选修-4数学直线的参数方程
选修4-4 第五节几种常见的参数方程
x＝1＋2cos t， (0≤t≤π)，把它化为普通 y＝－2＋2sin t
方程，并判断该曲线表示什么图形．
所求的曲线的参数方程为 (x－1)2＋(y＋2)2＝4(－2≤y≤0)． 这是一个半圆，其圆心为(1，－2)，半径为 2.
例2
已知圆的普通方程为
x2＋y2＋2x－6y＋9＝0， 将它化为参
轴上，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1， 25 16 x＝4cos θ ， 故参数方程为 (θ 为参数)． y＝5sin θ
y2
x2
（x－1）2 （y＋2）2 1． 写出圆锥曲线 ＋ ＝1 的 3 5
例1
x＝5＋3t， 设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(1)求直线的普通方程； (2)化参数方程为标准形式．
解析：(1) 4x＋3y－50＝0.
3 4 4 k tan (2) 3 cos α ＝－ ，sin α ＝ . 5 5 3 x＝5－ u， 5 则参数方程的标准形式为： 4 y＝10＋ u. 5
例 3 已知直线 l 的方程为 3x－4y＋1＝0，点 P(1，1)在 直线 l 上，写出直线 l 的参数方程，并求点 P 到点 M(5，4)和 点 N(－2，6)的距离．
3 解析：由直线方程 3x－4y＋1＝0 可知，直线的斜率为 ，设直线的 4 3 3 4 则 tan α ＝ ，sin α ＝ ，cos α ＝ . 4 5 5
制作人：葛海泉
课前预习
1.பைடு நூலகம்线的参数方程
x＝x0＋tcosα ， 1． 经过点 M0(x0， y0)， 倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 y＝y0＋tsinα
(t 为参数)．
t0
2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
三、例题讲解 例1 已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 2交于 例1.
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
三、例题讲解
x y 1 0 解：由 y x2 得：2 x 1 0 x
C. 45
0
D.135
0
130 27 和8 x 15 y 85 0, 切点为（ ， ） 17 17
练习： 1、直线{ x 2 2t y 3 2t (t为参数)上与点P(2,3)
(
距离等于 2的点的坐标是
A(-4,5) C(-3,4)或(-1,2)
C
)
B(-3,4) D(-4,5)(0,1)
则 MA MB ( 1 1 5 2 3 5 2 1 5 2 3 5 2 ) (2 ) ( 1 ) (2 ) 2 2 2 2
3 5 3 5 4 2
（）如何写出直线的参数方程？ 1 l
①
（）如何求出交点 ，B所对应的参数1，t 2 ? 2 A t
(*)
由韦达定理得：1 x2 1，x1 x2 1 x
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
3 5 3 5 1 5 1 5 y1 ，y2 由(*)解得：x1 ，x 2 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 3 5 记直线与抛物线的交点 A( 坐标 , )，B( , ) 2 2 2 2
x x0 t cos （t为参数） y y0 t sin
高二数学直线的参数方程
一、引入 1、数轴是怎样建立的？数轴上 点的坐标是怎么确定的？
2、在平面直角坐标系中，确定 一条直线的几何条件是什么？
二、新课
经过点M0（x0,y0),倾斜角为 ( ) 2 的直线L的普通方程为：
y y0 tan ( x x0 )
思考1：当点M在直线L上运动 时，点M满足怎样的几何条件？
增到了三千多万,而且还有人正在往这边聚过来丶不过因为这蛮古城本来就不大,即使是呆在城忠の其它地方,只要壹抬头,也能看到这个恐怖の天道台,也不用刻意赶到这边来,也近不了多少丶根汉被送出了擂台,人出现在了第壹天道台之上丶只不过他还是那副玩世不恭,不可 壹世の样子,半躺在那里喝着小酒,有些懒散の说："不管人亭还是兽亭,只要觉得自己还不错の话,就上来吧,本少壹并接着,要是嫌实力不够,想多凑几人本少也接着。""小子太狂妄了!""他真以为自己天下无敌了吗!""难道咱蛮古城就真の没有人吗!""上来几位高手呀!""三大 蛮神在何处,这时候不来相助吗!""再这样下去咱蛮古城の神威都要熄灭了!"根汉壹席嚣张の话,惹得下面の人亭和兽亭都对他相当不满,不过却也有不错の效果,壹下子就有三四百万道の信仰之力升腾起来,朝他这边汇聚过来丶有人觉得你嚣张不好,但是有些人可能就佩服嚣张 の人,嚣张也有嚣张の资本,自已击败了几位强者,又令这天道台开启,这本身就是壹种强大の实力丶壹边喝着小酒,壹边看着下面密密麻麻の人亭,兽亭,根汉是壹点反应也没有丶他早就不是当年の那个少年了,自称"本少"这个称呼,也有些年头没有这样自称了,以他现在の境界 和实力,在这里确实是有些无耻丶可是无耻就无耻嘛,只要能吸收到信仰之力,也顾不了这么多了丶
第十二章 坐标系与参数方程[选修4-4]第二节 参数方程
![第十二章 坐标系与参数方程[选修4-4]第二节 参数方程](https://img.taocdn.com/s3/m/a11e7411ff00bed5b9f31dd5.png)
距离是________．
解析：直线方程可化为 x－y＋1＝0，圆的方程可化为(x －1)2＋y2＝1.由点到直线的距离公式可得，圆心 C(1,0)到 |2| 直线 l 的距离为 2 2＝ 2. 1 ＋－1
答案： 2
x＝1＋3t， 5．(2012· 湖南十二校联考)若直线的参数方程为 y＝2－ 3t
解析：由 y＝t－1，得 t＝y＋1，代入 x＝3t＋2，得 x ＝3y＋5， 即 x－3y－5＝0.
答案：x－3y－5＝0
x＝5cos θ， 2．(教材习题改编)曲线 y＝3sin θ
(θ 为参数)的左焦点
的坐标是________．
x2 y2 解析：化为普通方程为 ＋ ＝1，故左焦点为(－4,0)． 25 9
x＝2t＋2a， y＝－t
(t 为参数)，曲线
x＝2cos θ， C2： y＝2＋2sin θ
(θ 为
参数)．若曲线 C1，C2 有公共点，则实数 a 的取值范围 是________．
解析：将曲线 C1，C2 的参数方程化为普通方程， 得 C1：x＋2y－2a＝0，C2：x2＋(y－2)2＝4. 因为曲线 C1 与 C2 有公共点， |4－2a| 所以圆心到直线的距离 ≤2， 5 解得 2－ 5≤a≤2＋ 5.
[自主解答] ＝16.
由圆C的参数方程可得其标准方程为x2＋y2
π 因为直线l过点P(2,2)，倾斜角α＝ ，所以直线l的参数 3 π x＝2＋tcos3， 方程为 y＝2＋tsinπ， 3 1 x＝2＋2t， 即 y＝2＋ 3t 2
(t为参数)．
1 x＝2＋2t， 把直线l的参数方程 y＝2＋ 3t 2
去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方 法从整体上消去参数． 2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y
2016-2017学年高中数学选修4-4课件：第2讲 参数方程 3
(t 为参数)，如果 l 与 C 相交于 A、B 两点，
那么将 l 的方程代入 F(x，y)＝0 后可得 at2＋bt＋c＝0，则该方
第二讲 参数方程
预习学案
课堂讲义
课后练习
晰蜴属于冷血爬行动物，多数的晰蜴具 有四足，后肢肌肉有力，能迅速爬行或改变 方向．若一只晰蜴从 P(1,2)出发沿直线爬行， 已知它在 x 轴方向的分速度是 0.03 m/s，在 y 轴方向的分速度是 0.04 m/s.
则这只晰蜴 3 s 后会爬到哪里？
第五页，编辑于星期五：十七点 三十一分。
第二十三页，编辑于星期五：十七点 三十一分。
数学 选修4-4
第二讲 参数方程
预习学案
课堂讲义
课后练习
直线的参数方程与弦长公式
已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过 F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点．
(1)求|AB|； (2)求AB的中点M的坐标及|FM|.
[思路点拨] 求抛物线y2＝8x的焦点 → 设直线AB的方程 → 直线与抛物线联立消元 → 利用一元二次方程根与系数关系求解
第二十五页，编辑于星期五：十七点 三十一分。
数学 选修4-4
第二讲 参数方程
预习学案
课堂讲义
课后练习
方法二：抛物线 y2＝8x 的焦点为 F(2,0)，
依题意，设直线
AB
x＝2＋
的参数方程为 y＝
2 5t
1 5t
(t 为参数)，
其中 tan α＝2，cos α＝ 15，sin α＝ 25，α 为直线 AB 的倾 斜角，代入 y2＝8x 整理得 t2－2 5t－20＝0.
3＋
3 2t
(t 为参数)．
(1)分别判断点 A(1,0)，B(0,3)，C(2，－ 3)是否在直线 l 上？
选修4-4直线的参数方程优秀课件
(1)如何利用倾斜角 写出直线l的单位方向向量 e ？
( 2)如何用e和M 0的坐标表示直线上任意 一点M的坐标？
(1) e (cos , sin )
(2) M 0 M ( x, y ) ( x0 , y0 ) ( x x0 , y y0 )
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
3 5 3 5 4 2
（ 1 ）如何写出直线 l的参数方程？
①
（ 2 ）如何求出交点 A，B所对应的参数 t1，t 2 ?
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？
（ 1 ） M 1 M 2 t1 t 2
t1 t 2 （ 2 ）t 2
四、课堂小结
A1
B2
A
F1
C
O B1
B
F2
X A2 X
练习3:已知A,B两点是椭圆 x 1 9 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭 圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.
2
y2 4
解 : 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin ) SABO 面积一定, 需求 SABP 最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
2014年人教A版选修4-4课件 3.直线的参数方程
例 1. 已知直线 l: xy10 与抛物线 yx2 交于 A, B 两点, 求线段 AB 的长和点 M(1, 2) 到 A, B 两点的距离之积. 解: ∵M(1, 2) 在直线 l 上, 其倾斜角为 135. ∴直线 l 的参数方程为 x 1 t cos135, y 2 t sin135. (t 为参数) 将其代入抛物线的方程并整理得 t 2 2t 2 0. t1 t2 2 , t1t2 2. (1) |AB||t1t2| (t1 t2 )2 4t1t2
x 1 t cos 45, 练习(补充). 已知直线的参数方程 y t sin 45. (t 为参数), 回答下列问题, 并比较 t 与线段长度的值: (1) t10 时点 M0 的坐标; (2) t21 时点 A 的坐标及线段长 |AM0|; (3) t32 时点 B 的坐标及线段长 |BM0|, |AB|. 解: (1) t10 时, x1, y0. 得点 M0 的坐标为 M0(1, 0). 2. (2) t21 时, x 1 2 , y 2 2 点 A 的坐标为 (1 2 , 2 ). 2 2 2 2 2 | AM0 | (1 1) ( 0)2 2 2 1 t2.
x 1 t cos 45, 练习(补充). 已知直线的参数方程 y t sin 45. (t 为参数), 回答下列问题, 并比较 t 与线段长度的值: (1) t10 时点 M0 的坐标; y (2) t21 时点 A 的坐标及线段长 |AM0|; (3) t32 时点 B 的坐标及线段长 |BM0|, |AB|. M0 A O 1 x 解: (1) t10 时, x1, y0. B 得点 M 的坐标为 M (1, 0). 0 , x 1 2, 0 y 2. (3) t32 时 2. (2) 点 t2B 1时 , x 1 (12 y 的坐标为 , 2 , 2 2 ). 2 2 2 | t3 |. 2 2 2 |点 BM | ( 1 2 1 ) ( 2 0 ) 0 A 的坐标为 (1 , ). 2 2 2 2 )2 | AB | (1 2 2 1 2 2 )2 ( 2 2 | AM0 | (1 1) ( 2 0)2 2 2 3 | t3 t2 |. 1 t2.
福建省晋江市季延中学人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程
13
代入方程得： 4 t'2－ 4 t'＋1＋ 9 t'2＋ 12 t'＋4－9＝0
13
13
13
13
t'2
8 13
t'
4
0;
t1'
t
' 2
8 13
,
t1't
' 2
4;
t1'
t
' 2
(t1' t2' )2
4t1't
' 2
4
17 .
例1
y
解：因为把点M的坐标代入
直线方程后,符合直线方程,
A
M(-1,2)
例2 过 M (2,1) 作直线 l, 交椭圆 x2 y2 1 于A,B 两点, 16 4
如果点 M为线段 AB 中点,求直线 l 的方程.
例2 过 M (2,1) 作直线 l, 交椭圆 x2 y2 1 于A,B 两点, 16 4
如果点 M为线段 AB 中点,求直线 l 的方程.
(册)
思考：
求
直
线
x y
1 2t 2 3t
与 圆x2
y2
9所 交 弦 长 。
分析：此处的t的系数平方和不等于1，且－
3<0因此t不具有参数方程标准式中t的几何意
义。要先化为标准式。
解：
x
1
y 2
2 ( 13t ) 13 3 ( 13t )
令t'＝－ 13t
13
方程可化为
x
1
y 2
2 t' 13 3 t'
例2 已知两点 A(1, 3), B(,1) 和直线 l : y x,
直线的参数方程
直线的参数方程作者：王振清刘季辅来源：《小说月刊·下半月》2017年第04期直线的参数方程是普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学选修4-4第二讲第三节的内容.本节课是在学习曲线的参数方程、圆的参数方程、椭圆的参数方程的基础上，引导学生选择恰当的参数推导出直线的参数方程，同时为直线参数方程的应用做好准备.查看历年的高考试卷易知，直线的参数方程是《坐标系与参数方程》的重点考查内容，因此本节内容在高考中也占有重要的位置.知识与技能：分析直线的几何特征，合理选择参数推导直线的参数方程；理解参数的几何意思；能利用直线的参数方程特别是参数的几何意义解决相关问题.过程与方法：类比数轴上的点与数的对应关系，巧借向量的工具性作用，让学生积极、主动地参与观察、分析，进而推导出出直线的参数方程，培养和提高学生运用类比思想方法解决问题的能力.情感、态度与价值观：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣；通过类比和联系旧知，让学生体会“事物之间是普遍联系的”辩证唯物主义观点，培养学生的学习习惯，提升学生的学习能力.教学重点：直线的参数方程以及参数的几何意义.教学难点：对参数的几何意义的理解.高二10班是我校文科班中较好的班级，学生数学基础相对较好，但在抽象思维能力、阅读理解能力比较欠缺，学生普遍缺乏独立钻研的意识和习惯.本节课课本内容不算复杂，阅读也相对容易，但学生对参数的选择缺乏思考，往往“只知其然，不知其所以然”，这也是学生在考试中最容易失分的地方.本节课主要采取“类比法”与“启发式”相结合进行教学，同时利用多媒体辅助，增加知识密度和课堂容量.在整个教学过程中，引导学生联想、分析、概括、归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开，充分体现以“教师为主导，学生为主体”的教学理念.通过本节课的教学，不仅要让学生学会知识，更重要的是由“学会”变为“会学”，让学生在数学阅读活动中，广泛联系所学知识，养成自主探究、独立思考、勤于钻研的习惯，逐步掌握自主获得知识的学习方法.问题数轴是怎样建立的？问题：数轴上点的坐标的几何意义是什么？你能应用向量知识解释吗？〖设计意图〗回顾数轴的概念，通过向量共线基本定理理解数轴上数的几何意义，为直线参数方程中参数的选择做好铺垫.尊重教材，突破教材.教材先引导学生回顾了直線方向和的点斜式方程，这是为推导直线的参数方程做准备.在提出“如何建立直线的参数方程后？”后，教材引导学生借助向量工具探究直线的参数方程.选择怎样的参数，才能使直线上任意一点的坐标与定点的坐标和直线的倾斜角联系起来呢？事实上，倾斜角可以与方向联系，点与点的距离与向量的大小相联系，这种“方向”、“大小”启发我们想到利用向量工具（向量的坐标表示）建立直线的参数方程.考虑到学生的思维水平与学习能力，学生要想到联系向量真的很困难！怎样设计才能突破学生的“瓶颈”？让学生感觉自然、轻松？因此我选择了类比数轴上点的坐标的几何意义展开教学.“会学习”不等于“会考试”.不管课堂教学如何改革，“如何应试”永远是我们绕不开的话题.同时在数学课堂教学中努力先培养学生的数学核心素养应该是我们数学教师永远追求的目标.因此，在启发引导学生掌握直线的参数方程的形式特征和理解参数的几何意义后，我设置了随堂巩固、例题剖析、变式训练、考题再现、归纳小结等环节，就是要让学生：关注过程——知识与方法是如何产生的？学会思维——具体问题如何分析、解决、表达？及时反思——能否推广？明确目标——高考究竟考什么、怎么考？单位：福建省晋江市南侨中学福建省晋江市教师进修学校。
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)(2)
x＝1＋tcos 解：(1)直线的参数方程为 y＝1＋tsin 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t. 2
π 6， π 6，
3 x＝1＋ 2 t (2)把直线 代入 x2＋y2＝4， y＝1＋1t 2 3 2 1 2 得(1＋ 2 t) ＋(1＋2t) ＝4，t2＋( 3＋1)t－2＝0， t1t2＝－2，则点 P 到 A，B 两点的距离之积为 2.
cos x＝1＋t· 提示：根据直线参数方程的定义，易得 y＝5＋t· sin 1 x＝1＋2t， y＝5＋ 3t. 2
π 3 π 3
，即
2 x＝－1－ 2 t 2．已知直线 l 的参数方程为 y＝2＋ 2t 2 l 的斜率为何值？
(t 为参数)，则直线
[读教材· 填要点] 1．直线的参数方程 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α. (t 为参数)． 2．直线的参数方程中参数 t 的几何意义 (1)参数 t 的绝对值表示 参数t所对应的点M到定点M0的
(t 为参数)， 则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________．
[命题立意]
本题主要考查直线的参数方程的应用，以及直
线与圆的位置关系．
π [解析] 因为 0≤θ≤2，所以曲线 C1 的普通方程为 x2＋y2＝ 2 2 2 2 5(x≥0，y≥0)，把直线的参数方程代入，得到(1－ 2 t) ＋(－ 2 t) 2 1－ 2 t≥0， ＝5，且 － 2t≥0， 2
4 x＝1＋5t， 所以直线 l 的参数方程为 y＝1＋3t 5
(t 为参数)．
因为 3×5－4×4＋1＝0，所以点 M 在直线 l 上． 4 由 1＋5t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点的距离公式， 可得|PN|＝ 1＋22＋1－62＝ 34.
高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 2.2 直线的参数方程
直线的参数方程教学设计教材：湘教版《选修4—4》执教人：林禄云指导教师：苏华春学校：宁德市民族中学直线的参数方程宁德市民族中学林禄云教材：湘教版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修4—4 坐标系与参数方程0M M te =在直线L 上运动时，都有哪些量在发生变化？可以用以前数学中学过的什么量表示？【师生活动】教师提出问题，并引发学生探究思考，通过提问方式，对学生所得结论进行展示。
【设计意图】结合多媒体动态功能，展示动点M 在直线上的变化，帮助提升学生的直观想象能力，根据学生探究结果的反馈时引导学生用向量来描述问题中的变化情况，为后面引入参数t 做好必要的铺垫。
问题 2 是否可以引入一个实数t 来刻画点M 在直线上的位置，如何引入？【师生活动】引导学生去建立数量和向量的联系，回忆必修四中的平面向量共线定理，引出直线的方向向量，为了接下来的计算简便，选定与直线向上方向同向的单位向量e 。
【设计意图】回忆旧知识，加强知识间的联系与串通，促进知识网络的构建。
用一元参数来控制点的变化，探究过程也促进数学建模思想的生成，提升学生跨维度研究问题的能力，培养创新思维。
问题3 如何描述e 的坐标，思考如何求得直线的参数方程？直线的标准参数方程有何特点？【师生活动】教师通过多媒体软件动态功能， 确定判断单位向量e 的坐标的方法，并通过0M M te = 过程求得直线的参数方程，具体过程如下：一般地，设直线l 经过点000M x y （，），且倾斜角为α，动点M x y （，）为直线上任意一点，直线l 的单位方向向量记作cos sin e αα=（，）,[)0απ∈，，那么0//M M e ，因此根据共线向量的充要条件可知，存在实数t ，使得0=M M te ，即00cos sin x x y y t αα--=（，）（，），于是，有00cos sin x x t t y y t αα-=⎧⎨-=⎩（为参数） 因此，把上面的方程叫做经过点000M x y （，），倾斜角为α的直线l 的参数方程． 直线参数方程的文字表述：直线上任意动点的纵横坐标等于定点相应坐标加上参数乘以倾斜角的正余弦．注意：直线上的任意一个点都唯一对应一个参数t ．并探究思考该参数方程的形式特征为：≤≤0(1)两t 前系数平方和为1.（2）y =y +tsin θ中的系数0sin θ 1.故也可称该形式方程为直线标准的参数方程。
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：2-3第二讲-参数方程
称为标准形式，其中参
数t的几何意义是：|t|表示参数t对应的点M到________，t就是有向 → 线段 M0M 的数量．当点M在点M0的上方时，________；当点M在 点M0的下方时________；当点M与点M0重合时，________.
4 x ＝ 1 ＋ 5t， 的方程为 y＝3t 5
(t为参数)．代入椭圆方程x2＋9y2＝9，并
整理得：97t2＋40t－200＝0. 由t的几何意义，知所求的弦长为
|t2－t1|＝ t2＋t12－4t2t1 ＝ －200 60 40 2 － －4 ＝ 22. 97 97 97
3．直线参数方程的应用 直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线 相交时的弦长或距离．它可以避免求交点时解方程组的繁琐运 算，但应用直线的参数方程时，需先判别是否是标准形式再考虑t 的几何意义.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
【例1】
典例剖析 x＝5＋3t， 设直线的参数方程为 y＝10－4t.
(u为参数)．
规律程，只要用代入法消去参
(2)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α(0≤α<π)的直线的参数方程为
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα，
其中参数t有几何意义，t＝M0M，即t表示有向线
→ 段 M0M 的数量，其中M(x，y)为直线上任意一点，因为倾斜角α∈ [0，π)，所以sinα≥0，再化参数方程的标准形式时应注意这一 点．
(t为参数)．
规律技巧
本题可使用直线的普通方程求解．也可以使用参
数方程求解，但是使用普通方程求解，计算量大，如果设出直线 的倾斜角，写出直线的参数方程求解．就可以转化为三角函数求 最值问题，计算简便．
直线的参数方程及其应用
直线的参数方程及其应用摘要：解析几何是高考考查的重要内容，主要有：直线与圆、直线与椭圆、直线与双曲线、直线与抛物线的位置关系，相交求交点坐标及弦长等。
直线作为解析几何的重要组成部分，直线的参数方程在解析几何中有着较为广泛的应用，且在具体题目中有着较强的的综合性与灵活性。
学生对直线方程的五种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式较为熟悉，能够熟练运用。
但对直线的参数方程较为陌生，应用起来有着一定的难度。
直线的参数方程作为选修4-4第二章参数方程的重要内容，近几年高考对直线的参数方程的考查力度有所加大，其中以参数方程中参数t的几何意义最为突出。
如何准确理解直线参数方程中参数t的几何意义，并能熟练运用直线的参数方程解题，对学生综合能力的提高及数学核心素养的培养有着十分重要的意义。
因此，本文主要从直线参数方程t的几何意义及其应用几个方面作较为详细的阐述，为直线的参数方程教学提供参考。
关键词：参数方程；倾斜角；普通方程；几何意义；1.直线的普通方程与参数方程北师大版必修二中，学生已经学习过直线方程的五种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，并且掌握了这五种方程的应用条件，能够正确根据题目中的已知条件选择适当的方程形式求出直线的方程，并能够相互转化。
直线方程的这五种形式中，尤以点斜式、斜截式、一般式用的最多，也是高考考查的重要内容。
如：已知直线上点P的坐标及直线的斜率k（倾斜角α），常选用点斜式；已知直线斜率和直线在y轴上的截距及判断两直线的位置关系，常选用截距式；求与已知直线平行或垂直的直线方程，点到直线的距离公式，常选用一般式。
与直线的参数方程相对应，我们称直线方程的这五种形式为直线的普通方程。
普通方程是直接给出曲线上点的横纵坐标x和y之间的关系，参数方程是曲线上点的横纵坐标x和y之间引入一个参数。
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x和y都是某个变量t的函数，即，叫作曲线的参数方程。
2-3直线的参数方程-课件(人教A版选修4-4)
经过点
3 A－3，－2，倾斜角为
α 的直线 l 与圆 x2＋y2＝25
相交于 B，C 两点． (1)求弦 BC 的长； (2)当 A 恰为 BC 的中点时，求直线 BC 的方程； (3)当|BC|＝8 时，求直线 BC 的方程； (4)当 α 变化时，求动弦 BC 的中点 M 的轨迹方程．
【错解】 把直线方程代入圆的方程，化简得 t2－6t＋2＝0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2，那么 t1＋t2＝6，t1· t2＝2， 由于|MA|＝|t1|，|MB|＝|t2|，从而|MA|· |MB|＝|t1· t2|＝2，|AB|＝|t2－t1| ＝ t1＋t22－4t1t2＝ 62－4×2＝2 7.
∴方程必有相异两实根 t1，t2，且 t1＋t2＝3(2cos α＋sin α)， 55 t1 · t2＝－ 4 . (1)|BC|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2 ＝ 92cos α＋sin α2＋55. (2)∵A 为 BC 中点，∴t1＋t2＝0， 即 2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2. 3 故直线 BC 的方程为 y＋2＝－2(x＋3)， 即 4x＋2y＋15＝0.
， x＝1＋tcos 75° 方法：把原方程化为标准形式，即 ， y＝1＋tsin 75°
可以看出
直线的倾斜角为 75° .
特别提醒
x＝x0＋at b 过点 M(x0， y0)， 斜率为 k＝a的直线的参数方程为 y＝y0＋bt
(t 为参数)，这种形式称为直线的一般式参数方程，其中的参数 t 不是有向线段的数量轨迹是以 －2，－4 为圆心，以 4 为半径的圆．
易错盘点
(对应学生用书 P23)
易错点
不能正确运用直线参数方程参数 t 的几何意义 t x＝2－2， 已知过点 M(2，－1)的直线 l： y＝－1＋ t 2
高中数学选修4-4-参数方程
参数方程知识集结知识元参数方程知识讲解1．参数方程的概念【知识点的认识】参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变数t的函数，即，并且对于t的每一个允许值，由该方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F（x，y）＝0叫做普通方程．2．参数方程化成普通方程【知识点的认识】参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．直线的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．4．圆的参数方程【知识点的认识】直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y﹣y0＝tan α（x﹣x0）（t为参数）圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（θ为参数）椭圆（θ为参数）+＝1（a＞b＞0）双曲线（θ为参数）﹣＝1抛物线y2＝2px（p＞0）（t为参数）【解题思路点拨】1．选取参数时的一般原则是：（1）x，y与参数的关系较明显，并列出关系式；（2）当参数取一值时，可唯一的确定x，y的值；（3）在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：（1）建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P（x，y）；（2）选择适当的参数；（3）找出x，y与参数的关系，列出解析式；（4）证明（常常省略）．3．根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论：（1）若M1，M2为l上任意两点，M1，M2对应t的值分别为t1，t2，则|M1M2|＝|t1﹣t2|；（2）若M0为线段M1M2的中点，则有t1+t2＝0；（3）若线段M1M2的中点为M，则M0M＝t M＝．一般地，若点P分线段M1M2所成的比为λ，则t P＝．4．直线的参数方程的一般式（t为参数），是过点M0（x0，y0），斜率为的直线的参数方程．当且仅当a2+b2＝1且b≥0时，才是标准方程，t才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程化为标准方程是（t′∈R），式中“±”号，当a，b同号时取正；当a，b异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：（1）不是所有的参数方程都能化为普通方程；（2）在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；（3）把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x，y的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．例题精讲参数方程例1.直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程为（θ为参数），则直线l被圆C截得的弦长为___．例2.已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是___．例3.在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知抛物线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ（ρ≥0），直线l的参数方程为（t为参数），设直线l与抛物线C的两交点为A、B，点F为抛物线C的焦点，则|AF|+|BF|=___．当堂练习填空题练习1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．圆C的参数方程是=（θ为参数），直线l与圆C交于两个不同的点A、B，当点P在圆C上运动时，△PAB面积的最大值为___练习2.参数方程（θ∈R）所表示的曲线与x轴的交点坐标是_______练习3.设直线的参数方程为（t为参数），点P在直线上，且与点M0（-4，0）的距离为2，若该直线的参数方程改写成（t为参数），则在这个方程中P点对应的t值为____．练习4.设a∈R，直线ax-y+2=0和圆（θ为参数）相切，则a的值为___。
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)
(1)写出直线 l 的参数方程． (2)设 l 与圆 x2＋y2＝4 相交于两点 A、B，求点 P 到 A、 B 两点的距离之积． [思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方
程；(2)充分利用参数几何意义求解．
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[解]
π (1)∵直线 l 过点 P(1,1)，倾斜角为 ， 6
π x＝1＋tcos6 ， ∴直线的参数方程为 y＝1＋tsinπ， 6 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t 2 Nhomakorabea返回
理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的 几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参 数t的绝对值是解决此类问题的关键．
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π 1．一直线过 P0(3,4)，倾斜角 α＝ ，求此直线与直线 3x＋ 4 2y＝6 的交点 M 与 P0 之间的距离．
x＝3＋ 解：设直线的参数方程为 y＝4＋ 2 2 得 3(3＋ t)＋2(4＋ t)＝6. 2 2 11 2 解得 t＝－ ， 5 ∴|MP0|＝|t|＝ 11 2 . 5 2 t， 2 2 t， 2
所以直线被椭圆所截得的弦长为
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为所求．
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(2)因为点 A，B 都在直线 l 上，所以可设它们对应的参 数为 t1 和 t2，则点 A，B 的坐标分别为 3 1 3 1 A(1＋ t1,1＋ t1)，B(1＋ t2,1＋ t2)， 2 2 2 2 以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x2＋y2＝4 整理得到 t2 ＋( 3＋1)t－2＝0， 因为 t1 和 t2 是方程①的解，从而 t1t2＝－2. 所以|PA|· |PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. ①
在 α∈[0，π)内无解；
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