【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》复习学案及测试(含答案)

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人教版九年级数学下册《28.1 锐角三角函数》提升练习题-带有答案

人教版九年级数学下册《28.1 锐角三角函数》提升练习题-带有答案学校:班级:姓名:考号:一、选择题1．已知α是锐角sinα=cos30°，则α的值为（）A．30°B．60°C．45°D．无法确定2．已知√32＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80°B．30°＜A＜80°C．10°＜A＜60°D．10°＜A＜30°3．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，BC=1，AB=2则下列结论正确的是（）A．sin A=√32B．tan A=12C．cos B=√32D．tan B=√34．在Rt△ABC中∠C=90∘，∠B=35∘，AB=则BC的长为（）A．7sin35∘B．7cos35∘C．7tan35∘D．7cos35∘5．如图，在ΔABC中AB=AC，AD⊥BC于点D．若BC=24，cosB=1213则AD的长为（）A．12 B．10 C．6 D．56．如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠ABC＝（）A．√26B．√2626C．√2613D．√13137．如图，在△ABC中，∠BAC=90°， AB=20， AC=15，△ABC的高AD与角平分线CF交于点E，则DEAF的值为（）A ．35B ．34C ．12D ．23 8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF ＝（）A ．34B ．43C ．35D ．45 二、填空题 9．如果cosA =√32，那么锐角A 的度数为 °. 10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sinA ＝，则斜边上的高等于．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，CD ⊥AB ，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是 .12．如图所示，在四边形 ABCD 中 ∠B =90°，AB =2，CD =8，AC ⊥CD 若 sin∠ACB =13 ，则 cos∠ADC = ．13．如图，在半径为6的⊙O 中，点A 是劣弧BC ⌢的中点，点D 是优弧BC ⌢上一点∠tanD =√33，则BC 的长为 .三、解答题14．计算： .15．先化简，再求代数式m2−2m+1m3−m ÷m−1m的值，其中m=tan60°−2sin30°16．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．17．在直角梯形ABCD中AB∥CD，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=2CD对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．（1）求证：△FOE≌△DOC；（2）求sin∠OEF的值．参考答案1．B2．D3．D4．B5．D6．B7．A8．D9．3010．482511．3412．4513．6√314．解：原式15．解：m=tan60°−2sin30°=√3−2×12=√3−1m2−2m+1 m3−m ÷m−1m=(m−1)2m(m+1)(m−1)×mm−1=1m+1将m=√3−1代入上式，得：1 m+1=√3−1+1=√3316．解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x ∴EC= √(3x)2+(4x)2 =5xEM= √x2+(2x)2 = √5 xCM= √(2x)2+(4x)2 =2 √5 x∴EM2+CM2=CE2∴△CEM是直角三角形∴sin ∠ECM= EM CE = √55 17．（1）证明：∵E ，F 为线段OA ，OB 的中点 ∴AB ∥EF 且AB =2EF∵AB =2CD∴EF =CD EF//CD∴∠OCD=∠OEF ，且∠DOC=∠FOE在△FOE 和△DOC 中：{∠DOC =∠FOE∠OCD =∠OEF CD =EF∴△FOE ≌△DOC(AAS)；（2）解：过D 点作DH ⊥AB 于H∵∠DAB=60°∴AH=√33DH ，设DH=√3x ，则AH=x ∵AB ∥CD ，∠DHB=∠ABC=90°∴四边形DCBH 为矩形∴BC=DH=√3x ，CD=BH又AB=2CD∴BH=AH=x在Rt △ABC 中，由勾股定理可知：AC =√AB 2+BC 2=√(2x)2+(√3x)2=√7x ∵AB ∥EF 得到∠OEF=∠OAB∴sin∠OEF =sin∠OAB =BC AC =√3x√7x =√217．。

人教版九年级数学下册《锐角三角函数》检测题含答案

人教版九年级数学下册《锐角三角函数》检测题含答案第二十八章锐角三角函数 28．1 锐角三角函数第1课时正弦和余弦01 基础题知识点1 正弦1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sin B ＝(B )A .35B .45C .34D .432．(唐山玉田县月考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值(C )A ．扩大2倍B ．缩小12C ．不变D ．无法确定3．(天津和平区汇文中学单元检测)在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC ∶CA ∶AB ＝5∶12∶13，则sin A 的值是(C )A .512B .125C .513D .12134．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，若2a ＝3c ，则∠A 25．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ∶c ＝2∶3，求sin A 和sin B 的值．解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ∶c ＝2∶3，设a ＝2k ，c ＝3k(k>0)，则b ＝c 2－a 2＝5k.∴sin A ＝a c ＝2k 3k ＝23，sin B ＝b c ＝5k 3k ＝53.6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝1213，AB ＝26，求△ABC 的周长．解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝26，sin A ＝BC AB ＝1213，∴BC ＝24，AC ＝AB 2－BC 2＝262－242＝10. ∴△ABC 的周长为26＋24＋10＝60.知识点2 余弦7．(湖州中考)如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是(A )A .35B .45C .34D .438．(承德六校一模)如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则cos C 的值为(D )A .12B .32C .55D .2559．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则cos B 的值为(B )A .74 B .35 C .34 D .4502 中档题10．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为(B )A .12B .55C .1010D .255解析：如图，连接CD 交AB 于O ，根据网格的特点，CD ⊥AB ，在Rt △AOC 中，CO ＝12＋12＝2，AC ＝12＋32＝10.则sin A ＝OC AC ＝210＝55.11．(怀化中考改编)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm ，求BC 的长度．解：∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4x ，AB ＝5x.又∵AC 2＋BC 2＝AB 2，∴62＋(4x)2＝(5x)2，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)． ∴BC ＝4x ＝8 cm .12．如图，菱形ABCD 的边长为10 cm ，DE ⊥AB ，sin A ＝35，求DE 的长和菱形ABCD 的面积．解：∵DE ⊥AB ， ∴∠AED ＝90°.在Rt △AED 中，sin A ＝DE AD ，即DE 10＝35.解得DE ＝6.∴菱形ABCD 的面积为10×6＝60(cm 2)． 13．如图，已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为8 cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2 cm ，求cos P 的值．解：作OC ⊥AB 于C 点．根据垂径定理， AC ＝BC ＝4.∴CP ＝4＋2＝6(cm )．在Rt △OAC 中，OC ＝52－42＝3(cm )．在Rt △OCP 中，根据勾股定理，得 OP ＝CO 2＋CP 2＝32＋62＝35(cm )．故cos P ＝PC PO ＝635＝255.03 综合题14．(鄂州中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF ＝(D )A .34B .43C .35D .45人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》检测题含答案2第2课时锐角三角函数01 基础题知识点1 正切1．(湖州中考)如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则BC 的长是(A )A ．2B ．8C ．2 5D ．45 2．(金华中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值是(A )A .34B .43C .35D .453．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC′B′，则tan B ′的值为(B )A .12B .13C .14D .244．已知等腰三角形的腰长为6 cm ，底边长为10 cm ，55．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BC ＝2，AB ＝3，求tan ∠BCD.解：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝90°. ∴∠A ＋∠ACD ＝90°.又∠BCD ＋∠ACD ＝∠ACB ＝90°， ∴∠BCD ＝∠A.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝32－22＝ 5. ∴tan A ＝BC AC ＝25＝255.∴tan ∠BCD ＝tan A ＝255.知识点2 锐角三角函数6．(宜昌中考)△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列选项中，错误的是(C )A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2C ．sin β＝cos βD ．tan α＝17．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则tan B 的值为(A )A .43B .45C .54D .348．(福州中考)如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是(C )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(cos α，sin α)D ．(sin α，cos α)9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝7，BC ＝24.(1)求AB 的长；(2)求sin A ，cos A ，tan A 的值．解：(1)由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝72＋242＝25.(2)sin A ＝BC AB ＝2425，cos A ＝AC AB ＝725，tan A ＝BC AC ＝247. 02 中档题 10．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为(A )A .13B .2－1C ．2－ 3D .1411．(河北模拟)如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C(0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为(C )A .13B ．2 2C .24D .22312．(泸州中考)如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是(A )A .24 B .14 C .13 D .23解析：由AD ∥BC ，可得△ADF ∽△EBF ，根据相似三角形的性质，可得AD EB ＝AF EF ＝DF BF ，因为点E 是边BC 的中点，AD ＝BC ，所以AD EB ＝AF EF ＝DFBF ＝2.设EF ＝x ，可得AF ＝2x ，在Rt △ABE 中，易证△AFB ∽△BFE ，则BF ＝2x ，再由AD EB ＝AF EF ＝DFBF ＝2，可得DF ＝22x ，在Rt △DEF 中，tan ∠BDE ＝EF DF ＝x 22x ＝24，故选A .13．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝45，BE ＝2，则tan ∠DBE ＝3．14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝33，求cos A ，tan B 的值．解：∵sin A ＝BC AB ＝33，∴设BC ＝3k ，AB ＝3k(k>0)．由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝（3k ）2－（3k ）2＝6k. ∴cos A ＝63，tan B ＝ 2.15．(承德六校一模)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8，tan B ＝12，点D 在BC 上，且BD ＝AD ，求AC 的长和cos ∠ADC 的值．解：∵在Rt △ABC 中，BC ＝8，tan B ＝AC BC ＝12，∴AC ＝12BC ＝4.设AD ＝x ，则BD ＝x ，CD ＝8－x ，在Rt △ADC 中，由勾股定理，得(8－x)2＋42＝x 2，解得x ＝5， ∴AD ＝5，CD ＝8－5＝3. ∴cos ∠ADC ＝DC AD ＝35.03 综合题16．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB BC ＝23，求tan ∠DCF 的值．解：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，∠D ＝90°. ∵AB BC ＝23，且由折叠知CF ＝BC ， ∴CD CF ＝23. 设CD ＝2x ，CF ＝3x(x>0)， ∴DF ＝CF 2－CD 2＝5x. ∴tan ∠DCF ＝DF CD ＝5x 2x ＝52.人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》检测题含答案3第3课时特殊角的三角函数值01 基础题知识点1 特殊角的三角函数值1．(天津中考)cos 60°的值等于(D )A . 3B ．1C .22D .122．计算2×tan 60°的值等于(D )A .53 B .63C . 5D .6 3．(防城港中考)计算：cos 245°＋sin 245°＝(B )A .12B ．1C .14D .22 4．(百色中考)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝12，则BC ＝(A )A ．6B ．6 2C ．6 3D ．12 5．求值：sin 60°·tan 30°＝12．6．计算：(1)(安徽中考)|－2|×cos 60°－(13)－1；解：原式＝2×12－3＝－2.(2)(泸州中考)(－3)2＋2 0170－18×sin 45°；解：原式＝9＋1－32×22＝7.(3)cos 30°·tan 30°－tan 45°；解：原式＝32×33－1＝12－1＝－12. (4)22sin 45°＋sin 60°·cos 45°. 解：原式＝22×22＋32×22＝2＋64.知识点2 由三角函数值求特殊角7．(聊城中考)在Rt △ABC 中，cos A ＝12，那么sin A 的值是(B )A .22 B .32 C .33 D .128．(河北模拟)在△ABC中，若角A，B满足|cos A－32|＋(1－tan B)2＝0，则∠C的大小(D)A．45°B．60°C．75°D．105°9．如果在△ABC中，sin A＝cos B＝22，那么下列最确切的结论是(C)A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形10．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝23，则∠A＝60°．知识点3用计算器计算三角函数值11．如图是科学计算器的面板，利用该型号计算器计算2cos55°，按键顺序正确的是(C)A.2×cos55＝B.2cos550＝C.2cos55＝D.255cos＝12．用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是(B)A．0.90 B．0.72C．0.69 D．0.6613．已知sin A＝0.370 6，则锐角A＝21.75°.(保留两位小数)02中档题14．(厦门中考)已知sin6°＝a，sin36°＝b，则sin2 6°＝(A)A．a2B．2a C．b2D．b15．李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(D) A．40°B．30°C．20°D．10°16．(孝感中考)式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是(B)A．23－2 B．0C．2 3 D．217．(邢台县一模)关于x的一元二次方程x2－2x＋cosα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于(D )A ．0°B ．30°C ．45°D ．60° 18．(滨州中考)如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为(A )A ．2＋ 3B ．23C ．3＋ 3D ．3319．如图，有一滑梯AB ，其水平宽度AC 为5.3米，铅直高度BC 为2.8米，则∠A 的度数约为27.8°．(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)20．利用计算器求∠A ＝18°36′的三个锐角三角函数值．解：sin A ＝sin 18°36′≈0.319 0， cos A ＝cos 18°36′≈0.947 8， tan A ＝tan 18°36′≈0.336 5.21．计算：(1)(唐山玉田县月考)tan 45°－3tan 30°＋cos 45°；解：原式＝1－3×33＋22＝1－1＋22＝22. (2)2sin 60°＋22cos 45°－32tan 60°－3cos 30°. 解：原式＝2×32＋22×22－32×3－3×32＝62＋12－32－32 ＝62－52.22．先化简，再求代数式a 2－ab a 2÷(a b －ba)的值，其中a ＝2cos 30°－tan 45°，b ＝2sin 30°.解：原式＝a （a －b ）a 2÷a 2－b 2ab＝a （a －b ）a 2·ab （a ＋b ）（a －b ）＝b a ＋b. ∵a ＝2cos 30°－tan 45°＝2×32－1＝3－1， b ＝2sin 30°＝2×12＝1，∴原式＝13－1＋1＝13＝33.23．如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离CB 为2米，一阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测得竹子与水平地面的夹角为75°，求这棵竹子比楼房高出多少米．(精确到0.1米)解：在Rt △ABC 中，∵∠ABC ＝75°，BC ＝2， ∴AB ＝2cos 75°≈7.727(米)，AC ＝2×tan 75°≈7.464(米)． ∴AB －AC ＝7.727－7.464 ≈0.3(米)．答：这棵竹子比楼房高出0.3米．24．若tan A 的值是方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0的一个根，求锐角A 的度数．解：解方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0，得 x 1＝1，x 2＝ 3.由题意知tan A ＝1或tan A ＝ 3. ∴∠A ＝45°或60°.03 综合题25．如图，菱形ABCD 中，AB ＝4，∠B ＝60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，则△AEF 的面积是(B )A ．4 3B ．3 3C ．2 3D .3人教版九年级数学下册《解直角三角形》检测题含答案28.2 解直角三角形及其应用 28．2.1 解直角三角形01 基础题知识点1 已知两边解直角三角形1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝4，欲求∠A 的值，最适宜的做法是(C )A ．计算tan A 的值求出B ．计算sin A 的值求出C ．计算cos A 的值求出D ．先根据sin B 求出∠B ，再利用90°－∠B 求出2．(温州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos A 的值是(D )A .34B .43C .35D .453．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，则sin ∠ABD 的值是(D )A .43B .34C .35D .454．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则cos A 2＝45．5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝20，c ＝202，则∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝20． 6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知BC ＝26，AC ＝62，解此直角三角形．解：∵tan A ＝BC AC ＝2662＝33，∴∠A ＝30°.∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°，AB ＝2BC ＝4 6.知识点2 已知一边和一锐角解直角三角形7．(兰州中考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝(D )A ．4B ．6C ．8D ．108．如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm ，那么这个三角形的面积为(B )A ．4.5 cm 2B ．9 3 cm 2C ．18 3 cm 2D ．36 cm 29．(保定月考)如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB ，若BE ＝2，则AE 的长为(B )A . 3B ．1C . 2D ．210．(牡丹江中考)在Rt △ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝92，点D 在BC 边上，连接AD ，若tan ∠CAD ＝13，则BD 的长为6．11．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝83，∠A ＝60°，解这个直角三角形．解：∵∠A ＝60°，∴∠B ＝90°－∠A ＝30°. ∵sin A ＝ac，∴a ＝c·sin A ＝83×sin 60°＝83×32＝12. ∴b ＝c 2－a 2＝（83）2－122＝4 3.12．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝55°，AC ＝4，解此直角三角形．(结果保留小数点后一位)解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－55°＝35°. ∵tan B ＝ACBC ，∴BC ＝AC tan B ＝4tan 55°≈2.8. ∵sin B ＝ACAB ，∴AB ＝AC sin B ＝4sin 55°≈4.9.02 中档题13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝50°，AB ＝10，则BC 的长为(B )A ．10tan 50°B ．10cos 50°C ．10sin 50°D .10cos 50°14．(随州中考)如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是(A )A ．R 2－r 2＝a 2B ．a ＝2R sin 36°C ．a ＝2r tan 36°D ．r ＝R cos 36°15．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD 是中线，若BC ＝5，则△ADC 的周长为(B )A ．5＋10 3B ．10＋53C ．15 3D ．20316．(保定月考)如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且sin α＝45，AB ＝4，求AD 的长为(B )A ．3B .163C .203D .16517．(河北模拟)如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝4，BC ＝10，CD ＝6，则tan C 等于(A )A .43B .34C .35D .45提示：连接BD ，则△BCD 为直角三角形．18．如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC ＝35，则对角线AC 的长为24．19．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝30°，∠C ＝60°，AD ＝4，AB ＝33，则下底BC 的长为10．03 综合题20．探究：已知，如图1，在△ABC 中，∠A ＝α(0°＜α＜90°)，AB ＝c ，AC ＝b ，试用含b ，c ，α的式子表示△ABC 的面积；图1图2应用：(孝感中考)如图2，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交成的锐角为α，若AC ＝a ，BD ＝b ，试用含b ，c ，α的式子表示▱ABCD 的面积．解：探究：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D. ∵AB ＝c ，∠A ＝α，∴BD ＝c sin α.∴S △ABC ＝12AC·BD ＝12bc sin α.应用：过点C 作CE ⊥DO 于点E. ∴sin α＝ECCO.∵在▱ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ， ∴CO ＝12a ，DO ＝12b.∴S △BCD ＝12CE·BD ＝12×12a sin α·b＝14ab sin α. ∴S ▱ABCD ＝2S △BCD ＝12ab sin α.人教版九年级数学下册《28构造基本图形解直角三角形的应用题》检测题含答案小专题(七)构造基本图形解直角三角形的应用题类型1构造单一直角三角形1．平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得∠A为54°，∠B为36°，斜边AB的长为2.1 m，BC边上露出部分BD的长为0.9 m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A＝180°－36°－54°＝90°.在Rt△ABC中，sin A＝BCAB，∴BC＝AB·sin A＝2.1×sin54°≈1.701(m)，∴CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．类型2母子三角形2．(重庆中考)如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)(A)A．5.1米B．6.3米C．7.1米D．9.2米3．(长沙中考)为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．(1)求∠APB的度数；(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？解：(1)在△APB中，∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°－30°－120°＝30°.(2)过点P 作PH ⊥AB 于点H.在Rt △APH 中，∠PAH ＝30°，AH ＝3PH. 在Rt △BPH 中，∠PBH ＝60°，BH ＝33PH. ∴AB ＝AH －BH ＝233PH ＝50.∴PH ＝253＞25.∴海监船继续向正东方向航行仍然安全．类型3 背靠背三角形4．(天津中考)如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，求BP 和BA 的长．(结果取整数，参考数据：sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05，2取1.414)解：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C.由题意可知，∠A ＝64°，∠B ＝45°，PA ＝120. 在Rt △APC 中，sin A ＝PC PA ，cos A ＝ACPA ，∴PC ＝PA·sin A ＝120×sin 64°.AC ＝PA·cos A ＝120×cos 64°.在Rt △BPC 中，sin B ＝PC BP ，tan B ＝PCBC ，∴BP ＝PC sin B ＝120×sin 64°sin 45°≈120×0.9022≈153.BC ＝PC tan B ＝PC tan 45°＝PC ＝120×sin 64°.∴BA ＝BC ＋AC ＝120×sin 64°＋120×cos 64° ≈120×0.90＋120×0.44≈161.答：BP 的长约为153海里，BA 的长约为161海里．5．(宜宾中考)如图，某市对位于笔直公路AC 上两个小区A ，B 的供水路线进行优化改造．供水站M 在笔直公路AD 上，测得供水站M 在小区A 的南偏东60°方向，在小区B 的西南方向，小区A ，B 之间距离为300(3＋1)米．求供水站M 分别到小区A ，B 的距离．(结果可保留根号)解：作ME ⊥AB ，垂足为E.设ME ＝x 米．在Rt △AME 中，∠MAE ＝90°－60°＝30°， ∴AM ＝2ME ＝2x, AE ＝MEtan 30°＝3x.在Rt △BME 中，∠MBE ＝90°－45°＝45°， ∴ME ＝EB ＝x ，MB ＝2x.∵AE ＋BE ＝AB ＝300(3＋1)，即3x ＋ x ＝300(3＋1)，解得x ＝300. ∴AM ＝2ME ＝2x ＝600，MB ＝2x ＝300 2.答：供水站M 到小区A ，B 的距离分别是600米、3002米．6．(德州中考)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10 m 的A 处，测得一辆汽车从B 处行驶到C 处所用的时间为0.9秒．已知∠B ＝30°，∠C ＝45°.(1)求B ，C 之间的距离；(保留根号) (2)如果此地限速为80 km /h ，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：3≈1.7，2≈1，4)解：(1)过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD ＝10 m . ∵在Rt △ACD 中，∠C ＝45°， ∴CD ＝AD ＝10 m .在Rt △ABD 中，tan B ＝ADBD ，∵∠B ＝30°， ∴33＝10BD. ∴BD ＝10 3 m .∴BC ＝BD ＋DC ＝(103＋10)m .答：B ，C 之间的距离是(103＋10)m . (2)这辆汽车超速，理由如下：由(1)知BC ＝(103＋10)m ≈27 m . ∴汽车速度为270.9＝30(m /s )＝108 km /h .∵108＞80，∴这辆汽车超速．类型4 与梯形有关的解直角三角形7．如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，斜面坡度i ＝1∶3是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比，∠B ＝60°，AB ＝6，AD ＝4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．(结果保留小数点后一位．参考数据：3≈1.732，2≈1.414)解：过点A 作AF ⊥BC ，垂足为点F. 在Rt △ABF 中，∠B ＝60°，AB ＝6， ∴AF ＝AB·sin B ＝6×sin 60°＝33， BF ＝AB·cos B ＝6×cos 60°＝3. ∵AD ∥BC ，AF ⊥BC ，DE ⊥BC ， ∴四边形AFED 是矩形． ∴DE ＝AF ＝33，FE ＝AD ＝4.在Rt △CDE 中，i ＝ED EC ＝13，∴EC ＝3ED ＝3×33＝9.∴BC ＝BF ＋FE ＋EC ＝3＋4＋9＝16. ∴S 梯形ABCD ＝12(AD ＋BC)·DE＝12×(4＋16)×33 ≈52.0.答：拦水坝的横断面ABCD 的面积约为52.0.。

人教版初3数学9年级下册第28章(锐角三角函数)期末综合复习题(含解析)

第二十八章锐角三角函数复习题一、单选题1．陕西渭南·九年级期末）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，设A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，则下面四个等式一定成立的是（）A ．sin c bB =⋅B ．cos a c B =⋅C ．tan a b B =⋅D ．tan b c B=⋅2．陕西咸阳·九年级期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是( )A ．sin B ＝23B ．cos B ＝23C ．tan B ＝23D ．tan B ＝323．陕西宝鸡·九年级期末）在△ABC 中，已知∠C ＝90°，AC ＝sin A ＝23，那么BC 边的长是（）A ．B ．8C ．D ．124．陕西咸阳·九年级期末）如图，点()3,4A 在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，则cos α=（）A ．34B ．35C ．45D ．435．陕西渭南·九年级期末）2cos45°的值为（）A ．2BC D ．16．陕西西安·九年级期末）在ABC 中，A ∠，B ∠都是锐角，且sin A =，tan B =，则ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．不能确定7．陕西咸阳·九年级期末）如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成32°的夹角，已知缆车速度为每分钟50米，从山脚下A 到山顶B 需16分钟，则山的高度为（）A ．800•sin32°B ．800tan32︒C ．800•tan32°D ．800sin32︒8．陕西宝鸡·九年级期末）如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯底（点O ）20米的点A 处，沿AO 所在直线行走12米到达点B 时，小明身影长度（）A ．变长2.5米B ．变短2米C ．变短2.5米D ．变短3米二、填空题9．陕西咸阳·九年级期末）如图所示的是一款可折叠的木制宝宝画板．若70cm AB AC ==，8cos 35ABC ∠=，则BC 的长为____________cm ．10．陕西宝鸡·九年级期末）如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，以A 为圆心，AC 的长为半径画弧，得 EC，连接AC ，AE ，则图中阴影部分的面积为________．11．陕西咸阳·九年级期末）在ABC ∆中，(tan cos 0A B =，则∠C 的度数为____．12．陕西宝鸡·九年级期末）已知sinA=12，则锐角∠A=______．三、解答题13．陕西西安·)sin 60cos 456⎫︒-︒-⎪⎪⎭14．陕西咸阳·九年级期末）计算：2221tan 45sin 303cos 304︒+︒-︒．15．陕西宝鸡·九年级期末）计算：4cos 24|+6．16．陕西渭南·九年级期末）计算：212cos302-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭．17．陕西咸阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）．（1）请在图中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；（2）以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△A 2B 2C 2，请在图中y 轴右侧，画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．18．陕西宝鸡·九年级期末）在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度. 方法如下：如图，首先在测量点A 处用高为1.5m 的测角仪AC 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为35°，然后在测量点B 处用同样的测角仪BD 测得人民英雄纪念碑MN 顶部M 的仰角为45°，最后测量出A ，B 两点间的距离为15m ，并且N ，B ，A 三点在一条直线上，连接CD 并延长交MN 于点E. 请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN 的高度.（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）19．陕西渭南·九年级期末）某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD ，他们在桥面上选取了一个测量点A 测得点D 的仰角为26.6°，然后他们沿AC 方向移动40m 到达测量点B （即40m AB =），在B 点测得点D 的仰角为37°，如图2所示．求外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD ．[参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈，sin 26.60.45︒≈，cos26.60.89︒≈，tan 26.60.50︒≈]20．陕西汉中·九年级期末）某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面BC 上取E ，G 两点，分别竖立两根高为2m 的标杆EF 和GH ，两标杆间隔EG 为23m ，并且古建筑AB ，标杆EF 和GH 在同一竖直平面内，从标杆EF 后退2m 到D 处（即2m ED =），从D 处观察A 点，A 、F 、D 三点成一线；从标杆GH 后退4m 到C 处（即4m CG =），从C 处观察A 点，A 、H 、C 三点也成一线．已知B 、E 、D 、G 、C 在同一直线上，AB BC ⊥，EF BC ⊥，GH BC ⊥，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑AB 的高度．21．陕西咸阳·九年级期末）如图，琪琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度AD ，琪琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B ，C 的俯角分别为∠EAB ＝60°和∠EAC ＝30°，且D ，B ，C 在同一水平线上．已知桥BC ＝36米，求无人机的飞行高度AD ．22．陕西渭南·九年级期末）如图，小华利用标杆和等腰直角三角尺测量楼高，他先在E 处竖立一根高1.5米的标杆DE ，发现地面上的点A 、标杆顶端D 与楼顶B 在一条直线上，测得1AE =米；然后他站在F 处利用等腰直角三角形测得视线GB 与水平面的夹角45BGM ∠=︒，小华的眼睛到地面的距离 1.5GF =米，1.5AF =米．已知点F 、A 、E 、C 在同一直线上，GF FC ⊥，DE FC ⊥，BC FC ⊥．请根据以上所测数据，计算楼高BC ．23．陕西安康·九年级期末）如图，在矩形ABCD 中，O 为边AB 上一点，以点O 为圆心，OA 为半径的O 与对角线相交于点E ，连接BE ，且BC BE =．(1)求证：BE 是O 的切线；(2)若30CAB ∠=︒，BC 长为6，求O 的半径．24．陕西西安·九年级期末）如图，将矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边的点F 处．(1)求证：△ABF ∽△FCE ；(2)已知AB ＝3，AD ＝5，求tan DAE 的值．参考答案：1．B【解析】根据∠B 的正弦、余弦、正切的定义列式，根据等式的性质变形，判断即可．解：在△ABC 中，∠C=90°，∵sinB=bc ，∴c=sin b B，A 选项等式不成立；∵cosB=a c，∴a=c•cosB ，B 选项等式成立；∵tanB=b a ，∴a=tan b B，C 选项等式不成立；∵tanB=b a ，∴b=a•tanB ，D 选项等式不成立；故选：B ．本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角是三个三角函数的定义是解题的关键．2．C∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，∴，∴sinB=AC AB ==，cosB=BC AB ==，tanB=23AC BC =，故选C.3．B【解析】根据锐角三角函数和勾股定理求解即可．解：由sin A ＝23＝BC AB，不妨设BC ＝2k ，则AB ＝3k ，由勾股定理得，AC 2+BC 2＝AB 2，即（2+（2k ）2＝（3k ）2，解得k ＝4（取正值），所以BC ＝2k ＝8，故选：B ．本题考查锐角三角函数，勾股定理，理解锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的前提．【解析】过A 作AP x ⊥轴于点P ，根据勾股定理求出OA ，再根据锐角三角形函数的定义求解即可过A 作AP x ⊥轴于点PA(3，4)∴4,3AP OP ==由勾股定理得：5OA ===3cos 5OP OA α∴==故选：B ．本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解和计算能力．5．C【解析】根据45°角的三角函数值代入计算即可.解： 2cos452== 故选C ．此题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题关键.6．C【解析】根据特殊角锐角三角函数值，可得60,60A B ∠=︒∠=︒ ，再由三角形的内角和等于180°，可得60C ∠=︒ ，即可求解．解：∵sin A =，tan B =∴60,60A B ∠=︒∠=︒ ，∴18060C A B ∠=︒-∠-∠=︒ ，∴A B C ∠=∠=∠ ，∴ABC 是等边三角形故选：C本题主要考查了等边三角形的判定，特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．【解析】根据题意可得，90BCA ∠=︒，32BAC ∠=︒，5016800AB =⨯=米，再根据三角函数的定义，即可求解．解：根据题意可得，90BCA ∠=︒，32BAC ∠=︒，5016800AB =⨯=米，根据三角函数的定义可得：sin sin 32BC BAC AB∠=︒=∴sin 32800sin 32BC AB =⨯︒=⋅︒（米）故选：A本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形并熟悉三角函数的定义是解题的关键．8．D【解析】利用相似三角形的对应边成比例可求出AM 的长，同理求出BN 的长，再求出AM 与BN 的差即可.∵OF ⊥OM,DA ⊥OM ，∴QF ∥AD ，∴△ADM ∽△OFM ，∴AM AD AM OA OF =+ ，即 1.620+8AM AM = ，解得AM ＝5cm ；同理可得，∵△BNE ∽△ONF ，∴BN AD OA AB BN OF =-+ 即 1.620128BN BN =-+ ，解得BN ＝2m ，∴AM －BN ＝5－2＝3m.故选D.本题考查了相似三角形的应用和中心投影，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.9．32【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，根据余弦定义可求BD ，然后根据等腰三角形的性质即可求出BC ．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ABD 中，cos BD ABC AB ∠=，又AB =70cm ，8cos 35ABC ∠=，∴87035BD =，∴BD =16cm ，又AB =AC ，∴BC =2BD =32cm ．故答案为：32．本题考查了锐角三角函数，等腰三角形的性质等知识，添加辅助线AD 是解题的关键．10．2π【解析】由正六边形ABCDEF 的边长为2，可得AB =BC =2，∠ABC =∠BAF =120°，进而求出∠BAC =30°，∠CAE =60°，过B 作BH ⊥AC 于H ，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH =CH ，BH =1，在Rt △ABH 中，由勾股定理求得AH AC 解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，()6218021206AB BC ABC BAF -⨯︒∴==∠=∠==︒， =120°，∵∠ABC +∠BAC +∠BCA =180°，∴∠BAC =12（180°-∠ABC ）=12×（180°-120°）=30°，过B 作BH ⊥AC 于H ，∴AH =CH ，BH =12AB=12×2=1，在Rt △ABH 中，AH=，∴AC，同理可证，∠EAF =30°，∴∠CAE =∠BAF -∠BAC -∠EAF =120°-30°-30°=60°，∴2CAE S π==扇形∴图中阴影部分的面积为2π，故答案为：2π．本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．11．90︒【解析】先根据平方、绝对值的非负性求得tan A 、cos B ，再利用锐角三角函数确定A ∠、B ∠的度数，最后根据直角三角形内角和求得90C ∠=︒．解：∵(tan cos 0A B =∴tan 0cos 0A B ⎧==∴tan cos A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴6030A B ∠=︒⎧⎨∠=︒⎩∴90C ∠=︒．故答案是：90︒本题考查了平方、绝对值的非负性，锐角三角函数以及三角形内角和，熟悉各知识点是解题的关键．12．30°【解析】根据sin30°=12进行解答即可．∵sinA=12，∠A 为锐角，∴∠A=30°，故答案为30°．本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．13．-7【解析】首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的混合运算．解：原式6⎫-⎪⎪⎭16=7- ．本题考查特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算，解决问题的关键是牢记特殊角的三角函数值以及掌握二次根式的运算法则．14．74-【解析】先将特殊角三角函数值代入，再计算乘方，然后计算乘法，最后计算加减即可．解：原式222111342⎛⎫=⨯+-⨯ ⎪⎝⎭11313444=⨯+-⨯119444=+-74=-本题考查特殊角的三角函数值，实数混合运算，熟记特殊角三角函数值和实数运算法则是解题的关键．15．7【解析】首先代入特殊角的三角函数值，再利用绝对值的性质和二次根式的乘法法则进行计算，最后计算加减即可．原式＝4×2+4﹣＝4+3=7．此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握特殊角的三角函数值和绝对值的性质，注意计算顺序．16．4--【解析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂的性质进行计算．解：原式24=4=4=-．本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．17．（1）见解析（2【解析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；（2）如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求，由图形可知，∠A 2C 2B 2=∠ACB ，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，由A （2，2），C （4，﹣4），B （4，0），易得D （4，2），故AD =2，CD =6，AC ==∴sin AD ACB AC ∠===即222sin A C B ∠=此题考查了作图−位似变换，平移变换，以及解直角三角形，熟练掌握位似及平移的性质是解本题的关键．18．人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米.试题分析：由题意得，四边形ACDB ，ACEN 为矩形，从而得EN=AC=1.5.AB=CD=15，在Rt △MED 中，由题意可得ME=DE ，设ME ＝DE ＝x ，则EC ＝x+15，在Rt △MEC 中，可得ME=EC ⋅tan ∠MCE ，从而有x≈0.7(x+15)，求出x 的值，从而得MN=ME+EN≈36.5 .试题解析：由题意得，四边形ACDB ，ACEN 为矩形，∴EN=AC=1.5，AB=CD=15，在Rt MED 中，∠MED ＝90°，∠MDE ＝45°，∴∠EMD ＝∠MDE ＝45°，∴ME ＝DE ，设ME ＝DE ＝x ，则EC ＝x+15，在Rt MEC 中，∠MEC ＝90°，∠MCE ＝35°，∵tan ME EC MCE =⋅∠，∴()0.715x x ≈+ ，∴35x ≈ ，∴35ME ≈ ，∴36.5MN ME EN =+≈，∴人民英雄纪念碑MN.的高度约为36.5米.19．外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD 为60m【解析】分别在两个直角三角形中由三角函数值建立方程，联立即可求出．解：设m DC x =，在Rt ADC 中，26.6A ∠=︒，∴tan 26.60.50CD AC ︒≈=∴2AC CD=在Rt BDC 中，37DBC ∠=︒，∴tan 370.75CDBC︒≈=∴43BC CD =∵40AC BC -=，∴即42403CD CD -=，解得60CD =，答：外拱塔的最高点D 距离桥面的高度CD 为60m ．本题考查了解直角三角形应用题，一般步骤为弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型，将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形，寻找直角三角形，并解这个三角形．20．古建筑AB 的高度为25m ．【解析】设=AB x ，=BE y ，证明ABD FED ∽，得到222+=x y ，再证明∽ABC HGC △△，得到2724+=x y ，利用227=24++y y 求出=23y ，将=23y 代入222+=x y 得：25x =．解：设=AB x ，=BE y ，∵AB BC ⊥，EF BC ⊥，∴AB EF ∥，∵∠=∠ADB FDE ，∴ABD FED ∽，∴=AB BD FE DE ，即222+=x y ，同理：∽ABC HGC △△，∴=AB BC HG GC，∵=23427++=++=+BC BE EG GC y y ，∴2724+=x y ，∴227=24++y y ，解得：=23y ，将=23y 代入222+=x y 得：25x =，∴古建筑AB 的高度为25m ．本题考查解直角三角形，相似三角形的判定及性质，解题关键是利用相似三角形的性质求出227=24++y y ，求出y ，再进一步求出x ．21．【解析】由锐角三角函数定义得CD =，BD AD =，再由36BC CD BD AD =-==米，即可求出AD 的长．解：60EAB ∠=︒ ，30EAC ∠=︒，9060CAD EAC ∴∠=︒-∠=︒，9030BAD EAB ∠=︒-∠=︒，tan CD AD CAD ∴=⋅∠=，tan BD AD BAD AD =⋅∠=，36BC CD BD AD ∴=-==米，AD ∴=（米)．答：无人机的飞行高度AD 为米．本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，掌握仰角俯角定义和锐角三角函数定义．22．9m【解析】连接GD ，并延长交BC 于点H ，证明BH =GH ，设BC =x ，则BH =x -1.5，用x 表示出GH 、BH 、EC 、DH ，根据tan DE BC BAE AE AC∠==列出关于x 的方程，解方程即可得出BC ．解：连接GD ，并延长交BC 于点H ，∵GF ⊥CF ，DE ⊥CF ，HC ⊥FC ，∴GF DE HC ∥∥，∵GF =DE ，∴四边形DEFG 为平行四边形，∵∠GFE =90°，∴四边形DEFG 为矩形，∴DG =EF ，∵1m AE =， 1.5m AF =，∴ 2.5m DG EF AE AF ==+=，∵∠DEC =∠EDH =∠ECH =90°，∴四边形DECH 为矩形，∴∠DHC =90°，DH =CE ，DE =CH =1.5m ，∴∠DHB =90°，∵∠BGH =45°，∴∠GBH =45°，∴∠BGH =∠GBH ，∴GH =BH ，设BC =x ，则BH =x -1.5，∴GH =BH =x -1.5，∴EC =DH =GH -DG =x -1.5-2.5=x -4，∴143AC AE EC x x =+=+-=-，∵tan DE BC BAE AE AC ∠==，∴1.513x x =-，解得：9x =，即楼高BC 为9m ．本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，根据tan DE BC BAE AE AC∠==列出关于x 的方程，是解题的关键．23．(1)见解析(2)O 的半径为【解析】（1）根据矩形的性质得出∠ABC =90°，由等腰三角形的性质得出∠EAO =∠AEO ，∠CEB =∠ACB ，证出∠OEB =90°，则可得出结论；（2）证明△BCE 为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠CBE =60°，CB =BE =6，由直角三角形的性质可得出答案．（1）证明：连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，∵OA OE =，BE BC =，∴EAO AEO ∠=∠，CEB ACB ∠=∠，∴90ACB CAB AEO CEB ∠+∠=∠+∠=︒，∴90OEB ∠=︒，∵OE 为O 的半径，∴BE 是O 的切线；（2）解：∵30CAB ∠=︒，90ABC ∠=︒，∴60ACB ∠=︒，∵BC BE =，∴BCE 为等边三角形，∴60CBE ∠=︒，6CB BE ==，∴30OBE ∠=︒，∴tan 30OE BE =︒=∴6OE ==O 的半径为本题考查了切线的判定，矩形的性质、直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值，掌握直角三角形的边角关系以及矩形、等腰三角形的性质是解题的关键．24．(1)见解析(2)13【解析】（1）由折叠的性质得90AFE D ∠=∠=︒，进而得出BAF CFE ∠=∠，即可证明△ABF ∽△FCE ；（2）设DE x =，则3EC x =-，由折叠的性质知，EF DE x ==，5AF AD ==，利用勾股定理求出BF ，进而求出CF ，在△CEF 中根据勾股定理列方程求出x ，则tan DE DAE AD∠=．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C D ∠=∠=∠=︒，由折叠的性质知，90AFE D ∠=∠=︒，∴90CFE AFB ∠+∠=︒，90BAF AFB ∠+∠=︒，∴BAF CFE ∠=∠．在△ABF 和△FCE 中，BAF CFE B C ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴△ABF ∽△FCE ；（2）解：∵矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，∴3DC AB ==，5BC AD ==，设DE x =，则3EC x =-，由折叠的性质知，EF DE x ==，5AF AD ==，由勾股定理得，4BF ===，∴541FC BC BF =-=-=，在△CEF 中，由勾股定理得：222EF EC CF =+，即()22231x x =-+，解得53x =，∴53DE =，∴511tan 353DE DAE AD ∠==⨯=．本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定，勾股定理，三角函数解直角三角形等知识点，利用折叠的性质得出90AFE D ∠=∠=︒，EF DE =，AF AD =是解题的关键．。

人教版九年级数学下册-《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习和答案解析(基础)

《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习和答案解析（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（）A．B．4 C．8D．42．等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°3．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝45，BC＝10，则AB的值是( )．A．3 B．6 C．8 D．9第1题图第3题图第4题图4．如图所示，在菱形ABCD中，DE⊥AB，3cos5A=， tan∠DBE的值是( )．A. 12B.2C.52D.555．如图所示，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于( )．A．34B．43C．35D．45第5题图第7题图6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，3sin2B=，则cosA的值为（）．A．12B．22C3D37．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )．A ．5cos α米B ．5cos α米C ．5sin α米D ．5sin α米 8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（）．A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°二、填空题9．计算：101|23tan 45|(2 1.41)3-⎛⎫--++-= ⎪⎝⎭°________． 10．如图所示，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，4cos 5B =，则AC ＝________． 11．如图所示，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到A B C '''△，使点B '与C 重合，连接A B '，则tan ∠A BC ''的值为________．第10题图第11题图第12题图12．如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC ＝3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子长AB ＝_______米．13.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ' 处，那么tan ∠BAD ′等于________．第13题图第15题图14．一次函数经过(tan 45°，tan 60°)和(-cos 60°，-6tan30°)，则此一次函数的解析式为________．15．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，AC ＝6，CD ＝5，则sinA 等于________．16．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则的值= ，tan ∠APD 的值= ．三、解答题17. 如图是某市一座人行过街天桥，天桥高CB=5米，斜坡AC 的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的傾斜角为30°．若新坡脚前需留3m 的人行道，问离原坡脚A 处7m 的建筑物M 是否需要拆除，请说明理由．（≈1.73）18．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接AC．(1)求tan∠ACB的值；(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．19．如图所示，点E、C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．(1)求证：AB＝DE；(2)若AC交DE于M，且AB＝3，ME＝2，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．20. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD＝10，连接BD．(1)求证：∠CDE＝2∠B；(2)若BD:AB＝3:2，求⊙O的半径及DF的长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D.【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，即cos30°=，∴BC=8×=4；故选：D．2．【答案】A；【解析】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥CB于D，依题意得CD：AD=1：=：3，而tan∠DAC=CD：AD，∴tan∠DAC=：3，∴∠DAC=30°，∴顶角∠BAC=60°．3.【答案】B；【解析】因为AD＝DC，所以∠DAC＝∠DCA，又∵ AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，所以∠DCA＝∠ACB．在Rt△ACB中，AC＝BC·cos∠BCA＝41085⨯=，则226AB BC AC=-=．4.【答案】B；【解析】∵DE⊥AB，∴在Rt△ADE中，cosA＝35．∴设AD＝5k，则AE＝3k，DE＝4k，又AD＝AB，∴BE＝2k，∴tan∠DBE＝422DE kBE k==．5.【答案】B；【解析】如图所示，连结BD，由三角形中位线定理得BD＝2EF＝2×2＝4，又BC＝5，CD＝3，∴ CD2+BD2＝BC2．∴△BDC是直角三角形．且∠BDC＝90°，∴4 tan3BDCCD==．6.【答案】C；【解析】∵3sin B=，∴∠B＝60°，∠A＝90°－60°＝30°，∴3cos 2A =． 7．【答案】B ；【解析】由上图知ABC α∠=，在Rt △ABC 中，cos BC AB α=．∴5cos AB α=． 8．【答案】D ；【解析】有两种情况：当∠A 为锐角时，如图(1)，sin A ＝12，∠A ＝30°；当∠A 为钝角时，如图(2)，sin(180°－∠BAC)＝12，180°－∠BAC ＝30°，∠BAC ＝150°．二、填空题9．【答案】23+；【解析】原式＝3|23|142323--++=-+=+．10．【答案】5；【解析】在Rt △ABC 中，．AD ⊥BC ，所以∠CAD ＝∠B ．∴cos cos AD CAD B AC =∠=，∴45AD AC =，又∵ AD ＝4，∴AC ＝5．．11．【答案】13；【解析】过A '作A D BC ''⊥于点D ，在Rt △A B D ''中，设A D x '=，则B D x '=，BC=2x,BD=3x.12．【答案】4 ；【解析】由3cos 4AC BAC AB ∠==，知334AB =，AB ＝4米． 13．2；【解析】由题意知22BD BD '==Rt △ABD ′中，22tan 22BD BAD AB ''∠=== 14．【答案】233y x =【解析】tan 45°＝1, tan603-cos60°＝12-，-6tan30°＝23-．设y ＝kx+b 经过点(1,3)、1,232⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则用待定系数法可求出23k =，3b =-． 15．【答案】45；【解析】∵CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴AB ＝2CD ＝2×5＝10，BC ＝22221068AB AC -=-=， ∴84sin 105BC A AB ===． 16.【答案】3，2．【解析】解：∵四边形BCED 是正方形，∴DB ∥AC ，∴△DBP ∽△CAP ， ∴==3，连接BE ，∵四边形BCED 是正方形，∴DF=CF=CD ，BF=BE ，CD=BE ，BE ⊥CD ，∴BF=CF ，根据题意得：AC ∥BD ，∴△ACP ∽△BDP ，∴DP ：CP=BD ：AC=1：3，∴DP ：DF=1：2，∴DP=PF=CF=BF ，在Rt △PBF 中，tan ∠BPF==2，∵∠APD=∠BPF ，∴tan ∠APD=2，三、解答题17.【答案与解析】解：在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BC=5，∵i=1：1，∴AB=5，在Rt△DBC 中，∠DBC=90°，∠CDB=30°，BC=5， tan30°=， ∴=，解得DB==5×1.73≈8.65，∵BM=7+5=12，BD≈8.65，∴12﹣8.65＞3，所以，离原坡脚7m的建筑物无需拆除．18.【答案与解析】(1)如图所示，作AE⊥BC于E，则BE＝AB·cos B＝8cos 60°＝1842⨯=．AE＝AB·sin B＝8sin 60°＝38432⨯=．∴EC＝BC－BE＝12—4＝8．∴在Rt△ACE中，tan∠ACB＝433 AEEC==(2)作DF⊥BC于F，则AE∥DF，∵ AD∥EF，∴四边形AEFD是矩形．AD＝EF．∵ AB＝DC，∴∠B＝∠DCF．又∵∠AEB＝∠DFC＝90°，∴△ABE△≌△DCF(AAS)．∴FC＝BE＝4，∴EF＝BC－BE—FC＝4．∴AD＝4．∴MN＝12(AD+BC)＝12×(4+12)＝8．19.【答案与解析】(1)证明：∵BE＝FC，∴BC＝EF．又∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，∴△ABC≌△DEF．∴AB＝DE．(2)解：∵∠DEF＝∠B＝45°，∴DE∥AB．∴∠CME＝∠A＝90°．∴AC＝AB＝3，MC＝ME＝2．∴CG＝CE＝2．在Rt△CAG中，3cos2ACACGCG∠==，∴∠ACG＝30°．∴∠ECG＝∠ACB－∠ACB＝45°－30°＝15°．20.【答案与解析】(1)连接OD，∵直线CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠CD0＝90°，∴∠CDE+∠ODE＝90°．又∵DF⊥AB，∴∠DEO＝∠DEC＝90°，∴∠EOD+∠ODE＝90°．∴∠CDE＝∠EOD．又∵∠EOD＝2∠B；∴∠CDE＝2∠B．(2)连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵BD:AB＝3:2，∴在Rt△ADB中，3 cos2BDBAB==，∴∠B＝30°，∵∠AOD＝2∠B＝60°．又∵∠CDO＝90°，∴∠C＝30°，∵在Rt△CDO中，CD＝10，∴ OD＝10tan 30°＝1033．即⊙O的半径为1033．在Rt△CDE中，CD＝10，∠C＝30°，∴DE＝CDsin 30°＝5．∵弦DF⊥直径AB于点E，∴ DE＝EF＝12DF，∴ DF＝2DE＝10．。

人教版本初中九年级数学下册的《锐角三角函数》单元复习测试卷习题及答案3

初中数学试卷金戈铁骑整理制作人教版九下数学《锐角三角函数》单元测试卷及答案【3】一、填空题：（30分）、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cosA＝，sinB＝，tanB＝。

、直角三角形ABC的面积为24cm2，直角边AB为6cm，∠A是锐角，则sinA＝。

、已知tan＝5，是锐角，则sin＝。

1222)tan(60°＋)＝；、cos(50°＋)＋cos(40°－)－tan(30°－、如图1，机器人从A点，沿着西南方向，行了个42单位，抵达B点后察看到原点O在它的南偏东60°的方向上，则本来A的坐标为.（结果保存根号）．yABO x（1）（2）（3）、等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为.、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面米高。

、如图2，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是米。

、在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA=3，AB＝8cm，则△ABC的面积为______。

30、如图3，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时，梯子的倾斜角为5°，假如梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角45°，则这间房屋的宽AB是_米。

二、选择题：（30分）1、sin2＋sin2(90°－)(0°＜＜90°）等于（）22、在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值（）A也.扩大3倍B.减小为本来的1 C.都不变 D.有的扩大，有的减小33、以原点O为圆心，以1为半径作圆。

若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x轴正方向构成的角为α，则点P的坐标为（）.(cosα,1)B.(1,sinα)C.(sinα,cosα)D.(cosα,sinα)4、如图4，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直均分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=3，则BC的长5是（）A、4cmB、6cm C、8cmD、10cmB AN图C A D图5图6D15、已知a为锐角，sina=cos50M B C则a等于（）0006、若tan(a+10°)=3，则锐角a的度数是()A、20°B、30°C、35°D、50°7、假如α、β都是锐角，下边式子中正确的选项是（）、sin(α+β)=sinα+sinβ、cos(α+β)=1时，α+β=600 2、若α≥β时，则cosα≥cosβ、若cosα>sinβ,则α+β>9008、如图5,小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为()．9米B．28米C．73米D.1423米9、如图6,两建筑物的水平距离为am,从A点测得D点的俯角为a,测得C点的俯角为β,则较低建筑物CD的高为().amB.(a·tanα)mC.am D.a(tanα－tanβ)m tan0、如图，垂钓竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长32m，某钓者想看看鱼钓上的状况，把鱼竿AC转动到AC的地点，此时露在水面上的鱼线BC为33，则鱼竿转过的角度是( )．60°B．45°C．15°D．90°三、解答题：（60分）1、计算(8分)：1)tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°2)1tan24513cos230tan45sin40．4sin230cos0cos50 2、(8分)△ABC中，∠C＝90°.(1)已知：c＝83，∠A＝60°，求∠B、a、b．2)已知：a＝36，∠A＝30°，求∠B、b、c.3、(5分)如图山脚下有一棵树角为10°,已知山坡的坡角为AB，小强从点15°,求树ABB沿山坡向上走的高.(精准到50m抵达点0.1m,已知D，用高为的测角仪sin10°≈0.17,cos10°≈CD测得树顶的仰0.98,tan10°≈.18,sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)24、(8分)已知Rt△ABC的斜边AB的长为10cm,sinA、sinB是方程m(x2－2x)+5(x2+x)+12=0的两根。

【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)

锐角三角函数我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有：sin cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，tan aA b=，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系．一、余角关系由上面的定义我们已得到sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知1sin 2A =，BD ＝2，求BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，所以1cos sin(90)sin 2B B A =-==．在Rt△BCD 中，cos BD B BC =，所以212BC =．所以BC ＝4．二、平方关系由定义知sin a A c =，cos b A c=，所以222222222sin cos a b a b A A c c c++=+=（sin 2A 、cos 2A 分别表示sin A 、cos A 的平方）．又由勾股定理，知a 2+b 2=c 2，所以sin 2A +cos 2A =22c c=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算．例2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．解：由余角关系知sin56°=cos（90°-56°）=cos34°．所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）223122⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭．三、相除关系由定义中sin a A c =，cos bA c=，得sin tan cos aA a c ac A b A c b bc==⨯==．利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单．例3 已知α为锐角，tan α=2，求3sin cos 4cos 5sin αααα+-的值．解：因为sin tan 2cos ααα==，所以sin α=2cos α，所以原式6cos cos 6174cos 10cos 4106αααα++===---．求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例4 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，如果t a n A =125，那么sin B 等于（） (A)135 (B) 1312 (C) 125 (D)512 分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为tan A =125=b a ，所以可设a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得c =13k ，所以sin B =1312=c b ．应选(B)．五、等线段代换法例5 如图2，小明将一张矩形的纸片ABC D 沿C E 折叠，B 点恰好落在A D 边上，设此点为F ，若BA ：BC =4：5，则c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知△E BC ≌△EF C ，所以C F=CB ，又C D=AB ，AB ：BC =4：5，所以C D ：C F=4：5，图1 图2在Rt△D C F 中，c os∠D C F=54=CF DC ．六、等角代换法例6 如图3，C D 是平面镜，光线从A 点出发经C D 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α （入射角等于反射角），AC ⊥C D ，B D⊥C D ，垂足分别为C 、D ，且AC ＝3，B D ＝6，C D ＝11，则tan α的值为（）（A ）311 （B ）113 （C ）119 （D ）911分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E ，所以只需求出tan∠CA E ．根据条件可知△AC E∽△B DE，所以ED CE BD AC =，即CECE-=1163，所以C E=311，在Rt△A E C 中，tan∠CA E=9113311==AC CE ．所以tan α=911．七、等比代换法例7 如图4，在Rt△ABC 中，ACB =90，C D⊥AB 于点D ，BC =3，AC =4，设BC D=α，tan α的值为（）(A)43 (B)34 (C)53 (D)54分析：由三角形函数的定义知tan α=DCDB，由Rt△C D B ∽Rt△ACB ，所以43==AC BC DC DB ，所以tan α=43，选(A)． ABCDEα 图3图4锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°．2．比较大小：cot30°_________cot22°．3．比较大小：sin25°___________cos25°．4．比较大小：tan52°___________cot52°．5．比较大小：tan48°____________cot41°．6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sinα表示角α与符号sin的乘积；②在△ABC中，若∠C=90°，则c=αsinA成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于0和1之间实数.其正确的为（）A、②③ B.①②③ C.② D. ③8、若Rt△ABC的各边都扩大4倍得到Rt△A′B′C′,那么锐角A和锐角A′正切值的关系为( )A.tanA′=4tanA B.4tanA′=tanA C.tanA′=tanA D.不确定.9（新疆中考题）（1）如图（1）、（2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。

【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》表格式教学案及反馈练习(含答案)

年级九年级课题 28.1 锐角三角函数(3)课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能 1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数； 2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式.过程方法结合锐角三角函数概念和含特殊角的直角三角形的性质，推导特殊角的三角函数值，了解知识之间的关系，学会综合运用，认识到三角函数也属于数的运算系列，掌握由角到边和由边到角的转换.情感态度认识到数学知识之间的联系，新旧知识的结合，对特殊角的三角函数值理解、记忆.教学重点熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式教学难点30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入一个直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切是怎么定义的？二、自主探究1.两块三角尺中有几个不同的锐角？分别是多少度？你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值吗？归纳：：30° 45° 60°sinA cosA tanA可知，1.三角函数值是数值，可以和数一样进行运算；2.三角函数值和角的度数是一一对应的.2.例题分析：教材79页例3 求下列各式的值:（1）cos 260°+sin 260°．（2）cos 45sin 45︒︒-tan45°．教材80页例4（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，AB=6，BC=3，求∠A 的度数．（2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的3倍，求a ．分析：由角的度数可以求三角函数值，由三角函数值能求角的度数三、课堂训练课本80页第1 、 2题补充：1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35 ，AB=15，则AC 的长是（）；A ．3B ．6C ．9D ．122．下列各式中不正确的是（）；A ．sin 260°+cos 260°=1B ．sin30°+cos30°=1C ．sin35°=cos55°D ．tan45°>sin45°3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）；教师引导学生回顾锐角三角函数定义，思考新的问题，引出课题教师提出问题，引导学生探究，画图，进行推导，进一步理解角度一定时三角函数值也是一定的，并完成表格教师给出问题，引导学生代入计算，写出过程学生思考，口答解题思路，师生共同完善书写步骤教师组织学生进行练习，学生独立完成，之后，由学生口答，说明依据. 复习锐角三角函数，为特殊角的三角函数值的推导做铺垫通过动手画图，验证得出的结论，加强学生记忆和理解使学生正确认识特殊角的三角函数值，能熟练的进行相关计算，由角求值，由值求角《锐角三角函数》基础练习A ．2B ．3 C ．2 D ．14．已知∠A 为锐角，且cosA ≤12 ，那么（）；A ．0°<∠A ≤60°B.60°≤∠A<90°C ．0°<∠A ≤30°D ．30°≤∠A<90°5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ， cosB= 32 ，则△ABC 的形状是（）； A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tana•的值为（）；A ．34B ．43C ．35D ．45 7．当锐角a>60°时，cosa 的值（）； A ．小于12 B ．大于12 C ．大于 32 D ．大于1 四、课堂小结1.正确认识特殊角30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练进行有关运算由角求值，由值求角；2.三角函数之间的规律特点.五、作业设计教材82页习题28．1第3题；补充：1．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=1：3：2，则sinA+tanA 等于（）；A ．32313331.3..6222B C D +++2．已知梯形ABCD 中，腰BC 长为2，梯形对角线BD 垂直平分AC ，若梯形的高是3，•则∠CAB 等于（）； A ．30° B ．60° C ．45° D ．以上都不对3．sin 272°+sin 218°的值是（）；A ．1B ．0C ．12D ． 324．若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC （）； A ．是直角三角形 B ．是等边三角形C ．是含有60°的任意三角形D ．是顶角为钝角的等腰三角形 5．设α、β均为锐角，且sin α-cos β=0，则α+β=_______； 6．已知，等腰△ABC•的腰长为4 3 ，•底为30•°，•则底边上的高为______，•周长为______；7．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB= 52 ，则osA=________．学生谈本节课收获，教师完善补充强调巩固加深对锐角三角函数的理解和应用，培养学生综合运用意识和能力，并为此获得成功的体验.加强教学反思，将知识进行系统整理，总结方法，形成技能，提高学生的学习效果28.1 锐角三角函数特殊角的三角函数表例题分析练习教学反思基础知识反馈卡·28.1时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．如图J28-1-1，若cos α＝1010，则sin α的值为( )图J28-1-1A.1010 B.23 C.34 D.310102．已知∠A 为锐角，且sin A ＝12，那么∠A ＝( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60° 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．计算：(1)2cos30°－tan60°＝________； (2)用计算器计算： ①sin13°15′＝________；②cos________°＝0.857 2. 4．如图J28-1-2，△ABC 是等边三角形，边长为2，AD ⊥BC ，则sin B ＝________，可得sin60°＝________.图J28-1-2三、解答题(共11分)5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝5，c＝7，求sin A，cos A，tan A的值．基础知识反馈卡·28.2时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分) 1．如图J28-2-1，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，AC ＝4，BC ＝3，则cos ∠BCD ＝( )图J28-2-1A.34B.1225C.35D.452．小明由A 出发向正东方向走10米到达B 点，再由B 点向东南方向走10米到达C 点，则∠ABC ＝( )A ．22.5°B ．45°C ．67.5°D ．135° 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．在倾斜角为30°的斜坡上植树，若要求两棵树的水平距离为6 m ，则斜坡上相邻两树的坡面距离为________m.4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝3 3，c ＝6，则b ＝________，∠B ＝________. 三、解答题(共11分) 5．如图J28-2-2，若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A 处沿直线方向开往对岸的B 处，AB 与河岸的夹角是60°，船的速度为5米/秒，求船从A 到B 处约需时间几分(参考数据：3≈1.7)．图J28-2-2基础知识反馈卡·28.11．D 2.B3．(1)0 (2)①0.229 2 ②31 4.AD AB 325．解：∵∠C ＝90°，b ＝5，c ＝7， ∴a ＝c 2－b 2＝2 6.∴sin A ＝a c ＝2 67，cos A ＝b c ＝57，tan A ＝a b ＝2 65.基础知识反馈卡·28.21．D 2.D 3.4 3 4.3 30°5．解：如图DJ5，过点B 作BC 垂直对岸，垂足为C ，则图DJ5在Rt △ACB 中，有AB ＝BC sin ∠BAC ＝900sin60°＝600 3.∴t ＝600 35×60＝2 3≈3.4(分)．答：船从A 处到B 处需时间3.4分．。

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3121第28章锐角三角函数复习学案【学习目标】1．理解锐角三角函数的定义，会用锐角三角函数值解决实际问题，能运用相关知识解直角三角形，会用解直角三角形的有关知识解决某些实际问题.2．运用数形结合思想、分类讨论思想和数学建模思想解决问题,提升思维品质，形成数学素养.3．解直角三角形有关知识解决实际应用问题，提升分析问题、解决问题的能力．【重点难点】重点：从实际问题中提炼图形，将实际问题数学化，将抽象问题具体化．难点：运用解直角三角形的知识灵活、恰当地选择关系式解决实际问题．【新知准备】根据自己的理解构思出本章的知识架构【课堂探究】一、自主探究 1、如右图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B )：2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值：3、解直角三角形方法：Rt △ABC （∠C =90°）的边、角之间有哪些关系：4、相关概念：（1）仰角：（2）俯角：（3）坡角：（4）坡度：二、尝试应用考点一，锐角三角函数的定义1、在Rt △ABC 中，∠C =90°，a =2，sin A = ，求cos A 和tan A 的值.2、如图所示，∠BAC 位于6×6的方格纸中，则tan ∠BAC ＝____.考点二特殊角的三角函数值的考查3、已知sin A = ，且∠A 为锐角，则∠A 的度数为60tan 45cos30sin )1(42⋅-、对边邻边bAABC3αtan 30αtan 30αsin 3022)145(sin 230tan 3121)2(-+--5、锐角A 满足tan(A -15)o=，求∠A 的度数。

考点三解直角三角形6、如图，为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处测得楼顶的仰角为α ，则楼高BC 为( )米A B C考点四解直角三角形在实际中的应用7、根据图中所给的数据，求避雷针CD 的长。

人教版九年级数学下册锐角三角函数全章课时同步练习题及答案.doc

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】28.1 锐角三角函数第1课时正弦1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，则∠A的正弦值为（）A．35B．34C．45D．532. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝32，AC＝23，那么AB的长是（）A．33B．32C．3 D．43. 如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的△ACB的内角∠ACB的正弦值是（）A．105B．1010C．13D．以上都不对4. 若0°＜∠A＜90°，sin A是方程1(3)04x x⎛⎫--=⎪⎝⎭的根，那么sin A＝．5. 如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB，AB=15，BD=6，sin A＝33，求CD的长.参考答案1．A 2．D 3．B4．1 45．6228.1 锐角三角函数第2课时锐角三角函数1. 如图，斜坡AB长20米，其水平宽度AC长为103米，则斜坡AB的坡度为（）A．30° B．60° C．33D．122. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan B的值是（）A．45B．35C．34D．433. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝32，BC＝23，那么AC的长是．4. 如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE= ．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=2，AB=4，则cos∠ACD的值为．参考答案1．C2．C3．34．4 55．24【解析】∵∠ACB=90°，BC=2，AB=4，∴cos B=24 BCAB.∵⊥，∴∠=90°，∴∠=∠，∴cos∠ACD=cos B2.28.1 锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值1. 直角△ABC中，∠A = 30°，则sin A、 tan A的值分别是（）A．32、33B．12、3C．12、33D．22、332. 下列各式不正确的是（）A．sin30°＝cos60° B．t an45°= 2sin30°C．sin30°＋cos30°＝1 D．t an60°·cos60°＝sin60°3. 在△ABC中，已知∠A、∠B是锐角，且sin A＝32，tan B＝1，则∠C的度数为．4．计算：（1）sin245°＋co s30°·tan60°；（2）22sin45°＋3sin60°－2(tan301)︒-．5. 如图, 在△ABC中, ∠B=45°, ∠C=30°, AB=42, 求A C和BC的长.参考答案1．C 2．C 3．75°4．解：（1）原式＝2231332 2222⎛⎫+⨯=+=⎪⎪⎝⎭．（2）原式＝2233331122233⎛⎫⨯+⨯--=+⎪⎪⎝⎭．5．解：过A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中, AD=BD=AB·sin45°=24242⨯=.在Rt△ACD中, . ∴BC=BD+CD=443+28.1 锐角三角函数第4课时利用计算器求锐角三角函数值和锐角度数1．计算sin20°－cos20°的值是（保留四位有效数字）（）A．－0.5976 B．0.5976C．－0.5977 D．0.59772. Rt△ABC中，∠C=90°，a:b=3:4，运用计算器计算∠A的度数为（精确到1°）（）A．30° B．37° C．38° D．39°3. 用“＞”“＝”“＜”填空：（1）cos37° co s46°；（2）tan41°tan21°；（3）sin31°cos31°．4. 用计算器求值（精确到0.0001）：（1）sin25°－cos25°；（2）sin15°＋cos25°＋tan35°．5. 已知等腰△ABC的底边AB＝20，它的面积为80，求它的顶角大小（精确到1°）．参考答案1．C2．B3．（1）－0.4837 （2）1.86534．（1）＞（2）＞（3）＜5．103°28.2 解直角三角形第1课时解直角三角形1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为（）A．10tan50°B．10cos50°C．10sin50°D．10 cos502. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（）A．53 B．52 C．5 D．103．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=15，则AD的长是（）A．2 B．2 C．1 D．224. 在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）已知AB，∠A，则BC＝，AC＝ ;（2）已知AC，∠A，则BC＝，AB＝ ;（3）已知AC，BC，则tan A＝．5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB＝43，求AD的长.参考答案 1．B 2．A 3．B4．（1）Ab sin A AB cos A （2）AC tan A cos AC A （3）BCAC5. 解：在Rt △ABC 中， ∵∠B ＝30°，∴11432322AC AB ==⨯=． ∵AD 平分∠BAC ，∴在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，∴3234cos30AC AD ===︒．【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

2021年人教版数学九年级下册学案28.1《锐角三角函数》(含答案)

C B CBAC BA 28．1锐角三角函数第1课时正弦函数目标导航：【学习目标】⑴经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。

⑵能根据正弦概念正确进行计算【学习重点】理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．【学习难点】当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。

【导学过程】一、自学提纲：1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，•求AB2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，•求BC二、合作交流：问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？；如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？；结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？•如果是，是多少？结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值三、教师点拨：从上面这两个问题的结论中可知，•在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于12，是一个固定值；•当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于2，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，•它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？(2)1353CB A(1)34CB A斜边c对边abC B A探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么''''BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，•∠A 的对边与斜边的比正弦函数概念：规定：在Rt △BC 中，∠C=90，∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA= =ac． sinA ＝错误!未找到引用源。

(常考题)人教版初中数学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试(含答案解析)(3)

一、选择题1．如图，在O 中，E 是直径AB 延长线上一点，CE 切O 于点E ，若2CE BE =，则E ∠的余弦值为（）A ．35B ．45C ．34D ．43 2．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则C ∠的度数是（） A ．45︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．105︒ 3．在△ABC 中，∠C=90º，AC=3，AB=4，则下列结论正确的是（）A ．34sinA =B ．34cos A =C ．34tan A =D ．34cot A = 4．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )A ．8(31)+mB ．8(31)-mC ．16(31)+mD ．16(31)-m5．如图，在矩形ABCD 中，AB =3，做BD 的垂直平分线E ，F ，分别与AD 、BC 交于点E 、F ，连接BE ，DF ，若EF =AE +FC ，则边BC 的长为（）A ．3B ．33C ．63D 9326．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，使得点D 落在AC 上，则tan ∠ECD 的值为（）A ．23B ．32C ．255D ．3557．如图，小明在一条东西走向公路的O 处，测得图书馆A 在他的北偏东60︒方向，且与他相距200m ，则图书馆A 到公路的距离AB 为（）A ．100mB ．1002mC ．1003mD ．2003m 38．如图，ABC ∆的三个项点均在格点上，则tan A 的值为（）A ．12B ．5C ．2D ．25 9．如图，在△ABC 中，sinB=13， tanC=2，AB=3，则AC 的长为（）A 2B 5C 5D ．210．如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A 在x 轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D 在y 轴的正半轴上，矩形的边,,AB a BC b DAO x ==∠=．则点C 到x 轴的距离等于（）A ．cos sin a x b xB ．cos cos a x b xC ．sin cos a x b xD ．sin sin a x b x 11．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为BC 的中点，点E 在AB 上，AD ，CE 交于点F ，AE ＝EF ＝4，FC ＝9，则cos ∠ACB 的值为（）A ．35B ．59C ．512D ．4512．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为（） A ．513 B ．1213 C ．512 D ．125二、填空题13．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘AC ＝BD ＝54cm ，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________cm ．14．小芳同学在学习了图形的镶嵌和拼接以后，设计了一幅瓷砖贴纸（图1），它是由图2这种基本图形拼接而成。

人教版-数学-九年级下册--第二十八章锐角三角函数全章小结与复习测试(含答案)

小结与复习知识结构基础知识1．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，a2+b2=c2，sinA=cosB=ac， cosA=sinB=bc，tanA=cotB=ab， cosA=tanB=ba．2．互余两角三角函数间的关系：如∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB，cosA=sinB． 3．同角三角函数间的关系：sin2A+cos2A=1，tanA·cotA=1，tanA=sin cos,cotcos sinA AAA A．4．特殊角的三角函数三角函数0°30°45°60°90°sinα 0 1222321cosα 1 322212tanα 0 321 3不存在cotα不存在3 1 33解直角三角形的基本类型解直角三角形的基本类型及其解法如下表：类型已知条件解法解直角三角形注意点1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，•但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．4．解直角三角形的方法可概括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，•然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算．6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．7．解含有非基本元素的直角三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、•周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．应用题解题步骤度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义．第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）．第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错．第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位．思想方法总结 1．转化思想转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题． 2．数形结合思想本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决． 3．函数思想锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a 与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a 任意确定的一个度数，sina 都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina 在（01）之间任意确定的一个值，锐角a 都有惟一确定的一个度数与之对应． 4．方程思想在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素．中考新题型例1 计算：（1）sin 230°-cos45°·tan60°（223tan 30︒+分析：把特殊角的三角函数值代入计算即可．解：（1）sin30°-cos45°·tan60°=14-2=14（2）原式+1-3×（3）2+1-1+2（1-2）=2 说明：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，是解决这类问题的关键，•这类题也是中考考查的重点，在选择题和填空题中出现的更多．例 2 如右图，已知缆车行驶线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．•小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），•请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47•°≈0.6820，tan47°≈1.0724）分析：缆车垂直上升的距离分成两段：BC与DF．分别在Rt△ABC和Rt△DBF•中求出BC 与DF，两者之和即为所求．解：在Rt△ABC中，AB=200米，∠BAC=α=30°，∴BC=AB·sinα=200sin30°=100（米）．在Rt△BDF中，BD=200米，∠DBF=β47°，∴DF=BD·sinβ=200·sin47°≈200×0.7314=146.28（米）．∴BC+DF=100+146.28=246.28（米）．答：缆车垂直上升了246.28米．说明：解直角三角形在实际生活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点．要解决好这类问题：一是要合理地构造合适的直角三角形；•二是要熟记特殊角的三角函数值；三是要有很好的运算能力和分析问题的能力．课时作业设计本章单元测试．单元测试一、选择题．1．在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC等于（）．A．45 B．5 C．15D．1452．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若cotA=34，则cosA等于（）．A．45B．35C．43D．343．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米的C处（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A、B之间的距离应为（）．A ．15sin50°米B ．15cos50°米；C ．15tan50°米D ．15cot50°米CBAaADC(第3题) (第6题) (第7题) 4．如果si n 2a+sin 230°=1，那么锐角a 的度数是（）． A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，若2，则cosB 的值为（）． A ．12B ．22C ． 32D ．16．如图，为了测量河两岸A 、B 两点的距离，在与AB 垂直的方向上取点C ，•测得AC=a ，∠ACB=a ，那么AB 等于（）．A ．a ·sinaB ．a ·cosaC ．a ·tanaD ．a ·cota7．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，D 为垂足．若AC=4，BC=3，则sin ∠ACD 的值为（）． A ．43 B ．34 C ．45 D ．358．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2cm ，则斜边的长是（）． A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm 9．在△ABC 中，sinB=cos （90°-C ）=12，那么△ABC 是（）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形10．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=12，BC=5，则下列各式中正确的是（）． A ．sinA=125 B ．cosA=1213 C ．tanA=125 D ．cotA=121311．如图，为测楼房BC 的高，在距离房30米的A 处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC•的高为（）．A．30tanα米B．3030.30sin.tan30sinC Dααα米米BAαCBADC(第11题) (第12题)12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=15，则AD的长为（）．A．2 B．2 C．1 D．22二、填空题．13．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A′P′B′，且BP=2，•那么PP′的长为________．（不取近似值，以下数据供解题使用：sin15°=6262,cos1544-+︒=）(第13题) (第14题) (第21题)14．如图，沿倾斜角为33°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为________m．（精确到0.01m）15．sin30°=________．1635°=________．（精确到0.01）17．若圆周角α所对弦长为sinα，则此圆的半径r为_______．18．锐角A满足2sin（A-15°）3A=________．19．计算：3tan30°+cot45°-2tan45°-2cos60°=_________．20．已知A是锐角，且sinA=13，则cos（90°-A）=________．21．为了测量一个圆形铁环的半径（如图），某同学采用了如下办法：•将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若测得PA=5cm，则铁环的半径是______cm．三、计算题．22°-）．23．计算：cos60°-1．24．计算：（1）sin30°+cos45°+tan60°-cot30°．（2cot303tan30 cos27sin30cos45︒-︒︒+︒-︒25．若方程2x2+（4sinθ）x+1=0（0<θ<90°）有两个相等的实数根，求θ的值．四、解答题．26．如图，为申办2010年冬奥会，需改变哈尔滨市的交通状况．在大道拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形区域为危险区，现在某工人站在离B点3米处的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B•点的俯角为30°，问距离B点8 1.73）27．我边防战士在海拔高度（即CD 的长）为50米的小岛顶部D 处执行任务，上午8时发现在海面上的A 处有一艘船，此时测得该船的俯角为30°，该船沿着AC•方向航行一段时间后到达B 处，又测得该船的俯角为45°，求该船在这一段时间内的航程．（•计算结果保留根号）28．如图，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成58°，•求拉线下端点A 与杆底D 的距离AD ．（精确到0.01米）58B A4mD C答案：一、1．B 2．B 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．A 10．B 11．A 12．B二、13 14．2.38 15．12 16．1.10 17．1218．75° 1920．1321．三、22°-）0．23．解：原式=12-12．24．（1）12（2）1 25．θ=45°．四、26．过点C 作CE ⊥AB 于E ，Rt △CBE 中，tan30°=BE CE，∴BE=CE ·tan30° Rt △CAE 中，tan60°=AEEC，∴AE=CE ·tan60°∴4×1.73=6.92<8． ∴保护物不在危险区．27．解：根据题意，∠ADC=60°，∠BDC=∠DBC=45°，∴BC=DC=50．在Rt △ADC 中，AC=CD ×tan ∠AB=AC-BC=50-1）（米）．答：该船在这段时间内的航程为50）米． 28．解：在Rt △ACD 中，∠ADC=90°，∠CAD=58°，CD=5米．∵tan ∠CAD=CDAD ， ∴AD=5tan tan 58CD CAD =∠︒≈3.12（米）．答：拉线下端点A 与杆底D 的距离AD 约为3.12米．。

人教版初3数学9年级下册第28章(锐角三角函数)测试卷(含答案)

《第二十八章锐角三角函数》测试卷一、选择题（每小题3分，共8题，共24分）1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB 的值是( )A ．32B ．53C ．43D ．542．若α是锐角，sinα=cos38°，则α 等于（） A ．52°B ．62°C ．38°D ．42°3．在△ABC 中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么∠A 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若53sin =A ，则B tan =（）A ．43B ．34C ．53D ．355.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，45A ∠≠︒，则下列比值中不等于sinA 的是（）A ．CD ACB ．BD CBC ．CB ABD ．CD CB6．某铁路路基的横断面是一个等腰梯形（如图），若腰的坡比为2：3，路基顶宽3米，高4米，则路基的下底宽为（）A ．7米B ．9米C ．12米D ．15米7．如图，用一块直径为4的圆桌布平铺在对角线长为4的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（）A1B．2C．1D18ABCD 中，E ，F分别为AD ，CD 的中点，BF 与CE 相交于点H ，直线EN交CB 的延长线于点N ，作CM ⊥EN 于点M ，交BF 于点G ，且CM=CD ，有以下结论：①BF ⊥CE ；②ED=EM ；③tan ∠ENC=34；④CHF DEHF S S ∆=4四边形，其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题3分，共8题，共24分）9.已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，则cosB 的值为 .10．已知α、β均为锐角，且满足0)1(tan 21sin 2=-+-βα，则α+β= .第1题第5题第6题第8题第7题第13题11.已知∠A 是锐角，若33)15tan(=- A ，则知∠A= .12．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则tan C 的值为　　.13．半径为2cm 的⊙O 中，弦长为的弦所对的圆心角度数为．14．ABC ∆中，13AB AC ==，10BC =，则tan B = ．15．在△ABC 中，∠B =45°，∠C =75°，AC =6，则AB 的长是．16．如图，为了测量电线杆AB 的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m 的D处．若测角仪CD 的高度为1.5m ，在C 处测得电线杆顶端A 的仰角为36°，则电线杆AB 的高度约为　m ．（精确到0.1m ）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．17．平放在地面上的三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B 为36°，边AB 的长为2.1m ，BC 边上露出部分BD 的长为0.6m ，则铁板BC 边被掩埋部分CD 的长是 m .（结果精确到0.1m.参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）.18.如图，折叠矩形ABCD 的一边AD,使点D 落在BC 边的点F 处，已知BF=6cm ，且tan ∠BAF=43，则折痕AE 的长是．三、解答题（共8题，共66分）19．计算(每小题4分，共8分)（1）45tan 30cos 60tan 30sin 22-+-；（2）30sin 430cos 3445tan 260tan 2+--20．（8分）在直角三角形ABC 中，已知∠C=90°，AB=15，AC=9，分别求出sinA 和tanB的值．第16题第18题21．（8分）如图，在 △ABC 中，∠C=90°，AB=10，53sinB ，点D 为边 BC 的中点．(1) 求 BC 的长；(2) 求 ∠BAD 的正切值．22．（8分）在锐角△ABC 中，AD 与CE 分别是边BC 与AB 的高，AB ＝12，BC ＝16，S △ABC ＝48，求：（1）∠B 的度数；（2）tanC 的值.23.（8分）如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD 的边BC 在OM 上，对角线AC ⊥ON ．（1）求∠ACD 度数；（2）当AC=5时，求AD 的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）24．（8分）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD 的高度，他们先在A 处测得古塔顶端点D 的仰角为45°，再沿着BA 的方向后退20m 至C 处，测得古塔顶端点D 的仰角为30°.求该古塔BD 的高度（ 3≈1.732 ，结果保留一位小数）.25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE交AB于点F，⊙O的切线BC与AD的延长线交于点C，连接AE．（1）试判断∠AED与∠C的数量关系，并说明理由；（2）若AD=3，∠C=60°，点E是半圆AB的中点，求线段AE的长．26．（10分）海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为nmile的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60 方向上，且A，P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东多少度的方向航行，能安全通过这一海域？答案与解析一、选择题（每小题3分，共8题，共24分）1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB 的值是( )A ．32B ．53C ．43D ．54【答案】D【考点】锐角三角函数的定义；【解答】解： ∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，∴54sin ==AB AC B .故答案为：D .【分析】根据正弦函数的定义sinB=斜边的对边A ∠即可直接得出答案.2．若α是锐角，sinα=cos38°，则α 等于（） A ．52°B ．62°C ．38°D ．42°【答案】A【考点】互余两角三角函数的关系；【解答】解：∵sinα=cos38°， ∴α=90°﹣38°=52°．故选A ．【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．3．在△ABC 中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么∠A 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A【考点】解直角三角形；【解答】解：∵∠C=90°，AB=2，BC=1∴21sin ==AB BC A ∴∠A=30°.故选A .【分析】先根据正弦的定义可得∠A 的正弦值，再根据特殊角的锐角三角函数值即可得到结果.4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若53sin =A ，则B tan =（）A ．43B ．34C ．53D ．35【答案】A【考点】锐角三角形函数的定义；【解答】解：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3sin 5A =第1题3sin 5BC A AB ∴==，设3BC k =，则AB 5k =，由勾股定理可得k BC AB AC 422=-=，44tan 33AC k B BC k ∴===．故选A ．【分析】依题意，作出图形，设BC=3k ，则AB=5k 进而求AC ，根据正切的定义求得tanB 即可．5.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，45A ∠≠︒，则下列比值中不等于sinA 的是（）A ．CD ACB．BDCB C ．CB ABD ．CD CB【答案】D【考点】锐角三角函数的定义；【解答】解：在Rt ABC ∆中，sin CBA AB= ,在Rt ACD ∆中，sin CDA AC=,90A B ∠+∠=︒ ,90B BCD ∠+∠=︒ ,A BCD ∴∠=∠ ,在Rt BCD ∆中，sin sin BDBCD A BC∠==,故选：D ．【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．6．某铁路路基的横断面是一个等腰梯形（如图），若腰的坡比为2：3，路基顶宽3米，高4米，则路基的下底宽为（）A ．7米B ．9米C ．12米D ．15米【答案】D【考点】解直角三角形的应用---坡度坡角问题；【解答】解：第5题第6题∵腰的坡度为i=2：3，路基高是4米，∴BE=6米，又∵EF=AD=3米，∴BC=6+3+6=15米．故选D ．【分析】梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形．利用相应的性质求解即可．7．如图，用一块直径为4的圆桌布平铺在对角线长为4的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（）A1B．2C．1D1【答案】B【考点】正方形的性质，垂径定理的应用，特殊角的三角函数值；【解答】如图，正方形ABCD 是圆内接正方形，4BD =，点O 是圆心，也是正方形的对角线的交点，作OF BC ⊥，垂足为F ，∵直径4BD =，∴2OB =，又∵△BOC 是等腰直角三角形，由垂径定理知点F 是BC 的中点，∴△BOF 是等腰直角三角形，∴sin 45OF OB ==°，∴2x EF OE OF ==-=故选：B ．【分析】作出图形，把实际问题转化成数学问题，求出弦心距，再用半径减弦心距即可．8．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，BF 与CE 相交于点H ，直线EN 交CB 的延长线于点N ，作CM ⊥EN 于点M ，交BF 于点G ，且CM=CD，有以下结论：第7题①BF ⊥CE ；②ED=EM ；③tan ∠ENC= 34；④CHF DEHF S S ∆=4四边形，其中正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形；【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD=AD ，∠BCF=∠CDE=90°，∵DE= 12 AD ，CF= 12 CD ，∴DE=CF ，∴△CDE ≌△BCF ，∴∠CBF=∠ECD ，∵∠ECD+∠ECB=90°，∴∠CBF+∠BCE=90°，∴∠BHC=90°，∴BF ⊥CE ，故①正确，∵CM=CD ，∠CME=∠D=90°，CE=CE ，∴Rt △CEM ≌Rt △CED ，∴EM=DE ，故②正确，∴∠CED=∠CEM=∠ECN ，∴NE=NC ，设NE=CN=x ，EM=DE=AE=a ，则CM=CD=2a ，在Rt △CNM 中，（x ﹣a ）2+（2a ）2 =x 2，解得x =52 a ，tan ∠ENC=34232==a a MN CM ，故③正确，易知△CHF ∽△CDE ，∴51)(2==∆∆CE CF S S CDE CHF ，∴CHF DEHF S S ∆=4四边形，故④正确，故答案为：D ．【分析】可证△CDE ≌△BCF ，得出对应角相等可得①正确；易得Rt △CEM ≌Rt △CED ，进而得出②正确；设出参数NE=CN=x ，EM=DE=AE=a ，则CM=CD=2a ，tan ∠ENC=34232==a a MN CM ，故③正确；易知△CHF ∽△CDE,由面积比等于相似比的平方可得结论正确.二、填空题（每小题3分，共8题，共24分）第8题9.已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，则cosB 的值为 .【答案】54；【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义；【解答】∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，∴,86102222=-=-=AC AB BC ∴54108cos ===AB BC B .故答案为：54．10．已知α、β均为锐角，且满足0)1(tan 21sin 2=-+-βα，则α+β= .【答案】75°；【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：算术平方根；绝对值的非负性；【解答】∵0)1(tan 21sin 2=-+-βα，∴sinα=12，tanβ=1，∴α=30°，β=45°，则α+β=30°+45°=75°．故答案为：75°．【分析】根据非负数的性质求出sinα、tan β的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数．11.已知∠A 是锐角，若33)15tan(=-A ，则知∠A= .【答案】45°；【考点】特殊角的三角函数值；【解答】∵3330tan =，∴∠A －15°=30°，∴∠A=45°.故答案为：45°．【分析】根据特殊角的三角函数值得出3330tan =，求出∠A －15°=30°，从而求出∠A 的度数.12．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则tan C的值为　　.【答案】25；【考点】锐角三角函数的定义；【解答】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，设AD ＝5a ，CD ＝2a ，∴2525tan ===a a CD AD C ，故答案为：25【分析】过A 作AD ⊥BC 于D ，由锐角三角函数tanC=ADCD 和网格图的特征可求解.14．半径为2cm 的⊙O 中，弦长为的弦所对的圆心角度数为．【考点】垂径定理，锐角三角函数；【解答】解：如图，作OD ⊥AB ，由垂径定理知，点D 是AB 的中点，∴AD ＝12AB （cm ），∵ cos A ＝AD OA =∴∠A ＝30︒，∴∠AOD ＝60°，∴∠AOB ＝2∠AOD ＝120°，故答案为：120°．【分析】作OD ⊥AB ，由垂径定理知，点D 是AB 的中点，在直角三角形中，利用cos ADA OA=，根据比值求得 A ∠的度数，从而知道AOD ∠ 的度数，即可进一步求得最后答案．14．ABC ∆中，13AB AC ==，10BC =，则tan B = ．【答案】125【考点】勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的应用；【解答】解：如图，等腰ABC ∆中，13AB AC ==，10BC =，过A 作AD BC ⊥于D ，则5BD =，在Rt ABD ∆中，13AB =，5BD =，则，125132222=-=-=BD AB AD ，故12tan 5AD B BD ==．故答案为125．【分析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出BD 的长，根据勾股定理求出AD 的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出tan B 的值．15．在△ABC 中，∠B =45°，∠C =75°，AC =6，则AB 的长是．【答案】333+；【考点】直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；【解答】解：作CD ⊥AB 于D ，如图所示：则∠BDC =∠ADC =90°，∵∠B =45°，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴BD =CD ，∠BCD =45°，∵∠ACB =75°，∴∠ACD =∠ACB －∠BCD =30°，∴AD =12AC =12×6=3，CD =22AD AC- ∴BD =CD ∴AB =BD +AD ；【分析】作CD ⊥AB 于D ，则△BCD 是等腰直角三角形，得BD =CD，∠BCD =45°，求出∠ACD =30°，由直角三角形的性质得AD =12AC =3，BD =CD 16．如图，为了测量电线杆AB 的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m 的D 处．若测角仪CD 的高度为1.5m ，在C 处测得电线杆顶端A 的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为　　m ．（精确到0.1m ）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；【解答】解：如图，在Rt △ACE 中，∴AE=CE•tan36°=BD•tan36°=9×tan36°≈6.57米，第16题∴AB=AE+EB=AE+CD=6.57+1.5≈8.1（米）．故答案为：8.1．【分析】根据CE 和tan36°可以求得AE 的长度，根据AB=AE+EB 即可求得AB 的长度，即可解题．17．平放在地面上的三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B 为36°，边AB 的长为2.1m ，BC 边上露出部分BD 的长为0.6m ，则铁板BC边被掩埋部分CD 的长是 m .（结果精确到0.1m.参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）.【答案】1.1；【考点】解直角三角形的应用；【解答】解：∵ ∠A =54° ， ∠B =36°∴ ∠C =180°−54°−36°=90°∴在直角 △ABC 中，sinA ＝ BC AB ，则BC ＝AB•sinA ＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，则CD ＝BC ﹣BD ＝1.701﹣0.6＝1.101≈1.1（m ），故答案为：1.1.【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠C 的度数，进而利用正弦三角函数的定义进行求值即可.18.如图，折叠矩形ABCD 的一边AD,使点D 落在BC 边的点F 处，已知BF=6cm ，且tan ∠BAF=43，则折痕AE 的长是．【考点】矩形的性质，翻折变换，解直角三角形；【解答】解：由折叠得：AF=AD,EF=DE,∵四边形ABCD 为矩形，AF=AD=BC,DC=AB,∠B=∠C=∠D=90°，第17题∵43tan ==∠AB BF BAF ,∵BF=6，∴AB=8，由勾股定理得AF=10cm ,∴AD=BC=10cm ，∴CF=BC －BF=10－6=4cm ,设EF=DE=xcm ,∴CE=DC －DE=AB －DE=（8－x ）cm,在Rt △EFC 中，由勾股定理得：222)8(4x x -+=，解得：x =5，∴DE=5cm,在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE 555102222=+=+=DE AD AE cm.【分析】由折叠的性质得AF=AD,EF=DE,由矩形的性质得AF=AD=BC,∠B=∠C=∠D=90°，再根据锐角三角函数的定义得出AB=8，由勾股定理得AF=10cm ，则AD=BC=10cm,CF=BC －BF=10－6=4cm ，设EF=DE=xcm ,则CE=DC －DE=AB －DE=（8－x ）cm ，然后在Rt △EFC 中，由勾股定理列出方程，解答即可.三、解答题（共8题，共66分）20．计算(每小题4分，共8分)（1）45tan 30cos 60tan 30sin 22-+-；（2） 30sin 430cos 3445tan 260tan 2+--【答案】（1）23-；（2）0.【考点】特殊角的三角函数值；【解答】解：（1）原式=231233112332122-=-+-=-+-⨯（2）原式=02332233221423341232=+--=⨯+⨯-⨯-【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简计算得出答案.20．（8分）在直角三角形ABC 中，已知∠C=90°，AB=15，AC=9，分别求出sinA 和tanB 的值．【答案】解：如图，∵∠C=90°，AB=15，AC=9，∴BC=AB 2−AC 2=12，∴sinA=BC AB =45，tanB=AC BC =43．【考点】锐角三角函数的定义；【分析】利用勾股定理得出BC 的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．21．（8分）如图，在 △ABC 中，∠C=90°，AB=10，53sin =B ，点D 为边 B C 的中点．(1) 求 BC 的长； (2) 求 ∠BAD 的正切值．【解答】解：（1）∵,10,53sin ==AB B ∴,5310=AC ∴AC=6，∴在Rt △ABC 中，86102222=-=-=AC AB BC .(2)如图，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E,∵∠C=∠BED=90°，∠B=∠B,∴△BED ∽△BCA,∴CA ED BA BD BC BE ==,∴61048ED BE ==，解得：512,516==ED BE ,∴AE=AB=BE=10－516=534，∴176tan ==∠AE DE BAD .【考点】解直角三角形；【分析】（1）首先根据锐角三角函数的定义求出AC 的长，然后根据勾股定理求出BC 的长即可.（2）过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E,在证明△BED ∽△BCA ，利用相似三角形的性质可求出BE 和ED,最后利用锐角三角函数的定义求出tan ∠BA D 的值.22．（8分）在锐角△ABC 中，AD 与CE 分别是边BC 与AB 的高，AB ＝12，BC ＝16，S △ABC ＝48，求：（1）∠B 的度数；（2）tanC 的值.【答案】解：（1）∵S △ABC ＝ 12BC•AD ＝48,BC ＝16, ∴AD ＝6,在Rt △ABD 中,AB ＝12,∴BD ＝36,sinB ＝612 ＝ 12,∴∠B ＝30°（2）∵BC ＝16,BD ＝36 ,∴CD ＝16﹣36 ,在Rt △ACD 中,∵CD ＝16﹣36 ,AD ＝6,∴tanC ＝ 616−63 ＝ 24+9337 .【考点】三角形的面积，锐角三角函数的定义；【分析】（1）根据S △ABC ＝48以及BC ＝6,可求出AD 的长度,然后由勾股定理可求出BD 的长度,然后根据锐角三角函数的定义即可求出角B 的度数,（2）由于BC ＝16,BD ＝36, 从而可知CD 的长度,在Rt △ACD 中,根据AD 与CD 的长度比即可求出tanc 的值.23.（8分）如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD 的边BC 在OM 上，对角线AC ⊥ON ．（1）求∠ACD度数；（2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）【答案】（1）解：延长AC交ON于点E，如图，∵AC⊥ON，∴∠OEC=90°，在Rt△OEC中，∵∠O=25°，∴∠OCE=65°，∴∠ACB=∠OCE=65°，∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25°（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD=BC，，在Rt△ABC中，∵cos∠ACB= BCAC∴BC=AC•cos65°=5×0.42=2.1，∴AD=BC=2.1【考点】解直角三角形；【分析】（1）在矩形ABCD中可知∠DCB=90°，要求∠ACD度数，只需求出∠ACB的度数，延长AC交ON于点E，在Rt△OEC∠O=25°，AC⊥ON，可求出∠OCE=65°，再利用对顶角相等可求∠ACD度数。

人教版九年级下册数学《锐角三角函数》学案与同步练习(含答案)

锐角三角函数教学设计思想首先从问题入手，让学生感到“心求通而未得，口欲言而不能”激发学习兴趣，在问题解决遇到阻碍时很自然地引入新课，引导学生对新知识——三角函数值的探索，学生在教师的指导下通过测量、计算、观察、推断与他人合作交流，归纳出三角函数值，然后利用探索得的结论解决课前提出的问题，照应开头，使学生致用又提高了学习兴趣。

探索过程中学生成了学习的主体，教师只是引导者，体现了学生学习的主体性、主动性原则。

由于三角函数是一门新知识，学生理解及掌握要有一个过程，因此，在探索完知识后进行适当的练习，使学生在理解的基础上巩固对三角函数的认识。

教学目标知识与技能：记住特殊角30°，45°，60°的三角形函数值并会应用进行简单的计算。

过程与方法：经历从实际问题中抽象出数学模型的过程，经历探索直角三角形边角关系的过程，体会现实生活与数学的联系。

情感态度价值观：感受数学知识的这种内在联系，体会数学与生活的密切关系。

2识到通过测量、观察、归纳、推断可以获得数学猜想，体验数学与生活的联系，从而培养学生对学习的兴趣。

教学重难点重点：对三角函数的理解及特殊三角函数值的计算难点：三角函数概念的建立教学方法合作探究教学媒体多媒体教学过程【师】上节课我们学习了正弦的概念，请同学回忆一下。

【生】在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sinc），记作sin A，即sinA aAc∠==的对边斜边。

【师】好的，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？分析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？【师】由此你能得出什么结论？【生】在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值。

《锐角三角函数》复习学案(含答案)

《锐角三角函数》复习学案◆考点聚焦1．了解锐角三角函数的定义，并能通过画图找出直角三角形中边、角关系.• 2．准确记忆30°、45°、60°的三角函数值． 3．已知三角函数值会求出相应锐角．4．掌握三角函数与直角三角形的相关应用，这是本节的热点．◆基础知识1.锐角三角函数的定义：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，斜边为c ，a ，b 分别是∠A 的对边和邻边，请填出∠A 的三个三角函数：练习：1.在Rt △ABC 中中，如果各边长度都扩大4倍，则锐角A 的正弦值和余弦值（）（A ）都没有变化（B ）都扩大4倍（C ）都缩小4倍（D ）不能确定 2.已知：∠A 为锐角，并且tanA=512 ，则cosA 的值为 .3.正方形网格中，∠AOB 如图放置，则tan ∠AOB 的值为（）Ａ．55 Ｂ．255 Ｃ．12 Ｄ．24.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）A ．sinB=23B ．cosB=23C ．tanB=23D ．tanB=325.某资料中曾记载了一种计算地球与月球之间的距离的方法：如图，假设赤道上一点D 在AB 上，∠ACB 为直角，可以测量∠A 的度数，则AB 等于（） A.AC cosA B. cosA AC C. AC sinA D. sinAAC2、三角函数值⑴特殊角的三角函数值：⑵锐角三角函数值的性质： ①锐角三角函数值都是正数。

名称字母表示比角度三角函数30° 45° 60° sinA cosA tanAABO②当角度在0°＜A＜90°间变化时:正弦、正切值随着角度的增大而；余弦随着角度的增大而练习：1.计算2sin30°-2cos60°+tan45°=________．2.求下列各式的值：⑴sin245°+cos260°；⑵cos45ºsin60º-1+4 sin45°·cos30°3.点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（）A．312） B．（312） C．（3-12） D．（-12，-32）4.若 3 tan(α+10°)=1，则锐角α的度数是.5．已知在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，231sin cos02A B⎛+-=⎝⎭，则∠C的度数是（）Ａ．30°Ｂ．45°Ｃ．60°Ｄ．90°3.解直角三角形1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，边与角有下列关系：⑴三边的关系：；⑵两锐角的关系：∠A+∠B= 。

【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》单元复习及典型例习题(含答案)

锐角三角函数第一部分同角三角函数“做一做”三角函数角αsin α cos α tan α30021 23 33 45022 22 160023 21 3从表中不难得出：130cos 30sin 022=+ ， 0030tan 30cos 30sin = 145cos 45sin 022=+ ， 0045tan 45cos 45sin =160cos 60sin 022=+ ，0060tan 60cos 60sin =那么，对于任意锐角A ，是否存在1cos sin 22=+B A ，A AAtan cos sin =呢？事实上，同角三角函数之间，具有三个基本关系：如图，在090,=∠∆C ABC Rt ，C B A ∠∠∠,,所对的边依次为a ，b ，c 则 ①1cos sin 22=+B A （平方关系）②A A A cos sin tan =，AAA sin cos cot = （商的关系） ③1cot tan =⋅A A （倒数关系）证明：①222,cos ,sin c b a cbA c a A =+==Θ1cos sin 222222222==+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∴c c c b a c b c a A A 即 1cos sin 22=+A A ②abA b a A c b A c a A ====cot ,tan ,cos ,sin Θ A ba b c c a c b c aA A tan cos sin ==⋅==∴ A aba c cb ca c bA A cot sin cos ==⋅== 即 A A A cos sin tan =，A AA sin cos cot =③abA b a A ==cot ,tan Θ1cot tan =⋅=⋅∴abb a A A即 1cot tan =⋅A A通过以上证明，可以得出以下结论：①对于任意锐角A ，A ∠的正弦与余弦的平方和等于1，即1cos sin 22=+A A ．②对于任意锐角A ，A ∠的正弦与余弦的商等于A ∠的正切，即A AA cos sin tan =． ③对于任意锐角A ，A ∠的余弦与正弦的商等于A ∠的余切，即AAA sin cos cot =．④对于任意锐角A ，A ∠的正切和余切互为倒数，1cot tan =⋅A A ．运用以上关系，在计算、解题的过程中，可以简化计算过程．例1 已知A ∠为锐角，,53cos =A 求A A tan sin ，．解：A ∠Θ为锐角1sin 0<<∴A又Θ,1cos sin 22=+A A 53cos =A 542516531cos 1sin 22==⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∴A A345354cos sin tan ===∴A A A此题还可以利用定义求解，方法不唯一．例2 计算02245tan 30sin 30cos -+ 解：原式=()130cos 30sin 0202-+=1-1 =0本题也可直接把特殊角的三角函数值代入计算，但过程较为复杂，同学们了解了同角三角函数之间的基本关系，不仿试解下面的题目．1．化简：0010cos 10sin 21+ 2．A ∠为锐角，化简cotAtanA 1sinA cosA 1+⋅⋅ 答案： 1．0010cos 10sin +（提示：1=02210cos 10sin +） 2．1 （提示： aAA A A A sin cos cot ,cos sin tan ==）第二部分特殊角的三角函数特殊角的三角函数值有着广泛的应用，要求大家必须熟记，为了帮助记忆，可采用下面的方法．1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=21sin45°=cos45°=22tan30°=cot60°=33tan 45°=cot45°=12、列表法：30˚12 3145˚ 12 12 60˚ 3说明：正弦值随角度变化，即0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从023 1变化，其余类似记忆．3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。

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锐角三角函数复习学案
【知识梳理】
1、锐角三角函数的定义
如图1，在Rt△ABC 中，如果锐角A 确定，那么
∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA=
斜边
的对边
A ∠；
∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=
斜边
的邻边
A ∠；
∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=的邻边
的对边
A A ∠∠．
锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数．
注意：（1）由于锐角三角函数是一种比值，因此它只有大小而没有单位；
（2）由于三角函数是一个比值，它的大小仅与角的大小有关，而与它所在的三角形的边的长度无关；
（3）sinA 、cosA 、tanA 是一些完整的符号，不能把sinA 看作sin 与A 的积，离开了A 的sin 没有任何意义，只有合起来，sinA 才表示∠A 的正弦． cosA 、tanA 也是如此．
2、特殊角的三角函数值
（1）识图记忆法：如图2—①、2—②所示．
（2）列表记忆法：
（图2—②）
（3）规律记忆法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1、2、3；30°、45°、60°角的余弦值恰好是60°、45°、30°角的正弦值．
3、利用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角．【方法与技巧】 1、解直角三角形的类型
根据求解的条件分类，利用边角关系可有如下基本基本类型及其解法：（1）已知两边：
①两条直角边a 、b ．其解法：c=22b a +，用tanA=b
a
,求得∠A，∠B=90°－∠A． ②斜边和一条直角边c 、a ．其解法：b=22a c -，用sinA=c
a
，求得∠A，∠B=90°
－∠A．
（2）一边和一锐角：
①一条直角边a 和锐角A ：∠B=90°－∠A；用tanA=b a ,求得b=A a tan ；用sinA=c
a
，
求得c=
A
a
sin ． ②斜边c 和锐角A ：∠B=90°－∠A；用sianA=c a ,求得a=csianA ；用cosA=c
b
,求得b=ccosA ．
2、解直角三角形的方法（口诀）：
“有斜用弦，无斜用切；宁乘毋除，取原避中．”这两句话的意思是：当已知和求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，
则用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则用原始数据，尽量避免用中间数据．
锐角三角函数测试
(一)用计算器求值
1．sin52°18′＝______（保留三位有效数字）．
2．计算：tan46°＝_______（精确到0.01）．
3．按CZ1206型科学计算器中的白键，使显示器左边出现DEG后，求cos9°的值，以下按键顺序正确的是（）(二）计算
4在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，求tan∠A+cos∠B的值5在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，cos∠B的值为
6已知a、b、c是△ABC的三边，a、b、c满足b2=(c+a)(c-a)．求5b-4c=0，求sinA+sinB的值．
7 如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB与D，BC=3，AC=4．求∠BCD的正切值．
4，求sina的值．
8 如果a是锐角且cos=
5
9 如图2，在Rt△ABC中，点D在BC上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD的正切值．
10 如图，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点，观测到灯塔B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?
参考答案：
1．0.791； 2．1.04；3．（C ）． 4析解：因为∠A=60°，所以∠B=30°，所以tan∠A=tan60°=3，cos∠B=cos30°=
2
3，所以tan∠A+cos∠B=3+
23=32
3． 5析解：由勾股定理可求得， BC=4352222=-=-AC AB ，
所以cos∠B=
5
4
=AC BC ． 6析解：根据b 2=(c+a)(c-a)，可得b 2=c 2-a 2，
所以a 2+b 2=c 2，所以△ABC 为直角三角形，且∠C=90°，
因为5b-4c=0，所以设b=4k(k>0)，则c=5k ，根据勾股定理可得a=3k ，
所以sinA+sinB=5
7
5453=+=+k k k k c b c a ．
7析解：因为∠ACB=90°，所以∠A+∠B=90°，因为CD⊥AB，所以∠B+∠BCD=90°，所以∠BCD=∠A，
所以tan∠BCD=tan∠A=4
3
=AC BC ．
8析解：根据三角函数的意义可得sin 2a+cos 2a=1，所以sina=5
3
)54(1cos 122=-=-a ．
9析解：过点D 作DE⊥AB，交AB 于点E ，
在Rt△ADC 中，∠C=90°，∠ACD=45°，DC=6，所以∠DAC=45°，所以AC=DC=6，
在Rt△ABC 中，∠C=90°，因为sin∠B=53，所以5
3
=AB AC ，
设AC=3k ，则AB=5k ，所以3k=6，所以k=2，所以AB=5k=10，根据勾股定理，得BC=6，所以BD=BC-DC=8-6=2．
在Rt△BDE 中，∠BED=90°，sin∠B=53，所以
5
3
2==DE BD DE ，所以DE=5
6
．
根据勾股定理，得BE=5
8 所以AE=BE=10-58=5
42
，
图2 图1
所以tan∠BAD=
7
1
42556=⨯=AE DE ． 10 析解1小时45分=4
3
1小时．
在Rt△ABD 中，(海里)，∠BAD=90°-65°45′=24°15′．
∵cos24°15′=，∴(海里)．
AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里)．
在Rt△ACE 中，sin24°15′=，
∴CE=AC·sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里)．
∵17.54＜18.6，∴这条船不改变方向会有触礁危险．。