中的豪斯多夫维数DH严格大于其拓扑维数DT,则该集合为分 形集,简称分形。一般来说,DH不是整数,而是分数。 定义2:组成部分以某种方式与整体相似的形,称为分形。 它具有精细的结构,在任意小的尺度下,它可以有更小的细节; 它是如此的不规则,无论从局部还是从整体看,它都无法用微积分或传统的几何语言来描述;

等分成N=4份,则分割的小正方形面积为r2=1/4 等分成N=9份,则分割的小正方形面积为r2=1/9


N×r2=1
小正方形测量数目N(r)=r -2
对于一个单位立方体(DT=3)

等分成N=8份,则分割的小立方体体积为r3=1/8 等分成N=27份,则分割的小正方体体积为r3=1/27
Ds lim log N A, r log N A, r lim r 0 r 0 log r 1 log r

相似维数主要用于具有自相似性质的规则分形
康托集的相似维数
15

在每一步分割之后,原来的直线段都将被两 段新的直线段所取代 新直线段数为N=2 新直线段与原直线段的尺度比为r=1/3 它的分形维数为


N×r3=1
小正方体的测量数目为N(r)=r -3
分形维数:相似维数
14

线、面、体的维数为1、2、3,归纳为 N (r ) r D
两边取对数 D
log N r 1 log r


相似维数的定义:如果一个分形对象 A(整体)可以划分为 N(A,r) 个 同等大小的子集(局部单元),每个子集以相似比 r 与原集合相似, 则分形集 A 的相似维数 Ds 定义为

统计自相似性

视觉上并不明显 统计参数一致,如分形维数随着放大而保持常数

无标度性

在分形对象上任选一个局部区域对其进行放大或缩小,它的形态、复杂程度、不规则性等均不 发生变化,也称作伸缩对称性。
无标度性与自相似性有相同之处,具有标度不变性的对象,必须满足自相似性质。也可以认为,这类 研究对象没有特征尺度,无法用空间中的长度、面积、体积和时间中的秒、分、时来描述。
科赫曲线的盒维数
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将每个盒子的尺寸大小和与其对应的盒子数 目转化为双对数坐标中的点
log 1/ r , log N r log1, log1 0, 0 log 1/ r , log N r log 3, log 3 1.0986,1.0986 log 1/ r , log N r log 9, log12 2.1972, 2.4849 log 1/ r , log N r log 27, log 48 3.2958,3.8712 log 1/ r , log N r log 81, log192 4.3944,5.2575
在无限次分割过程中,每次分割所形成的线 段数越来越多,而线段长度越来越小,在极 限情况下,所有保留的部分就构成了康托集。


例子2:康托尘埃
3

是康托集的延伸。
它以单位边长的正方形为初始图形,将正方 形各边进行三等分划分,如此得到9个子方 块;
然后剔除位于四边中部和正方形中心部位的 5个子方块,留下位于四角部位的4个子方块;


自仿射性

自仿射性是自相似性的一种拓展和延伸,如果局部到整体在各个方向上的变换比率是相同的, 那么就是自相似性变换;而当局部到整体在不同方向上的变换比率不一定相同时,就称为自仿 射性变换。自相似性变换是自仿射性变换的特例。
分形几何与欧氏几何的区别
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两种几何学 欧氏几何
描述对象 人类创造的简单标 准物体(连续、光 滑、规则、可微) 大自然创造的复杂 的真实物体(不连 续、粗糙、不规则、 不可微)
在每一次替换之后,都构造出4条子线段
N=4
每一条线段的长度是原线段的1/3,r=1/3
它的分形维数为
Ds
log 4 1.26186 log 3
分形维数:盒计数维数
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用边长为r的小正方体(盒子):
覆盖单位长度的线段,需要1/r个小正方体
覆盖单位边长的正方形,需要1/r2个小正方体
0 0 1 1 2 2 3 3 4 4

Ds
log 2 0.63093 log 3
康托尘埃的相似维数
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在每一部分割之后,原来的正方形都将被4 个新的子正方形所取代 N=4 子正方形与原来正方形的边长比为r=1/3 它的分形维数为

Ds
log 4 1.26186 log 3
科赫曲线的相似维数
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Nr A 1/ r d
则称d为A的盒计数维数

盒维数为d,当且仅当存在一个正数k使得 lim r 0
lim log Nr A d log r log k
r 0
N r A k 1 rd
d lim
log k log N r A log N r A lim r 0 r 0 log r log r
覆盖单位边长的立方体,需要1/r3个小立方体
可以用“盒子” 来覆盖任意形状的图形 盒计数维数的定义:

设A是Rn空间的任意非空有界子集,对于任意r>0, Nr(A)表示用来覆盖A所需边长为r的n维立方体(盒
子)的最小数目。若存在d,使得当r→0时,有
在实际计算中,可以根据需要使用一些边 长为 r 的 n 维立方体(盒子)来计算出不同 r 值的盒子覆盖 A 的个数 Nr(A),然后在以-log r 为横坐标、以log Nr(A)为纵坐标的双对数坐标 系中描出点(-log ri , log Nri(A)),最后由这些分 布点的斜率便可以估计出集合A的盒维数。斜 率的估计常采用最小二乘法。


进一步对形成的9条子线段作分割和“日” 字型折线框形构造,便形成81条子折线,而 每条折线的长度为1/9; 如此分割构造下去便得到了皮亚诺曲线。
分割次数越多,得到的皮亚诺曲线就越密。



由于皮亚诺曲线最终可以穿行(遍历)一个 平面上的每一个点,因此它也被称作空间填 充曲线。
例子6:谢尔宾斯基三角垫
层次性、 自相似性 常无
特征尺度 有
描述方式 数学语言
维数 0、1、 2、3
分形几何


迭代语言
一般是 分数
整数维数只能描述几何图形的静态特征,而分数维数描述的是几何图形的动态变化
分形维数
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豪斯多夫( Hausdorff )维数 相似维数 盒计数维数 容量维数 关联维数 信息维数



它的分形维数为1.2618,它的拓扑维数为1。
它是由迭代过程得到的,反复地把每条线段 的中间1/3段用去掉底边的等边三角形替代。 它具有“自然”的外貌,看上去像海岸线。

分形几何的基本性质
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自相似性

精确自相似性

通常只存在于由数学方程产生的规则分在于一定的尺度范围之内,超出这个范围自相似性就不复存在了
分形理论
例子1:康托集
2

德国数学家康托(1845-1918)在1883年构 造出康托中间三分集,又称为康托点集,简 称为康托集。 它是在单位长度直线段[0,1]的基础上,将其 分成三等分,去掉中间的1/3线段,剩下两 端的1/3线段,即[0,1/3]和[2/3,1]这两个线段;


再将剩下的这两个线段分别三等分,再分别 去掉各自中间的1/3线段,剩下[0,1/9]、 [2/9,1/3]、[2/3,7/9]和[8/9,1]4个线段; 照此无限分割下去。
7

以波兰数学家谢尔宾斯基(1882-1969)命 名的谢尔宾斯基三角垫的构造过程: 先将一个单位边长的实心等边三角形的三条 边分别二等分,将三条边的中点相连形成一 个等边三角形; 然后将其剔除,剩下3个边长为1/2的实心小 三角形; 再对剩下的3个小三角形重复上述操作一次, 便得到9个边长为1/4的实心小三角形; 如此操作下去,便得到谢尔宾斯基三角垫。



再对剩下的这4个子方块照此递次分割下去。
由于最后形成的图案细小如灰尘,因此称作 康托尘埃。
例子3:科赫曲线
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是分形几何图形中最典型的一个例子。
它是由瑞典数学家科赫(1870-1924)于 1904年提出的。
它以一条单位长度线段为初始图形,通过反 复迭代而得到。 第一步,在一单位长度直线段K0上对其进 行三等分,将中间的一段用两条边长均为 1/3的线段来替换,这两条线段与被替换的 中间线段构成一个等边三角形,替换以后得 到K1; 第二步,再对K1上每条直线段重复第一步 的操作得到K2; 如此进行下去直到无穷,便得到科赫曲线 K。
分形维数:相似维数
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对于一条单位长度线段(DT=1)

等分成N=2段,则每段长度为r=1/2; 等分成N=3段,则每段长度为r=1/3 N×r=1 从测量角度理解,相当于用长为r的尺子去测量线段的长度, 那么测得的尺度数N(r)与尺度之间的关系为:N(r)=r -1

对于一块单位面积的正方形平面(DT=2)
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