2019考研数学模拟题库(含参考答案)

2019最新考研数学模拟试题（含答案）

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一、解答题

1． 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： （1） r =a (1+cos θ)及r =2a cos θ;

解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a 的圆，故D =πa 2．

(11)

（2） r =2cos θ及r 2=3sin2θ．

解：如图12，解方程组⎩⎨⎧r =2cos θr 2=3sin2θ

得cos θ=0或tan θ=33, 即θ=π2或θ=π6． (12)

D =⎠⎜⎛0π

612·3sin2θd θ+⎠⎜⎜⎛π6

π212·()2cos θ2d θ =⎣⎡⎦⎤-34cos2θπ60+θ2+ ⎣⎡⎦⎤

14

sin4θπ2π6 =π6

．

2．求下列微分方程的通解：

(1)20y y y '''+-=;

解：特征方程为 220r r +-=

解得 121,2r r ==-

故原方程通解为 212e e .x x y c c -=+

(2)0y y ''+=;

解：特征方程为 210r +=

解得 1,2r i =±

故原方程通解为 12cos sin y c x c x =+

22d d (3)420250d d x x x t t

-+=; 解：特征方程为 2420250r r -+=

解得 1252

r r == 故原方程通解为 5212()e t x c c t =+.

(4)450y y y '''-+=;

解：特征方程为 2450r r -+=

解得 1,22r i =±

故原方程通解为 212e (cos sin )x y c x c x =+.

(5)440y y y '''++=;

解：特征方程为 2440r r ++=

解得 122r r ==-

故原方程通解为 212e ()x y c c x -=+

(6)320y y y '''-+=.

解：特征方程为 2320r r -+=

解得 1,2r r ==

故原方程通解为 212e e x x y c c =+.

3．甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB 的何处时，所需电线最短？

解：所需电线为

()(03)

()L x x L x =<<'=

13题图

在0

4．利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：

()1(1) (0,0,,1)22n

n n x y x y x y n x y +⎛⎫>>>≠>+ ⎪⎝⎭

; 证明：令 ()n f x x = 12(),()(1)0n n f x nx f x n n x --'''==-> ，

则曲线y =f (x )是凹的，因此,x y R +

∀∈， ()()22f x f y x y f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭

, 即 1()22n

n n x y x y +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭. 2e e (2)e ()2x y x y

x y ++>≠ ; 证明：令f (x )=e x

()e ,()e 0x x f x f x '''==> .

则曲线y =f (x )是凹的，,,x y R x y ∀∈≠

则 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭

即 2e e e 2

x y

x y

++<. (3) ln ln ()ln (0,0,)2

x y x x y y x y x y x y ++>+>>≠ 证明：令 f (x )=x ln x (x >0) 1()ln 1,()0(0)f x x f x x x '''=+=

>> 则曲线()y f x =是凹的，,x y R +

∀∈，x ≠y ，有 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭

即 1ln (ln ln )222

x y x y x x y y ++<+，

即 ln ln ()ln 2

x y x x y y x y ++>+.

5．试决定22

(3)y k x =-中的k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点.

解：224(3),12(1)y kx x y k x '''=-=-

令0y ''=，解得x =±1，代入原曲线方程得y =4k ，

只要k ≠0，可验证(1，4k )，(－1，4k )是曲线的拐点. 18x k y =±'=±，那么拐点处的法线斜率等于18k ，法线方程为18y x k

=. 由于(1，4k )，(－1，4k )在此法线上，因此 148k k

=±, 得22321, 321k k ==-(舍去)

故

8k ==± 6．逻辑斯谛(Logistic)曲线族

,,,,01e

cx A y x A B C B -=

-∞<<+∞>+ 建立了动物的生长模型. (1) 画出B =1时的曲线()1e cx A g x -=

+的图像，参数A 的意义是什么(设x 表示时间，y 表示某种动物数量)？

解：2e ()0(1e )

cx

cx Ac g x --'=>+，g (x )在(－∞，+∞)内单调增加， 222244

e e 2(1e )e e (1e )()(1e )(1e )cx cx cx cx cx cx cx cx Ac Ac Ac g x ---------+⋅+⋅--''==++ 当x >0时，()0,()g x g x ''<在(0，+∞)内是凸的.

当x <0时，()0,()g x g x ''>在(－∞，0)内是凹的.

当x =0时，()2

A g x =

.

且lim ()0,lim ()x x g x g x A →-∞→+∞==.故曲线有两条渐近线y =0，y =A .且A 为该种动物数量(在特定环境中)最大值，即承载容量.如图：