偏微分方程.ppt

一、偏微分方程图像处理发展过 程
在过去几十年，计算机可视化和图像分析 领域中以偏微分方程为基础的模型在图像 处理研究领域占据着重要地位。
• 使用偏微分方程处理图像的思想可以追溯 到Gabor和Jain。
• 但是这种方法真正建立起来是Koenderind 和Witkin的研究工作开始的，他们引入了尺 度空间(Scale Space)的概念，尺度空间把 一组图像同时在多个尺度上表述。
• 它是一个热传导方程的解。
• 它可以视为一个各向同性均匀的热扩散过 程。
• 一个自然的想法就是考虑利用图像结构的 先验信息，减少在边缘处的扩散以在去噪 的同时更好地保持边缘。
• 一个简单的思路是将梯度算子作为边缘检 测算子，来控制扩散的速度。
• Perona和Malik就是沿着这个方向，提出了 各向异性的扩散方法，此后这个方法得到 了广泛的关注。针对扩散模型和其数值求 解方面都有很大的发展。
• 2002年Guy Gilboa等人提出选取不定的扩 散张量，打破了以往扩散模型非负的要求 ，通过改变其符号实现自适应的FAB(正倒 向)扩散。
• 2004年Guy Gilboa又提出了复扩散模型， 把扩散模型引入到复域上
• 现在基于偏微分方程的图像去噪正向着更 复杂的方向发展，与数学形态学、小波变 换等相结合的复合去噪方法成为一个热门 研究方向。
• 一幅数字图像在计算机中是以离散的形式 存储的，但我们可以认为图像的离散化是 足够细的，从而可以利用一个连续的数学 函数来近似描述.对于一幅灰度图像，我们 可以采用下面的表示来近似:
• 其中Ω 是图像的定义域。
• 图像在每一像素处的梯度利用其在:方向和y 方向的偏导来描述：
u (ux ,uy )
• 1992年Catte提出了选择扩散模型, Alvarez 提出了退化扩散模型。
• 1996年Weikert进一步研究了非线性各向异 性扩散方程，这种方法把扩散系数取为一 个矩阵(即一个二维张量)，可以有效去除边 缘噪声，进一步提升了去噪能力。
• 2000年You Yu-Li和M.Kaveh提出了用于图 像去噪的四阶偏微分方程该模型可以降低 图像平坦区域的阶梯效应。
• 最后，使用偏微分方程的突出优点是可以 使图像处理和分析的速度、准确性和稳定 性都有很大提高。PDE能获得较好的图象 处理效果，而且算法解的存在性，唯一性 与稳定性都可以在PDE独特的分析理论框 架内得到证明。
四、偏微分方程去噪问题的研究
• 基于PDE的图像处理方法在图像降噪领域 得到了广泛的重视，因为它在平滑噪声的 同时，可以使得图像的细节，如边缘和纹 理得到保护。
• Osher和Rudin关于激波的研究以及关于TV 模型的研究工作更突出了偏微分方程在图 像处理中的重要性，这些方法成功之处在 于将图像视为由跳跃边缘连接而成的分片 光滑函数(曲面)，从而与某种偏微分方程的 分片光滑解联系起来。
二、偏微分方程图像处理数学基 础
• 在基于偏微分方程的图象处理中，对图象 模型有连续与可微的要求，需要建立图象 的连续模型。
偏微分方程是从运动的观点来处理图像的，对 于图像去噪的过程，我们可以用偏微分方程予 以表达。用uo:R2--->R表示一幅灰度图像，灰 度值为u(x,y)。引入时间因子t，则对图像的处 理以偏微分方程表示可写为:
• 其中u(x, y; t) : {0, T} R2 R为变化过程中 的图像，F:R2->R表示某中给定的算法
他提出如下的扩散系数:
其中，k>0用于判断特征，相应的扩散方 程为:
• 在此基础上，Perona和Malik提出了他们著 名的P-M方法：
• 其中
或
• 区域的内部，即图像的梯度模 u 比较小时
，此时函数c 1，扩散方程近似于热扩散
过程，具有各向同性的特点。
• 在图像的边界或细节处，即梯度模 u 较大 的像素处，扩散系数c(s) -> 0，从而边界特 征被保持。
基于偏微分方程（PDE）的图 像去噪
2011-09-06
目录
• 一、偏微分方程图像处理发展过程 • 二、偏微分方程图像处理数学基础 • 三、偏微分方程图像处理的优缺点及应用
结构 • 四、偏微分方程去噪问题的研究
• 4.1 各向同性扩散(热扩散模型) • 4.2 P-M非线性扩散
• 五、偏微分方程其他方面的简略介绍
偏微分方程起源于热传导方程的初始值问Fra Baidu bibliotek 。设初始灰度图像为u(x, y, 0) , u(x, y, t)为在时 间t时的平滑图像。
则图像的热传导平滑方程为:
各向同性扩散(热扩散模型)
• 式中△u(x, y, t)为图像的拉普拉斯算子。方 程的解为u(x, y, t) = Gσ* u(x, y, 0) ,即不同尺 度的高斯滤波器与初始图像的卷积。其中
• 通常依赖u 于图像及其图像空间上一、二阶 导数，n =0为绝热条件，保证扩散仅在图 像边界内进行。
• 这是一个以uo为初始条件的发展方程，偏 微分方程的解试u(x, y, t)即给出了迭代t次时 的图像。
• 在得到满意的图像时即停止迭代,这就是偏 微分方程表达的图像处理过程。
各向同性扩散(热扩散模型)
• 定位特性:在不同的尺度下，图像特征的空 间位置变化情况为定位特性。热方程在大 尺度上所保留下来的图像特征，其空间位 置会展宽且发生漂移。
P-M非线性扩散
• 高斯热传导滤波造成边缘模糊主要是因为 热扩散方程在图像各个位置上的扩散程度 是一致的，并不区分是噪声还是图像特征 。
• Charbonnier 提出如果利用c( u0 )。作为特 征检测算子，在 c( u0 )较大的区域减少扩 散就可以使特征得到更多的保护。
• 如果图像存在噪声，例如椒盐噪声，则在 噪声点(x,y）约处，图像的梯度 u(x, y,t) 可能非常大，此时扩散系数c(x, y,t)非常小 ，从而将这些噪声点保留下来，降低了去 噪性能。
• 上述扩散方程是病态的，同一个初始条件 可以产生多个解.实际上，为了保证解的存 在性和唯一性，必须要求C(s)为非降函数. 如果此条件不满足，则此过程不稳定。
处，C1(u) C2 (u) 此时图像沿着与几乎与
梯度垂直的方向进行扩散，从而在去噪的 同时较好的保持了图像的特征信息。
• Pernoa和Malik的方法虽然在去噪应用中有 良好的表现，但是在理论上这个模型存在 逆向扩散，是一个病态方程。
• 这种逆向热扩散虽然能在一定条件下增强 图像边缘的强度，取得较好的去噪效果， 但是该方程本质上是不稳定的，不适当的 参数设置可能导致方程产生完全不同的结 果。
• 德国科学家Weickert通过在扩散项中引入扩 散张量的概念提出了各向异性的一致增强 扩散方程。
• 他们的贡献在很大程度上构成了偏微分方 程图像处理理论的基础。在他们的研究工 作中，图像的多尺度表示是通过高斯平滑 来获得的，这等价于利用经典的热传导方 程来演化图像得到一个各向同性扩散流。
• 在80年代末，Hummel提出热传导方程并不 是唯一可以产生尺度空间的抛物方程，并 提出构成尺度空间的准则:只要满足最大原 则的演化方程就可以定义一个尺度空间。
• Perona和Malik提出各向异性扩散方程在这 个领域最具有影响力。他们提出用一个保 持边缘的有选择性的扩散来替换Gaussian 扩散。他们的工作引发了很多理论和实际 问题的研究。
• Osher和他的研究小组提出了几何制约的偏 微分方程，其中最著名的是曲率流。
• 曲率流是“纯粹的”各向异性扩散模型， 它使图像灰度值的扩散只发生在图像梯度 的正交方向上，在保持图像轮廓精确位置 和清晰的同时沿轮廓进行平滑去噪。
• 梯度模(梯度向量的范数)为
u u2x u2 y
• 在图像处理中另外一个重要的几何量是方 向导数，任给一个方向向量，图像在该像 素处沿此方向的导数为图像的梯度与此方 向向量的内积:
uv u v
三、偏微分方程图像处理的优缺 点及应用结构
• 用偏微分方程进行图像处理的基本思想是 利用偏微分方程把图像变形，然后求解该 方程，这时方程的解就是我们所期望的结 果。
• 另一方面，当图象表示为连续信号，PDE 可视为具有微小子邻域局部滤波器的迭代 ，这种在PDE框架内的解释允许将现有的 滤波方法进行合并与分类，更加容易理解 其对应的物理意义，并可直观地设计出新 的滤波方法。进一步，PDE使得图象处理 的合成非常自然。
例如给定两个不同的图象处理方案: 可以轻易合成为:
• 在局部坐标意义下我们可以更加直观的从
几何意义上分析其处理效果。
• 设 ξ 代表图像在某像素处的梯度方向，η
代表与梯度垂直的方向，那么上述扩散方
程可以在由 ξ 和 η 张成的局部坐标系下
表示为:
• 对于PM扩散模型，在图像的平坦区域，
C1(u) C2 (u) 进行各项同性扩散；
• 在图像的边界或纹理等梯度比较大的像素
它是高斯函数。σ 代表一个尺度参数，对应的是迭 代时间，选择不同的迭代时间 t,即得到不同尺度下的 平滑图像。
各向同性扩散没有考虑图像的空间位置， 因此在去噪过程中，造成了图像边界的模 糊。各向同性扩散是用高斯卷积核来平滑 去噪。满足下面的原则:
• 因果性:粗糟尺度上的特征必然对应着精细 尺度上的特征，也就是当尺度有小变大时 ，不产生新的细节特征。
• 只有在空间定义域和灰度值上都离散化了 的图象才能被计算机处理，这种离散化图 象称为数字图象，空间离散化称为空间采 样，灰度离散化称为灰度量化。
目录
• 离散图象的模型用u: xΩ [0,255]表示，
这里x=(x,y)是离散的，[0, 255]表量化的 256个灰度级。
• 尽管图象在计算机中以上述离散形式存储 ，但由于在空间采样与灰度量化上这种离 散化都足够精细，从而可以用连续(或分段 连续)的数学函数近似。
• 国防科技大学的谢美华等从偏微分方程去 噪模型出发 ，论述了噪声抑制的原理。
• 考虑到传统的各向异性扩散模型无法正确 的对边缘定向，提出了一种基于边缘定向 增强的各向异性扩散去噪方法，首先利用 基于非线性光滑算子的边缘定向算子对边 缘定向然后利用边界信息确定扩散张量， 从而达到既保护边界又具有良好的去噪效 果。
目录
• 源于约束最优化、量最小化和变分方法的 PDE方法的基本思想是将所研究问题归结 为一个泛函极小问题；
• 然后应用变分方法导出一个或一组偏微分 方程；
• 最后用数值计算方法求解此偏微分方程， 得到所要的数值解，这个数值解就是一幅 恢复图像。
• 从高斯滤波引入的，理论研究和数值运算 均表明，大部分线性滤波算子的极限都是 一个微分算子。
这样若算子F1和F2分别为光滑与边缘保护 算子，则新的合成方案将同时具有去噪与 保护边缘的图象恢复效果。
• 在计算方面，可以很好的利用现在已有的 一些非常完备的数值分析和偏微分方程计 算方法来进行运算,为PDE的数值计算给予 了极大的帮助，它能从已有的有关数值分 析和计算偏微分方程的许多文献中大大获 益。
改进
• Catte 等通过对梯度模进行正则化实现了稳 定的Pernoa-Malik模型。
• Alvarez, dons等将平均曲率流引入到PM模 型中。
• 北京大学的石青云教授和微软亚洲研究院 的林宙辰博士(as)提出了一种能去噪和保持 真实感的各向异性扩散方程，它还能保持 图像中有意义的较强的尖峰和窄边缘。
目录
优点
使用偏微分方程进行图像处理有很多优点。 • 使用偏微分方程可以用广义上连续的二维
函数来对图像进行建模，从而对图像进行 求导求积分等操作，这就把图像处理问题 规范化，使问题的描述在形式上变得简单 。
• PDE给出了连续域上图象的分析模型。模 型与数字图象的网格(对应于图象像素)大小 无关，当假定网格网孔大小趋于零时，离 散滤波器在PDE中可理解为连续微分算子 的近似，从而使得网格的划分与局部非线 性滤波分析易于实现，简化了图象的分析 体系。